ÈÅÌÁ 1: Ó åäéüóôå Ýíá áíáëïãéêü áíùðåñáôü ößëôñï Butterworth ôüîçò L = 3 êáé óõ íüôçôáò áðïêïðþò 3 db Ω c = 2. Ðñïôåßíåôå áíáëïãéêü êýêëùìá ðïõ íá åßíáé óå èýóç íá õëïðïéþóåé ôï ößëôñï áõôü. Ëýóç: Åöáñìüæïõìå ôç èåùñßá ôïõ Åäáößïõ 7.3.1 ìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò s = 1 s. Óýìöùíá ìå ôïí åí ëüãù ìåôáó çìáôéóìü ç óõ íüôçôáò áðïêïðþò 3 db Ω c ìåôáó çìáôßæåôáé óôçí Ω c = 1 Ω c. Ôï êáôùðåñáôü ößëôñï Butterworth ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò Ω c äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (âëýðå Óåëßäá 126) H κ (s (Ω ) = c) 3 (s + Ω c)((s ) 2 + Ω cs + (Ω c) 2 ). ÊÜíïíôáò áíôéêáôüóôáóç s 1 s êáé Ω c 1 Ω c âñßóêïõìå ôï ôåëéêü áíùðåñáôü ößëôñï ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï s 3 H(s) = (s + Ω c )(s 2 + Ω c s + Ωc 2 ). Ôï áíáëïãéêü êýêëùìá ðïõ ìðïñåß íá õëïðïéþóåé ôï ùò Üíù ößëôñï âñßóêåôáé óôç Óåëßäá 141, Ó Þìá 7.17 êáé üðïõ ôá Z i (s) èá åßíáé ðçíßá êáé èá ñåéáóôïýìå ôñåéò âáèìßäåò. ÈÅÌÁ 2: óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá øçöéáêü IIR ößëôñï Chebyshev 1ïõ ôýðïõ, áðïêïðþò æþíçò, ìå ôç ìýèïäï ôïõ äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý. Ïé ðñïäéáãñáöýò ôïõ ößëôñïõ åßíáé: æþíç áðïêïðþò [ π π 3 2 ], æþíåò äéüâáóçò [0 0.9 π 3 ] êáé [1.1 π 2 π] êáé δ p = δ s = 0.001. ÁíáöÝñåôå ôïõò ìåôáó çìáôéóìïýò ðïõ èá ñåéáóôåß íá åöáñìüóåôå, ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ ôåëéêïý êáôùðåñáôïý ößëôñïõ ðïõ ïõóéáóôéêü èá ó åäéüóåôå êáèþò êáé ôï ôñüðï åðéëïãþò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ ößëôñïõ áõôïý. Ìçí õðïëïãßóåôå ôïõò óõíôåëåóôýò ôïõ ößëôñïõ!!!. Ëýóç: Êáô' áñ Üò èá ðñýðåé íá ìåôáôñýøïõìå ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ øçöéáêïý ößëôñïõ óôéò áíôßóôïé åò åíüò áíáëïãéêïý ößëôñïõ áðïêïðþò æþíçò ñçóéìïðïéþíôáò ôç ó Ýóç Ω = tan ω 2. Åöáñìüæïíôáò, Ý ïõìå üôé Ω p1 = tan(0.9 π 6 ) = 0.5095, Ω s 1 = tan( π 6 ) = 0.5774, Ω s 2 = tan( π 4 ) = 1 êáé Ω p2 = tan(1.1 π 4 ) = 1.1708. Óôç óõíý åéá èá åöáñìüóïõìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò ãéá íá ìåôáó çìáôßóïõìå ôï ößëôñï áðïêïðþò æþíçò óå Ýíá êáôùðåñáôü ößëôñï. Ï ìåôáó çìáôéóìüò åßíáé ï s s = ðïõ óôç Ω0 2+s2 óõ íüôçôá áíôéóôïé åß óå Ω Ω =. ÅðéëÝãïõìå Ω Ω0 2 0 = Ω Ω2 s1 Ω s2 = 0.7599 ðñïêåéìýíïõ íá áðåéêïíßóïõìå áêñéâþò ôéò æþíåò áðïêïðþò áöïý áõôýò ìáò åíäéáöýñïõí ðåñéóóüôåñï óôçí ðåñßðôùóç áõôþ. Ìå åöáñìïãþ ôïõ ðáñáðüíù ìåôáó çìáôéóìïý ïé ôýóóåñéò óõ íüôçôåò ôïõ ößëôñïõ áðïêïðþò æþíçò 0.5095, 0.5774, 1, 1.1708 ìåôáó çìáôßæïíôáé óôéò åîþò óõ íüôçôåò ãéá ôï ôåëéêü êáôùðåñáôü ößëôñï: 1.6032, 2.3663, -2.3663, -1.4757. ÅÜí ôïðïèåôþóïõìå ôéò ðñïçãïýìåíåò óõ íüôçôåò êáôü áýîïõóá óåéñü ôüôå Ý ïõìå -2.3663, -1.4757, 1.6032, 2.3663. Ðáñáôçñïýìå üôé ïé óõ íüôçôåò áðïêïðþò -2.3663, 2.3663 áðåéêïíßæïíôáé óõììåôñéêü, äåí óõìâáßíåé üìùò ôï ßäéï ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôùí óõ íïôþôùí äéüâáóçò -1.4757, 1.6032. ÅðåéäÞ ôï êáôùðåñáôü ößëôñï åßíáé óõììåôñéêü èá ðñýðåé ìéá áðü ôéò äýï áõôýò óõ íüôçôåò íá áëëüîåé þóôå íá Ý ïõìå óõììåôñßá. ÅÜí åðéëýîïõìå ôéò -2.3663, -1.4757, 1.4757, 2.3663 ôüôå áõôýò åßíáé åéêüíåò ôùí 1, Ω 1.1708, 0.4932, 0.5774 (ðñïýñ ïíôáé áðü ëýóç ôçò åîßóùóçò = Ω ùò ðñïò Ω) ôéò ïðïßåò åüí Ωo 2 ôïðïèåôþóïõìå óå áýîïõóá óåéñü êáôáëþãïõìå 0.4932, 0.5774, Ω2 1, 1.1708. Ðáñáôçñïýìå üôé ìå ôçí åðéëïãþ áõôþ ÄÅÍ éêáíïðïéïýíôáé ïé ðñïäéáãñáöýò áöïý Ý ïõìå ìåéþóåé ôçí ðñþôç æþíç äéüâáóçò áðü [0,0.5095] óå [0,0.4932]. ÅÜí åðéëýîïõìå -2.3663, -1.6032, 1.6032, 2.3663 ôüôå ïé óõ íüôçôåò áõôýò åßíáé åéêüíåò ôùí 1, 1.1333, 0.5095, 0.5774 ïé ïðïßåò áí ôïðïèåôçèïýí óå áýîïõóá óåéñü êáôáëþãïõí 0.5095, 0.5774, 1, 1.1333. Ðáñáôçñïýìå üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éêáíïðïéïýíôáé ïé ðñïäéáãñáöýò áöïý Ý ïõìå áðëþò ìåéþóåé ôç æþíç ìåôüâáóçò (1, 1.1708) óå (1, 1.1333). Óõíïøßæïíôáò, ãéá ôï êáôùðåñáôü ößëôñï Ý ïõìå æþíç äéüâáóçò [0,1.6032], æþíç ìåôüâáóçò (1.6032,2.3663) êáé æþíç áðïêïðþò (2.3663, ). ïíôáò ðñïóäéïñßóåé ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ êáôùðåñáôïý ößëôñïõ Chebyshev èá ðñýðåé íá åðéëý- 1
îïõìå ôéò ðáñáìýôñïõò ɛ, L, Ω c. ïõìå üôé Ω c = Ω p = 1.6032. Ïé ðáñüìåôñïé ɛ êáé L õðïëïãßæïíôáé âüóåé ôùí ôýðùí (7.10) êáé (7.11) óôéò Óåëßäåò 130, 131 êáé Ý ïõìå üôé ɛ = 0.0448, L = 11. Áöïý ó åäéüóïõìå ôï êáôùðåñáôü ößëôñï H κ (s ) åöáñìüæïõìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò s = s Ω 2 0 +s2, ãéá íá âñïýìå ôï áíáëïãéêü ößëôñï áðïêïðþò æþíçò êáé ôýëïò äéãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü s = 1 z 1 1+z 1 ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ôåëéêïý øçöéáêïý ößëôñïõ. ÈÅÌÁ 3: óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá øçöéáêü IIR ößëôñï Butterworth áðïêïðþò æþíçò ìå ôç ìýèïäï ôïõ äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý. Ïé ðñïäéáãñáöýò ôïõ ößëôñïõ åßíáé [0 ω p1 ], [ω p2 π] ïé äýï æþíåò äéüâáóçò ìå áíôßóôïé á åðéôñåðôü óöüëìáôá δ p1, δ p2 êáé [ω s1 ω s2 ] ç æþíç áðïêïðþò ìå åðéôñåðôü óöüëìá δ s, üðïõ ω p1 < ω s1 < ω s2 < ω p2. ÐåñéãñÜøôå ôïõò ìåôáó çìáôéóìïýò ôïõò ïðïßïõò èá ñçóéìïðïéþóåôå ðñïêåéìýíïõ íá êáôáëþîåôå óôï åðéèõìçôü ößëôñï. Íá åßóáóôå éäéáßôåñá ðñïóåêôéêïß óôï óçìåßï ôçò áíôéóôïß éóçò ôùí æùíþí áðü æùíïðåñáôü óå êáôùðåñáôü êáèþò êáé ôçò áíôéóôïß éóçò ôùí ìýãéóôùí åðéôñåðôþí óöáëìüôùí. Äßíåôáé üôé ï ìåôáó çìáôéóìüò óõ íüôçôáò óôïí áíáëïãéêü êüóìï áðü áðïêïðþò æþíçò óå êáôùðåñáôü åßíáé: s = s s 2 +Ω 2 0 â) óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá ðïëõðåñáôü ößëôñï ìå æþíåò äéüâáóçò [0 ω p0 ] êáé [ω p1 ω p2 ]. Ïëïêëçñþóôå ôïí ïñéóìü ôùí ðñïäéáãñáöþí êáé åîçãåßóôå ìå ðïéï ôñüðï èá ó åäéüóåôå ôï ößëôñï áõôü ñçóéìïðïéþíôáò ôç ìýèïäï ôùí ìåôáó çìáôéóìþí. Íá åßóáóôå éäéáßôåñá ðñïóåêôéêïß óôï èýìá ôùí ìýãéóôùí áðïäåêôþí óöáëìüôùí áíü ößëôñï ðïõ èá ó åäéüóåôå. Ëýóç: Ôï á) åßíáé ãíùóôü áðü ôç èåùñßá. â) Ãéá ôï äåýôåñï åñþôçìá èá ó åäéüóïõìå ôï ðïëõðåñáôü ößëôñï óõíäõüæïíôáò Ýíá êáôùðåñáôü ðáñüëëçëá ìå Ýíá æùíïðåñáôü. ÅðåéäÞ óôéò æþíåò áðïêïðþò èá áèñïßæïíôáé ôá óöüëìáôá ðñïóýããéóçò êáé ôùí äýï ößëôñùí èá ðñýðåé íá öñïíôßóïõìå þóôå ôï ìýãéóôï åðéôñåðôü óöüëìá óå êüèå ößëôñï íá åßíáé ôï ìéóü ôïõ ìýãéóôïõ åðéôñåðôïý óöüëìáôïò óôç æþíç áðïêïðþò. Óôéò æþíåò äéüâáóçò áðü ôçí Üëëç ðëåõñü èá óõíäõüæåôáé ôï óöüëìá ôùí æùíþí äéüâáóçò êüèå ößëôñïõ ìå ôï óöüëìá ôçò æþíçò áðïêïðþò ôïõ Üëëïõ ößëôñïõ. ÅðïìÝíùò êáé óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ðñýðåé íá öñïíôßóïõìå þóôå ôï åí ëüãù Üèñïéóìá íá ìçí õðåñâáßíåé ôï ìýãéóôï åðéôñåðôü óöüëìá. ÈÅÌÁ 4: óôù ðåñéïäéêü óþìá x α (t) ìå ðåñßïäï 1 ôï ïðïßï óôçí ðñþôç ðåñßïäï ïñßæåôáé ùò åîþò: { 1 0 t< 0.5 x α (t) = 1 0.5 t< 1. Ôï áíáëïãéêü óþìá äåéãìáôïëçðôåßôáé ìå ðåñßïäï T s = 0.25 êáé óôï øçöéáêü óþìá åöáñìüæåôáé Ýíá éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò 0.3π. Âñåßôå ôé ìïñöþ èá Ý åé ôï óþìá åîüäïõ. Õðüäåéîç: Ãéá åõêïëßá ðñþôá áíáëýóôå óå óåéñü Fourier ôï ðåñéïäéêü óþìá êáé ìåôü äåéãìáôïëçðôåßóôå êüèå üñï ôçò óåéñüò êáé åöáñìüóôå ôï êáôùðåñáôü ößëôñï. Ëýóç: Áíáëýïõìå ôï óþìá óå óåéñü Fourier x α (t) = k= a k e j2πkt, üðïõ a k = 1 0 x α (t)e j2πkt dt = j 1 ( 1)k. πk Ðáñáôçñïýìå üôé ôï óþìá Ý åé ôçí âáóéêþ óõ íüôçôá f 0 = 1 êáé ôéò áñìïíéêýò f k = k. ÅÜí äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå f s = 1/T s = 4 ôüôå ïé óõ íüôçôåò ãßíïíôáé λ k = k/4 ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìýò λ k = áêýñáéïò + 0 Þ 1 4 Þ 1 2 Þ 3 4 êáé ïé ïðïßåò áíáäéðëþíïíôáé óôéò 0, 1 4, 1 2, 1 4. Ìå Üëëá ëüãéá ìåôü ôç äåéãìáôïëçøßá ôï óþìá èá Ý åé ôñåéò ìüíï óõ íüôçôåò 0, 1 4, 1 2. ÌåôÜ áðü ôï öéëôñüñéóìá èá áèïýí ïé 1 4, 1 2 (áöïý óå êõêëéêýò áíôéóôïé ïýí óôéò π 2, π). ÅðïìÝíùò ç Ýîïäïò ôïõ ößëôñïõ èá åßíáé ç ìçäåíéêþ óõ íüôçôá, äçëáäþ ìéá óôáèåñü. Ç óôáèåñþ óõ íüôçôá üìùò ðñïýñ åôáé áðü ôéò áñìïíéêýò ôçò ìïñöþò f k = k = 4m ç åíýñãåéá ôùí ïðïßùí åßíáé a 4m = 0. ÄçëáäÞ ïé áñìïíéêýò ôéò 2
ìïñöþò f k = k = 4m äåí Ý ïõí êáèüëïõ åíýñãåéá, óõíåðþò ç óôáèåñü ðïõ èá ðüñïõìå óôçí Ýîïäï ôïõ ößëôñïõ èá åßíáé ìçäýí. ÈÅÌÁ 5: Äßíåôáé ôï ðáñáêüôù óõ íïôéêü ðåñéå üìåíï åíüò áíáëïãéêïý óþìáôïò ðåðåñáóìýíïõ åýñïõò æþíçò. Áí ç ðëçñïöïñßá ðïõ ìáò åíäéáöýñåé åßíáé óôï óõ íïôéêü äéüóôçìá [0 5KHz] âñåßôå 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 7.5 5 2.5 0 2.5 5 7.5 10 KHz ðïéá åßíáé ç ìéêñüôåñç äõíáôþ óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò ðïõ ìðïñåßôå íá ñçóéìïðïéþóåôå þóôå íá ìçí áëëïéùèåß ç ðëçñïöïñßá. Ìå âüóç ôçí óõ íüôçôá áõôþ êáèïñßóôå ôéò ðñïäéáãñáöýò åíüò øçöéáêïý ößëôñïõ ôï ïðïßï íá áðïêáèéóôü ôï óþìá ðëçñïöïñßáò. Ëýóç: Ãíùñßæïõìå üôé üôáí äåéãìáôïëçðôïýìå ìå óõ íüôçôá f s, ü,ôé åíýñãåéá õðüñ åé óå óõ íüôçôåò ìåãáëýôåñåò ôïõ f s /2 áíáäéðëþíåôáé êáé åìöáíßæåôáé óôçí ðåñéï Þ óõ íïôþôùí [0, f s /2] áëëïéþíïíôáò ôï áíôßóôïé ï óõ íïôéêü ðåñéå üìåíï. Óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá Nyquist, èá ìðïñïýóáìå íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå óõ íüôçôá f s 2 7.5 = 15 ãåãïíüò ðïõ èá Üöçíå áíáëëïßùôï ïëüêëçñï ôï óþìá ìáò. Ìðïñïýìå üìùò íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå êáé ìå ìéêñüôåñç óõ íüôçôá. Ðáñáôçñïýìå üôé åüí ñçóéìïðïéþóïõìå f s = (5 + 7.5) = 12.5 ôüôå èá áíáäéðëùèïýí ïé óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [12.5/2,7.5] êáé èá ìåôáöåñèïýí óôï äéüóôçìá [5,12.5/2], ìå áðïôýëåóìá íá áëëüîïõí ôï ðåñéå üìåíï ìüíï ôïõ èïñýâïõ åíþ ç ðëçñïöïñßá ðáñáìýíåé áíýðáöç. ÅÜí ëïéðüí ñçóéìïðïéþóïõìå f s = 12.5 ôüôå óôï äåéãìáôïëçðôçìýíï óþìá ç óõ íüôçôá f s /2 = 6.25 áíôéóôïé ßæåôáé óôï π ìå áðïôýëåóìá ç 5 íá áíôéóôïé ßæåôáé óôï π5/6.25. Óõíåðþò ôï éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ðïõ ðñýðåé íá ó åäéüóïõìå Ý åé óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π5/6.25 êáé åßíáé óå èýóç íá áðïìáêñýíåé åíôåëþò ôï èüñõâï. ÈÅÌÁ 6: óôù üôé óáò äéáôßèåôáé Ýíá áíáëïãéêü óþìá x α (t) ôï ïðïßï ðåñéý åé óþìá öùíþò ìå èüñõâï. Óáò äéáôßèåôáé åðßóçò êáé Ýíáò ìåôáôñïðýáò áíáëïãéêïý óå øçöéáêü ï ïðïßïò Ý åé ìýãéóôç óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò 20KHz. Ôé Üëëá óôïé åßá èá ñåéáóôåßôå êáé ìå ðïéåò ðñïäéáãñáöýò, ðñïêåéìýíïõ íá öéëôñüñåôå øçöéáêü ôï åðéèõìçôü óþìá öùíþò êáé ìåôü íá ôï áêïýóåôå; ÁÉÔÉÏËÏÃÅÉÓÔÅ. Ëýóç: Áöïý åðéèõìïýìå íá áêïýóïõìå ôï åðåîåñãáóìýíï øçöéáêü óþìá áõôü óçìáßíåé üôé èá áðáéôçèåß íá ãßíåé áíáêáôáóêåõþ. Ãéá êáëýôåñç ðïéüôçôá áíáêáôáóêåõþò ùò ãíùóôüí ðñýðåé íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå ôç ìýãéóôç äõíáôþ óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò, äçëáäþ 20KHz. Áöïý ç óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò èá åßíáé 20KHz áõôü óçìáßíåé üôé èá õðüñîåé áíáäßðëùóç ôùí óõ íïôþôùí ðüíù áðü 10KHz. Ôï óþìá öùíþò ùò ãíùóôüí Ý åé óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [0 5KHz], åðïìýíùò üëåò ïé Üëëåò óõ íüôçôåò åßíáé èüñõâïò. Èá ðñýðåé åðïìýíùò ôéò óõ íüôçôåò ðüíù áðü 10KHz íá ôéò öéëôñüñïõìå ìå Ýíá áíáëïãéêü êáôùðåñáôü ößëôñï áíôéáíáäßðëùóçò. Ôï ößëôñï áõôü èá Ý åé ôéò åîþò ðñïäéáãñáöýò: æþíç äéüâáóçò [0 5KHz], æþíç áðïêïðþò [10KHz ) êáé æþíç ìåôüâáóçò [5KHz 10KHz]. Èá ìðïñïýóáìå åíáëëáêôéêü íá åðéôñýøïõìå áíáäßðëùóç óôç æþíç 3
èïñýâïõ ïðüôå ôï áíôßóôïé ï áíáëïãéêü ößëôñï èá åß å ôçí ßäéá æþíç äéüâáóçò áëëü æþíç áðïêïðþò ôçí [15KHz ). Ç äåýôåñç ðåñßðôùóç Ý åé ìåãáëýôåñç æþíç ìåôüâáóçò (äçëáäþ [5KHz 15KHz]), åðïìýíùò èá áðáéôåß ìéêñüôåñç åí ãýíåé ôüîç áíáëïãéêïý ößëôñïõ. ÌåôÜ ôï áíáëïãéêü öéëôñüñéóìá äåéãìáôïëçðôïýìå, ôï øçöéáêü óþìá ðïõ èá ðñïêýøåé èá Ý åé óþìá ðëçñïöïñßáò (öùíþ) óôç æþíç [0 5 5 10π], åíþ óôéò óõ íüôçôåò [ 10π π] èüñõâï (ðïõ èá ðåñüóåé ëüãù ôçò æþíçò ìåôüâáóçò ôïõ áíáëïãéêïý ößëôñïõ). Ôïí èüñõâï áõôü èá áðïìáêñýíïõìå ìå Ýíá øçöéáêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π 2. Ãéá ôï óêïðü áõôü ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå FIR Þ IIR ößëôñï áöïý äåí ìáò åßíáé áðáñáßôçôç ç ãñáììéêþ öüóç. Ôï øçöéáêü ößëôñï èá åßíáé ðïëý ðéï áðüôïìï (ìéêñüôåñç æþíç ìåôüâáóçò) áðü üôé ôï áíáëïãéêü, áñêåß íá åðéëýîïõìå áñêåôü ìåãüëç ôüîç Þ ìþêïò, êáé èá áðïìáêñýíåé äß ùò ðñüâëçìá ôï èüñõâï ðïõ Üöçóå íá ðåñüóåé ôï áíáëïãéêü. ÌåôÜ ôçí øçöéáêþ åðåîåñãáóßá èá áðáéôçèåß Ýíáò ìåôáôñïðýáò øçöéáêïý óå áíáëïãéêü (ÌØÁ) êáé êáôüðéí Ýíá áíáëïãéêü êáôùðåñáôü ößëôñï áíáêáôáóêåõþò ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò 5KHz ôï ïðïßï èá åîïìáëýíåé ôï êëéìáêùôü áíáëïãéêü óþìá ôïõ ÌØÁ. ÈÅÌÁ 7: Äßíåôáé ç óõíüñôçóç D(e jω ) = { jω π 2 ω π 2 0 áëëïý Âñåßôå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïóäéïñßæåé ôïõò âýëôéóôïõò óõíôåëåóôýò êáôü ôçí Ýííïéá ôïõ ìýóïõ ôåôñáãùíéêïý óöüëìáôïò åíüò FIR ößëôñïõ ãñáììéêþò öüóçò ôçò ìïñöþò h N, h N 1,..., h 2, h 1, 0, h 1, h 2,..., h N 1, h N. Õðüäåéîç: Ôç ãñáììéêþ öüóç äåí ôçí ðáßñíïõìå õðüøç óôçí ðñïóýããéóç ôçò óõíüñôçóçò. Ëýóç: Ç áðüêñéóç óõ íüôçôáò åíüò ößëôñïõ ôçò ìïñöþò ôïõ ðñïâëþìáôïò åßíáé: H(e jω ) = h N +h N 1 e jω + +h 1 e j(n 1)ω h 1 e j(n+1)ω h N 1 e j(2n 1)ω h N e j(2n)ω. ÂãÜæïõìå êïéíü ðáñüãùíôá ôçí ðïóüôçôá e jnω êáé ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóüôçôá e jx e jx = j2 sin x, ïðüôå êáôáëþãïõìå } H(e jω ) = je jnω {2h 1 sin ω + + 2h N sin Nω. Óõãêñßíïíôáò ôçí H(e jω ) ìå ôçí D(e jω ) êáé ìç ëáìâüíïíôáò õðüøç ôç ãñáììéêþ öüóç e jnω äéáðéóôþíïõìå üôé ðñýðåé íá ðñïóåããßóïõìå ôç óõíüñôçóç { D i (e jω ω π ) = 2 ω π 2 0 áëëïý, ìå ôçí R(e jω ) = 2h 1 sin ω + + 2h N sin Nω. Åöáñìüæïíôáò åëü éóôá ôåôñüãùíá åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóïõìå üôé ïé âýëôéóôïé óõíôåëåóôýò åßíáé ðüëé ïé üñïé ôçò óåéñüò Fourier äçëáäþ π π h n = D i(e jω ) sin nωdω π π 2 = 1 π 2 ω sin nωdω = 1 { π cos(nπ/2) + 2n } sin2 nωdω 2π π 2πn sin(nπ/2). 2 ÈÅÌÁ 8: óôù ç Üðåéñç áêïëïõèßá x 0, x 1, x 2,... ôçí ïðïßá èýëïõìå íá öéëôñüñïõìå ìå ôç âïþèåéá åíüò ãñáììéêïý ñïíéêü óôáèåñïý ößëôñïõ. 4
á) ÅÜí ôï ößëôñï ðïõ ñçóéìïðïéïýìå åßíáé ðåðåñáóìýíçò êñïõóôéêþ áðüêñéóçò ãñüøôå ðïéá åßíáé ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôçí Ýîïäï ìå ôçí åßóïäï êáé ôçí êñïõóôéêþ áðüêñéóç ãéá n N üðïõ N ôï ìþêïò ôçò êñïõóôéêþò áðüêñéóçò. â) ÅÜí óôï ðáñáðüíù ößëôñï åöáñìüóïõìå ôç ìýèïäï åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò, ðïéá åßíáé ôá õðýñ ôçò ìåèüäïõ áõôþò ãéá õðïëïãéóìü ôçò óõíýëéîç óå óýãêñéóç ìå ôç ó Ýóç ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åñùôþìáôïò; ã) ÅÜí áíôß ãéá ðåðåñáóìýíçò êñïõóôéêþò áðüêñéóçò ößëôñï åß áìå Ýíá IIR (üðïõ ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò åßíáé ëüãïò ðïëõùíýìùí) ãñüøôå ôç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôçí åßóïäï ìå ôçí Ýîïäï (êáé áðáéôåß ðåðåñáóìýíï áñéèìü ðñüîåùí ãéá ôïí õðïëïãéóìü êüèå äåßãìáôïò åîüäïõ!). ä) Óôï ðñïçãïýìåíï åñþôçìá ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí ìýèïäï åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí Ýîïäï; ÁÉÔÉÏËÏÃÅÉÓÔÅ ÊÁÈÅ ÁÐÁÍÔÇÓÇ!!! Ëýóç: á) Ç Ýîïäïò åßíáé ç óõíýëéîç ôçò åéóüäïõ ìå ôçí êñïõóôéêþ áðüêñéóç åðïìýíùò y n = k= h k x n k áöïý ç êñïõóôéêþ áðüêñéóç Ý åé üñïõò h 0, h 1,..., h N 1 ôï ðáñáðüíù Üèñïéóìá ãßíåôáé ãéá n N y n = h 0 x n + h 1 x n 1 + + h N 1 x n N+1. â) Ç ìýèïäïò åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò õðïëïãßæåé ãéá êüèå ìðëïê N äåéãìüôùí åéóüäïõ N åîüäïõò ìå óõíïëéêþ ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò N log N. Áõôü óçìáßíåé üôé áíü äåßãìá åîüäïõ ç ðïëõðëïêüôçôá åßíáé ôüîçò log N. Ç ðáñáðüíù ó Ýóç áðáéôåß ôüîçò N ðñüîåéò áíü äåßãìá åîüäïõ ðïõ åßíáé óçìáíôéêü ìåãáëýôåñç áðü áõôþí ôçò overlap and add. ã) Áí ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò åßíáé ôüôå ç ó Ýóç åéóüäïõ-åîüäïõ ùò ãíùóôüí åßíáé H(z) = b 0 + b 1 z 1 + + b k z k 1 + a 1 z 1 + + a N z N y n = a 1 y n 1 a N y n N + b 0 x n + + b k x n k. ä) Ç åðéêüëõøç êáé Üèñïéóç ñçóéìïðïéåß N åéóüäïõò ãéá íá õðïëïãßóåé óõã ñüíùò üëåò ôéò N åîüäïõò. Ùóôüóï áðü ôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ðáñáôçñïýìå üôé ãéá íá õðïëïãéóôåß ìéá Ýîïäïò êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ n ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôýò ïé Ýîïäïé ôùí N ðñïçãïýìåíùí ñïíéêþí óôéãìþí. ÅðïìÝíùò äåí ìðïñåß íá åöáñìïóôåß ç ìýèïäïò. ÈÅÌÁ 9: Ìå ñþóç äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý ó åäéüóôå Ýíá øçöéáêü ÁÍÙÐÅÑÁÔÏ ößëôñï Butterworth ôüîçò ôñßá (3), ôï ïðïßï íá Ý åé óõ íüôçôá áðïêïðþò 3db ω c = π 2. ÕëïðïéÞóôå ôç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò ðïõ âñþêáôå ñçóéìïðïéþíôáò ôï ìéêñüôåñï äõíáôü áñéèìü êáèõóôåñçôþí. Ëýóç: Êáô' áñ Üò ìåôáôñýðïõìå ôéò øçöéáêýò ðñïäéáãñáöýò óå áíáëïãéêýò ìå ôï ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò Ω = tan(ω/2). Ïðüôå Ω c = tan(π/2) = 1. Êáôüðéí ìåôáôñýðïõìå ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ áíùðåñáôïý óå ðñïäéáãñáöýò ôïõ êáôùðåñáôïý. Ç óõ íüôçôá áðïêïðþò 3db ôïõ êáôùðåñáôïý èá åßíáé Ω c = 1/Ω c = 1. Óôç óõíý åéá ó åäéüæïõìå ôï êáôùðåñáôü Butterworth ôüîçò 3. Áðü ôï âéâëßï Ý ïõìå üôé H 3 (s ) = 1 (s + Ω c)(s 2 + Ω cs + (Ω c) 2 ) = 1 (s + 1)(s 2 + s + 1). 5
Óôç óõíý åéá êüíïõìå ôçí áíôéêáôüóôáóç s 1 s êáé ôï áíáëïãéêü áíùðåñáôü ößëôñï ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ôï H 3(s) s 3 = H 3 (1/s) = (s + 1)(s 2 + s + 1). ÔÝëïò åöáñìüæïõìå äéãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü s = 1 z 1 1 + z 1 ãéá íá ìåôáôñýøïõìå ôï áíáëïãéêü óå øçöéáêü ößëôñï. ÌåôÜ áðü áíôéêáôüóôáóç ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý ôï øçöéáêü ößëôñï ãñüöåôáé óáí ôï ïðïßï õëïðïéåßôáé üðùò óôï ðáñáêüôù ó Þìá H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + + y + n b 0 b 1 b 2 b 3 x n + z 1 z 1 z 1 a 1 a 2 a 3 + + ÈÅÌÁ 10: á) Ó åäéüóôå Ýíá FIR ößëôñï ãñáììéêþò öüóçò ìå ôç âïþèåéá ôåôñáãùíéêïý ðáñáèýñïõ. Ôï ößëôñï íá åßíáé ìþêïõò 5 êáé íá ðñïóåããßæåé Ýíá éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π/3. â) Åóôù üôé Ý åôå Ýíá áíáëïãéêü çìéôïíéêü óþìá ìå óõ íüôçôá Ω = 2πf êáé ôï äåéãìáôïëçðôåßôå ìå óõ íüôçôá f s = 1. Ôï øçöéáêü óþìá ðïõ ðñïêýðôåé ôï åðåîåñãüæåóôå ìå ôï éäáíéêü ößëôñï ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åñùôþìáôïò. Âñåßôå ðïéá èá åßíáé ç áðüêñéóç óõ íüôçôáò ôïõ ößëôñïõ óáò ãéá üëåò ôéò ôéìýò ôçò óõ íüôçôáò f. Ëýóç: á) ÅÜí α 2, α 1, α 0, α 1, α 2 ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ößëôñïõ, ôüôå Ý ïõìå üôé α k = 1 π D(e jω )e jkω dω = 1 π/3 2π π 2π π/3 Ïðüôå α 0 = 1/3, α 1 = 3/2π, α 2 = 3/4π. e jkω dω = sin(kπ/3), k 0. α 0 = 1/3. kπ â) Ãíùñßæïõìå üôé ôï ößëôñï ðåñíüåé øçöéáêýò êõêëéêýò óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [ π/3, π/3] êáé êüâåé ôéò óõ íüôçôåò [ π, π/3] [π/3, π]. Ïé óõ íüôçôåò áõôýò ðñýðåé íá äïýìå óå ðïéåò áíáëïãéêýò óõ íüôçôåò áíôéóôïé ïýí. Ãíùñßæïõìå üôé ç π áíôéóôïé åß óôçí f s /2 = 0.5, óõíåðþò ç π/3 áíôéóôïé åß óôçí (f s /2)/3 = 1/6. Óõìðåñáßíïõìå åðïìýíùò üôé ãéá ôéò áíáëïãéêýò óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [ f s /2, f s /2] = [ 0.5, 0.5] Ý ïõìå ôá åîþò: ïé óõ íüôçôåò óôï [ 1/6, 1/6] Ý ïõí áðüêñéóç óõ íüôçôáò 1 (ðåñíïýí), åíþ ïé óõ íüôçôåò óôá äéáóôþìáôá [ 0.5, 1/6] [1/6, 0.5] Ý ïõí áðüêñéóç 0 (êüâïíôáé). Ãéá üëåò ôéò õðüëïéðåò óõ íüôçôåò Ý ïõìå ðåñéïäéêþ åðáíüëçøç (ìå ðåñßïäï f s = 1) ôçò åí ëüãù óõìðåñéöïñüò ëüãù áíáäßðëùóçò ôçò óõ íüôçôáò. Ð.. óôï äéüóôçìá óõ íïôþôùí [0.5, 1.5] åðáíáëáìâüíåôáé áõôü ôï ïðïßï óõìâáßíåé óôï äéüóôçìá [ 0.5, 0.5] ê.ë.ð. 6