ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8//
Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις ακολουθίες: a { + }, b { + }, c { }, d { } { } a Για να βρούµε την γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας + αρχίζουµε από την βασική γεννήτρια συνάρτηση και εφαρµόζοντας κατάλληλους µετασχηµατισµούς προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε την κατάλληλη συνάρτηση που θα µας δίνει την ζητούµενη ακολουθία Γνωρίζουµε πως η ακολουθία της ΓΣ είναι η,,, Για να εµφανίσουµε τον παράγοντα, θέτουµε, οπότε έχουµε την ΓΣ µε ακολουθία την,,,, δηλαδή την ακολουθία Για να πάρουµε την ακολουθία +, πρέπει να ολισθήσουµε την µια θέση αριστερά, οπότε εφαρµόζοντας γνωστή ιδιότητα των ΓΣ λαβαίνουµε την ΓΣ a, όπου a είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας, δηλαδή το Έτσι τελικά η +, είναι η: ζητούµενη ΓΣ για την ακολουθία { } b Παρατηρούµε ότι η ακολουθία { + }, προκύπτει από την { + } αν πολλαπλασιάσουµε κάθε όρο της µε Για να το επιτύχουµε αυτό ας δούµε πιο προσεκτικά την ΓΣ της ακολουθίας { + } : + + + Παρατηρούµε πως αν παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη ως προς τότε θα εµφανίσουµε τον όρο σε κάθε µονώνυµο Οπότε έχουµε: ( + + + Τώρα µένει να πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη µε ώστε να πάρουµε την ζητούµενη ακολουθία: ( + + + Εποµένως η ΓΣ της ακολουθίας { + } + είναι η ( Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ
c Για την αρµονική ακολουθία Η, γνωρίζουµε ότι έχει για ΓΣ την ln Εφόσον θέλουµε να πάρουµε την { }, θα εφαρµόσουµε την µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε στην προηγούµενη άσκηση, δηλαδή πρώτα θα παραγωγίσουµε και µετά θα πολλαπλασιάσουµε µε Οπότε έχουµε: ln ( + ln ( + ln Οπότε τελικά καταλήγουµε να έχουµε για την ακολουθία { } ( + ln, την ΓΣ d Για την ακολουθία { }, αρχίζουµε πάλι από την ΓΣ Προκειµένου να εµφανίσουµε τον παράγοντα, θα κάνουµε τρεις διαδοχικές παραγωγίσεις και ολισθήσεις, έτσι έχουµε: ( ( + ( ( + + + + ( + + + ( ( + + ( + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Οπότε καταλήγουµε ότι η ΓΣ της ακολουθίας ( + + είναι η Εφόσον όµως µας ( ζητείται η ακολουθία για, πρέπει να αφαιρέσουµε τους δύο πρώτους όρους, άρα έχουµε: Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ
( + + + + + Οπότε η τελική απάντηση στην ερώτηση ( ( + + είναι η ΓΣ ( Να βρεθεί η OGF για την ακολουθία: { / } Γνωρίζοντας ότι ισχύει η σχέση ln, µπορούµε να καταλήξουµε στην ζητούµενη ακολουθία κάνοντας πρώτα µια αριστερή ολίσθηση και κατόπιν ολοκληρώνοντας: ln (διαιρούµε µε, εφόσον αρχίζουµε από δεν ασχολούµαστε µε τον πρώτο όρο ln ln d + Οπότε καταλήγουµε ότι η ΓΣ της ακολουθίας { / } είναι η ln d Να δειχθεί ότι:![ ] d Υπόδειξη: ηµιουργήστε µια συνήθη διαφορικη εξίσωση πρώτης τάξης για την εκθετική γεννήτρια συνάρτηση (! Αυτό που ζητείται στην άσκηση είναι να αποδείξουµε ότι η συνάρτηση αποτελεί την εκθετική γεννήτρια συνάρτηση για την αρµονική ακολουθία d, Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ
Ακολουθώντας την υπόδειξη που µας δίνει η άσκηση αρχίζουµε παραγωγίζοντας την (, οπότε έχουµε: d ( d!! (! Επίσης για την αρµονική ακολουθία γνωρίζουµε ότι ισχύει η αναδροµική σχέση + Οπότε αντικαθιστώντας έχουµε: d ( d ( + (! + (!! d ( Η(+ ( d ( Έτσι καταλήγουµε στην διαφορική εξίσωση (, από την λύση της οποίας θα προκύψει η µορφή της ( Θα λύσουµε την διαφορική εξίσωση µε τη µέθοδο της µεταβολής των παραµέτρων, έτσι αρχικά θεωρούµε την αντίστοιχη οµογενή της (: d ( d - ( ( ( (C ( Θέτουµε d ( ( d C C(, και υπολογίζουµε την ( C ( + C( C ( + C( ( ( C ( + C( C ( + ( C ( ( ( C( ( d ( d ( για να την αντικαταστήσουµε στην ( d Αντικαθιστούµε την ( στην ( και έχουµε: ( ( d που είναι και η ζητούµενη σχέση Οπότε αποδείξαµε το ζητούµενο Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ
Να λυθεί η αναδροµική σχέση: a n an an για n> µε a a και a a Για να λύσουµε την αναδροµική σχέση εφαρµόζουµε το θεώρηµα, οπότε έχουµε: g ( + ( ( + ( f ( ( + ( + (mod f ( + ( + ( (,( f ( ( + a ( g( ( ( + ( ( + ( ( + Στη συνέχεια θα αναλύσουµε το κλάσµα σε απλά κλάσµατα της µορφής: ( + ( ( + ( A + B ( + C + ( ( ( Μετά από πράξεις βρίσκουµε ότι Α-/, Β/, C-/, οπότε έχουµε ότι: (,( a( + + ( + Από την ΓΣ της σχέσης ( µπορούµε να εξάγουµε τις αντίστοιχες ακολουθίες Θα αναλύσουµε τη σχέση ( ανά όρο, κάνοντας χρήση των πινάκων και του βιβλίου: Ο όρος αντιστοιχεί στην ακολουθία + ( µια θέση δεξιά δηλαδή:,,,,, Ο όρος ( αντιστοιχεί στην ακολουθία Ο όρος αντιστοιχεί στην ακολουθία δηλαδή:,,,,, ( ( µετατοπισµένη κατά µετατοπισµένη κατά µια θέση δεξιά, Αν συνοψίσουµε τώρα όλες τις επιµέρους ακολουθίες καταλήγουµε στην ακόλουθη τελική ακολουθία:, a (6 + ( + (, > Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ 6
Μπορούµε να επιβεβαιώσουµε την ορθότητα της σχέσης (6 υπολογίζοντας µερικές από τις πρώτες τιµές της ακολουθίας: a a ( ( + a ( ( + a ( ( + a ( ( +, που όντως a a a a ( ( 6 +, που όντως a a a Λιβαθινός Νικόλαος ΕΤΥ 7