ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

Transcript

1 1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει τα κοίλα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό διαστήµατος. Παρατήρηση : η οποιαδήποτε εφαπτοµένη ευθεία της από τη C. C βρίσκεται κάτω Θα λέµε ότι η στρέφει τα κοίλα κάτω ή είναι κοίλη στο, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό διαστήµατος. Παρατήρηση : η οποιαδήποτε εφαπτοµένη ευθεία της από τη C. C βρίσκεται πάνω. Θεώρηµα Έστω συνεχής σε διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν () > 0 στο εσωτερικό του διαστήµατος, τότε η είναι κυρτή στο Αν () < 0 στο εσωτερικό του διαστήµατος, τότε η είναι κοίλη στο. Ορισµός Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη σε διάστηµα (α, β) και ο (α, β). Αν η αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του ο, τότε το σηµείο Α( ο, ( ο )) λέγεται σηµείο καµπής της C. Απλοποιήσαµε τον ορισµό, αφού η κατακόρυφη εφαπτοµένη είναι εκτός ύλης.

2 4. Θεώρηµα Αν το Α( ο, ( ο )) είναι σηµείο καµπής της παραγωγίσιµη στο ο, τότε ( ο ) = 0. C και η είναι δύο φορές Προσοχή. Αν ( ο ) = 0, δε σηµαίνει ότι το Α( ο, ( ο )) είναι σηµείο καµπής. Πρέπει επί πλέον η να αλλάζει η κυρτότητα εκατέρωθεν του ο. 5. Θεώρηµα Αν ( ο ) 0, τότε το σηµείο Α( ο, ( ο )) δεν είναι σηµείο καµπής. 6. Θεώρηµα Οι ρίζες της είναι πιθανές θέσεις σηµείων καµπής. Οι ρίζες της είναι θέσεις σηµείων καµπής, εφόσον η αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθέν τους. 7. Θεώρηµα Αν η αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του ο (α, β) και η στο σηµείο Α( ο, ( ο )), τότε το σηµείο Α είναι σηµείο καµπής της C έχει εφαπτοµένη C. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Ένα εύκολο λάθος κυρτή () > 0 [Μπορεί για κάποιο να είναι () = 0]. κοίλη () < 0 [Μπορεί για κάποιο να είναι () = 0].. Πιθανές θέσεις σ. κ είναι : α) Τα εσωτερικά σηµεία διαστήµατος στα οποία η µηδενίζεται β) Τα εσωτερικά σηµεία διαστήµατος στα οποία η δεν υπάρχει Αν επί πλέον µια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε πιθανές θέσεις σηµείων καµπής είναι µόνο οι θέσεις µηδενισµού της

3 . Μη ύπαρξη σ. κ Αν () 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο, τότε η δεν έχει σηµεία καµπής. 4. Μέθοδος Για να βρούµε την κυρτότητα και τα σηµεία καµπής : α) Βρίσκουµε την, τις ρίζες της και το πρόσηµό της. β) Γράφουµε πίνακα µεταβολών γ) Αναζητάµε τα σ. κ i) στις ρίζες της ii) στα σηµεία που η δεν υπάρχει 5. Στη γραφική παράσταση κυρτή η C είναι πάνω από κάθε εφαπτοµένη της κοίλη η C είναι κάτω από κάθε εφαπτοµένη της 6. Στη γραφική παράσταση Η εφαπτοµένη της C σε σηµείο καµπής διαπερνά τη C. 7. Οι αριθµοί o και ( o ) Αν το Α( ο, ( ο )) είναι σηµείο καµπής, τότε α) o ο εκφράζει τη θέση του σ.κ ως προς το αριστερά δεξιά β) ο ( ο ) εκφράζει το πόσο πάνω κάτω είναι το σ.κ

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε την κυρτότητα και να βρείτε τα σηµεία καµπής της συνάρτησης () =. Η είναι συνεχής στο R µε τύπο () =, αν 0, αν < 0 Είναι, αν > 0 () =, αν < 0 και, αν > 0 () =, αν < 0 Πρόσηµο της και κυρτότητα της Παρατηρούµε ότι, εκατέρωθεν του 0 αλλάζει το πρόσηµο της, άρα το 0 είναι ένα πιθανό σηµείο καµπής. Εξετάζουµε τι γίνεται µε την ύπαρξη εφαπτοµένης σ αυτό. Είναι () (0) 0 lim = lim = lim ( ) = 0 και () (0) 0 lim = lim = lim = Άρα η παραγωγίζεται στο ο = 0 µε (0) = 0 Οπότε υπάρχει εφαπτοµένη σ αυτό, και εποµένως η παρουσιάζει καµπή στο 0. Παρατήρηση : εν µας ενδιαφέρει αν υπάρχει ή δεν υπάρχει η (0) Άλλα σηµεία καµπής δεν υπάρχουν, αφού για 0 είναι () 0

5 5. Να εξετάσετε την κυρτότητα και να βρείτε τα σηµεία καµπής της συνάρτησης () =. Η είναι συνεχής στο Rµε τύπο () =, αν 0, αν < 0 Είναι () =, αν > 0, αν < 0 και 6, αν > 0 () = 6, αν < 0 Πρόσηµο της και κυρτότητα της Εκατέρωθεν του µηδενός, η δεν αλλάζει πρόσηµο, άρα η δεν παρουσιάζει καµπή στο o = 0. Άλλα σηµεία καµπής δεν υπάρχουν, αφού για 0 είναι () 0 Χωρίς να είναι απαραίτητο, εξηγούµε γιατί (0) = 0 () (0) 0 lim = lim = lim ( ) = () (0) 0 lim = lim = lim = 0 Άρα (0) = () (0) 0 lim = lim = lim ( ) = 0 () (0) 0 lim = lim = lim = 0 Άρα (0) =

6 6. 4 είξτε ότι η συνάρτηση () = + α όπου α R, δεν έχει σηµεία καµπής. + α α+ + (α + 7) 5α 5 Επειδή η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, οι θέσεις των σηµείων καµπής θα είναι ρίζες της 4 5 Είναι () = + α + α α+ + ( α + 7) () = 4 + 4α + α 4α + 5 Η διακρίνουσα του παραπάνω τριώνυµου είναι = 16α 16(α 4α + 5) = 16α + 64α 80 = = 16(α 4α + 5) Η διακρίνουσα του τριώνυµου α 4α + 5 είναι = 4 < 0 Οπότε α 4α + 5 > 0 δηλαδή < 0 Άρα η δεν έχει ρίζες Άρα η δεν έχει σηµεία καµπής

7 7 4. Έστω η συνάρτηση () = ( κ) 101 ( λ) 99 µε (κ, λ). είξτε ότι i) () = + () κ λ ii) Η συνάρτηση g() = ln () είναι κοίλη στο διάστηµα (κ, λ). i) () = 101( κ) 100 ( λ) 99 + ( κ) ( λ) 98 = ( κ) 100 ( λ) 98 [101( λ) + 99( κ)] Άρα () ( κ) ( λ) [101( λ ) + 99( κ)] = () ( κ) ( λ) = = 101( λ ) + 99( κ) ( κ)( λ) 101( λ) ( κ)( λ ) + 99( κ) ( κ)( λ) = + κ λ ii) κ> 0 κ < < λ λ< κ > ( ) 0 99 ( λ ) < 0 ( κ) 101 ( λ) 99 < 0 Εποµένως () < 0 και g() = ln[ ()] Άρα g () = [(ln ( ()) ] = 1 [ ()] ( ) = () 5 = + () κ λ 5 και g () = + < 0 για κάθε (κ, λ). ( κ) ( λ) Συνεπώς, η g είναι κοίλη στο διάστηµα (κ, λ).

8 8 5. Να δείξετε ότι η συνάρτηση () = οποίο και να βρείτε. 5 + Η είναι παραγωγίσιµη (άρα και συνεχής) στο R. () = συν και () = ηµ + ηµ έχει ένα µόνο σηµείο καµπής, το Μας ενδιαφέρει το πρόσηµο της και το επιχειρούµε µέσα από πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης, όταν γνωρίζουµε κάποια ρίζα. Παρατηρούµε ότι (0) = 0 Είναι () = συν Άρα γνησίως αύξουσα. = συν > 0 αφού 1 συν 0 Να θυµόµαστε αυτή τη µέθοδο Για κάθε < 0 γν. αύξ () < (0) = 0 κοίλη στο (, 0] Για κάθε > 0 γν. αύξ () > (0) = 0 κυρτή στο [0, + ) Και επειδή η είναι παραγωγίσιµη στο 0, το σηµείο (0, (0)) θα είναι σηµείο καµπής. Αλλά (0) = ηµ0 = 0, άρα το Ο(0, 0) είναι σηµείο καµπής. Επειδή εκατέρωθεν όλων των άλλων σηµείων του πεδίου ορισµού δεν αλλάζει η κυρτότητα, το Ο(0, 0) είναι το µοναδικό σηµείο καµπής.

9 9 6. Έστω η συνάρτηση () = + α β. Να βρείτε το α ώστε η C να έχει ένα σηµείο καµπής µε οριζόντια σ αυτό εφαπτοµένη. Για ποια τιµή του β το σηµείο αυτό είναι στον άξονα ; Η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη (άρα και συνεχής) στο R µε () = + α + 1 και () = 6 + α. Έστω Α( ο, ( ο )) σηµείο καµπής µε οριζόντια σ αυτό εφαπτοµένη ( ο ) = 0 και ( ο ) = 0 6 ο + α = 0 και o + α ο + 1 = 0 o + α ο + 1 = 0 και α = ο o 6 o + 1 = 0 και α = ο o + 1 = 0 και α = ο o = 4 και α = ο ( ο = ή ο = ) και α = ο Για ο = και α = ο = 6 είναι () = β Πρόσηµο της και κυρτότητα της () = () = Βλέπουµε ότι το o = είναι θέση σηµείου καµπής Το σηµείο καµπής είναι το Α(, 8 + β) Α 8 + β = 0 β = 8 Για ο = και α = ο = 6, µε τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουµε ότι το ο = είναι θέση σηµείου καµπής. Το σηµείο καµπής είναι το Α (, 8 + β) Α 8 + β = 0 β = 8

10 10 7. Να βρείτε τις τιµές του µ R, για τις οποίες η συνάρτηση () = 4 +µ είναι κοίλη στο R. () = 1 + 6µ (1) () = 6 + 1µ 6 = 1( µ + ) () = µ 4 = µ 6 Όταν < 0, δηλαδή όταν µ 6 < 0 δηλαδή όταν 6 < µ < 6 Τότε το τριώνυµο µ + είναι οµόσηµο του α = () (θετικό) για κάθε R () < 0 για κάθε R η είναι κοίλη στο R Όταν = 0, δηλαδή όταν µ 6 = 0 δηλαδή όταν µ = 6 ή µ = 6 α) Για µ = 6 Η () γίνεται () = 1( 6 + ) = 1. ( +1) = 6( 1 ) () Όταν = 0 φθάνουµε στη µονοτονία της Για κάθε (, 1), η () () < 0 γνησίως φθίνουσα στο (, 1] Για κάθε (1, + ), η () () < 0 γνησίως φθίνουσα στο [1, + ) Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο R η είναι κοίλη στο R β) Για µ = 6, οµοίως η είναι κοίλη στο R Όταν > 0, δηλαδή όταν µ 6 > 0 δηλαδή όταν µ < 6 ή µ > 6 Τότε το τριώνυµο µ + εναλλάσσει πρόσηµο εντός εκτός των ριζών η εναλλάσσει πρόσηµο στο R η δεν είναι κοίλη στο R. Τελικά, οι ζητούµενες τιµές του µ είναι µ [ 6, 6] ()

11 11 8. Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού έχει ένα και µόνο ένα σηµείο καµπής. Έστω () = α + β + γ + δ, R η πολυωνυµική συνάρτηση µε α 0, αφού είναι ου βαθµού. () = α + β + γ και () = 6α + β Ρίζες της : () = 0 6α + β = 0 6α = β β = α Πρόσηµο της : Για α > 0 () > 0 6α + β > 0 6α > β > β α β άρα κυρτή στο, α Οµοίως κοίλη στο, + β α Άρα η αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του ο = β α Για α < 0 Οµοίως Εποµένως το σηµείο Α( ο, ( ο )) είναι µοναδικό σηµείο καµπής.

12 1 9. ίνονται οι συναρτήσεις () = και g() = ln, > 0 i) Να δείξτε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή και η g είναι κοίλη. ii) Να βρείτε την εφαπτοµένη της C στο A(1, 1) και της C g στο B(1, 0) iii) Να δείξτε ότι και ln 1. Πότε ισχύουν οι ισότητες ; iν) Να αποδείξετε ότι η C είναι ψηλότερα από την C g. i) () = = g () = (ln) = 1 ii) ln e () = ( ln e ) e (ln) = ln = (ln +1) (1) () = ( ) (ln +1) + (ln +1) και g () = 1 ( ) (1 ) = (ln +1) (ln +1) + 1 = (ln +1) + -1 > 0 για κάθε > 0 Άρα η είναι κυρτή 1 = < 0 για κάθε > 0 Άρα η g είναι κοίλη H εφαπτοµένη της C στο A(1, 1) είναι : y (1) = (1)( 1) y 1 = 1 1 (ln1 +1) ( 1) y 1 = 1 y = H εφαπτοµένη της C g στο Β(1, 0) είναι : y g(1) = g (1)( 1) iii) y ln1 = 1 ( 1) 1 y = 1 κυρτή η C θα είναι ψηλότερα από την εφαπτοµένη της άρα µε το ίσον να ισχύει για = 1 ( τετµηµένη του σηµείου επαφής ) g κοίλη η C g θα είναι χαµηλότερα από την εφαπτοµένη της άρα ln 1 πάλι το ίσον ισχύει για = 1

13 1 iν) Στο (iii) αποδείξαµε ότι > 1 ln > ln () > g() η C είναι ψηλότερα από τη C g. 10. i) Να µελετήσετε τη συνάρτηση () = ln ως προς την µονοτονία και τα ii) ακρότατα Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = ln + ln + είναι κυρτή στο πεδίο ορισµού της iii) Να βρείτε την εφαπτοµένη της C g στο ο = 1 iν) Να δείξτε ότι + ln > 4 για κάθε > 1 i) H είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, + ) µε () = 1 1 = 1 Πρόσηµο της και µονοτονία της : Βλέπουµε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο για ο = 1 µε (1) = ln1 1 = 1 ii) Είναι D g = (0, + ) και g συνεχής Για κάθε (0, + ) είναι g () = ln (ln) + [ ln + (ln) ] + = ln 1 + ln = ln 1 + ln + + Από τι (i) έχουµε () (1) ln 1 g () = ln = 1 ln = (1 ln + + )

14 14 Οπότε g () > 0 στο (0, + ), iii) ln ln + > 0 άρα η g είναι κυρτή στο (0, + ) Η εφαπτοµένη στο ο = 1 είναι : y g(1) = g (1)( 1) (1) Αλλά g(1) = ln 1 + 1ln1 + 1 = και g (1) = ln1 1 + ln = 4 1 Η (1) γίνεται y + = 4( 1) y + = 4 4 y = 4 6 iν) Αφού η g είναι κυρτή, η Cg θα είναι ψηλότερα από την εφαπτοµένη στο ο = 1 Άρα ln + ln + > 4 6 ln + ln + > 4 ( + ln) > 4 ( και αφού > 1, οπότε 4 > 0 ) + ln > Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, για την οποία ισχύει ( ()) + 6( ()) = για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σηµεία καµπής και είναι κυρτή στο R. ( ()) + 6( ()) = [( ()) + 6( ())] = [ ] 6 ( ()) () + 6 () = ( ()) () + () = + 1 () [( ()) + 1] = () = > 0 για κάθε R. ( ( )) + 1 Άρα η είναι κυρτή στο R και κατά συνέπεια δεν έχει σηµείο καµπής, αφού δε µεταβάλλει κυρτότητα.

15 15 1. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε να ισχύει (()) + ()( 8) + = 0 για κάθε R. είξτε ότι η δεν έχει σηµείο καµπής. (() ) + ()( 8) + = 0 [ (()) + ()( 8) + ] = 0 () () + ()( 8) + () + = 0 [ () () + ()( 8) + () + ] = 0 ( ()) + () () + ()( 8) + () + () + = 0 (1) Έστω ότι η έχει σηµείο καµπής σε θέση o. Τότε ( ο ) = 0 () Η (1) για = o ( ( ο )) + ( ο ) ( ο ) + ( ο )( ο 8) + ( ο ) + = 0 ( ( ο )) + ( ο ) + = 0 ( ( ο )) + ( ο ) + 1 = 0 () Η διακρίνουσα του τριώνυµου είναι = 1 4 = < 0. Άρα η ισότητα () είναι άτοπο, οπότε η δεν έχει σηµείο καµπής. ( ) 1. Αν µια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R ισχύει () () = α 0, να αποδείξετε ότι η δεν έχει σηµεία καµπής. Έστω ότι κάποιο ο είναι θέση σηµείου καµπής. Τότε ( o ) = 0 (1) Από την υπόθεση () () = α [ () () ] = 0 () () + () () = 0 ( ()) + () () = 0 για κάθε R για = ο έχουµε ( ( ο )) + ( ο ) ( ο ) = 0 ( ( ο )) = 0 ( ο ) = 0 () Η υπόθεση () () = α για = ο γίνεται ( ο ) ( ο ) = α Συνεπώς η δεν έχει σηµείο καµπής. ( ) (1 ) 0 = α που είναι άτοπο

16 Αν η συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύουν (0) = 0 και () > 0 για κάθε R*, να δείξτε ότι η στρέφει τα κοίλα κάτω στο (, 0] και τα κοίλα πάνω στο [0, + ). () > 0 στο (, 0) γνησίως αύξουσα στο (, 0] Οπότε, για κάθε < 0 θα έχουµε () < (0) = 0 Άρα η στρέφει τα κοίλα κάτω στο (, 0] () > 0 στο (0, + ) γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Οπότε, για κάθε > 0 θα έχουµε () > (0) = 0 Άρα η στρέφει τα κοίλα πάνω στο [0, + ) 15. Συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Για συνάρτηση g ισχύει g() = [()] για κάθε R. Αν οι συναρτήσεις, g παρουσιάζουν καµπή στο ο, τότε να αποδείξετε ότι το σηµείο Α( ο, ( ο )) είναι κρίσιµο σηµείο της και το σηµείο Β( ο, g( ο )) είναι κρίσιµο σηµείο της g. Αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, θα είναι και η Από την υπόθεση g() = [()] [g()] = [[()] ], R. g () = () () (A) δηλαδή η g. g () = () () + () () g () = ( ()) + () () Για = ο έχουµε g ( ο ) = ( ( ο )) + ( ο ) ( ο ) (1) Επειδή οι, g παρουσιάζουν καµπή στο ο, θα είναι ( o ) = 0 = g ( o ) Οπότε η (1) 0 = ( ( ο )) 0 = ( ( ο )) 0 = ( ο ) το σηµείο Α( ο, ( ο )) είναι κρίσιµο σηµείο της. Η ισότητα (Α) για = o g ( o ) = ( o ) ( o ) g ( o ) = ( o ) 0 g ( o ) = 0 το σηµείο Β( ο, g( ο )) είναι κρίσιµο σηµείο της g.

17 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, ], τέτοια ώστε είξτε ότι () () + = 0 για κάθε [, ]. i) Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ο (, ), τότε ο = 0 ii) Η δεν έχει σηµεία καµπής. i) Αφού η παρουσιάζει ακρότατο στο ο (, ) και είναι παραγωγίσιµη σ αυτό, σύµφωνα µε το Θ. Fermat θα ισχύει ( ο ) = 0 (1) Η υπόθεση () () + = 0 ( () () + ) = 0 Η () για = ο δίνει ( ο ) ( ο ) ( ο ) + ο = 0 και λόγω της (1) ο = 0 ii) () ( () () () + ) = 0 ( () () () + ) = 0 ( () () () + ) = 0 () () + () () () + 1 = 0 ( ()) + () () () + 1 = 0 () () () () + = 0 () Αν η είχε σηµείο καµπής, έστω στη θέση 1, θα ήταν ( 1 ) = 0 (4) Η () για = 1 δίνει ( ( 1 )) + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + 1 = 0 και λόγω της (4) ( ( 1 )) + = 0, πράγµα άτοπο Άρα η δεν έχει σηµεία καµπής

18 ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη σε διάστηµα και τιµές στο διάστηµα (0, + ). Αν για κάθε ισχύει () () > [ ( )], να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = ln() είναι κυρτή στο. Αρκεί να αποδείξουµε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, ή ότι g () > 0 στο. ( ) Είναι g () = () = 1 ( ) ( ) Προσπαθούµε λοιπόν από την υπόθεση να δηµιουργήσουµε την () () > [ ( )] () () > () () () () () () > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 ( ) ( ) > 0 g () > 0 ( ) ( ) ( )

19 Έστω συνάρτηση τρεις φορές παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε () 0 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι : i) H έχει το πολύ ένα σηµείο καµπής ii) εν υπάρχει ευθεία που να εφάπτεται σε δύο σηµεία της C. i) ( ) ( ) Έστω ότι η έχει δύο σηµείο καµπής Α 1, ( 1), Β ( ),. Τότε ( 1) = ( ) = 0. Με το θεώρηµα Rolle στη συνάρτηση και στο διάστηµα ( 1, ) ή (, 1), θα υπάρχει ξ µεταξύ των 1, τέτοιο ώστε (ξ) = 0, που είναι άτοπο. ii) 4, 4 µε < 4 έχουµε ( ) ( ) Έστω ότι στα σηµεία Κ, ( ), Λ ( ) εφαπτόµενες ε, ε 4 της C που συµπίπτουν. Είναι ε : y ( ) = ( )( ) y = ( )( ) + ( ) y = ( ) ( ) + ( ) Οµοίως ε 4 : y = ( 4 ) 4 ( 4 ) + ( 4 ) ε ε 4 ( ) = ( 4 ) και ( ) + ( ) = 4 ( 4 ) + ( 4 ) ( ) = ( 4 ) και 4 ( 4 ) ( ) = ( 4 ) ( ) ( ) = ( 4 ) και 4 ( ) ( ) = ( 4 ) ( ) ( ) = ( 4 ) και ( 4 ) ( ) = ( 4 ) ( ) ( ) = ( 4 ) και ( ) = ( 4) ( ) 4 Με το θεώρηµα Μέσης Τιµής στη συνάρτηση και στο διάστηµα [, 4 ] θα ( 4) ( ) υπάρχει θ (, 4 ) τέτοιο ώστε (θ) = 4 Η (1) ( ) = ( 4 ) και ( ) = (θ) ( ) = (θ) = ( 4 ) Με το θεώρηµα Rolle στη συνάρτηση και στο διάστηµα [, θ] θα υπάρχει η1 (, θ) τέτοιο ώστε ( η 1 ) = 0. Με το θεώρηµα Rolle στη συνάρτηση και στο διάστηµα [θ, 4 ] θα υπάρχει η ( θ, 4 ) τέτοιο ώστε ( η ) = 0. Εποµένως ( η 1 ) = ( η ) Με το θεώρηµα Rolle στη συνάρτηση και στο διάστηµα [ η 1, η ] θα υπάρχει ρ ( η 1, η ) τέτοιο ώστε (ρ) = 0, που είναι άτοπο. (1)