Δρ. Ευστρατία Μούρτου

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 2009-2010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δρ. Ευστρατία Μούρτου Δρ. Ευστρατία Μούρτου 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων- βασικές έννοιες. Πράξεις συνόλων - υποσύνολα - Παραδείγματα εύρεσης αποτελεσμάτων Ορισμός ενδεχόμενου- γεγονότος - δειγματικού χώρου. Είδη ενδεχομένων - παραδείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ορισμός της πιθανότητας (probability) Δεσμευμένη πιθανότητα Από κοινού πιθανότητα Οι βασικοί νόμοι των πιθανοτήτων Παραδείγματα / ασκήσεις Δρ. Ευστρατία Μούρτου 2

ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Αιτία Νοσηλείας 40 50 (Ο1) Ηλικιακή ομάδα 51 60 (Ο2) >60 (Ο3) ΣΥΝΟΛΟ ΝΕΦΡΟ (Ν) 10 25 30 65 ΣΤΟΜΑΧΙ (Σ) 20 30 10 60 ΚΑΡΔΙΑ (Κ) 5 35 25 65 ΣΥΝΟΛΟ 35 90 65 190 Πίνακας 1: Να βρεθούν : i) Το πλήθος των ασθενών που ανήκουν στην ηλικιακή ομάδα 51 60 και νοσηλεύονται για νεφρολογική πάθηση. ii) Το πλήθος των ασθενών που ανήκουν στην ηλικιακή ομάδα 40 50 ή νοσηλεύονται για στομάχι ή και τα δύο. iii) Το σύνολο των ασθενών που ανήκουν στην ηλικιακή ομάδα 51 60 ή νοσηλεύονται για καρδιά ή και για τα δύο. iv) Το πλήθος που δεν είναι >60. v) Το πλήθος των ασθενών που ανήκουν στην ηλικιακή ομάδα 51 60 και νοσηλεύονται ή για στομάχι ή για καρδιά. Δρ. Ευστρατία Μούρτου 3

ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας 2: Αιτία Νοσηλείας 40 50 (Ο1) Ηλικιακή ομάδα 51 60 (Ο2) >60 (Ο3) ΣΥΝΟΛΟ ΝΕΦΡΟ (Ν) 10 25 30 65 ΣΤΟΜΑΧΙ (Σ) 20 30 10 60 ΚΑΡΔΙΑ (Κ) 5 35 25 65 ΣΥΝΟΛΟ 35 90 65 190 Πίνακας 2: Να βρεθούν : 1. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων (Ο 2 Σ), (Ο 3 Κ), ( Σ Ο 3 ), ( K U Ο 3 ), ( Σ U Ο 1 ), Ο 1, (Ο 2 (Σ U Κ)). 2. Να βρεθούν οι από κοινού πιθανότητες του πίνακα 2 3. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των από κοινού πιθανοτήτων είναι 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε μια ρίψη ενός αμερόληπτου κύβου κατά την οποία ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {1,2,3,4,5,6}, θεωρούμε το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος αριθμός, δηλαδή Α = {2,4,6}. Να βρεθεί η P(A). ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε μια ταυτόχρονη ρίψη δύο όμοιων νομισμάτων ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΓ}. Να βρεθεί η πιθανότητα να εμφανιστεί το ενδεχόμενο Β = { ένα ακριβώς Κ} ΑΣΚΗΣΗ 5 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 4

Υποθέτουμε ότι ελέγχουμε τη συσχέτιση του υψηλού πυρετού με την εμφάνιση της γρίπης Α σε νοσούντες από αυτήν ασθενείς. Κατά την καταγραφή των θερμομετρικών διαγραμμάτων διαπιστώσαμε (υποθετικά) ότι : η πιθανότητα να έχουν θερμοκρασία > 39 ο είναι 75%, ενώ η πιθανότητα να έχουν θερμοκρασία < 37,5 ο είναι 25%. Να βρεθεί η πιθανότητα να έχουν θερμοκρασία μεταξύ του 37,5 ο και του 39 ο. (Υπόδειξη: Να εφαρμοστεί ο αθροιστικός νόμος των πιθανοτήτων) ΑΣΚΗΣΗ 6 Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των εξετάσεων για HIV ενός δείγματος πληθυσμού 24.103 ατόμων (+=θετικά στο τεστ, - = αρνητικά στο τεστ) Να βρεθεί: 1. η πιθανότητα των ατόμων που βρέθηκαν αρνητικά στο τεστ δηλ. το P(X=-) 2. η πιθανότητα των ατόμων που βρέθηκαν θετικά στο τεστ δηλ. το P(X=+) 3. η πιθανότητα των ατόμων που νοσούν, δηλ. το P(Y=+) 4. η πιθανότητα των ατόμων που δεν νοσούν, δηλ. το P(Y=-) 5. Τα αθροίσματα P(X=-)+ P(X=+) και P(Y=+)+ P(Y=-) 6. Τι συμπέρασμα εξάγεται από το ερώτημα 5 7. Η πιθανότητα των ατόμων που βρέθηκαν θετικά στο τεστ και νοσούν 8. Η πιθανότητα των ατόμων που βρέθηκαν θετικά στο τεστ και δεν νοσούν Δρ. Ευστρατία Μούρτου 5

ΑΣΚΗΣΗ 7 Με δεδομένα τα στοιχεία του πίνακα 3, να βρεθεί: 1. Η δεσμευμένη πιθανότητα P(X=+ / Y=+), δηλαδή η πιθανότητα του να βρεθούν άτομα θετικά στο τεστ, δοθέντος ότι αυτά νοσούν 2. Η δεσμευμένη πιθανότητα P(Y=+/ X=+), δηλαδή η πιθανότητα του να βρεθούν άτομα που νοσούν, δοθέντος ότι αυτά είναι θετικά στο τεστ 3. Η δεσμευμένη πιθανότητα P(X=+ / Y=-), δηλαδή η πιθανότητα του να βρεθούν άτομα θετικά στο τεστ, δοθέντος ότι αυτά δεν νοσούν 4. Να συγκριθεί η P(X=+ / Y=+) με την P(X=+). Τι θα σήμαινε αν οι δυο αυτές πιθανότητες ήταν ίσες? Επηρεάζει η συνθήκη Y=+ την P(X=+)? Είναι τα γεγονότα Y=+ και X=+ ανεξάρτητα? Δρ. Ευστρατία Μούρτου 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η έννοια της μεταβλητής - Είδη μεταβλητών Οργάνωση και περιγραφή των στατιστικών στοιχείων - βασικές έννοιες Κατανομή συχνοτήτων - αθροιστική συχνότητα - σχετική συχνότητα - σχετική αθροιστική συχνότητα - Παραδείγματα εύρεσης αποτελεσμάτων Πίνακας κατανομής συχνοτήτων - παραδείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3i Η έννοια των κλάσεων Στοιχεία των κλάσεων Βασικοί κανόνες για την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους και άνισου πλάτους Παραδείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διαγράμματα απεικόνισης των στατιστικών δεδομένων Ραβδόγραμμα Διάγραμμα συχνοτήτων (και σχετικών συχνοτήτων) Κυκλικό διάγραμμα Σημειόγραμμα Χρονόγραμμα Δρ. Ευστρατία Μούρτου 7

ΑΣΚΗΣΗ 8 Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: χ i ν i f i N i F i f i % F i % 1 2 4 0,1 14 3 0,5 4 3 5 Sum ΛΥΣΗ χ i ν i f i N i F i f i % F i % 1 10 0,25 10 0,25 25 25 2 4 0,1 14 0,35 10 35 3 6 0,15 20 0,5 15 50 4 3 0,075 23 0,575 7,5 57,5 5 17 0,425 40 1 42,5 100 Sum 40 ΑΣΚΗΣΗ 9 Η βαθμολογία 20 φοιτητών του ΑΤΕΙ Πάτρας στο τμήμα Νοσηλευτικής κατά τις γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις είναι οι εμφανιζόμενες στον παρακάτω πίνακα 4: 13 11 11 15 13 10 16 9 7 9 8 10 14 11 16 9 15 14 17 11 Πίνακας 4: Δρ. Ευστρατία Μούρτου 8

1. Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 2. Να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που βαθμολογήθηκαν με βαθμό μικρότερο του 10 3. Να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που βαθμολογήθηκαν με βαθμό μεταξύ 11 και 16 4. Να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που βαθμολογήθηκαν με βαθμό τουλάχιστον 13 ΑΣΚΗΣΗ 10 Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: x i ν i f i f i % N i F i F i % x 1 x 2 100 150 x 3 67,5 x 4 0,1 x 5 400 Sum ΑΣΚΗΣΗ 11 Πίνακας 5 Να δοθούν ορισμοί των παρακάτω όρων: 1. κλάσεις [a, b ) 2. κεντρική τιμή κλάσης z i 3. πλάτος κλάσης (C) τύπος 4. πως κατασκευάζουμε κλάσεις ίσου πλάτους ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4. Για να κατασκευάσουμε κλάσεις ίσου πλάτους εργαζόμαστε ως εξής: Δρ. Ευστρατία Μούρτου 9

Α) Βρίσκουμε το εύρος R του δείγματος των παρατηρήσεων. Το εύρος R δίδεται από την σχέση R= Max min (όπου Max είναι η μεγαλύτερη τιμή και min η μικρότερη τιμή) Β) Βρίσκουμε το πλήθος k των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο Sturges: k = 1 + 3,32 * logν, όπου ν = το μέγεθος του δείγματος και logν υπολογίζεται με βάση το 10 (Sturges, H. (1926) The choice of a class-interval. J. Amer. Statist. Assoc., 21, 65 66 ). Ο αριθμός k συνήθως είναι δεκαδικός και πάντα στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο (από 5 έως 20 συνήθως) ακολουθώντας τους κανόνες στρογγυλοποίησης. Για τις ασκήσεις ο logν θα δίδεται. Γ) Βρίσκουμε το πλάτος C των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο R c =. Σε περίπτωση που ο αριθμός C είναι δεκαδικός, τον k στρογγυλοποιούμε στον πλησιέστερο προς τα πάνω ακέραιο. Δ) Δημιουργούμε τις k κλάσεις στον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, ξεκινώντας από την μικρότερη (min), με τον ακόλουθο τρόπο: 1 η κλάση [min, min + C ) 2 η κλάση [min + C, min + 2C ) 3 η κλάση [min + 2C, min + 3C ).. Έχουμε υπόψη ότι: Δεν επιτρέπεται κάποια παρατήρηση να μείνει εκτός κλάσης Η διαφορά δυο διαδοχικών κεντρικών τιμών ισούται με το πλάτος C των κλάσεων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A Η διάρκεια ζωής σε ώρες 50 ιδίου τύπου εξαρτημάτων μιας μηχανής δίνεται παρακάτω (Δ. Φουσκάκης, Περιγραφική Στατιστική): Δρ. Ευστρατία Μούρτου 10

1) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις ίσου πλάτους και να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης 2) Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. ΛΥΣΗ 1) Βρίσκουμε το εύρος R του δείγματος των παρατηρήσεων, από την σχέση R= Max min R= 314-4 R = 310 Βρίσκουμε το πλήθος k των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο Sturges: k = 1 + 3,32 * logν, όπου ν =50 (log 50 = 1,6989) k = 1 + 5,640 k = 6,640 k = 7 Βρίσκουμε το πλάτος C των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο R c = c= k 310 c 45 7 Δημιουργούμε τις 7 κλάσεις στον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, με τον ακόλουθο τρόπο: 1 η κλάση [4, 4 + 45 ) 2 η κλάση [4 +45, 4 + 90 ) 3 η κλάση [4 + 90, 4 + 135 ) 4 η κλάση [4 + 135, 4 +180 ) Βρίσκουμε τις κεντρικές τιμές κάθε κλάσης εφαρμόζοντας τον τύπο z i a + b 2 =, για κάθε κλάση της μορφής [a, b ) Διάρκεια κεντρικές Δρ. Ευστρατία Μούρτου 11

ζωής (x i ) τιμές (z i ) [4, 49 ) 26.5 [49, 94 ) 71.5 [94, 139 ) 116.5 [139, 184 ) 161.5 [184, 229 ) 206.5 [229, 274 ) 251.5 [274, 319 ) 296.5 Παρατηρούμε ότι η διαφορά δυο διαδοχικών κεντρικών τιμών ισούται με το πλάτος C (C=45) των κλάσεων. 2) Κατασκευάζουμε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων, όπως έχει αναλυθεί στις ασκήσεις του αρχείου exercise2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ B Η θερμοκρασία σε 30 πόλεις το καλοκαίρι παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα (Αθανασόπουλος, Ε.Β. Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής): 29 30 31 32 29 30 34 38 39 35 31 32 33 37 30 28 29 36 36 31 35 34 32 33 34 32 37 38 31 30 1) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις ίσου πλάτους και να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης Δρ. Ευστρατία Μούρτου 12

2) Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 3) Να κατασκευαστεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ΛΥΣΗ 1) Βρίσκουμε το εύρος R του δείγματος των παρατηρήσεων, από την σχέση R= Max min R= 39-28 R = 11 Βρίσκουμε το πλήθος k των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο Sturges: k = 1 + 3,32 * logν, όπου ν =30 (log 30= 1,477) k = 1 + 4,904 k = 5,904 k = 6 Βρίσκουμε το πλάτος C των κλάσεων εφαρμόζοντας τον τύπο R c = k 11 c = c = 1,833 c 2 6 Δημιουργούμε τις 6 κλάσεις ίσου πλάτους στον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, και βρίσκουμε τις κεντρικές τιμές κάθε κλάσης εφαρμόζοντας τον τύπο z i a + b 2 =, για κάθε κλάση της μορφής [a, b ) 2) Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα : Θερμοκρασία κεντρικέ (x i) ς τιμές (z i ) Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i f i % Αθροιστική συχνότητα N i Αθροιστική Σχετική συχνότητα F i % [28-30) 29 4 0,1333 13,3 4 13,3 [30-32) 31 8 0,2666 26,7 12 40 [32-34) 33 6 0,2 20 18 60 [34-36) 35 5 0,1666 16,7 23 76,7 [36-38) 37 4 0,1333 13,3 27 90 [38-40) 39 3 0,1 10 30 100 Σύνολο 30 100 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 13

3) το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων εμφανίζεται παρακάτω 120 100 90 100 80 76,7 60 60 40 40 20 13,3 0 Αθροιστική Σχετική συχνότητα Fi % 28-30 30-32 32-34 34-36 36-38 38-40 Το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % κατασκευάζεται αν ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος με ευθύγραμμα τμήματα, ξεκινώντας από το αριστερό άκρο της κάτω βάσης του 1 ου ορθογωνίου. Η έντονη κίτρινη γραμμή αντιπροσωπεύει το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4i Διαγράμματα απεικόνισης των στατιστικών δεδομένων Ραβδόγραμμα: Χρησιμοποιείται για ποιοτικές μεταβλητές. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες των οποίων η Δρ. Ευστρατία Μούρτου 14

απόσταση είναι αυθαίρετη και των οποίων οι βάσεις (συνήθως στον άξονα Οχ) αντιστοιχούν στις τιμές της ποιοτικής μεταβλητής χ i. Το ύψος κάθε στήλης ισούται με την αντίστοιχη συχνότητα ή την σχετική συχνότητα. Παράδειγμα ραβδογράμματος για τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: ΕΡΓΑΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΛΗΘΟΣ (νi) ΜΟΝΙΜΟΙ 50 ΣΥΜΒΑΣΙΟΥΧΟΙ 15 ΑΝΕΡΓΟΙ 25 Το αντίστοιχο ραβδογράμμα είναι: vi 60 50 40 30 20 10 0 ΜΟΝΙΜΟΙ ΣΥΜΒΑΣΙΟΥΧΟΙ ΑΝΕΡΓΟΙ Διάγραμμα συχνοτήτων (και σχετικών συχνοτήτων): Χρησιμοποιείται για ποσοτικές μεταβλητές. Αποτελείται από κάθετα στον άξονα Οχ ευθύγραμμα τμήματα, στα σημεία χ i, ενώ το ύψος κάθε τμήματος ισούται με την συχνότητα ή την σχετική συχνότητα (που έχει παρασταθεί στον άξονα Οψ). Παράδειγμα Διαγράμματος συχνοτήτων για τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (νi) Δρ. Ευστρατία Μούρτου 15

4 5 5 10 7 4 8 2 10 1 ΣΥΝΟΛΟ 22 Το αντίστοιχο διάγραμμα συχνοτήτων είναι: νi 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Πολύγωνο συχνοτήτων (και σχετικών συχνοτήτων): Προκύπτει από το Διάγραμμα συχνοτήτων (και σχετικών συχνοτήτων) αν ενώσουμε τις κορυφές κάθε ευθυγράμμου τμήματος διαδοχικά. Για παράδειγμα το πολύγωνο συχνοτήτων για το προηγούμενο πίνακα είναι το παρακάτω: Δρ. Ευστρατία Μούρτου 16

νi 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Κυκλικό διάγραμμα: Χρησιμοποιείται για ποιοτικές μεταβλητές και για ποσοτικές μεταβλητές (όταν υπάρχουν λίγες τιμές). Αποτελείται από ένα κυκλικό δίσκο που θα χωριστεί σε κυκλικούς τομείς έτσι ώστε κάθε τόξο μ i να αντιστοιχεί στην τιμή της μεταβλητής χ i, (συχνότητα ή σχετική συχνότητα) εφαρμόζοντας τη σχέση: ν i *360 µ i = µ i = 360 v * fi, i= 1,2,,n Παράδειγμα κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων για τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: Τόξο ΕΡΓΑΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΛΗΘΟΣ (νi) (επίκεντρη γωνία μi ) ΜΟΝΙΜΟΙ 50 200 ΣΥΜΒΑΣΙΟΥΧΟΙ 15 60 ΑΝΕΡΓΟΙ 25 100 ΣΥΝΟΛΟ 90 360 Το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων είναι: Δρ. Ευστρατία Μούρτου 17

25 ΜΟΝΙΜΟΙ ΣΥΜΒΑΣΙΟΥΧΟΙ ΑΝΕΡΓΟΙ 50 15 Σημειόγραμμα: Χρησιμοποιείται για ποιοτικές μεταβλητές και για ποσοτικές μεταβλητές, όταν υπάρχουν λίγες τιμές παρατηρήσεων. Για να κατασκευαστεί χρησιμοποιούμε μόνο τον οριζόντιο άξονα Οχ, στον οποίο τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής χ i και κατόπιν πάνω από κάθε σημείο του Οχ παριστάνουμε με σημεία τις αντίστοιχες συχνότητες. Παράδειγμα σημειογράμματος για τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: χ i ν i 3 4 5 2 7 5 Το αντίστοιχο σημειόγραμμα είναι: 3 5 7 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 18

Χρονόγραμμα: Χρησιμοποιείται για ποιοτικές μεταβλητές και για ποσοτικές μεταβλητές, όταν θέλουμε να παρατηρήσουμε την εξέλιξη της μεταβλητής σε σχέση με το χρόνο (διαχρονική εξέλιξη). Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων στον άξονα Οχ παριστάνουμε το χρόνο (t) και στον κατακόρυφο Οψ παριστάνουμε τις τιμές της μεταβλητής χ i. Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρονογράμματος για τον παρακάτω πίνακα που παρουσιάζει τους νοσηλευθέντες σε μια παθολογική κλινική ενός νοσοκομείο ανά μήνα. Μας ενδιαφέρουν οι μήνες κατά τους οποίου υπάρχει έξαρση των ιώσεων. ΜΗΝΕΣ ΝΟΣΗΛΕΥΘΕΝΤΕΣ Ιανουάριος 145 Φεβρουάριος 200 Μάρτιος 250 Απρίλιος 180 Μάιος 160 Ιούνιος 155 Ιούλιος 134 Αύγουστος 45 Σεπτέμβριος 78 Οκτώβριος 95 Νοέμβριος 125 Δεκέμβριος 255 Το αντίστοιχο χρονόγραμμα είναι: 300 ΝΟΣΗΛΕΥΘΕΝΤΕΣ 250 200 150 100 50 0 Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σεπτέμβριος Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος Δρ. Ευστρατία Μούρτου 19

ΑΣΚΗΣΗ 12 Σε πλήθος 40 καθηγητών του ΑΤΕΙ Πάτρας καταγράφηκε η προϋπηρεσία η οποία απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα 6: 10 15 32 8 7 4 10 22 15 13 9 24 11 26 17 20 7 29 9 16 23 3 2 5 21 9 11 12 19 24 8 14 4 6 17 30 12 18 28 22 Πίνακας 6 1. Να ομαδοποιηθούν οι παρατηρήσεις αυτές σε 6 ίσες κλάσεις (κ=6) και να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης 2. Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 3. Να κατασκευασθεί ιστόγραμμα συχνοτήτων (ν i ) 4. Τι παριστάνει το άθροισμα των εμβαδών των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων 5. Να κατασκευασθεί ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων (Ν i ) 6. Να κατασκευασθεί πολύγωνο συχνοτήτων (ν i ) ΑΣΚΗΣΗ 13 Ο πίνακας 7 παρουσιάζει τα βάρη (σε κιλά) 57 παιδιών που νοσηλεύτηκαν σε παιδιατρική κλινική ενός νοσοκομείου Δρ. Ευστρατία Μούρτου 20

Πίνακας 7 1. Να ομαδοποιηθούν οι παρατηρήσεις αυτές σε 7 ίσες κλάσεις (κ=7) και να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης 2. Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 3. Να βρεθεί το ποσοστό των υπέρβαρων παιδιών, δηλαδή αυτών που έχουν βάρος μεγαλύτερο από 40 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ 14 Η εικόνα 8 παρουσιάζει τη βαθμολογία της Α προόδου φοιτητών στο εργαστήριο Πληροφορικής της Υγείας σε κλίμακα από 1 έως 20. Δρ. Ευστρατία Μούρτου 21

Εικόνα 8 1. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Κλάσεις βαθ/γίας [ ) [ 4, 8 ) [ 8, 12 ) [ 12, 16 ) [ 16, 20 ) Σύνο λο Κέντρο κλάσης x i Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i Αθροιστική συχνότητα Ν i Αθρ. σχετ. συχνότητα F i 2. Να κατασκευασθεί πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ΑΣΚΗΣΗ 15 Σε σύνολο 150 φοιτητών της Νοσηλευτικής οι 60 επέλεξαν ως υποχρεωτικό μάθημα επιλογής τις Ενδονοσοκομειακές Λοιμώξεις, οι 42 την Περιεγχειρητική Νοσηλευτική και οι υπόλοιποι την Προνοσοκομιακή Υποστήριξη Πολυτραυματία (χ i είναι τα μαθήματα επιλογής). 1. Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % συχνοτήτων. αθροιστικών Δρ. Ευστρατία Μούρτου 22

2. Να κατασκευασθεί ραβδόγραμμα % σχετικών συχνοτήτων 3. Να κατασκευαστεί κυκλικό διάγραμμα % σχετικών συχνοτήτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ - ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 16 Δίδεται το παρακάτω σύνολο δεδομένων: {8, 5, 4, 12, 15, 5, 7}. Να βρεθούν τα παρακάτω μέτρα: 1. Η Μέση Τιμή και η επικρατούσα τιμή 2. Η διάμεσος και τα τεταρτημόρια Q 1, Q 2 και Q 3 3. Το εύρος μεταβολής και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος 4. Η τεταρτημοριακή απόκλιση και η τυπική απόκλιση 5. Ο συντελεστής μεταβλητότητας ΑΣΚΗΣΗ 17 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 23

Ο πίνακας 8 παρουσιάζει την ομαδοποίηση των βαρών σε κιλά 57 παιδιών που νοσηλεύτηκαν στην παιδιατρική κλινική ενός νοσοκομείου. Πίνακας 8 4. Να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης 5. Να υπολογισθεί η μέση τιμή, η διασπορά, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. 6. Το δοθέν δείγμα βαρών παρουσιάζει ομοιογένεια; ΑΣΚΗΣΗ 18 Ο πίνακας 9 παρουσιάζει την ομαδοποίηση των επιπέδων χοληστερόλης 1067 ανδρών ηλικίας μεταξύ 25 και 34 ετών. Πίνακας 9 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 24

3. Να κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 4. Να υπολογισθεί η διάμεσος ΑΣΚΗΣΗ 19 Δίδεται το παρακάτω σύνολο δεδομένων, που απεικονίζει την μόλυνση του νερού θαλασσίων περιοχών: απόκλιση. Να υπολογισθούν η Μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική ΑΣΚΗΣΗ 20 Ο πίνακας 11 παρουσιάζει τις ημέρες που έζησαν νεογνά πριν πεθάνουν από το σύνδρομο του αιφνιδίου θανάτου. Πρόκειται για 11 κορίτσια και 16 αγόρια μιας περιφέρειας. Πίνακας 11 Να υπολογισθούν η Μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση για τα αγόρια και για τα κορίτσια. Δρ. Ευστρατία Μούρτου 25

ΑΣΚΗΣΗ 21 Σε τυχαία ρίψη 5 όμοιων νομισμάτων κατεγράφη ο αριθμός της ένδειξης «Γράμματα» στο παρακάτω σύνολο: {0,4,1,3, 1,3, 2,3, 4,3, 1,3, 4,1,3, 4,1,3, 0,1,3, 4,,2,3, 2,3, 1,3, 3, 2,2,3, 4,3, 3, 2, 2,4,2,2,4, 2,2,2,2,2,2,2,2,2}. Θεωρούμε ως διακριτή τυχαία μεταβλητή χi με τιμές 0,1,2,3,4,5. 5. Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 6. Να υπολογισθούν η Μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση ΑΣΚΗΣΗ 22 Δίδεται ο παρακάτω πίνακας 12 ο οποίος παρουσιάζει την διάρκεια ζωής μικροβίων κατά την έκθεσή τους σε αντιμικροβιακό υλικό ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΖΩΗΣ [, ) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ νi 0-40 11 40-80 16 80-120 10 120-160 5 160-200 3 200-240 2 240-280 2 280-320 1 ΣΥΝΟΛΟ 50 Πίνακας 12 1. Να βρεθούν οι κεντρικές τιμές κάθε κλάσης και να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής σχετικών Δρ. Ευστρατία Μούρτου 26

συχνοτήτων, % σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και % αθροιστικών συχνοτήτων. 2. Να υπολογισθούν η Μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Θεωρείτε ότι το δείγμα μικροβίων παρουσιάζει ομοιογένεια; ΑΣΚΗΣΗ 23 Ο πίνακας 13 παρουσιάζει τις τιμές κορεσμού (επί %) της χολής σε δείγμα 31 ασθενών. Πίνακας 13 Να υπολογισθούν η μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. ΑΣΚΗΣΗ 24 Δίδεται ο πίνακας 14: xi νi 2 4 4 2 5 1 6 1 7 κ 8 1 9 1 ΣΥΝΟΛΟ Πίνακας 14 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 27

Να βρεθεί το k στις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Όταν η μέση τιμή είναι 5 2. Όταν η διάμεσος είναι 5,5 3. Όταν υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές ΑΣΚΗΣΗ 25 Η μέση τιμή 10 τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής Χ είναι 10 και ο 2 συντελεστής μεταβλητότητας είναι 0,08. Δίδεται ότι ( x) = 124 Να βρεθεί η τιμή χ 1. 10 2 x i ΑΣΚΗΣΗ 26 Η θερμοκρασία σε 30 πόλεις το καλοκαίρι παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα (Αθανασόπουλος, Ε.Β. Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής): 29 30 31 32 29 30 34 38 39 35 31 32 33 37 30 28 29 36 36 31 35 34 32 33 34 32 37 38 31 30 Πίνακας 15 1. Να υπολογισθεί η μέση τιμή 2. Μετά την ομαδοποίηση των δεδομένων του πίνακα 15 σε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους 2 προκύπτει ο παρακάτω πίνακας 16. Θερμοκρασία (x i) Συχνότητα ν i [28-30) 4 [30-32) 8 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 28

[32-34) 6 [34-36) 5 [36-38) 4 [38-40) 3 Σύνολο Πίνακας 16 Να υπολογισθεί η μέση τιμή με τα δεδομένα του πίνακα αυτού (να γίνει χρήση των κεντρικών τιμών). Οι δύο μέσες τιμές που βρήκατε είναι ακριβώς ίσες; Αν όχι που οφείλεται η διαφορά διάμεσος επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές? Δ) Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές? ΑΣΚΗΣΗ 27 Οι τιμές 1,2,3,4, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ i έχουν συχνότητες 8κ, 6κ, 4κ, κ αντίστοιχα: Να βρεθούν τα παρακάτω μέτρα: 1. Η μέση τιμή 2. Η τυπική απόκλιση 3. Ο συντελεστής μεταβλητότητας ΑΣΚΗΣΗ 28 Δίδεται μια τυχαία μεταβλητή Χ i με i=1,2,..,100 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων χ 1, χ 2,, χ 99 είναι 10. Να βρεθούν: 1. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων χ 1, χ 2,, χ 99, χ 100,όταν είναι χ 100 = 30 2. Η τιμή του κ, αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων χ 1, χ 2,, χ 99, κ, είναι 40 ΑΣΚΗΣΗ 29 Δρ. Ευστρατία Μούρτου 29

Η μέση τιμή των τιμών των υδατοδιαλυόμενων ορών γλυκόζης ανά ημέρα είναι 15 ml/mgr και ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι 10%. Να βρεθούν: 1. Η τυπική απόκλιση 2. Το πλήθος των ορών αν 2 s = 1 ν 2 χι ν i= 1 χ 2 ΑΣΚΗΣΗ 30 Η μέση τιμή των βαρών 15 νεογνών της παιδιατρικής κλινικής Α είναι 2500 gr ενώ η μέση τιμή των βαρών 20 νεογνών της παιδιατρικής κλινικής Β είναι 3500 gr. Να βρεθεί η μέση τιμή των βαρών των νεογνών και των δυο παιδιατρικών κλινικών. ΑΣΚΗΣΗ 31 Δίδεται ο πίνακας 17: [.) νi 0-2 2 2-4 4 4-6 6 6-8 8 ΣΥΝΟΛΟ Πίνακας 17 Να υπολογισθούν η μέση Τιμή, η διάμεσος, η διασπορά, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. ΑΣΚΗΣΗ 32 Σε μια πρόσφατη έρευνα για τη χρήση αντισυλληπτικών σε γυναίκες ηλικίας από 20 ως 49 ετών, βρέθηκαν τα παρακάτω αποτελέσματα του πίνακα 18: Δρ. Ευστρατία Μούρτου 30

Πίνακας 18 Να υπολογισθούν η μέση Τιμή και η τυπική απόκλιση: 1. Για την ομάδα που χρησιμοποιεί αντισυλληπτικά 2. Για την ομάδα που δεν χρησιμοποιεί αντισυλληπτικά ΑΣΚΗΣΗ 33 Ο πίνακας 10 παρουσιάζει τα ποσοστά των βαρών 18 διαβητικών ατόμων. Πίνακας 10 απόκλιση Να υπολογισθούν η Μέση Τιμή, η διασπορά και η τυπική Δρ. Ευστρατία Μούρτου 31