Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 983 ΖΗΤΗΜΑ Α. α) Α ( ), ( ) ΖΗΤΗΜΑ α β ακολουθίες πραγματικώ αριθμώ με : lim α = α και limβ = β α αποδειχθεί ότι : lim ( α β ) = αβ. β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας ( γ ) με : ( ) + γ = + Η συάρτηση f ορισμέη και συεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] έχει παράγωγο στο αοικτό διάστημα (α,β) και f(α)=f(β)=0. Να αποδειχθεί : f (x) α) Ότι για τη συάρτηση : F(x) = όπου c [ α, β ] υπάρχει x c c 0 ( α, β ) τέτοιο ώστε F (c 0) = 0. β) Α c [ α, β ], ότι υπάρχει c 0 ( α, β ) τέτοιο ώστε η εφαπτομέη στο σημείο ( c 0, f (c 0) ) της γραμμής με εξίσωση y=f(x) διέρχεται από το σημείο (c,0). ΖΗΤΗΜΑ3 Α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x>0 ισχύει η σχέση log x x β) Έστω η συάρτηση f ορισμέη στο διάστημα [0, + ) με x log x, 0 < x x f (x) = 0 x = 0. Να αποδειχθεί ότι x = i) Η f είαι συεχής στο πεδίο ορισμού της ii) Είαι φθίουσα στο διάστημα (0,) iii) f () = ΖΗΤΗΜΑ4 Στο τετράεδρο ΟΑΒΓ α αποδειχθεί ότι uuur uuur uuur uuur uuur uuur α) Α OA ΒΓ = 0 και OΒ ΓΑ = 0 τότε OΓ ΑΒ = 0 uuur uuur β) Α OA ΒΓ = 0 και d είαι η απόσταση τω μέσω τω ευθυγράμμω τμημάτω ΟΒ,ΓΑ και d είαι η απόσταση τω μέσω τω ευθυγράμμω τμημάτω ΟΓ,ΑΒ τότε d = d.

2 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 984 r ΖΗΤΗΜΑ α) Έστω ότι α, β r είαι τα διαύσματα ( α, α), ( β, β ) ατίστοιχα r ( ως προς έα ορθοκαοικό σύστημα ααφοράς) και α β r το r r α β = α β + α β. εσωτερικό τους γιόμεο. Να αποδειχθεί ότι β) Σε έα ορθοκαοικό σύστημα ααφοράς xoψ θεωρούμε τρίγωο ΑΒΓ με κορυφή Α το σημείο (,) και έστω ότι οι ευθείες πάω στις οποίες βρίσκοται δυο από τα ύψη του έχου εξισώσεις 3x+ψ-=0, x-ψ+3=0. Να βρείτε τις εξισώσεις τω ευθειώ πάω στις οποίες βρίσκοται οι πλευρές του τριγώου και τις συτεταγμέες τω κορυφώ Β και Γ. ΖΗΤΗΜΑ α) Α α με 0 < α <, α αποδείξετε ότι lim α = 0. β) Να μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τη ακολουθία ( β ) με + λ + β =, όπου λ, λ 0,. λ 3 ΖΗΤΗΜΑ3 α) Δίοται τα σύολα διαυσμάτω Β, Β του χώρου με Β = { ( συθ, ηµθ),( ηµθ, συθ) } Β = { ( συθ ηµθ, συθ ηµθ),( συθ + ηµθ, συθ ηµθ )} με θ. Να αποδείξετε ότι το καθέα από τα σύολα Β, Β είαι μια βάση του διαυσματικού χώρου ( για κάθε θ ) π β) Έστω θ =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει έα ( και μόο) 4 διάυσμα (x,y) του διαυσματικού χώρου τέτοιο ώστε τα διατεταγμέα ζεύγη τω συτεταγμέω α είαι (λ,μ-) και (λ-,μ) ως προς τις βάσεις Β, Β ατίστοιχα. ΖΗΤΗΜΑ4 Έστω z ο μιγαδικός αριθμός x+yi με y 0 ( x,y ). Θέτουμε : z ω = όπου z ο συζυγής του z. Να αποδείξετε ότι ω είαι z πραγματικός αριθμός εά και μόο εά το σημείο (x,y) ως προς έα ορθοκαοικό σύστημα ααφοράς xoy, αήκει σε μία υπερβολή από τη οποία έχου εξαιρεθεί οι κορυφές της.

3 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 985 α) Έστω μια ευθεία που σε ορθοκαοικό σύστημα αξόω έχει εξίσωση: Αx+Βψ+Γ=0 με A + B 0. Έστω P(x, ψ ) είαι έα σημείο εκτός της ευθείας αυτής. Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του Α x + Bψ + Γ σημείου P από τη ευθεία ισούται με : Α + Β β) Θεωρούμε δυο ευθείες που σε ορθοκαοικό σύστημα αξόω έχου εξίσωση x+μψ+=0 και μx+ψ+λ=0 ατίστοιχα ( όπου μ,λ είαι πραγματικοί αριθμοί). Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμώ τω λ,μ οι δύο ευθείες είαι παράλληλες και έχου απόσταση μεταξύ τους. x + y+ 3ω = 0 ΖΗΤΗΜΑ Δίεται το σύστημα 4x + (3 + λ )y+ 6ω = 0 5x + 4y + ( + λ) ω = 0 α) Να βρεθού οι τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει και μη μηδεικές λύσεις. β) Να βρεθού όλες οι λύσεις του συστήματος για τη περίπτωση που το λ ισούται με τη μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο ερώτημα α) του ζητήματος αυτού. ΖΗΤΗΜΑ3 α) Έστω μια ακολουθία ( β ). Α υπάρχου δυο ακολουθίες ( α ) και ( γ ) με κοιό όριο, τέτοιες ώστε για κάθε >κ (κ έας συγκεκριμέος φυσικός) α είαι α β γ τότε και η ( β ) έχει το ίδιο όριο. ΖΗΤΗΜΑ4 β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας α = + 3. α) Έστω ότι μια συάρτηση f είαι δυο φορές παραγωγίσιμη σε έα αοικτό διάστημα Δ και ότι στο σημείο x0 είαι f (x 0) = 0. Α f (x 0) > 0, τότε το f (x 0) είαι τοπικό ελάχιστο της f. β) Δίεται η συάρτηση f με f (x) = x (x 3) + 4, x. Έστω x, x είαι τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και x 3 το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου (x,f (x )),(x,f (x )),(x 3,f (x 3)) είαι συευθειακά.

4 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 986 r r r ΖΗΤΗΜΑ Α. Θεωρούμε τρία διαύσματα α, β, γ που αήκου στο Ε. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: r r r α) Πότε τα διαύσματα α, β, γ λέγοται γραμμικώς εξαρτημέα; r r r β) Πότε τα διαύσματα α, β, γ λέγοται γραμμικώς αεξάρτητα; r r r Β. Να αποδείξετε ότι α τα διαύσματα α, β, γ είαι γραμμικώς r r r r u = 3α β + γ r r r r αεξάρτητα τότε επίσης και τα διαύσματα v = α β + 3γ είαι r r r r w = α + β + γ γραμμικώς αεξάρτητα. ΖΗΤΗΜΑ Α. i) Να δώσετε το ορισμό του μέτρου εός μιγαδικού. ii) Έστω οι μη μηδεικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι z z = z z Β. Έστω ότι z = (x 3) + (y )i µε x, y. Να ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος τω σημείω (x,y) που είαι τέτοια ώστε z + 3i = 3 είαι κύκλος. Στη συέχεια α βρείτε τις συτεταγμέες του κέτρου του κύκλου αυτού και τη ακτία του. ΖΗΤΗΜΑ3 Α. Έστω ότι η συάρτηση f ορίζεται σε έα διάστημα Δ και έστω x0. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: i) Πότε η συάρτηση f λέγεται συεχής στο x0 ii) Πότε η συάρτηση f λέγεται συεχής από δεξιά στο x0 iii) Πότε η συάρτηση f λέγεται συεχής από αριστερά στο x0 Β. Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε η συάρτηση f με ΖΗΤΗΜΑ4 x + 3α e + x α x f (x) = x α x + 3β α < x < 0 βηµ x + ασυ x + α 0 x α είαι συεχής στο. Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα: Έστω ότι μια συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη σε έα αοιχτό διάστημα (α,β) και ότι στο σημείο x 0 ( α, β ) είαι f (x 0) = 0. Η f παρουσιάζει στο x 0 τοπικό μέγιστο α : x ( α, x 0], f (x) 0 και x [x 0, β), f (x) 0. Β. Έστω η συάρτηση f με τύπο 3 f (x) = ( α )x ( α + )x 0x+ 7, x 3 3 Να βρείτε το α ώστε η f α παρουσιάζει καμπή στο x0 =. Μετά για τη τιμή αυτή του α α σχηματίσετε το πίακα μεταβολής της f.

5 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 987 r r r ΖΗΤΗΜΑ Α. i) Έστω τα διαύσματα α, β, γ του επιπέδου.να αποδειχθεί ότι r r r r r r r α β + γ = α β + α γ. ( ) ii) Να αποδειχθεί ότι δυο μη μηδεικά διαύσματα είαι κάθετα α και μόο α το εσωτερικό τους γιόμεο είαι μηδέ. Β. Σε έα ορθοκαοικό σύστημα ααφοράς Οxy δίοται τα σημεία Α(4,) και Β(3,-5). Θεωρούμε τη ευθεία (ε) με εξίσωση 7x+y-3=0. Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας (ε) τέτοιο ώστε το τρίγωο ΑΜΒ α είαι ορθογώιο στο Μ. ΖΗΤΗΜΑ Α. Α { v, v, v 3,...v ρ } είαι μια βάση του διαυσματικού χώρου V ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 τότε α αποδειχθεί ότι κάθε διάυσμα v V εκφράζεται κατά μοαδικό τρόπο ως γραμμικός συδυασμός τω διαυσμάτω της βάσης αυτής του V. Β. Δίεται το υποσύολο του 3 V = α, α β, α + 3 β : α, β. Να αποδειχθεί ότι το V { ( ) } 3 είαι διαυσματικός υπόχωρος του και α βρεθεί η διάστασή του. Α. Α lim α = + η και για κάθε ειαι α 0 α αποδειχθεί ότι lim = 0. α Β. Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας ( ) α με ( ) ( ) α = Α. Α η f ορίζεται σε έα αοικτό διάστημα Δ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είαι παραγωγίσιμη στο x 0 τότε α αποδειχθεί ότι f (x 0) = 0. 4 Β. Δίεται η συάρτηση f με f (x) = x 4x + 4x. Έστω C η γραφική παράσταση της συάρτησης f. Να αποδειχθεί ότι υπάρχου τρία σημεία Α, Β, Γ C τέτοια ώστε οι εφαπτόμεες της C στα Α,Β,Γ είαι παράλληλες προς το άξοα x x. Να αποδειχθεί ότι το βαρύκετρο του τριγώου ΑΒΓ βρίσκεται πάω στο άξοα y y.

6 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 988 ( λ + ) x + y = λ + x + ( λ + ) y = Α. Να λυθεί το σύστημα x + y = λ + 4κ + Β. Να δείξετε ότι το σύολο Α = : κ, λ Ά εφοδιασμέο 5 4λ με τη συήθη πράξη του πολλαπλασιασμού κλασμάτω στο είαι πολλαπλασιαστική ομάδα. Α. Να αποδείξετε ότι κάθε ακολουθία αύξουσα και φραγμέη άω είαι συγκλίουσα α με Β. Να βρείτε το όριο της ακολουθίας ( ) α = και α = 4α + 5 *. + Α. Θεωρούμε συάρτηση g ορισμέη σε έα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι α η g είαι παραγωγίσιμη στο x0 και g(x 0) 0 τότε και η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο x 0 και ΖΗΤΗΜΑ4 g (x 0) είαι (x 0 ) g =. [ g(x 0) ] Β. Δίεται η συάρτηση f με f (x) = x + + x + i) Να βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας και τα ακρότατα της συάρτησης. ii) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συάρτησης f το άξοα Ox και τις ευθείες με εξισώσεις x=,x=5. Α. i) Να δώσετε το ορισμό της παραβολής. ii) Δίεται η παραβολή y = px και η ευθεία με εξίσωση y = λ x + κ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή έχου έα διπλό κοιό σημείο α και μόο α p = λκ. Β. Δίεται η παραβολή με εξίσωση y = 4x. i) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της παραβολής που είαι κάθετη στη ευθεία με εξίσωση 3x+y+3=0. ii) Να βρείτε τις εξισώσεις τω εφαπτόμεω της παραβολής τις οποίες φέρουμε από το σημείο (-,).

7 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 7 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 989 x + λ ( y+ z) = 0 Α. Να λυθεί το σύστημα y + z = λ x λ x + y = z Α Να αποδειχθεί ότι κάθε -οστή ρίζα της μοάδας είαι της κπ κπ μορφής ζ κ = συ + i ηµ, κ Ά. Β. Να λυθεί η εξίσωση στο σύολο τω μιγαδικώ ( ) z z z z z z =. Α. Να αποδειχθεί ότι α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και για κάθε x είαι f (x) = 0 τότε η συάρτηση f είαι σταθερή στο Δ. Β. Έστω f,g συαρτήσεις με πεδίο ορισμού έα διάστημα Δ για τις οποίες υποθέτουμε ότι : i) είαι δυο φορές παραγωγίσιμες στο Δ ii) f = g και iii) 0 και f (0) = g(0) Να δειχθεί ότι : α) Για κάθε x, f (x) g(x) = cx όπου c β) Α η f(x)=0 έχει δυο ρίζες ετερόσημες ρ, ρ τότε η g(x)=0 έχει ρ, ρ. τουλάχιστο μία ρίζα στο κλειστό διάστημα [ ] ΖΗΤΗΜΑ4 Δίεται η συάρτηση f με f (x) π = ηµ x + και πεδίο ορισμού π π το διάστημα, 4 4. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής π παράστασης της f στο σημείο x0 =. 8 β) Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη παραπάω εφαπτομέη, τη γραφική παράσταση της f και τους θετικούς ημιάξοες Ox,Oy.

8 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 8 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 990 Α. Α Α και Β είαι πίακες x και ισχύου οι σχέσεις Α = Α και ΑΒ + ΒΑ = Ο όπου Ο ο μηδεικός πίακας x τότε α αποδείξετε ότι είαι ΑΒ = ΒΑ = Ο. Β. Έστω Α,Β,Γ πίακες x και Ι ο μοαδιαίος πίακας x. Α ισχύει ότι ΑΒ = ΓΑ = Ι τότε α αποδείξετε ότι ο Α είαι ατιστρέψιμος και ότι Α = Β = Γ Γ. Έστω Α,Β πίακες x όπου ο Β είαι ατιστρέψιμος. Να αποδείξετε ότι για κάθε κ θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση : ( ) κ κ ΒΑΒ = ΒΑ Β. Α. Να αποδείξετε ότι α η συάρτηση f είαι συεχής στο κλειστό διάσημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο αοιχτό διάστημα (α,β) τότε f ( β) f ( α) υπάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο ώστε α είαι f ( ξ ) =. β α Β. Θεωρούμε τη συάρτηση f με 3 αx β f (x) = + x ( ) x 3 + δ + γ δ + δ όπου α,β,γ,δ είαι α β πραγματικοί αριθμοί και ισχύει + + γ = 0. 3 ξ 0, τέτοιο ώστε η εφαπτομέη της Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( ) γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ξ,f ( ξ )) α είαι παράλληλη προς το άξοα x x. ΖΗΤΗΜΑ3 Α. Θεωρούμε κύκλο με κέτρο K(x 0, y 0) και ακτία ρ καθώς και σημείο A(x, y ) αυτού του κύκλου. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομέη αυτού του κύκλου στο σημείο Α έχει εξίσωση: ( x x0 ) ( x x0 ) + ( y y0 ) ( y y0 ) = ρ. Β. Δίοται η ευθεία (ε) με εξίσωση 5x+3y+=0 και ο κύκλος C με εξίσωση x + y x = 0 που τέμοται στα σημεία Μ και Ν. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ η εξίσωση x + y x + λ ( 5x + 3y + ) = 0 παριστάει κύκλο ο οποίος περάει από τα σημεία Μ και Ν. Για ποια τιμή του λ ο κύκλος αυτός περάει από τη αρχή τω αξόω. β) Να αποδείξετε ότι τα κέτρα τω κύκλω της ερώτησης (α) αήκου σε ευθεία ε της οποίας α βρείτε τη εξίσωση. ΖΗΤΗΜΑ4 Δίεται η συάρτηση f με f (x) = 3x + x Α. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συάρτησης Β. Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(α) του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f της ευθείας με εξίσωση y=3x και τω ευθειώ με εξισώσεις x= και x=α με α>. Γ. Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού Ε(α) του αωτέρου χωρίου ότα το α τείει στο άπειρο.

9 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 9 ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (/6/9) ΖΗΤΗΜΑ Α. Έστω ( ) Α. Έστω V έας διαυσματικός χώρος και V κ έας υπόχωρός του ο οποίος παράγεται από κ διαύσματα του V. Από τα κ αυτά διαύσματα υπάρχου ρ γραμμικώς αεξάρτητα ρ κ τα οποία μαζί με καθέα από τα υπόλοιπα διαύσματα είαι γραμμικώς εξαρτημέα τότε α αποδειχθεί ότι ο V κ έχει διάσταση ρ. z + αi Β. Α ω =, µε α * και z α i τότε α αποδειχθεί iz + α ότι : α) ο ω είαι φαταστικός αριθμός α και μόο α ο z είαι φαταστικός αριθμός. β) ισχύει ω = α και μόο α ο z είαι πραγματικός αριθμός. α ακολουθία συγκλίουσα με lim α 0. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει φυσικός αριθμός κ τέτοιος ώστε α+κ 0 για κάθε. β) για το παραπάω κ η ακολουθία ( β ) με β = είαι α +κ φραγμέη. Β. Έστω β πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος της μοάδας. Θεωρούμε τη ακολουθία ( α ) με για κάθε *. Να αποδείξετε ότι : α είαι γησίως αύξουσα α) η ακολουθία ( ) β α = β και β α + = β β) η ακολουθία ( α ) είαι φραγμέη άω από το β. π ΖΗΤΗΜΑ3 Α. Α 4 Ι = εφ xdx, * τότε 0 α) α αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει Ι = Ι. β) α υπολογίσετε το Ι 5. ln x Β. Δίεται η συάρτηση f με τύπο f (x) = x, x > 0 x α) Να βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας της f. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, το άξοα Οx και τις ευθείες με εξισώσεις x= και x=4. x y ΖΗΤΗΜΑ4 Α. Δίεται η έλλειψη + =. Να βρείτε τη εξίσωση της 5 6 υπερβολής η οποία έχει τις ίδιες εστίες με τη παραπάω α

10 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0 έλλειψη και εφάπτεται στη ευθεία x-y+=0. Β. Βρείτε τις εξισώσεις τω ευθειώ οι οποίες εφάπτοται συγχρόως στο κύκλο x + y = 4 και στη παραβολή y = 3x

11 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 99 x 0 Α. Δίοται ο x πίακας u = y 0 και ο x πίακας συθ ηµθ A = ηµθ συθ με θ (0, π ). Να δειχθεί ότι οι πίακες u και Au είαι γραμμικώς αεξάρτητα στοιχεία του διαυσματικού χώρου Π τω πιάκω x. x Β. α) Να βρεθού οι ρίζες της εξίσωσης z ( i)z i = 0 β) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζου οι εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται από τη 4 εικόα μιάς ρίζας της εξίσωσης z + = 0. Α. Να δειχθεί ότι το εμβαδό του τριγώου με κορυφές τα σημεία A(x, y ),B(x, y ), Γ (x, y ) δίεται από το τύπο: 3 3 x y Ε = x y x y 3 3 Β.α) Δίοται οι ευθείες y=λx και y=-λx με λ>0 και x>0 και ευθεία (ε) η οποία τις τέμει στα σημεία Α και Β. Να βρεθού οι συτεταγμέες τω σημείω Α και Β συαρτήσει τω συτεταγμέω του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. β) Να δειχθεί ότι το σημείο Μ γράφει το έα κλάδο υπερβολής ότα η ευθεία (ε) κιείται έτσι ώστε τα τρίγωο ΟΑΒ α έχει σταθερό εμβαδό κ. Α. α) Δίεται η συάρτηση f ορισμέη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με τιμές στο ( 0,+ ). Να δειχθεί ότι η συάρτηση g με g(x) = ln f (x), x στρέφει τα κοίλα άω α και μόο α ισχύει η σχέση [ ] f (x) f (x) f (x), x. β) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συάρτηση g με g(x) = ln x + στρέφει τα κοίλα άω. ( ) Β. α) Να μελετηθεί ως προς τη μοοτοία και τα κοίλα η x συάρτηση f με f (x) = α x, x και 0<α<. β) Να βρεθού οι πραγματικές τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η λ 4 λ ισότητα ( 4) ( ) α α = λ λ όπου 0<α<. x f (x) = x + 4 e, x. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία (x,y) με x, 0 y f (x). Β. α) Να αποδειχθεί ότι μια συάρτηση f ορισμέη στο έχει τη x ιδιότητα f = f α και μόο α f (x) = ce όπου c πραγματική σταθερά. π π β) Να βρεθεί η συάρτηση g ορισμέη στο διάστημα, η ΖΗΤΗΜΑ4 Α. Δίεται η συάρτηση f με ( )

12 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ οποία ικαοποιεί τις σχέσεις g (x) συ x + g(x) ηµ x = g(x) συx και g(0) = 99.

13 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (4/6/93) r r r r ΖΗΤΗΜΑ Α. Τα διαύσματα α, β, γ και x του επιπέδου ικαοποιού τη r r r r r σχέση ( α x ) β = γ + x. r r r r r r α) Να αποδείξετε ότι: ( β α ) ( α x ) = γ α r r β) Α β α α εκφράσετε το διάυσμα x r ως συάρτηση τω r r r α, β και γ Β. Για το ατιστρέψιμο πίακα Α τύπου vxv ορίζουμε τα πολυώυμα f (x) = Α xi, g(x) = A xi όπου I ο μοαδιαίος πίακας vxv και x πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι α f (x 0) = 0 τότε α) x0 0 β) g( ) = 0 x 0 ( ) ( ) z z + ΖΗΤΗΜΑ Α. Δίεται η συάρτηση f (z) =, z και Re(z) 0 z + z α) Να αποδείξετε ότι : f ( ) = f (z) z β) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στη οποία αήκου τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί z=αx+βyi με α, β, x, y και αβx 0 Re f (z) = 0 ικαοποιού τη σχέση [ ] x y Β. Δίεται η έλλειψη + = µε α > β > 0 και το σημείο Κ α β (0,β). Μια μεταβλητή ευθεία με συτελεστή διεύθυσης λ διέρχεται από το σταθερό σημείο Κ και τέμει τις εφαπτόμεες της έλλειψης στα άκρα του μεγάλου άξοά της στα σημεία Μ και Ν. α) Να βρείτε τη εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΜΝ ως συάρτηση του λ. β) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε ο κύκλος με διάμετρο ΜΝ α διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης. ΖΗΤΗΜΑ3 Α. Να αποδείξετε ότι α μια συάρτηση f είαι συεχής στο [α,β] τότε α) Υπάρχου m, M τέτοια ώστε β m f (x)dx M ( β α) ( β α). α β) Υπάρχει έα τουλάχιστο ξ [ α, β ] τέτοιο ώστε β. α f (x)dx = f ( ξ)( β α) Β. Δίεται η συάρτηση f (x) = + 4 µε x > x

14 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4 ΖΗΤΗΜΑ4 α) Να εξετάσετε τη μοοτοία της συάρτησης f β) Να υπολογίσετε το x+ lim x + x f (t)dt Α. Δίεται η ορθή γωία xoy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 0 m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίου πάω στις πλευρές Oy και Ox ατιστοίχως. Το σημείο Β κιείται με σταθερή ταχύτητα v= m/sec και η θέση του πάω στο άξοα Ox δίεται από τη συάρτηση s(t)=vt, t [0,5] όπου t ο χρόος (σε δευτερόλεπτα) α. Να βρεθεί το εμβαδό E(t) του τριγώου ΑΟΒ ως συάρτηση του χρόου. β. Ποιος είαι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E(t) τη στιγμή κατά τη οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ είαι 6m; Β. Να βρεθεί η συεχής συάρτηση f : για τη οποία ισχύει : x t x α x e f (t)dt e e e f (x), x, α = α

15 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (3/6/94) ΖΗΤΗΜΑ Α. Δίεται η συάρτηση f( χ) = χ, χ R α) Α ε είαι η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης C της συάρτησης f στο σημείο Μ(α,8α ) α>0, α βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C, τη ευθεία ε και το άξοα ψ ψ. β) Έστω θ η γωία που σχηματίζει η ε με τη ευθεία ΜΟ, όπου Ο είαι η αρχή τω αξόω. Να εκφράσετε τη εφθ ως συάρτηση του α και α βρείτε τη μέγιστη τιμή της εφθ ότα το α μεταβάλλεται (α>0). Β. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο διάστημα [,e] με 0<f(χ)< και f (χ) 0 για κάθε χ [,e], α αποδείξετε ότι υπάρχει μόο έας αριθμός χ ο (,e) τέτοιος ώστε f (χ 0) + χ 0 ln χ 0 = χ 0 ΖΗΤΗΜΑ Α. Στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ α βρείτε τις κοιές λύσεις τω εξισώσεω ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 ( ) 3 z z z = και 6 4 z + z + = 0. Β. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z,w και w, τέτοιους ώστε w = z zi και w = + i R α α α, *. Να δείξετε ότι α το α μεταβάλλεται στο R* και ισχύει w = w, τότε η εικόα P του z στο μιγαδικό επίπεδο κιείται σε μια υπερβολή. Α. Έστω ρ πραγματικός αριθμός, Α(χ),Β(χ) πολυώυμα με πραγματικούς συτελεστές ώστε Β(ρ) 0 και το Α(χ) έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώυμο f(x) τέτοιο ώστε Α(χ) Β(χ)=(χ-ρ) f(χ), α και μόο α Α(ρ)=Α (ρ)=0. Β. Έστω ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του. Να βρείτε τις τιμές τω κ,λ για τις οποίες το πολυώυμο Q( χ) χ 3 = ( χ + κχ + λχ+ 8 ) έχει παράγοτα το (χ-). A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο Ε(p/,0) και διευθετούσα τη ευθεία δ: χ= p είαι ψ = p χ. Β. Έστω θετικός ακέραιος και Ω = { 0,,,3, K,} έας δειγματικός χώρος. Δίοται οι πιθαότητες P( κ) = για κ=,, 3, K, κ Να υπολογίσετε : α) Τη πιθαότητα P(0) Α =, 4,6, K, β) Τη πιθαότητα P(A) του εδεχομέου { }

16 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (/6/95) Α. Έστω έας θετικός ακέραιος και Ι,Ο είαι ατιστοίχως ο μοαδιαίος και ο μηδεικός πίακας x. Έστω Α,Β είαι πίακες x τέτοιοι ώστε Α=Β +Ι και Β 4 =Ο. α) Να αποδείξετε ότι i) Α κ =Ι+κΒ, για κάθε κ N* και ii) ο πίακας Ι+Α 6 -Α 8 είαι ατιστρέψιμος. β) Α ο είαι περιττός α αποδείξετε ότι Α 3Ι 0. Β. α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z ισχύει z z z z Re z z = 0. + = α και μόο α ( ) β) Έστω μια συάρτηση f :[α,β] συεχής στο [α,β] και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + if( α), w = f( β) + iβ με αβ 0. Α w + z = w z α αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα [α,β]. Α. Δίοται οι ελλείψεις χ ψ c: + = και c x : α + β ψ = με 0 < α< β. α β Η ημιευθεία ψ=(εφθ)χ, χ>0, 0<θ<π/ τέμει τη C στο σημείο Γ (χ,ψ ) και τη C στο σημείο Γ (χ,ψ ). α) Α λ είαι ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της C στο σημείο Γ και λ είαι ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της C στο σημείο Γ α αποδείξετε ότι το γιόμεο λ λ είαι ίσο με (εφθ). β) Να μελετηθεί ως προς τη μοοτοία η συάρτηση f : (0, π ) με f (θ) = λ λ. Β. Δίεται θετικός ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε Ω =,, L, είαι έας δειγματικός ( + i) = 6. Έστω { } χώρος που αποτελείται από ισοπίθαα απλά εδεχόμεα. Εκλέγουμε τυχαίως έα απλό εδεχόμεο λ Ω.Α f (χ) = χ 4χ + λ με χ α βρείτε τη πιθαότητα η εξίσωση f(χ)=0 α μη έχει πραγματικές ρίζες. Α. Δίοται οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ με κ<λ και η 5 3 f (χ) = χ κ χ λ μεχ α αποδείξετε ότι : συάρτηση ( ) ( ) f ( χ) 5 3 α) = + για κάθε χ κ και χ λ. f ( χ) χ κ χ λ β) Η συάρτηση g( χ) = ln f( χ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (κ,λ). Β. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε συάρτηση f συεχή στο διάστημα [α,β] ισχύει : Α f (χ)>0 για κάθε χ (α,β), τότε η f είαι γησίως αύξουσα στο [α,β]. β) Η συάρτηση f :, είαι παραγωγίσιμη και ισχύει f (χ)>0 για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι η συάρτηση

17 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 7 ΖΗΤΗΜΑ4 β F(χ) = f (χ t)dt, χ με α,β πραγματικούς αριθμούς είαι α παραγωγίσιμη και ότι α υπάρχει χ 0 R με F (χ 0 )=0 τότε F(χ)=0 για κάθε χ. Α. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α,β με 0<α<β τη συεχή συάρτηση f : (0, + ) για τη οποία και τη συάρτηση χ g(χ) = + f (t)dt,χ (0, + ) χ. Να α β α f (t)dt = 0 αποδείξετε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο χ 0 (α,β) τέτοιο ώστε α ισχύου : α) Η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης g στο σημείο (χ 0,g(χ 0 )) α είαι παράλληλη στο άξοα χ χ. β) g( χ 0) = + f( χ 0) π π Β. Να βρείτε τη συάρτηση f : (, ) με συεχή δεύτερη παράγωγο για τη οποία ισχύου f(0)=995, f (0)= και χ χ + f (t)συtdt = συ χ+ f (t)ημtdt. 0 0

18 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 8 Θέµατα Μαθηµατικώ ης έσµης (6/6/96) ΖΗΤΗΜΑο Α. ίοται οι χ Πίακες Α,Β,Γ για τους οποίους ισχύου οι σχέσεις Α+Β+996ΑΒ=Ο,Β+Γ+996ΒΓ=Ο,Γ+Α+996ΓΑ=Ο,όπου Ο ο µηδεικός πίακας. α) Να αποδείξετε ότι οι πίακες Ι+996Α,Ι+996Β και Ι+996Γ είαι ατιστρέψιµοι και ότι ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ, όπου Ι ο µοαδιαίος πίακας. β) Να αποδείξετε ότι Α=Β=Γ. Β. Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση της εικόας του µιγαδικού z= 3+ i 3 από τις εικόες τω ριζώ της εξίσωσης z 6 = 64. ΖΗΤΗΜΑο Α. α) Να αποδείξετε ότι, α η συάρτηση f είαι συεχής σε έα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο χ είαι f (χ)=0 τότε η f είαι σταθερή στο. β) ίοται οι πραγµατικές συαρτήσεις f,g που έχου πεδίο ορισµού το σύολο R. Α οι f και g έχου συεχείς πρώτες παραγώγους και συδέοται µεταξύ τους µε τις σχέσεις f =g, g =- f τότε α αποδείξετε ότι υπάρχου οι συαρτήσεις f και g και είαι συεχείς. Αποδείξτε ακόµα ότι ισχύου οι σχέσεις f +f=g +g=0 και ότι η συάρτηση h=f +g είαι σταθερή. Β Θεωρούµε τις παραπάω συαρτήσεις f και g. Να αποδείξετε ότι α χ και χ είαι δύο ρίζες της f και f(χ) 0 για κάθε χ (χ,χ ) τότε η g έχει µια µόο ρίζα στο διάστηµα (χ,χ ). χ ψ ΖΗΤΗΜΑ3ο Α. ίεται η έλλειψη + =. α) Η εφαπτοµέη της α β έλλειψης στο σηµείο που η διχοτόµος του πρώτου τεταρτηµορίου τέµει τη έλλειψη έχει κλίση. Να βρεθεί η εκκετρότητα της έλλειψης. β) Έστω Α το σηµείο του πρώτου τεταρτηµορίου στο οποίο η ευθεία ψ=λ χ, λ>0 τέµει τη παραπάω έλλειψη. Α µ είαι η κλίση της εφαπτοµέης της έλλειψης στο σηµείο Α τότε α εκφράσετε το γιόµεο λµ ως συάρτηση τω ηµιαξόω α,β. 3 χ Β. Να αποδείξετε τις αισότητες: α) ηµχ< χ, χ> 0 β) ηµχ> χ, χ> 0. 3 ΖΗΤΗΜΑ4ο Α. Να βρεθεί η συεχής συάρτηση f για τη οποία ισχύει η x x σχέση: e f(x)dx = f(x) + e, x R. 0 Β. Η συάρτηση f είαι συεχής στο διάστηµα [α,β] και ισχύει ότι f( χ) + f( α+ β χ) = c για κάθε χ [α,β] όπου c σταθερός πραγµατικός αριθµός. Να αποδείξετε ότι: β α+ β β α f(χ)dχ = ( β α) f( ) = (f(α) + f(β)). α

19 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 9 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (30/6/97) ΖΗΤΗΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι α έας τετραγωικός πίακας Α είαι ατιστρέψιμος, τότε ο ατίστροφός του είαι μοαδικός. Β. Έστω ότι Α,Β είαι x πίακες και έστω ότι οι πίακες Α,Β και ΑΒ-3Ι είαι ατιστρέψιμοι. Να αποδειχθεί ότι οι πίακες Γ= Α-3Β - και ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ 3 ΖΗΤΗΜΑ 4 Δ=( Α-3Β - ) - - Α- είαι ατιστρέψιμοι. Α. Δίοται οι πραγματικές συαρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το R, που έχου πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g( χ) 0 για κάθε χ R. α Έστω α πραγματικός αριθμός. Θέτουμε Α= f ( ) και g( α) α Α α Β= f ( ) g ( ). Α φ είαι πραγματική συάρτηση g( α) ορισμέη στο R\{α}, τέτοια ώστε f ( χ) Α Β φ( χ) = + + για κάθε χ R\{α}, α ( χ α) g( χ) ( χ α) χ α g( χ) αποδειχθεί ότι υπάρχει το lim φ( χ) χ α. Β. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συάρτηση f ορισμέη στο R, δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε υπάρχου πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε χ ( χ ) f ( χ) + ( αημχ βχ ) f ( χ) = e για κάθε χ R. Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ρ ώστε f ( ρ) = 0. Να εξετάσετε α το f(ρ) είαι τοπικό ελάχιστο της συάρτησης f. Α. Δίεται πραγματική συάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε g( χ) > 0 και g ( χ) g( χ) g ( χ) > 0 για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι g i) η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα και g χ χ ii) g( + ) g( χ) g( χ ) για κάθε χ,χ R. Β. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συάρτηση g παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός α ώστε α ισχύει ψ χ g( χ+ ψ) = e g( χ) + e g( ψ) + χψ+ α για κάθε χ,ψ R. Να αποδείξετε ότι i) g(0)= -α χ ii) g ( χ) = g( χ) + g ( 0 ) e + χ για κάθε χ R. Έστω C είαι η γραμμή του επιπέδου με εξίσωση ψ=αχ 3 +βχ +γχ+δ όπου α,β,γ,δ είαι πραγματικοί αριθμοί

20 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 0 και α 0. Έστω Α(χ,ψ ),Β(χ,ψ ),Γ(χ 3,ψ 3 ),Δ(χ 4,ψ 4 ) είαι σημεία της C. Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ και επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δε αήκει στη ευθεία που έχει εξίσωση β+3αχ=0. Α. Να αποδειχθεί ότι χ χ =χ 3 χ 4 Β. Να αποδειχθεί ότι το σημείο Α συμπίπτει με το σημείο Γ ή με το σημείο Δ.

21 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (4/6/98) ΖΗΤΗΜΑ Α. α) Α ο μιγαδικός αριθμός z 0 είαι ρίζα της πολυωυμικής εξίσωσης α χ + α χ + + αχ+ α 0= 0 με α 0, α,, α πραγματικούς αριθμούς και α 0, α αποδείξετε ότι και ο συζυγής του z 0 είαι ρίζα της εξίσωσης αυτής. β) Α η πολυωυμική εξίσωση χ + βχ+ γ= 0 όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί έχει ως ρίζα το μιγαδικό -3i α βρείτε τα β, γ καθώς και τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης f( χ) = χ + βχ+ γ στο σημείο Α(,f()) ότα το χ μεταβάλλεται στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ R. Β. Η συάρτηση f: R R ικαοποιεί τη σχέση 3 f( f( χ)) + f ( χ) = χ+ 3, χ R α) Να αποδείξετε ότι η f είαι «έα προς έα» β) Να λύσετε τη εξίσωση f( χ 3 + χ) = f( 4 χ), χ R. ΖΗΤΗΜΑ Α. Δίεται ο μιγαδικός αριθμός z0 με Im z0 < 999 και το σύολο Α τω μιγαδικώ αριθμώ z με z z0 και z z0 998 που ικαοποιού τη σχέση + = z z z z z z z z ΖΗΤΗΜΑ Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυατή απόσταση που μπορού α απέχου μεταξύ τους οι εικόες δυο μιγαδικώ αριθμώ του συόλου Α. Ποιοι είαι αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί; Να εξετάσετε τη περίπτωση z0 = z0. Β. Έας γεωργός προσθέτει χ μοάδες λιπάσματος σε μια αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει g(χ) μοάδες του παραγόμεου προϊότος. μχ Α g( χ) = M0 + M( e ), χ 0 όπου M 0, Μ και μ είαι θετικές σταθερές α εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής του παραγόμεου προϊότος ως συάρτηση της g(χ). Ποια είαι η σημασία της σταθεράς M 0 ; α) Δίεται ο x πίακας Α με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για το οποίο ισχύει: A ( λ ) A + I = 0 όπου I είαι ο μοαδιαίος x πίακας και λ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι ο πίακας A+I είαι ατιστρέψιμος για κάθε λ. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( χ+ ) Α+ χι + ( χ ) Α χι = χ όπου Α είαι ο πίακας του ερωτήματος α) και χ πραγματικός αριθμός έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο αοικτό διάστημα (-,). Με Α+ χι και Α χι συμβολίζουμε τη ορίζουσα του πίακα Α+χΙ και Α-χΙ ατίστοιχα. γ) Δίεται ο δειγματικός χώρος Ω = {,,3, 4,5,6,7,8} με πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχομέω που

22 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ικαοποιού τις σχέσεις:p()=p(3)=p(5)=p(7)=3p()=3p (4)=3P(6)=3P(8) και το εδεχόμεο τοσύστημααχ = Χέχει Β = λ Ω όπου Χ έας x τουλάχιστοδυολύσεις άγωστος πίακας και Α ο πίακας του ερωτήματος α). Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου Β. δ) Δίεται το τριώυμο f( χ) = χ + γχ+ 4 όπου ο συτελεστής γ επιλέγεται τυχαία από το δειγματικό χώρο Ω του ερωτήματος γ). η εξίσωση f (χ) 0 Α Γ = γ Ω = έχει πραγματικές ρίζες Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου Γ και α δείξετε ότι τα εδεχόμεα Β (του ερωτήματος γ) και Γ είαι ασυμβίβαστα. ΖΗΤΗΜΑ 4 Δίεται η παραγωγίσιμη συάρτηση f:( 0, + ) R για τη οποία ισχύου f(χ)>0,χ>0, f ( χ) + χf( χ) = 0, χ> 0 και η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,) α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της f είαι συεχής στο αοικτό διάστημα ( 0, + ) και α βρείτε τη συάρτηση f. x χ f (t) χ β) Να δείξετε ότι f (χ) < dt,χ χ < > t γ) Να βρείτε τη συάρτηση δ) Να αποδείξετε ότι του έα. x F(χ) = + f (t)dt, χ > t x t < για κάθε χ μεγαλύτερο e e dt

23 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3 Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης (6/7/99) ΖΗΤΗΜΑ Α. Να αποδείξετε ότι α μια συάρτηση f : παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο x 0 του διαστήματος Δ τοπικό ακρότατο και είαι παραγωγίσιμη στο x 0 τότε f (x 0) = 0. Β. Δίεται συάρτηση f : δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο x 0 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το 0 και ικαοποιεί τη σχέση f (x) > 4 ( f (x) f (x)) για κάθε ΖΗΤΗΜΑ x α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση κυρτή στο. g(x) = f (x)e x είαι β) Να αποδείξετε ότι είαι f (x) 0 για κάθε x. Α. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x+yi, x,y α) Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος τω σημείω Μ(x,y) που είαι τέτοια ώστε z + z 3 i = 6 είαι κύκλος. Να βρείτε το κέτρο και τη ακτία του κύκλου αυτού. β) Έστω Ο η αρχή τω αξόω του μιγαδικού επιπέδου και ε, ε είαι οι δυο εφαπτόμεες που άγοται από το Ο προς το παραπάω κύκλο. Να βρείτε τις συτεταγμέες τω δυο σημείω επαφής Μ, Μ. Β. Έστω Ω={,,3,4,5,6} δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα και έστω C κύκλος με κέτρο (,) και ακτία. Θεωρούμε τα εδεχόμεα : Ε={ω Ω/ το σημείο Μ(ω,) είαι εσωτερικό σημείο του κύκλου C} Ζ={ω Ω/ το σημείο Ν(,ω) είαι εξωτερικό σημείο του κύκλου C}. Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω Ε,Ζ και E Z. uuur uuur ΖΗΤΗΜΑ 3 Α. Δίεται τρίγωο ΑΒΓ στο οποίο είαι AB = 4, AΓ = 6 uuur uuur π και η γωία τω διαυσμάτω AB και AΓ είαι. Α Μ 3 είαι το μέσο της πλευράς ΒΓ τότε α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διαύσματος AΜ uuuur uuur β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διαύσματος AB πάω στο διάυσμα AΜ uuuur είαι το διάυσμα 4 A uuuur 9 Μ Β. Έστω Α,Β x πίακες τω οποίω τα στοιχεία είαι πραγματικοί αριθμοί. Έστω ότι ισχύει Α + ΑΒ + Ι = Β + ΒΑ + Ι = Ο όπου Ι είαι ο x μοαδιαίος πίακας και Ο είαι ο μηδεικός x πίακας.

24 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 4 ΖΗΤΗΜΑ 4 Να αποδείξετε ότι α) i) Ο πίακας Α+Β έχει ατίστροφο ii) A=B β) ο είαι άρτιος. t + 3 Α. Δίεται η συάρτηση f (t) =, t [,4] t + 4 α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = f (t)dt β) Έστω η συάρτηση t 4 i) Να αποδείξετε ότι x x x e e e x>0. ii) Να υπολογίσετε το lim g(x) x t x 4 x + g(x) = f (t) e dt, x > 0 x + +. για κάθε t [,4] και Β. Έστω h :[, + ) συεχής συάρτηση που ικαοποιεί x h(t) τη σχέση h(x) = 999(x ) + dt για κάθε x t Να αποδείξετε ότι α) h(x) = 999 x ln x, x β) Η h είαι γησίως αύξουσα στο [, + ).

25 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 000 ΕΥΤΕΡΑ ΜΑΪΟΥ 000 ΕΣΜΗ ΠΡΩΤΗ (η) ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ZHTHMA o Α. Α z = ρ (συθ + iηµθ ) και z =ρ (συθ + iηµθ ) είαι η τριγωοµετρική µορφή τω µιγαδικώ αριθµώ z και z τότε α αποδείξετε ότι z z =ρ ρ [συ(θ +θ )+iηµ(θ +θ )]. Ω = {,,..., 0} Β. Εστω είαι έας δειγµατικός χώρος µε ισοπίθαα απλά εδεχόµεα. Α λ Ω, θεωρούµε τη συάρτηση f : R R, µε f(x)= 3 x 3 -x +3x+λ, x R. Θεωρούµε τα εδεχόµεα Χ,Υ όπου : Χ : Η µέγιστη τιµή της f στο [0,5], είαι µεγαλύτερη ή ίση του 68/3. Υ : Η ελάχιστη τιµή της f στο [0,5], είαι µικρότερη ή ίση του 4. Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω εδεχοµέω Χ,Υ, Χ Υ και Χ Υ. ZHTHMA o Α. Εστω ότι Α,Β είαι x πίακες, µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς, τέτοιοι, ώστε 4Α -Β =Ι και ΑΒ=ΒΑ, όπου Ι είαι ο x µοαδιαίος πίακας. α) Να αποδείξετε ότι οι πίακες Α+Β και Α-Β είαι ατιστρέψιµοι. β) Εστω Χ,Υ είαι x πίακες τέτοιοι, ώστε ΑΧ+ΒΥ=Α+Ι και ΒΧ+ΑΥ=Β. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

26 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ i) Να αποδείξετε ότι Χ=Α+Ι και Υ=-Β. ii) Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίακα Y +X είαι µεγαλύτερη ή ίση του µηδεός. Β. Θεωρούµε τα σηµεία του επιπέδου Μ(4συφ, 5ηµφ), µε φ [0,π). α) i) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία αυτά αήκου σε έλλειψη, της οποίας α βρείτε τη εξίσωση. ii) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της παραπάω έλλειψης στο σηµείο Μ(4συφ, 5ηµφ), µε φ (0,π). β) Εστω Ε(φ), µε φ (0,π/), είαι το εµβαδό του τριγώου που σχηµατίζει η εφαπτοµέη της παραπάω έλλειψης στο σηµείο Μ(4συφ, 5ηµφ) µε τους άξοες x x και y y. Να αποδείξετε ότι Ε(φ) 0. ΖΗΤΗΜΑ 3ο Α. Εστω f : R R συάρτηση συεχής στο R. Εστω I : R R η συάρτηση µε Ι(x)= [ ( ()) 4 f t - xt f(t) + x t ]dt, για x R. 0 Να αποδείξετε ότι η συάρτηση Ι παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο x o = 5 t f(t) dt 0 B. Εστω η συάρτηση f : (, + ) R, µε f(x) = ln( x ) Έστω c πραγµατικός µεγαλύτερος του 000. Εστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y=c και η γραφική παράσταση της f τέµοται σε δύο διαφορετικά σηµεία του επιπέδου, τα Α και Β. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

27 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 7 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµεες της γραφικής παράστασης της f, στα Α και Β, είαι κάθετες µεταξύ τους. ZHTHMA 4o Εστω f,g : R R, είαι συαρτήσεις συεχείς στο R τέτοιες, ώστε α ισχύει f(x)-g(x)=x-4, για x R. Εστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y=3x-7 είαι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f, καθώς x +. g(x) α) Να βρείτε τα όρια : i) x lim και + x ii) g(x) + 3x + ηµx lim x + x f(x) - 3x + β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y=x-3 είαι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g, καθώς x +. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

28 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 8 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΕΥΤΕΡΑ ΜΑΪΟΥ 00 ΕΣΜΗ ΠΡΩΤΗ (η) ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ZHTHMA o Α. Έστω δειγµατικός χώρος Ω και Α έα εδεχόµεό του. Α Α είαι το ατίθετο εδεχόµεο του Α, α αποδείξετε ότι Ρ(Α ) = - Ρ(Α) Β. ίεται το γραµµικό σύστηµα όπου κ, λ, µ R. x - y + 3ω - φ = κ 3x + y + ω + 4φ = λ 5x + 4y + ω + 9φ = µ α. Α το σύστηµα είαι συµβιβαστό, α αποδείξετε ότι µ+κ-λ=0 β. Α (x, y, ω, φ) = (,,, ) είαι µία λύση του συστήµατος, α βρείτε όλες τις λύσεις του. ZHTHMA o Α. ίοται οι ευθείες ε α : αx-y = 0 και ζ α : x+αy=, α R. α. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του α R, οι ευθείες ε α διέρχοται από σταθερό σηµείο Α και οι ευθείες ζ α διέρχοται από σταθερό σηµείο Β, τα οποία και α προσδιορίσετε. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

29 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 9 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Α Μ(x, y) είαι το σηµείο τοµής τω ε α και ζ α, α αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του α R το Μ κιείται σε κύκλο, του οποίου α βρείτε τη εξίσωση. Β. ίοται τα πολυώυµα Ρ(z) = z - z + και Q(z) = z 3 + αz + βz-, όπου α, β R. α. Να βρείτε τις ρίζες z, z του Ρ(z) και α αποδείξετε ότι z + z = - 7. β. Α µια ρίζα του πολυωύµου Ρ(z) είαι και ρίζα του πολυωύµου Q (z), α προσδιορίσετε τις τιµές τω α και β. ΖΗΤΗΜΑ 3ο A. Έστω η συάρτηση f(x) = x lnx, x>0. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει έα µόο σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτοµέη είαι παράλληλη στο άξοα x x. β. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, το άξοα x x και τη ευθεία x=x 0, όπου x 0 είαι η θέση του τοπικού ακροτάτου της f. Β. Έστω η συάρτηση f: [α, β] R, η οποία είαι συεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α)=β, f(β)=α. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο (α, β). β. Να αποδείξετε ότι υπάρχου ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) f (ξ ) = 4. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

30 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 30 ZHTHMA 4o Α. Έστω η συάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f(x) = x 3-3x συα +xσυ α+ηµ α, x R και α R. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του α η γραφική παράσταση της f έχει µόο έα σηµείο καµπής, το οποίο για τις διάφορες τιµές του α αήκει σε παραβολή. B. Εστω συάρτηση f παραγωγίσιµη στο R µε f (0) = και τέτοια ώστε α ισχύει: x 0 f (t)dt xe-x, για κάθε x R. Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(0,f(0)). ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ