Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής. Πρόκειται για μία καμπύλη η οποία συναντάται συχνά στη Φύση, όπως σε τροχιές σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας. Επίσης, η επίλυση μίας εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι η αναζήτηση των ριζών μίας παραβολής. Εξίσωση Παραβολής Όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον xx και κορυφή το (0,0) η εξίσωσή της είναι: Με εστία και διευθετούσα τη κατακόρυφη ευθεία Όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον yy και κορυφή το (0,0) η εξίσωσή της είναι: Με εστία και διευθετούσα την οριζόντια ευθεία Το μικρό γράμμα ρ ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και δηλώνει, κατά απόλυτη τιμή, την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα της παραβολής. Προφανώς, έχει τιμή διαφορετική του μηδενός ( ). 1) Όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον xx τότε, a. Αν ρ>0 η παραβολή είναι «στραμμένη» προς τα δεξιά. b. Αν ρ<0 η παραβολή είναι «στραμμένη» προς τα αριστερά. 2) Όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον yy τότε, a. Αν ρ>0 η παραβολή είναι «στραμμένη» προς τα επάνω. b. Αν ρ<0 η παραβολή είναι «στραμμένη» προς τα κάτω. 24
Εφαπτομένη παραβολής Με άξονα συμμετρίας xx, στο σημείο της : Με άξονα συμμετρίας yy, στο σημείο της : Σχόλιο: όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον xx η ευθεία είναι η εφαπτομένη της παραβολής στη κορυφή της και όταν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον yy η ευθεία είναι η εφαπτομένη της παραβολής στη κορυφή της. Κατηγορίες ασκήσεων 1) Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση μίας παραβολής αρκεί να γνωρίζουμε τη παράμετρό της ρ. Επί παραδείγματος, να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0,0) στις παρακάτω περιπτώσεις: a. Έχει άξονα συμμετρίας τον yy και διέρχεται από το σημείο Α(1,2) b. Έχει εστία Ε(0,2) και διευθετούσα c. Έχει άξονα συμμετρίας τον yy και εφάπτεται της ευθείας: Η εφαπτόμενη σε ένα τυχαίο σημείο της παραβολής έχει εξίσωση Άρα, 25
Επίσης, Επομένως, και τελικά, η εξίσωση της παραβολής. 2) Όταν θέλουμε να βρούμε τη σχετική θέση μίας ευθείας με εξίσωση και μίας παραβολής με εξίσωση είτε είτε, λύνουμε το σύστημά τους και καταλήγουμε σε μία εξίσωση 2 ου βαθμού όπου έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: a. Αν Δ>0 τότε η ευθεία και η παραβολή τέμνονται σε δύο σημεία. b. Αν Δ=0 τότε η ευθεία και η παραβολή εφάπτονται σε ένα σημείο. c. Αν Δ<0 τότε η ευθεία και παραβολή δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Σχόλιο: οι παραπάνω τρείς περιπτώσεις ισχύουν για κάθε καμπύλη (κύκλος, έλλειψη κ.α.) όταν ψάχνουμε να βρούμε τη σχετική της θέση με μία ευθεία. Αυτό συμβαίνει διότι όταν λύνουμε ένα μη γραμμικό σύστημα μίας εξίσωσης 1 ου βαθμού και μίας 2 ου, καταλήγουμε σε μία εξίσωση 2 ου βαθμού και συνεχίζουμε την επίλυσή της με διακρίνουσα. Για παράδειγμα, έστω η παραβολή κανένα κοινό σημείο με την ευθεία και να αποδείξουμε ότι δεν έχει Άρα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. 3) Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης μίας παραβολής, γράφουμε την εξίσωση της αντίστοιχης εφαπτομένης στο τυχαίο της σημείο και στη συνέχεια μένει να προσδιορίσουμε τα. Το σημαντικό στοιχείο είναι ότι εφόσον το Μ είναι σημείο της παραβολής, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Ακολουθεί ένα σχετικό παράδειγμα: Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής κάθετη στην ευθεία. που είναι Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 26
Άρα, επειδή οι δύο ευθείες είναι μεταξύ τους κάθετες έχουμε: Επιστρέφουμε στην εξίσωση της παραβολής και έχουμε: Τελικά η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 4) Στη περίπτωση που ζητείται η εξίσωση της εφαπτομένης μίας παραβολής, η οποία διέρχεται από γνωστό σημείο, ακολουθούμε την ίδια μέθοδο η οποία παρουσιάζεται στο αντίστοιχο παράδειγμα του κύκλου. Ας τη παρακολουθήσουμε και εδώ μέσω ενός παραδείγματος. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής διέρχεται από το σημείο Ρ(-1,0)., όταν Παρατηρούμε αρχικά ότι το Ρ δεν είναι σημείο της παραβολής συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τύπο της εύρεσης της εφαπτομένης, με τη διαφορά ότι αυτή τη φορά το σημείο Ρ επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης Όντως, Άρα, Επιστρέφουμε στην εξίσωση της παραβολής: Οπότε έχουμε δύο σημεία επαφής τα: Και έτσι καταλήγουμε σε δύο εξισώσεις εφαπτομένων διότι όπως στον κύκλο έτσι και στην παραβολή, από ένα σημείο εκτός παραβολής διέρχονται δύο εφαπτομένες προς την παραβολή. Οι οποίες είναι οι εξής: 27
Όπως παρατηρείτε είναι κάθετες μεταξύ τους. 5) Μία σημαντική εφαρμογή της θεωρίας σε άσκηση είναι η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής. Εν συντομία η ιδιότητα περιγράφει ότι αν φέρουμε μία κάθετη προς μία εφαπτομένη της παραβολής πάνω στο σημείο επαφής Μ, τότε αυτή η κάθετη διχοτομεί της γωνία που σχηματίζεται από την ημιευθεία ΕΜ και την ημιευθεία Μχ η οποία είναι ομόρροπη προς την ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής (βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 95). Για παράδειγμα, να βρεθεί η διχοτόμος της γωνίας ΕΜχ όπου Ε η εστία της παραβολής και Μ(1,2) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο Μ είναι: Η κάθετη ευθεία προς την (ε) η οποία διέρχεται από το Μ είναι: Η οποία είναι και η διχοτόμος της γωνίας ΕΜχ λόγω της ανακλαστικής ιδιότητας. 28