5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Λογαριθµική συνάρτηση µε βάση α Όταν α > f() = log α Έχει πεδίο ορισµού το (0, + ) Έχει σύνολο τιµών το R Είναι γνησίως αύξουσα Τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (, 0) Είναι f () = logα < 0 αν 0 < < και f () = logα > 0 αν > Έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα των y Όταν 0 < α < f() = log α Έχει πεδίο ορισµού το (0, + ) Έχει σύνολο τιµών το R Είναι γνησίως φθίνουσα Τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (, 0) Είναι f () = logα > 0 αν 0 < < και f () = logα < 0 αν > Έχει ασύµπτωτη τον θετικό ηµιάξονα των y y O y O. Μια συµµετρία Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο της ης 3 ης γωνίας των αξόνων f() = log α και g() = α είναι 3. Σηµαντικές ισοδυναµίες logα = logα = Όταν α > : logα > logα > Όταν α < : logα > logα < (αλλάζει η φορά)

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Οι ιδιότητες στη γραφική παράσταση Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () logα συµπεραίνουµε τις ιδιότητές της = µπορούµε να. Προσοχή στην ιδιότητα Όταν α < : log όταν α < ) logα < (αντιστρέφεται η φορά, α > 3. Μέθοδος Για να λύσουµε λογαριθµική εξίσωση ή ανίσωση ή σύστηµα, προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε λογαρίθµους που να έχουν ίδιες βάσεις. 4. Μια συµµετρία Οι γραφικές παραστάσεις των συµµετρικές ως προς τον άξονα f() = log α και g() = logα είναι ( αϕο ύ log α = logα ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να δείξετε ότι 3 log = log3 για κάθε > 0 Nα λύσετε την εξίσωση 3 log = 54 log3 3 log = log3 log3 log = log log3 log log3 = log3 log που ισχύει

3 3 3 log = 54 log3 ( 3 log = 54 3 log log 3 = 54 log 3 = 7 log 3 3 = 3 log = 3 = 0 3 =000. Να λυθούν οι ανισώσεις log( +) > log + log log > 0 4 i + log >0 Περιορισµοί : + > 0 και > 0 > και > 0 > 0 () log( + ) > log + log log(+ ) > log() + > < Συναληθεύοντας τις λύσεις αυτές µε τους περιορισµούς () βρίσκουµε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν 0 < < Περιορισµός : 0 () log 4 > log > log < < 0 < <. Συναληθεύοντας τις λύσεις αυτές και τους περιορισµούς () βρίσκουµε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν (, 0) (0, ) i Περιορισµός : > 0 () log > log > log log > log

4 4 > > Συναληθεύοντας µε τους περιορισµούς βρίσκουµε > 3. Να λυθεί η ανίσωση ln 5ln + 6 < 0 Λύση Περιορισµός : > 0 Θέτουµε ln = y, οπότε η ανίσωση γίνεται y 5y + 6 < 0 < y < 3 < ln < 3 lne < ln < lne 3 e < < e 3 4. Να λυθεί η ανίσωση log( 9) < log(8) Περιορισµοί : 9 > 0 και 8 > 0 ( < 3 ή > 3 ) και > 0 > 3 log( 9) < log(8) 9< 8 8 9< 0 < < 9 Συναληθεύοντας τις λύσεις αυτές µε τους περιορισµούς βρίσκουµε ότι λύσεις της ανίσωσης είναι οι 3 < < 9

5 5 5. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() = log Πρέπει να ισχύoυν > 0 () και log + log 0 () Για τη () θέτουµε log = y Οπότε y + y 0 y(y+ ) 0 y ή y 0 Συναλήθευση των (), (3) δίνει 0 < + log log ή log 0 log log0 ή log log ή (3) 0 ή 0

6 6 6. e ίνεται η συνάρτηση f() = ln. e + 5 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. Να λύσετε την εξίσωση f() = ln. i Να λύσετε την ανίσωση f() > 0. Πρέπει e e + 5 > 0 e e 5 + > 0 e > 0 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το Α = (0, + ) e f() = ln ln = ln e + 5 e > e > e 0 > 0 e ln = ln e + 5 e = 4 e + 5 e = 4e + 0 e 4e = 0 Θέτουµε e = y y 4y = 0 y = 7 ή y = 3 Όταν y = 7 e = 7 lne = ln7 = ln7 > ln > 0 άρα δεκτή. Όταν y = 3 e = 3 αδύνατη i f() > 0 e ln > 0 e + 5 e ln > ln e + 5 e > e + 5 e > e + 5 e e 6 > 0

7 7 Θέτουµε e = y y y 6 > 0 < y < 3 < e < 3 Η ανίσωση < e αληθεύει για κάθε. Η ανίσωση e < 3 lne < ln3 < ln3 Και επειδή Α = (0, + ), θα είναι 0 < < ln3 7. Έστω η συνάρτηση f() = log( 7 +0) log. Να βρείτε το πεδίο ορισµού Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής της παράστασης µε τους άξονες, αν βέβαια υπάρχουν. Πρέπει 7 +0 > 0 και 0 Η διακρίνουσα του τριώνυµου 7 +0 είναι = = 39< 0 Οπότε το τριώνυµο είναι πάντα θετικό. Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το Α= R * Επειδή το 0 Α η γραφική παράσταση δεν τέµνει τον άξονα των y. f() = 0 log( 7 +0) log 7+ 0 = 0 log = 7+ 0 log = log = = 0 = ή = 5 Οπότε τα σηµεία τοµής µε τον άξονα των είναι τα (, 0), (5, 0)

8 8 8. Έστω οι συναρτήσεις f() = ln(e 4e + 3) και g() = ln3 + ln(e ). Να βρείτε το πεδίο ορισµού κάθε µιας των f, g. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των C f, C g Για να ορίζεται η f, πρέπει e e +3 > 0 Θέτουµε e = y y 4y + 3 > 0 y < ή y > 3 e < ή e > 3 < 0 ή > ln3 Οπότε, το πεδίο ορισµού της f είναι το Α f = (, 0) (ln3, + ) Για να ορίζεται η g, πρέπει e > 0 e > > 0 Οπότε, το πεδίο ορισµού της g είναι το Α g = (0, + ) Κοινό πεδίο ορισµού των f, g : Α = Αf Ag = [(, 0) (ln3, + )] (0, + ) = (ln3, + ) () f() = g() ln(e 4e + 3) = ln3 + ln(e ) ln(e 4e + 3) = ln[3(e )] e 4e + 3 = 3(e ) e 4e + 3 = 3e 3 e 7e + 6 = 0 Θέτουµε e = y, y 7y + 6 = 0 y = ή y = 6 e = ή e = 6 = 0 ή = ln6 Λόγω της (), δεκτή τιµή είναι µόνο η = ln6. Για = ln6, έχουµε g(ln6) = ln3 + ln(e ln6 ) = ln3 + ln(6 ) = ln3 + ln5 = ln5 Άρα οι C f, C g έχουν κοινό σηµείο το (ln6, ln5)

9 9 9. Να δείξτε ότι + log 3 + log 3 7 = log 3 84 Να βρείτε το ώστε οι αριθµοί log 3, log3, + log3 + log3 7 + µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. +log 3 + log 3 7 = log log 3 + log 3 7 = log 3 (3 4 7) = log 3 84 Περιορισµός : > 0 Θα πρέπει να ισχύει : log3 = log3 + + log3 + log3 7 + log3 = log3 + log log3 = log = = 0 = 6 ή = 7 εκτή τιµή η = 6

10 0 0. Έστω η συνάρτηση f() = ( ln ) 3 + ( ln ) + α ln + β, > 0 και α, β R Αν f = 0 και f(e) = 0, να αποδείξετε ότι α = και β = e Για α = και β =, να βρείτε τα σηµεία τοµής της C f µε τον άξονα των f e = 0 3 ln e + ln e + α ln e + β = 0 (ln lne) 3 + (ln lne) + α(ln lne) + β = 0 + α + β = 0 α β = () f(e) = 0 ( ) 3 ln e + ( ) ln e + α lne + β = α + β = 0 α + β = 3 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε α = και β = Για α = και β = η συνάρτηση γίνεται f() =( ln ) 3 + ( ln ) ln f() = 0 ( ) 3 ln + ( ) ln ln = 0 ( ) ln [ln + ] (ln + ) = 0 (ln + ) [( ) ln ] = 0 ln = ή ln = ή ln = = e - ή = e - ή = e Οπότε, τα σηµεία τοµής µε τον άξονα των είναι (e -, 0), (e -, 0), ( e, 0)

11 . ln(3 4) Έστω η συνάρτηση f() = ln( 4) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Να βρείτε τα κοινά σηµεία της C f µε την ευθεία y = i Να βρείτε το ω (0, π), ώστε η C f να διέρχεται από το σηµείο Α(5ηµω, 0) Πρέπει να ισχύουν : 3 4 > 0 και 4 > 0 και ln( 4) 0 > 4 3 > 4 3 και > 4 και 4 και 5 4, 5 5, + 3 Οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το Α = ( ) ln(3 4) f() = = ln( 4) ln(3 4) = ln( 4) ln(3 4) = ln( 4) 3 4 = = 0 = 5 απορρίπτεται, ή = 6 Άρα το ζητούµενο κοινό σηµείο είναι το ( 6, ) i ln(5ηµω 4) Θα πρέπει να ισχύει f(5ηµω) = 0 = 0 ln( ηµω 4) ln(5ηµω 4) = 0 5ηµω 4 = π ηµω = ω =

12 . Να συγκριθούν οι αριθµοί log,5 ( + ) και log,5 ( + ) Περιορισµός : + > 0 > log (+ ) > log (+ ) + > ( + ),5,5 + > + + Σχόλιο + < 0 < < 0. Εποµένως αν < < 0 τότε log,5 (+) > log,5 (+) αν > 0 τότε log,5 ( +) < log,5 ( +). αν = 0 τότε log,5 ( +) = log,5 ( +). 3. Να συγκριθούν οι αριθµοί log 0,3 ( + ) και log 0,3 ( + 3) Περιορισµός : + > 0 και + 3 > 0 3 > και > > 3 Σχόλιο log 0,3(+ ) > log 0,3 (+ 3) + < + 3 > Εποµένως αν > τότε log 0,3(+ ) > log 0,3 (+ 3) 3 αν < < τότε log 0,3(+ ) < log 0,3(+ 3) αν = τότε log 0,3(+ ) = log 0,3(+ 3)

13 3 4. Να λυθεί το σύστηµα log5 + log5 y= + 7y= 57 Πρέπει να είναι > 0 και y > 0. Η πρώτη εξίσωση του συστήµατος γράφεται log 5 (y) = y = 5 y = 5 Το σύστηµα γίνεται y= 5 + 7y= 57 ( = 5 και y = ) ή 7 50 = και y= 7

14 4 5. Έστω Q(t) η τιµή ενός προϊόντος ( σε εκατοντάδες ευρώ ), t έτη µετά την κυκλοφορία του στην αγορά. Η αρχική τιµή του προϊόντος ήταν 300 ευρώ, ενώ µετά από 6 µήνες η τιµή του είχε µειωθεί στο µισό της αρχικής του τιµής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει lnq(t) = αt + β, t 0 όπου α, β R, τότε : Nα δείξετε ότι Q(t) = 3 4 -t, t 0 Nα βρείτε σε πόσο χρόνο η τιµή του προϊόντος θα γίνει ίση µε το 6 της αρχικής τιµής. i Nα βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιµή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το 9 της αρχικής τιµής. Από την υπόθεση έχουµε ότι lnq(t) = αt + β Q(t) = e αt + β () Επίσης Q(0) = 3 και Q = 3 e β = 3 και e β = 3 Προσοχή στις Μονάδες μέτρησης και e α+β = 3 e α β e = 3 e β = 3 e β = 3 και και α 3 e 3 = e α = e β = 3 και e α = 4 = 4- Οπότε η () γίνεται Q(t) = e αt + β = e αt e β = 3 4 -t. Πρέπει Q(t) = Q(0) t = t = 4 - t = Εποµένως σε έτη θα είναι η τιµή του προϊόντος ίση µε το της αρχικής τιµής 6 i Πρέπει Q(t) 9 Q(0) 3 4-t t 3 - ln4 -t ln3 -

15 5 tln4 ln3 t ln 3 ln 4 ln 3 t ln = ln 3 ln = ln 3 ln