Αναλυτικές οδηγίες για το θέμα εξαμήνου

Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής & Τεχνολογικής Εκπαίδευσης (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) Τμήμα Εκπαιδευτικών Πολιτικών Δομικών Έργων Μάθημα: Αντισεισμικές Κατασκευές Ακαδ. έτος 2014-2015 Διδάσκοντες: Β. Πλεύρης, Β. Σούλης v4, 10/06/2015 Αναλυτικές οδηγίες για το θέμα εξαμήνου Ακολουθούν αναλυτικές οδηγίες για την αντιμετώπιση του θέματος εξαμήνου του μαθήματος. Προετοιμασία των δεδομένων: Οι διαστάσεις της κατασκευής είναι διαφορετικές για κάθε σπουδαστή, καθώς είναι συναρτήσεις του αριθμού Ν, όπου Ν τα δύο τελευταία ψηφία του κωδικού του. Επομένως καταρχάς υπολογίζονται οι διαστάσεις της κατασκευής με βάση τον αριθμό Ν. Είναι καλό να γίνει ένα σκαρίφημα της κατασκευής με τις διαστάσεις που αντιστοιχούν στον κωδικό του σπουδαστή, κατά προτίμηση υπό κλίμακα, το οποίο θα βοηθήσει στη συνέχεια του θέματος. Σημειώνεται ότι οι ακριβείς διαστάσεις των ξυλοτύπων (σχέδια) που έχουν δοθεί στην εκφώνηση του θέματος, αντιστοιχούν στην τιμή Ν=0 επομένως για άλλες τιμές του Ν είναι πιθανό να υπάρχουν διαφοροποιήσεις στη μορφή της κατασκευής και επομένως είναι καλό να γίνει η σχεδίαση των σκαριφημάτων από την αρχή, με τις ακριβείς διαστάσεις. 1. Κατανομή των μαζών ανά στάθμη. Θα ληφθούν υπόψη τα ίδια βάρη των πλακών, δοκών, υποστυλωμάτων, τοιχοποιίας και τα κινητά φορτία. Η κατασκευή είναι διώροφη χωρίς υπόγειο. Θα πρέπει να γίνει κατανομή των μαζών σε δύο στάθμες: Τη στάθμη 1 που είναι η οροφή του ισογείου, και τη στάθμη 2 που είναι η οροφή του Α ορόφου. Θα υπολογιστούν ξεχωριστά η μάζα m 1 της 1 ης στάθμης (οροφή ισογείου) και η μάζα m 2 της 2 ης στάθμης (οροφή ορόφου). Για τον υπολογισμό της μάζας κάθε στάθμης θα υπολογιστούν πρώτα τα φορτία που αντιστοιχούν στη στάθμη και στη συνέχεια το συνολικό φορτίο (Προσοχή: σε μονάδες Ν) θα διαιρεθεί με το g=9.81 m/sec 2 ώστε να προκύψει η μάζα σε kg. Δίνεται το ειδικό βάρος οπλισμένου σκυροδέματος: γ σκ = 25 kn/m 3. Σχετικά με τις μονάδες: Αν δουλέψω τα φορτία σε N, τότε διαιρώντας με την επιτάχυνση της βαρύτητας g θα πάρω μάζα σε kg (κιλά). Αν δουλέψω τα φορτία σε kn, τότε διαιρώντας με την επιτάχυνση της βαρύτητας g θα πάρω μάζα σε t (τόνοι). Και οι δύο προσεγγίσεις είναι σωστές, αρκεί να ξέρουμε τι κάνουμε! Όπως αναφέρεται και στην εκφώνηση, θα ληφθούν υπόψη τα παρακάτω βάρη για τον καθορισμό της μάζας της κατασκευής: Σελίδα 1 από 16

Α. Ίδιο βάρος πλακών Για κάθε στάθμη θα υπολογιστεί το ίδιο βάρος της κάθε πλάκας. Οι πλάκες που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής ισογείου θα ληφθούν υπόψη στη στάθμη 1, ενώ οι πλάκες που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής Α ορόφου θα ληφθούν υπόψη στη στάθμη 2. Στο τέλος θα γίνει άθροιση των βαρών των πλακών για κάθε στάθμη. Τα τελικά βάρη θα είναι σε μονάδες N. Προσοχή στο ότι κάποιες πλάκες έχουν διαφορετικά πάχη από άλλες, τα πάχη των πλακών είναι αυτά που αναγράφονται στους ξυλοτύπους. Γενικά βολεύει να θεωρηθούν οι κεντρικές πλάκες ως μια ενιαία μεγάλη πλάκα και οι πρόβολοι ξεχωριστά. Σε αυτή την περίπτωση, μαζί με τις πλάκες συμπεριλαμβάνεται και το πάνω μέρος των δοκών και επομένως παρακάτω, στις δοκούς, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το κατάλληλο καθαρό ύψος, έχοντας αφαιρέσει το πάχος της πλάκας. Εναλλακτικά, μπορεί κάποιος να θεωρήσει μία μία τις πλάκες με το καθαρό τους εμβαδό (χωρίς τις δοκούς) και στις δοκούς παρακάτω να πάρει ολόκληρο το ύψος τους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να πετύχει κανείς τον ίδιο αποτέλεσμα. Β. Ίδιο βάρος δοκών Για κάθε στάθμη θα υπολογιστεί το ίδιο βάρος της κάθε δοκού. Όλες οι δοκοί έχουν διαστάσεις 25/50. Οι δοκοί που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής ισογείου θα ληφθούν υπόψη στη στάθμη 1, ενώ οι δοκοί που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής Α ορόφου θα ληφθούν υπόψη στη στάθμη 2. Ως μήκος δοκού θα ληφθεί το καθαρό μήκος από υποστύλωμα σε υποστύλωμα. Ως ύψος δοκού θα ληφθεί το ύψος της μείον το ύψος την πλάκας, αν το τμήμα της δοκού που ανήκει και στην πλάκα έχει ληφθεί ήδη υπόψη στα βάρη των πλακών στο ερώτημα (Α). Στο τέλος θα γίνει άθροιση των βαρών των δοκών για κάθε στάθμη. Τα τελικά βάρη θα είναι σε N ή kn. Γ. Ίδιο βάρος υποστυλωμάτων Τα υποστυλώματα θα θεωρηθεί ότι ανήκουν κατά το ήμισυ στην άνω στάθμη και κατά το ήμισυ στην κάτω στάθμη τις οποίες ενώνουν, όσον αφορά στα βάρη τους. Επομένως, τα βάρη των υποστυλωμάτων του Α ορόφου θα πάνε μισά-μισά στις στάθμες 1 και 2, ενώ τα βάρη των υποστυλωμάτων του ισογείου θα πάνε το πάνω μισό μέρος στη στάθμη 1 και το κάτω μισό μέρος θα αγνοηθεί θεωρώντας ότι πηγαίνει στην πάκτωση (κάτω). Στο τέλος θα γίνει άθροιση των βαρών των υποστυλωμάτων για κάθε στάθμη. Προσοχή στο ότι το ύψος των υποστυλωμάτων του ισογείου θα θεωρηθεί 3.30 m + 0.80 m = 4.10 m. Τα τελικά βάρη θα είναι σε N ή kn. Δ. Ίδιο βάρος τοιχοποιίας Θεωρείται ότι υπάρχει τοιχοποιία εξωτερικά σε όλη την περίμετρο του κτιρίου, και στο ισόγειο και στον Α όροφο. Οι εσωτερικές τοιχοποιίες κάθε ορόφου αποτυπώνονται στους ξυλοτύπους με διακεκομμένη γραμμή. Στο δώμα υπάρχει περιμετρικά στηθαίο από εξωτερική τοιχοποιία, ύψους 1.40 m. Η τοιχοποιία του κάθε ορόφου θα θεωρηθεί ότι φορτίζει τη στάθμη από κάτω της, καθώς πατάει σε αυτήν. Επομένως, τα βάρη των τοίχων που αποτυπώνονται στον ξυλότυπο Α ορόφου θα πάνε στη στάθμη 1, ενώ τα βάρη των τοίχων που αποτυπώνονται στον ξυλότυπο ισογείου θα αγνοηθούν θεωρώντας Σελίδα 2 από 16

ότι πηγαίνουν απευθείας στο έδαφος κάτω. Ομοίως, το βάρος του στηθαίου περιμετρικά του δώματος, θα θεωρηθεί ότι πηγαίνει στη στάθμη 2. Στο τέλος θα γίνει άθροιση των βαρών της τοιχοποιίας για κάθε στάθμη. Προσοχή στο ύψος της τοιχοποιίας: Αν πάνω από αυτήν υπάρχει δοκός, πρέπει να ληφθεί το ύψος τοιχοποιίας μέχρι το κάτω μέρος της δοκού. Αν πάνω από αυτήν δεν υπάρχει δοκός αλλά πλάκα, πρέπει να ληφθεί υπόψη ύψος τοιχοποιίας μέχρι το κάτω μέρος της πλάκας. Δίνεται το ίδιο βάρος τοιχοποιίας: Εξωτερικοί τοίχοι 3.6 kn/m 2, εσωτερικοί τοίχοι 2.1 kn/m 2. Τα τελικά βάρη θα είναι σε N ή kn. Γενικά βολεύει να δουλέψω με τα καθαρά μήκη των τοίχων, τα οποία συμπίπτουν (με την εξαίρεση του στηθαίου στο δώμα) με τα καθαρά μήκη των αντίστοιχων δοκών, τα οποία τα έχω βρει ήδη σε προηγούμενο βήμα. Ε. Κινητό φορτίο Για κάθε στάθμη θα υπολογιστεί το κινητό φορτίο της αντίστοιχης πλάκας. Το κινητό φορτίο των πλακών που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής ισογείου θα ληφθεί υπόψη στη στάθμη 1, ενώ το κινητό των πλακών που φαίνονται στον ξυλότυπο οροφής Α ορόφου θα ληφθεί υπόψη στη στάθμη 2. Δίνεται το κινητό φορτίο: 2 kn/m 2 σε όλες τις εσωτερικές πλάκες και 5 kn/m 2 στους προβόλους. Δίνεται ο συντελεστής συνδυασμού δράσεων Ψ 2 =0.30. Τα τελικά κινητά φορτία θα πολλαπλασιαστούν με τον συντελεστή Ψ 2, θεωρώντας ότι κατά τη διάρκεια του σεισμού δεν θα είναι παρόντα όλα τα κινητά φορτία, αλλά μόνο το 30% τους. Τα τελικά φορτία θα είναι σε N ή kn. ΣΤ. Άθροιση των επιμέρους φορτίων και εύρεση των μαζών Αφού βρεθούν όλα τα παραπάνω φορτία για κάθε στάθμη, τα φορτία αθροίζονται ανά στάθμη και έχουμε τα τελικά φορτία Β 1 και Β 2 των δύο σταθμών. Για τον υπολογισμό της μάζας κάθε στάθμης, το αντίστοιχο φορτίο της στάθμης θα διαιρεθεί με το g=9.81 m/sec 2 ώστε να προκύψει η μάζα. Προσοχή: Αν έχω χρησιμοποιήσει για το βάρος μονάδες Ν, τότε η μάζα θα προκύψει σε kg. Αν έχω χρησιμοποιήσει για το βάρος μονάδες kν, τότε η μάζα θα προκύψει σε ton. Με τον τρόπο αυτόν θα βρεθούν οι μάζες m 1 και m 2. Η ολική μάζα της κατασκευής m ολ θα βρεθεί ως το άθροισμα των δύο επιμέρους μαζών. 2. Ο υπολογισμός της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου του κτιρίου εφαρμόζοντας την προσεγγιστική σχέση του κανονισμού (σχέση 3.13), για κάθε διεύθυνση. Στο θέμα θα εφαρμόσουμε την απλοποιημένη φασματική μέθοδο που περιγράφεται στην παράγραφο 3.5 του κανονισμού ΕΑΚ 2000. Για τον υπολογισμό της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου Τ (σε sec) για κάθε διεύθυνση, θα γίνει χρήση του παρακάτω τύπου (Σχέση 3.13) του κανονισμού: T 0.09 H H L H L Σελίδα 3 από 16

Όπου: Η είναι το ύψος του κτιρίου, σε m, μετρούμενο στην περίπτωσή μας από τη θεμελίωση. L είναι το μήκος του κτιρίου στην εξεταζόμενη διεύθυνση υπολογισμού. ρ είναι ο λόγος της επιφάνειας των διατομών των τοιχωμάτων ανά διεύθυνση σεισμικής δράσης προς την συνολική επιφάνεια τοιχωμάτων και υποστυλωμάτων. Στην περίπτωσή μας δεν έχουμε τοιχώματα, άρα ρ=0 και ο τύπος απλοποιείται. Προκύπτουν δύο ιδιοπερίοδοι για το κτίριο, μία σε κάθε διεύθυνση (T και T y ). 3. Ο υπολογισμός της συνολικής σεισμικής δύναμης (τέμνουσας βάσης) για κάθε διεύθυνση. Για τον υπολογισμό της συνολικής σεισμικής δύναμης για κάθε οριζόντια διεύθυνση θα γίνει χρήση του παρακάτω τύπου (Σχέση 3.12) του κανονισμού: V0 M d ( T ) Όπου M είναι η συνολική ταλαντούμενη μάζα της κατασκευής που έχει βρεθεί στο ερώτημα 1 και Φ d (T) είναι η επιτάχυνση σχεδιασμού (τεταγμένη του φάσματος σχεδιασμού του κανονισμού, που αντιστοιχεί στη θεμελιώδη ιδιοπερίοδο T ή T y ). Επειδή η ιδιοπερίοδος είναι γενικά διαφορετική σε κάθε διεύθυνση, γενικά και η σεισμική δύναμη θα είναι διαφορετική σε κάθε διεύθυνση (εκτός και αν η τιμή της φασματικής επιτάχυνσης προκύψει ίδια και στις δύο διευθύνσεις, όπως θα δούμε παρακάτω). Η επιτάχυνση σχεδιασμού Φ d (T) θα βρεθεί για T=T και T=T y (και για τις δύο διευθύνσεις) από τους παρακάτω τύπους του κανονισμού (Σχέσεις 2.1): Για την αναλυτική επεξήγηση των παραμέτρων που περιέχονται στις παραπάνω σχέσεις, βλ. παράγραφο 2.3.1 του κανονισμού. Στο βήμα αυτό χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα παρακάτω δεδομένα που δίνονται στην εκφώνηση του θέματος: Ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας: ΙΙ. Άρα Α=0.24g (βλ. Ζώνες Σεισμικής Επικινδυνότητας του κανονισμού και σχετικό χάρτη). Κατηγορία σπουδαιότητας: Σ2, άρα γ Ι =1.00 (βλ. Πίνακα 2.3 του κανονισμού). Έδαφος κατηγορίας Β. Άρα T 1 =0.15 sec, T 2 =0.60 sec (βλ. Πίνακα 2.4 του κανονισμού). Έχουμε πλαίσιο από οπλισμένο σκυρόδεμα, άρα q=3.5 (βλ. Πίνακα 2.6 του Σελίδα 4 από 16

κανονισμού). Έχουμε έδαφος Β, άρα Συντελεστής θεμελίωσης θ=1.0 (βλ. Παράγραφο 2.3.7 και επίσης Πίνακα 2.7 του κανονισμού). Συντελεστής φασματικής ενίσχυσης β 0 =2.5 (βλ. Παράγραφο 2.3.1[1] του κανονισμού). Διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης η=1, καθώς ζ=5% (βλ. Παράγραφο 2.3.1[2] του κανονισμού καθώς και Πίνακα 2.8). 4. Ο υπολογισμός της συνολικής σεισμικής δύναμης ανά στάθμη, για κάθε διεύθυνση. Για τον υπολογισμό της συνολικής σεισμικής δύναμης ανά στάθμη, F,1 και F,2 για σεισμική διεύθυνση, και F y,1 και F y,2 για σεισμική διεύθυνση y (σε N), θα γίνει χρήση του παρακάτω τύπου της παρ. 3.5.2[3] του ΕΑΚ2000, για κάθε στάθμη i της κατασκευής και για κάθε σεισμική διεύθυνση και y: Για την αναλυτική επεξήγηση των μεταβλητών που περιέχονται στην παραπάνω σχέση, βλ. παρ. 2.3.1 του ΕΑΚ 2000. Στη δική μας περίπτωση, είναι V H =0 αφού οι ιδιοπερίοδοι της κατασκευής είναι (λογικά) < 1 sec, επομένως ο τύπος απλοποιείται. Προτείνεται η δημιουργία του παρακάτω βοηθητικού πίνακα (απαιτούνται δύο πίνακες, ένας για τη διεύθυνση και ένας για τη διεύθυνση y): Στάθμη m i z i m i z i F i 1 2 Άθροισμα Σ(m i ) Σ(m i z i ) Σ(F i ) Σε περίπτωση που η σεισμική δύναμη έχει από το προηγούμενο ερώτημα προκύψει ίδια για τις δύο διευθύνσεις, τότε αρκεί να γίνει ένας πίνακας αφού τα δεδομένα θα είναι ακριβώς τα ίδια στις δύο διευθύνσεις. 5. Ο υπολογισμός του Κέντρου Βάρους (ΚΒ) της κάθε στάθμης. Ορίζουμε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων, y. Οι άξονες θα πρέπει να είναι παράλληλοι με τις κύριες διευθύνσεις της κατασκευής, ενώ ως αρχή των αξόνων μπορεί να ληφθεί πχ το κάτω αριστερά σημείο του υποστυλώματος Κ9 ή και άλλο σημείο της κάτοψης. Καλό είναι να χρησιμοποιηθεί το ίδιο σύστημα συντεταγμένων και για τις δύο εξεταζόμενες στάθμες. Προτείνεται το κάτω αριστερά σημείο του υποστυλώματος Κ9 και για τις δύο στάθμες. Για τον υπολογισμό του κέντρου βάρους κάθε στάθμης, θα ληφθούν υπόψη μόνο οι πλάκες της κατασκευής με τα φορτία τους (μόνιμα και κινητά), αμελώντας την επιρροή των δοκών, Σελίδα 5 από 16

υποστυλωμάτων και της τοιχοποιίας (παραδοχή). Οι πλάκες Π1 έως Π5 (έχουν το ίδιο πάχος) μπορούν να ληφθούν ως ένα ενιαίο ορθογώνιο, ενώ οι πλάκες Π6 και Π7 της στάθμης 1 πρέπει να ληφθούν χωριστά. Επομένως, για τη στάθμη 2 (όροφος, όπου δεν υπάρχουν οι Π6, Π7), η θέση του κέντρου βάρους είναι προφανώς το κέντρο του ορθογωνίου που ορίζεται από τις Π1 έως Π5. Για τη στάθμη 1 (ισόγειο) θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο αναλυτικός τύπος υπολογισμού του κέντρου βάρους: P, P y P i i i i y i Pi Όπου P i είναι το κατακόρυφο φορτίο του στοιχείου i. Θα υπάρχουν τρία στοιχεία: Το μεγάλο ορθογώνιο (Π1 έως Π5) και οι πλάκες Π6 και Π7. Προσοχή στο ότι για την περίπτωση των πλακών, πρέπει να ληφθεί υπόψη τόσο το ίδιο βάρος (μόνιμο) όσο και το κινητό φορτίο, και επομένως για κάποια πλάκα θα είναι: P=L L y (Πάχος) γ σκ + 0.3 L L y (Κινητό φορτίο). 6. Ο υπολογισμός των δυσκαμψιών των υποστυλωμάτων ανά διεύθυνση και ανά στάθμη. 7. Η εύρεση του Κέντρου Ελαστικής Στροφής (ΚΕΣ) για κάθε στάθμη και της δυστρεψίας του κάθε ορόφου Αυτά τα δύο ερωτήματα (6 και 7) θα απαντηθούν παρακάτω μαζί: Το Κέντρο Ελαστικής Στροφής (ΚΕΣ) μονώροφης κατασκευής (ορισμός) είναι το σημείο στο οποίο αν ασκηθεί δύναμη κατά (κύριος άξονας), θα μετακινηθεί ο δίσκος (διάφραγμα) της κατασκευής μόνο κατά - (όχι μετακίνηση y-y, όχι στροφή του διαφράγματος). Ομοίως και αν ασκηθεί δύναμη κατά y (κύριος άξονας). Η θέση του ΚΕΣ μίας μονώροφης κατασκευής εξαρτάται από τα υποστυλώματα (τις διαστάσεις και τις θέσεις τους), αφού αυτά συνεισφέρουν δυσκαμψίες κατά και y. Στο θέμα, για τον υπολογισμό της θέσης του ΚΕΣ κάθε στάθμης, είναι χρήσιμο να γίνει ένας πίνακας όπως ο παρακάτω (προτείνεται να χρησιμοποιηθεί το MS Ecel ή ισοδύναμο πρόγραμμα). Θα γίνουν δύο πίνακες, ένας για κάθε στάθμη της κατασκευής. Υποστύλωμα d dy y I I y K K y K y y K 1 2 12 Άθροισμα Σ(K ) Σ(K y ) Σ( K y ) Σ(y K ) Στον παραπάνω πίνακα: d, dy είναι οι διαστάσεις της διατομής του κάθε υποστυλώματος,,y είναι οι συντεταγμένες της θέσης του κέντρου του υποστυλώματος, I, I y είναι οι ροπές Σελίδα 6 από 16

αδράνειας του υποστυλώματος στους άξονες και y αντίστοιχα, και K, K y είναι οι δυσκαμψίες του υποστυλώματος στους άξονες και y αντίστοιχα. Τα υποστυλώματα ΔΕΝ θεωρούνται αμφίπακτα, αλλά εφαρμόζεται η θεωρία για την οποία έχει δοθεί φυλλάδιο. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: Ροπές αδράνειας: 1 1 I d dy I dy d 12 12 3 3, y Δυσκαμψίες (σύμφωνα με τη θεωρία που έχει δοθεί): K 12EI y 12EI, K 3 y 3 h h Όπου h το ύψος του υποστυλώματος της στάθμης και α ο συντελεστής που προκύπτει σύμφωνα με τη θεωρία για την οποία σας έχει δοθεί σχετικό φυλλάδιο. Προσοχή στο ότι άλλος είναι ο συντελεστής α για το ισόγειο και άλλος για τον Α όροφο (διαφορετικοί τύποι). Στην τελευταία γραμμή του παραπάνω πίνακα θα υπολογιστούν τα αθροίσματα: Σ(Κ ), Σ(K y ), Σ( K y ), Σ(y K ), και τελικά: K K y y, y y K K Στην περίπτωση του θέματος, το ΚΕΣ της στάθμης 1 θα είναι τελικά το ίδιο με αυτό της στάθμης 2, αφού έχουμε τα ίδια ακριβώς υποστυλώματα, έστω και αν αλλάζουν τα ύψη. Δεν ισχύει το ίδιο για τα κέντρα βάρους, που θα είναι διαφορετικά. Σκοπός μας είναι τελικά η ανάπτυξη ενός μοντέλου «ισοδύναμου υποστυλώματος» για κάθε στάθμη. Πρόκειται για ένα θεωρητικό υποστύλωμα για κάθε στάθμη, το οποίο θεωρείται ότι βρίσκεται στη θέση του ΚΕΣ της κατασκευής και το οποίο έχει την ιδιότητα ότι θα έχει τις ίδιες μετακινήσεις με το ΚΕΣ (μετακινήσεις u κατά και v κατά y, καθώς και στροφή φ περί τον z), για την ίδια φόρτιση στην εξεταζόμενη στάθμη. Πρέπει να βρεθούν οι δυσκαμψίες και η δυστρεψία του ισοδύναμου υποστυλώματος, σύμφωνα με τα παρακάτω. Δυσκαμψίες ισοδύναμου υποστυλώματος D, D y :, D K D K i y yi i1 i1 Οι δυσκαμψίες D, D y της κάθε στάθμης της κατασκευής έχουν βρεθεί ήδη και εκφράζονται από τα αθροίσματα της 8 ης και 9 ης στήλης του παραπάνω πίνακα που αφορά την εξεταζόμενη στάθμη. Σελίδα 7 από 16

Δυστρεψία ισοδύναμου υποστυλώματος D φ : Η δυστρεψία του ισοδύναμου υποστυλώματος της εξεταζόμενης στάθμης δίνεται από την παρακάτω σχέση: Όπου τα, y i1 D K K y K 2 2 i i yi i i είναι οι συντεταγμένες του εκάστοτε υποστυλώματος ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το ΚΕΣ, το οποίο θα ονομάζεται σύστημα, y. Αφού βρεθεί το ΚΕΣ, πρέπει για τη συνέχεια των υπολογισμών να ληφθεί αυτό ως αρχή των νέων αξόνων. Ισχύουν για ένα οποιοδήποτε σημείο,y οι γενικές σχέσεις μετασχηματισμού:, y y y Στην σχέση υπολογισμού του D φ, το Κ φi είναι η δυστρεψία κάθε μεμονωμένου υποστυλώματος i. Ο όρος αυτός συχνά παραλείπεται, καθώς είναι σχετικά μικρός σε σχέση με τους δύο άλλους όρους της σχέσης και προτείνεται να παραληφθεί και για τις ανάγκες του θέματος. Προτείνεται η κατασκευή ενός βοηθητικού πίνακα για κάθε στάθμη ως εξής: Υποστύλωμα d dy y y K K y 2 2 K y K 1 2 12 Άθροισμα 2 ( K y ) y 2 ( ) yk Άθροισμα των δύο = D φ Κάποιες από τις στήλες του παραπάνω πίνακα έχουν υπολογιστεί ήδη στον προηγούμενο πίνακα, ενώ τα νέα στοιχεία φαίνονται μέσα σε έντονο πλαίσιο. Το άθροισμα των δύο τελευταίων στηλών του πίνακα θα μας δώσει τελικά τη δυστρεψία D φ της εξεταζόμενης στάθμης. Προσοχή στο ότι η δυστρεψία της στάθμης 1 σε σχέση με αυτή της στάθμης 2 θα είναι διαφορετική, λόγω της διαφοράς ύψους των δύο σταθμών. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στα προηγούμενα, βρήκαμε μία θέση του ΚΕΣ για κάθε στάθμη. Αν είχαμε δύο μονώροφες κατασκευές (μία για κάθε στάθμη), τότε αυτές θα ήταν οι πραγματικές θέσεις του ΚΕΣ για κάθε μονώροφη κατασκευή. Όμως, δεν έχουμε δύο μονώροφες αλλά μία ενιαία διώροφη κατασκευή. Στις πολυώροφες κατασκευές η θέση του κέντρου δυσκαμψίας ορίζεται με διαφορετικό τρόπο. Σελίδα 8 από 16

Στην Παρ. 3.3.3[2] του ΕΑΚ2000 αναφέρεται: Σύμφωνα με το παραπάνω, εμείς για τη συνέχεια των υπολογισμών, θα θεωρούμε μία ενιαία θέση του ΚΕΣ για όλες τις στάθμες (και για τη στάθμη 1 και για τη στάθμη 2), και συγκεκριμένα τη θέση του ΚΕΣ της στάθμης 2, καθώς αυτή βρίσκεται πλησιέστερα στο 80% του ύψους της κατασκευής. Με απλά λόγια, το ΚΕΣ που βρήκαμε για τη στάθμη 1 το παραλείπουμε για τη συνέχεια, και κρατάμε το ΚΕΣ της στάθμης 2 για όλη την κατασκευή. Με αυτό το ΚΕΣ θα γίνουν στη συνέχεια όλοι οι υπολογισμοί παρακάτω, και για τις δύο στάθμες. Σημείωση: Στην περίπτωση του θέματός μας, ούτως ή άλλως η θέση του ΚΕΣ στις δύο στάθμες συμπίπτει. 8. Ο υπολογισμός των εκκεντροτήτων σχεδιασμού. Οι γεωμετρικές εκκεντρότητες εκφράζουν την απόσταση μεταξύ του ΚΒ και του ΚΕΣ κάθε στάθμης σε κάθε διεύθυνση και προκύπτουν από τις παρακάτω σχέσεις: e, e y y, i, i, i y, i, i, i Όπου i η εξεταζόμενη στάθμη. Τονίζεται ότι τα e, e y πρέπει να υπολογιστούν επομένως δύο φορές, μία για κάθε στάθμη της κατασκευής. Προκύπτουν τελικά 4 τιμές. Σύμφωνα με την παρ. 3.3.3[1] του ΕΑΚ2000, κατά την εφαρμογή της απλοποιημένης φασματικής μεθόδου, για κάθε κύρια διεύθυνση του κτιρίου και σε κάθε διάφραγμα (στάθμη), οι σεισμικές δυνάμεις εφαρμόζονται εκατέρωθεν του Κέντρου Μάζας (Κέντρου Βάρους) με τις εκκεντρότητες σχεδιασμού ως προς τον ελαστικό άξονα του κτιρίου, που υπολογίζονται με τις παρακάτω σχέσεις (βλ. και σχέση 3.3α,β του κανονισμού): e e 0.05 L, e e 0.05 L d, i, i yd, i y, i y Όπου i η εξεταζόμενη στάθμη, L και L y οι χαρακτηριστικές διαστάσεις του κτιρίου στις διευθύνσεις και y, αντίστοιχα, και ο συντελεστής λ παίρνει τις τιμές 1.5 ή 0.5. Επομένως, για κάθε στάθμη i και για κάθε διεύθυνση και y υπολογίζονται 4 τιμές των εκκεντροτήτων σχεδιασμού. Για παράδειγμα, για τη στάθμη 1 και για τη διεύθυνση υπολογίζονται οι παρακάτω 4 τιμές: Σελίδα 9 από 16

e d,1α = 1.50 e,1 + 0.05 L X e d,1β = 1.50 e,1-0.05 L X e d,1γ = 0.50 e,1 + 0.05 L X e d,1δ = 0.50 e,1-0.05 L X Προσοχή: Στις παραπάνω 4 τιμές προσθέτουμε και μία πλασματική (θα χρειαστεί παρακάτω), την e d,1ε = 0 (μηδέν). Από τις παραπάνω 5 συνολικά τιμές κρατάμε τελικά τις δύο ακραίες, δηλαδή το e d,1min και το e d,1ma, όπου το min (ελάχιστο) και το ma (μέγιστο) είναι σε αλγεβρικές τιμές (όχι σε απόλυτες τιμές). Η πλασματική τιμή του μηδενός προστίθεται ώστε το ελάχιστο (min) να μην μπορεί να είναι θετικό (σε περίπτωση που και οι 4 τιμές ήταν θετικές) και να γίνει αυτομάτως μηδέν. Το παραπάνω θα γίνει και για τις δύο στάθμες, και για τις δύο διευθύνσεις. Έτσι, θα έχουμε στο τέλος 8 τιμές, ως εξής: 4 τιμές για τη στάθμη 1: e d,1min, e d,1ma, e yd,1min, e yd,1ma 4 τιμές για τη στάθμη 2: e d,2min, e d,2ma, e yd,2min, e yd,2ma Προτείνεται η κατασκευή ενός βοηθητικού πίνακα για κάθε στάθμη, όπως φαίνεται παρακάτω: Στάθμη i (πχ Στάθμη 1) Διεύθυνση e L e α =e 1.5+ e β =e 1.5- e γ =e 0.5+ e δ =e 0.5- e ε =0 e min e ma y Απαιτούνται συνολικά δύο πίνακες για τις δύο στάθμες. 9. (α). Η σχεδίαση σκαριφημάτων των δύο σταθμών, στα οποία θα αποτυπώνονται το ΚΒ, το ΚΕΣ και οι τέσσερις σεισμικές δυνάμεις F,πάνω, F,κάτω, F y,αρ., F y,δεξ., με βάση τις εκκεντρότητες σχεδιασμού. Σε αυτό το ερώτημα καλείστε να σχεδιάσετε όλες τις πιθανές θέσεις εφαρμογής της σεισμικής δύναμης σε κάθε στάθμη, κάθε διεύθυνση και κάθε δυνατή τυχηματική εκκεντρότητα. Θα γίνουν δύο σκαριφήματα, ένα για κάθε στάθμη, όπου θα φαίνονται το ΚΒ, το ΚΕΣ και οι θέσεις εφαρμογής των 4 σεισμικών δυνάμεων. Προσοχή: Η εκκεντρότητα σχεδιασμού εφαρμόζεται προς την ίδια διεύθυνση σε όλους τους ορόφους. Επομένως, αν στη στάθμη 2 εφαρμόζουμε πχ την F,πάνω τότε πρέπει να εφαρμόσουμε την αντίστοιχη F,πάνω και για τη στάθμη 1. Δηλαδή οι δυνάμεις πάνω και κάτω πάνω «πακέτο» σαν ζευγάρια, προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτό θα μας επηρεάσει λίγο παρακάτω, όπου θα συνδυάσουμε τις δυνάμεις αυτές μεταξύ τους. Για την ώρα, ασχολούμαστε με κάθε στάθμη χωριστά. Σελίδα 10 από 16

10. Η εύρεση για κάθε μία σεισμική δύναμη (και για κάθε στάθμη) των μετακινήσεων u,v και της στροφής φ του ισοδύναμου υποστυλώματος. Για τα επόμενα, ορίζονται 4 σεισμικές φορτίσεις για την κατασκευή, κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από ένα σετ (ζευγάρι) δύο δυνάμεων, μία σε κάθε στάθμη (όροφο). Τα 4 ζευγάρια σεισμικών δυνάμεων είναι τα εξής: 1. F,πάνω (Δυνάμεις κατά, εφαρμογή για κάθε στάθμη προς τα «πάνω» σε κάτοψη) 2. F,κάτω (Δυνάμεις κατά, εφαρμογή για κάθε στάθμη προς τα «κάτω» σε κάτοψη) 3. F y,αρ. (Δυνάμεις κατά y, εφαρμογή για κάθε στάθμη προς τα «αριστερά» σε κάτοψη) 4. F y,δεξ. (Δυνάμεις κατά y, εφαρμογή για κάθε στάθμη προς τα «δεξιά» σε κάτοψη). Στα επόμενα, θα δοθούν αναλυτικές οδηγίες για την 1 η φόρτιση, δηλαδή την F,πάνω (δύναμη κατά, εφαρμογή στο e y,ma ή στο e y,min ). Σε πλήρη αντιστοιχία θα αντιμετωπιστούν και οι άλλες τρεις φορτίσεις. Η φόρτιση F,πάνω αποτελείται από δύο σεισμικές δυνάμεις κατά, μία σε κάθε στάθμη (όροφο) της κατασκευής. Το μέτρο κάθε δύναμης έχει βρεθεί ήδη στο ερώτημα 4, όπου έγινε κατανομή της σεισμικής δύναμης κατά στις δύο στάθμες της κατασκευής. Η θέση εφαρμογής της κάθε δύναμης ορίζεται από το e y,ma ή το e y,min της κάθε στάθμης (το οποίο βρέθηκε ήδη στο ερώτημα 9), όπως θα δούμε αναλυτικότερα παρακάτω. Προσοχή: Για να προσδιορίσουμε την ακριβή θέση εφαρμογής της σεισμικής δύναμης F,πάνω ή F,κάτω στην εξεταζόμενη στάθμη, μετράμε απόσταση e y,ma ή e y,min από το ΚΕΣ της εξεταζόμενης στάθμης, θεωρώντας θετική φορά τη φορά από το ΚΕΣ προς το ΚΒ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται στο (α) η θέση εφαρμογής της εξεταζόμενης σεισμικής δύναμης F,eyma (για κάποια στάθμη). Στο (β) φαίνεται για λόγους καλύτερης κατανόησης της μεθοδολογίας η αντίστοιχη δύναμη F y,ema, που αντιστοιχεί όμως σε άλλη φόρτιση και δεν θα μας απασχολήσει στην παρούσα φάση. ΚΒ F,eyma + ΚΕΣ e y,ma Fy,ema ΚΒ + ΚΕΣ (α) (β) e,ma Αφού γίνουν τα σχήματα, ονομάζουμε τις δυνάμεις «πάνω», «κάτω», «αριστερά», «δεξιά», σύμφωνα με τη γεωμετρία του σχήματός μας. ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν μπορούμε εκ των προτέρων να ξέρουμε αν πχ η e y,ma ή η e y,min αντιστοιχεί στο «πάνω» ή στο «κάτω», αυτό έχει να κάνει με τις θέσεις ΚΒ και ΚΕΣ και προκύπτει μόνο από το τελικό σχήμα μας. Σελίδα 11 από 16

Πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι η δύναμη F,eyma του παραπάνω σχήματος (α) δεν έχει σημασία σε ποια ακριβώς θέση κατά εφαρμόζεται, με άλλα λόγια το διάνυσμά της μπορεί να «ολισθαίνει» πάνω στη διεύθυνσή του, αρκεί η απόστασή του από το ΚΕΣ να παραμένει η ίδια (e y,ma ). Αντίστοιχα, η δύναμη F y,ema του παραπάνω σχήματος (β) δεν έχει σημασία σε ποια ακριβώς θέση κατά y εφαρμόζεται, καθώς το διάνυσμά της μπορεί να «ολισθαίνει» πάνω στη διεύθυνσή του, αρκεί η απόστασή του από το ΚΕΣ να παραμένει η ίδια (e,ma ). Παρακάτω φαίνεται σχηματικά το 1 ο ζευγάρι σεισμικών δυνάμεων, με την εφαρμογή της F,πάνω (δύναμη κατά, εφαρμογή πχ στο e y,ma ) σε κάθε στάθμη της κατασκευής. Στάθμη 2 ΚΒ 2 ΚΕΣ F,πάνω2 Στάθμη 1 ΚΒ 1 F,πάνω1 ΚΕΣ Για την επίλυση της διώροφης κατασκευής για την παραπάνω φόρτιση, θα θεωρήσουμε κάθε στάθμη ξεχωριστά ως μία μονώροφη κατασκευή. Το πρόβλημα ανάγεται επομένως στην επίλυση δύο ξεχωριστών προβλημάτων μονώροφης κατασκευής. Για το πρόβλημα αυτό έχουν δοθεί αναλυτικές οδηγίες (φυλλάδιο θεωρίας μονωρόφου και αντίστοιχη εφαρμογή σε Ecel) τις οποίες πρέπει να μελετήσει ο σπουδαστής στη φάση αυτή του θέματος. Στην εφαρμογή που έχει δοθεί σε αρχείο Ecel, εφαρμόζονται δύο δυνάμεις (F, F y ) σε μονώροφη κατασκευή. Για το θέμα θα γίνει το ίδιο, όμως κάθε φορά θα εφαρμόζεται μόνο μία δύναμη σε κατάλληλη θέση της κατασκευής, καθώς η επαλληλία των δυνάμεων κατά και y θα γίνει στο τέλος. Για τις μετακινήσεις u, v και τη στροφή του ΚΕΣ, ισχύουν: α. Αν έχω δυνάμεις κατά, τότε για κάθε στάθμη ισχύει: M F y F, u, v 0 D D D Σελίδα 12 από 16

β. Αν έχω δυνάμεις κατά y, τότε για κάθε στάθμη ισχύει: M Fy F, u 0, v D D D y y 11. Η εύρεση για κάθε μία σεισμική δύναμη (και για κάθε στάθμη) των μετακινήσεων u,v του κάθε υποστυλώματος της κάτοψης. Οι μετακινήσεις και στροφές των υποστυλωμάτων προκύπτουν και αυτές με βάση τις αναλυτικές οδηγίες του φυλλαδίου θεωρίας μονώροφου. Ισχύουν οι γνωστές σχέσεις της θεωρίας μονορώφου: Οι μετακινήσεις u Σ, v Σ κάποιου σημείου Σ του διαφράγματος θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: F Fy u y, v D D Αν όπου Σ ορίσουμε το κέντρο βάρους ενός υποστυλώματος, θα λάβουμε τις μετακινήσεις του εν λόγω υποστυλώματος και με τον τρόπο αυτό μπορούμε να βρούμε τις μετακινήσεις u, v όλων των υποστυλωμάτων της κατασκευής. Για κάθε σεισμική δύναμη (F,πάνω, F,κάτω, F y,αρ., F y,δεξ. ) προτείνεται η μόρφωση του ακόλουθου πίνακα αποτελεσμάτων που περιλαμβάνει και τις δύο στάθμες της κατασκευής: y Φόρτιση F,πάνω Υποστύλωμα u v Κ 1,1 u Κ1,1_(F,πάνω) v Κ1,1_(F,πάνω) Κ 2,1 u Κ2,1_(F,πάνω) v Κ2,1_(F,πάνω) Κ 12,1 u,κ12,1_(f,πάνω) v Κ12,1_(F,πάνω) Κ 1,2 u,κ1,2_(f,πάνω) v Κ1,2_(F,πάνω) Κ 2,2 u,κ2,2_(f,πάνω) v Κ2,2_(F,πάνω) Κ 12,2 u,κ12,2_(f,πάνω) v Κ12,2_(F,πάνω) 12. Η εύρεση των μέγιστων απόλυτων τεμνουσών δυνάμεων V, V y του κάθε υποστυλώματος της κάτοψης χωριστά για σεισμό κατά και σεισμό κατά y, για κάθε στάθμη. Έχοντας ετοιμάσει τους τέσσερις πίνακες του ερωτήματος 11 μπορούν να προκύψουν αμέσως με βάση τη θεωρία μονωρόφου οι τέμνουσες κάθε υποστυλώματος για κάθε φόρτιση. Από τη θεωρία μονορώφου έχουμε: Σελίδα 13 από 16

Οι τέμνουσες δυνάμεις V i, V yi ενός υποστυλώματος i δίνονται από τις σχέσεις: V K u, V K v i i i yi yi i Όπου K i, K yi οι δυσκαμψίες του υποστυλώματος i κατά και y αντίστοιχα (έχουν υπολογιστεί ήδη) και u i, v i οι μετακινήσεις του υποστυλώματος κατά και y αντίστοιχα, που έχουν βρεθεί στο προηγούμενο βήμα. Σημειώνεται ότι οι αντιδράσεις στην πάκτωση, στη βάση του υποστυλώματος, θα έχουν γενικά αντίθετες φορές σε σχέση με τις αντίστοιχες μετατοπίσεις. Για παράδειγμα, αν το u i είναι θετικό, η αντίστοιχη αντίδραση F i θα έχει αρνητική τιμή και θα είναι ίση σε απόλυτη τιμή με την αντίστοιχη τέμνουσα V i. Θα μορφωθούν επομένως τελικά δύο σετ τεμνουσών δυνάμεων κατά και y, ένα σετ για κάθε στάθμη της κατασκευής. Τις δυνάμεις αυτές τις βάζουμε στο τέλος σε έναν πίνακα, τη μία στάθμη κάτω από την άλλη, ως εξής: Φόρτιση F,πάνω Υποστύλωμα Τέμνουσα V Τέμνουσα V y Κ 1,1 V,Κ1,1_(F,πάνω) V y,κ1,1_(f,πάνω) Κ 2,1 V,Κ2,1_(F,πάνω) V y,κ2,1_(f,πάνω) Κ 12,1 V,Κ12,1_(F,πάνω) V y,κ12,1_(f,πάνω) Κ 1,2 V,Κ1,2_(F,πάνω) V y,κ1,2_(f,πάνω) Κ 2,2 V,Κ2,2_(F,πάνω) V y,κ2,2_(f,πάνω) Κ 12,2 V,Κ12,2_(F,πάνω) V y,κ12,2_(f,πάνω) Ο πίνακας αυτός θα έχει τελικά διαστάσεις 24 2 στο Ecel και θα περιέχει τις τέμνουσες δυνάμεις V και V y και των δύο ορόφων για τη φόρτιση F,πάνω. Αντίστοιχα φτιάχνουμε και τους άλλους 3 πίνακες που αντιστοιχούν στα άλλα 3 σετ φορτίσεων. Προτείνεται να γίνει χρήση διαφορετικών sheets στο ecel (1 sheet για κάθε φόρτιση) όπου στη συνέχεια, με τα κατάλληλα copy/paste θα προκύπτουν αυτόματα τα αποτελέσματα για τις άλλες φορτίσεις, με αλλαγή μόνο του μεγέθους και της θέσης εφαρμογής της σεισμικής δύναμης. Έτσι, θα έχουμε στο τέλος 4 πίνακες 24 2 (Α, Β, Γ, Δ) στο Ecel: Σελίδα 14 από 16

Α. Φόρτιση F,πάνω Β. Φόρτιση F,κάτω Γ. Φόρτιση F y,αρ. Δ. Φόρτιση F y,δεξ. Πίνακας 24 2 Πίνακας 24 2 Πίνακας 24 2 Πίνακας 24 2 V,Κ1,1Α V,Κ2,1Α V y,κ1,1α V y,κ2,1α V,Κ12,1Α V y,κ12,1α V,Κ1,2Α V,Κ2,2Α V y,κ1,2α V y,κ2,2α V,Κ12,2Α V y,κ12,2α V,Κ1,1Β V,Κ2,1Β V,Κ12,1Β V,Κ1,2Β V,Κ2,2Β V,Κ12,2Β V y,κ1,1β V y,κ2,1β V y,κ12,1β V y,κ1,2β V y,κ2,2β V y,κ12,2β V,Κ1,1Γ V,Κ2,1Γ V,Κ12,1Γ V,Κ1,2Γ V,Κ2,2Γ V,Κ12,2Γ V y,κ1,1γ V y,κ2,1γ V y,κ12,1γ V y,κ1,2γ V y,κ2,2γ V y,κ12,2γ V,Κ1,1Δ V,Κ2,1Δ V,Κ12,1Δ V,Κ1,2Δ V,Κ2,2Δ V,Κ12,2Δ V y,κ1,1δ V y,κ2,1δ V y,κ12,1δ V y,κ1,2δ V y,κ2,2δ V y,κ12,2δ Από τους παραπάνω 4 πίνακες θα καταλήξουμε τελικά σε δύο πίνακες 24 2, έναν για κάθε κύρια διεύθυνση σεισμού ( ή y), όπως φαίνεται παρακάτω, παίρνοντας το μέγιστο απόλυτο των δύο αντίστοιχων τιμών: Φόρτιση F Πίνακας 24 2 X1 Φόρτιση F y Πίνακας 24 2 Y1 Δηλαδή: X1=ma(abs(V,Κ1,1Α ) ; abs(v,κ1,1β )) και Y1=ma(abs(V,Κ1,1Α ) ; abs(v,κ1,1β )), ενώ αντίστοιχα προκύπτουν και όλες οι άλλες τιμές του πίνακα. Είναι προφανές ότι θα χρησιμοποιηθεί ecel και κατάλληλα copy/paste ώστε η διαδικασία αυτή να γίνει αυτόματα. Με λίγα λόγια, για παράδειγμα από τα αποτελέσματα (τέμνουσες δυνάμεις) των F,πάνω και F,κάτω κρατάμε τα δυσμενέστερα κατ απόλυτη τιμή και αντίστοιχα για τις δυνάμεις κατά y. 13. Η εύρεση των τεμνουσών δυνάμεων στα υποστυλώματα για τον σεισμικό συνδυασμό F + 0.3 F y και για σεισμικό συνδυασμό F y + 0.3 F, για κάθε στάθμη. Θα υπολογιστούν οι τέμνουσες δυνάμεις των υποστυλωμάτων για: (α) Ταυτόχρονο κύριο σεισμό και 30% του σεισμού y, ή (β) Ταυτόχρονο κύριο σεισμό y και 30% του σεισμού. Ο υπολογισμός διευκολύνεται με τη μόρφωση των ακόλουθων πινάκων, όπου ουσιαστικά προστίθενται τα μεγέθη που προέκυψαν στο ερώτημα 12. Δηλαδή, για το συνδυασμό F + 0.3 F y, για το υποστύλωμα Κ1 προστίθεται η μέγιστη κατά απόλυτη τιμή τέμνουσα V που προέκυψε για σεισμό με το 30% της μέγιστης κατά απόλυτη τιμή τέμνουσας V που προέκυψε για σεισμό y. Αντίστοιχα, για τον σεισμικό συνδυασμό F y + 0.3 F. Σελίδα 15 από 16

Κύριος σεισμός : F + 0.3F y Πίνακας 24 2 με τέμνουσες Χ1+0.3Υ1 Κύριος σεισμός y: F y + 0.3F Πίνακας 24 2 με τέμνουσες Υ1+0.3Χ1 Με αυτόν τον τρόπο ολοκληρώνεται ο υπολογισμός των τεμνουσών δυνάμεων για κάθε υποστύλωμα. Τονίζεται ότι οι τέμνουσες δυνάμεις είναι σε απόλυτες τιμές και θα έχουν όλες θετικό πρόσημο, σύμφωνα με τα παραπάνω. Σελίδα 16 από 16