Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Χηµικών Μηχανικών Εισαγωγή στην Υπολογιστική Ανάλυση Φαινοµένων Μεταφοράς µε το FEMLAB 3.1 Εγχειρίδιο για το υπολογιστικό εργαστήριο του µαθήµατος «Φαινόµενα Μεταφοράς Ι» ιδάσκοντες : Ανδρέας Μπουντουβής Άγγελος Παπαϊωάννου Επιµέλεια : Βενετία Ρήγου Αθήνα 2005
Λίγα λόγια για το FEMLAB To FEMLAB είναι ένα υπολογιστικό πακέτο το οποίο, βασιζόµενο στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method), επιλύει προβλήµατα που περιγράφονται µαθηµατικά από διαφορικές εξισώσεις µε µερικές παραγώγους (PDEs) Έχοντας ορίσει το πρόβληµα, τα στάδια που ακολουθούνται για τον υπολογισµό της λύσης είναι : 1. Σχεδιασµός του χωρίου επίλυσης (Draw mode) 2. Προσδιορισµός των συνοριακών συνθηκών και των παραµέτρων του προβλήµατος (Physics mode) 3. Κατασκευή του πλέγµατος διακριτοποίησης (Mesh mode) 4. Υπολογισµός της λύσης (Solve) 5. Γραφική επεξεργασία των αποτελεσµάτων (Post-processing mode) Πεδία Εφαρµογής Φαινόµενα µεταφοράς µάζας, ενέργειας και ορµής Ηλεκτροµαγνητισµός Οπτική Ακουστική Βιοτεχνολογία Βιοϊατρική Μικρο-ηλεκτροµηχανικά συστήµατα (ΜΕΜs) Ηλεκτρολυτικά κελιά, µπαταρίες, κυψελίδες καυσίµου (Fuel cells) κ.ά.... Γενικές πληροφορίες για το υπολογιστικό πακέτο καθώς και λυµένα παραδείγµατα υπάρχουν στα εγχειρίδια : FEMLAB 3 Modeling Guide και FEMLAB 3 User s Guide, και στην κεντρική ιστοσελίδα της COMSOL. Σύνθετα φυσικά προβλήµατα παρουσιάζονται στο link : http://www.comsol.com/showroom/gallery/
Ο Οδηγός Πλοήγησης Εισαγωγή στο κεντρικό µενού Ενεργοποιώντας το υπολογιστικό πακέτο, εµφανίζεται ο οδηγός πλοήγησης (Model Navigator), απ όπου επιλέγουµε την πορεία µοντελοποίησης του προβλήµατος. Επιλογή του είδους του µοντέλου Επιλογή του αριθµού των διαστάσεων του χωρίου Ονοµασία εξαρτηµένων µεταβλητών Ονοµασία εφαρµογής Συνοπτική περιγραφή του προβλήµατος Επιλογή του είδους των στοιχείων που θα χρησιµοποιηθούν (συναρτήσεις βάσης)
Η επιφάνεια εργασίας (για διδιάστατη γεωµετρία) Πλήκτρα συντόµευσης για το σχεδιασµό του χωρίου
Για το σχεδιασµό απλών διδιάστατων χωρίων, τα πλήκτρα συντόµευσης που χρησιµοποιούνται είναι : Κατασκευή ορθογωνίου και τετραγώνου ξεκινώντας από εξωτερικό σηµείο (Rectangle/Square) Κατασκευή ορθογωνίου και τετραγώνου ξεκινώντας από το κέντρο (Rectangle/Square - Centered) Κατασκευή έλλειψης και κύκλου ξεκινώντας από εξωτερικό σηµείο (Ellipse/Circle) Κατασκευή έλλειψης και κύκλου ξεκινώντας από το κέντρο (Ellipse/Circle - Centered) Για περισσότερο σύνθετες γεωµετρίες : Ένωση σχηµάτων (Union) Τοµή σχηµάτων (Intersection) ιαφορά σχηµάτων (Difference) Οι αντίστοιχες, καθώς και πρόσθετες, ρυθµίσεις για το σχεδιασµό της γεωµετρίας µπορούν να καθοριστούν από το µενού Draw στην επιφάνεια εργασίας. Χρησιµοποιώντας το µενού Physics ορίζονται οι συνοριακές συνθήκες και οι παράµετροι του προβλήµατος, επιλέγοντας Boundary Settings και Subdomain Settings αντίστοιχα. Οι ρυθµίσεις για το πλέγµα διακριτοποίησης γίνονται επιλέγοντας Mesh. Εναλλακτικά µπορούν να χρησιµοποιηθούν τα εικονίδια : Κατασκευή αρχικού πλέγµατος (Initialize mesh) Κατασκευή πυκνότερου πλέγµατος σε ολόκληρο το χωρίο (Refine mesh) Κατασκευή πυκνότερου πλέγµατος σε συγκεκριµένη περιοχή της γεωµετρίας (Refine selection) Η επιλογή του επιλύτη και ο προσδιορισµός της αρχικής εκτίµησης της λύσης γίνεται από το µενού Solve. Το FEMLAB παρέχει έξι διαφορετικούς επιλύτες, ανάλογα µε το φυσικό πρόβληµα. Μπορούν να αντιµετωπισθούν προβλήµατα γραµµικά και µη, σε µόνιµη ή µη µόνιµη κατάσταση, καθώς επίσης και προβλήµατα ιδιοτιµών. Η γραφική επεξεργασία των αποτελεσµάτων γίνεται από το µενού Postprocessing.
Λυµένα παραδείγµατα Πρόβληµα 1 Αγωγή θερµότητας σε κυκλικό χωρίο Σε κυκλικό χωρίο ακτίνας R = 1 πραγµατοποιείται µεταφορά θερµότητας µε αγωγή. Ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας της επιφάνειας, k, ισούται µε 1. Από την επιφάνεια απάγεται θερµότητα µε ρυθµό 4, ενώ η θερµοκρασία στο σύνορο του χωρίου είναι 1. Η πυκνότητα, ρ, και η θερµοχωρητικότητα του υλικού, Cp, είναι επίσης 1. Χρησιµοποιώντας το FEMLAB θα προσοµοιωθεί το φαινόµενο σε µόνιµη και µεταβατική κατάσταση. Παρατήρηση : Τα φυσικά µεγέθη που εισάγονται στο FEMLAB είναι αδιαστατοποιηµένα. Εξαιρούνται οι τιµές των σταθερών στη βιβλιοθήκη υλικών του πακέτου (Material library) που είναι στο S.I.. Εποµένως αν επιλεγεί κάποιο υλικό από τη βιβλιοθήκη, θα πρέπει και τα υπόλοιπα µεγέθη να εισαχθούν χρησιµοποιώντας αυτό το σύστηµα µονάδων. Βήµα 1 : Ρυθµίσεις στον οδηγό πλοήγησης Πορεία επίλυσης Επιλογή επίλυσης του προβλήµατος σε δύο διαστάσεις : Space dimension : 2D. Θα χρησιµοποιηθεί το µοντέλο για µεταφορά θερµότητας µε αγωγή. Επιλέγονται διαδοχικά : FEMLAB > Heat Transfer > Conduction > Steady-state analysis, ώστε να µελετηθεί το φαινόµενο σε µόνιµη κατάσταση. Εξαρτηµένη µεταβλητή είναι η θερµοκρασία (Τ). Ο συµβολισµός αυτός επιλέγεται αυτόµατα από το FEMLAB αλλά µπορεί να διαφοροποιηθεί από το πεδίο Dependent variables. Βήµα 2 : Κατασκευή της γεωµετρίας Θα σχεδιασθεί κύκλος µε κέντρο το (0, 0) και ακτίνα 1. Επιλέγεται Draw > Specify objects > Circle. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, εισάγονται οι διαστάσεις του (Radius : 1) και οι συντεταγµένες του κεντρικού σηµείου αναφοράς (Base : Center, x : 0, y : 0).
Βήµα 3 : Ορισµός των παραµέτρων Από την επιφάνεια εργασίας επιλέγεται Physics > Subdomain Settings Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, επιλέγεται το χωρίο στο οποίο θα ισχύουν οι τιµές των παραµέτρων (Subdomain Selection : 1). Στα πεδία Thermal conductivity και Heat source εισάγονται οι τιµές του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας και ροής θερµότητας αντίστοιχα (k (isotropic) : 1, Q : -4). Με όµοιο τρόπο ορίζονται οι τιµές της πυκνότητας και της θερµοχωρητικότητας στα αντίστοιχα πεδία (Density : 1, Heat capacity : 1). Βήµα 4 : Επιβολή των συνοριακών συνθηκών Από το κεντρικό µενού επιλέγεται Physics > Boundary Settings. Κρατώντας πατηµένο το Ctrl, επιλέγονται διαδοχικά τα τέσσερα σύνορα και ορίζεται Temperature : 1. Σηµείωση : Η αρίθµηση των συνόρων γίνεται αυτόµατα από το FEMLAB. Όταν επιλέγεται κάποιο από αυτά, µεταβάλλεται ο χρωµατισµός του στην επιφάνεια εργασίας. Η αρίθµηση των συνόρων γίνεται ορατή επιλέγοντας Options > Visualization/Selection Settings και ενεργοποιώντας την επιλογή Edge labels. Βήµα 5 : Κατασκευή πλέγµατος διακριτοποίησης Κατασκευάζεται και πυκνώνεται το πλέγµα διακριτοποίησης επιλέγοντας διαδοχικά Mesh > Initialize Mesh και Mesh > Refine Mesh.
Βήµα 6 : Επιλογή επιλύτη Επιλέγεται Solve > Solve Parameters, και επειδή ζητείται η κατανοµή της θερµοκρασίας σε µόνιµη κατάσταση, επιλέγεται ο Stationary linear solver (πρόκειται για γραµµικό πρόβληµα). Οι ρυθµίσεις του παραµένουν ως έχουν. Βήµα 7 : Επίλυση του προβλήµατος και γραφική επεξεργασία των αποτελεσµάτων Χρησιµοποιώντας το εικονίδιο συντόµευσης για τον υπολογισµό της λύσης προκύπτει η κατανοµή της ταχύτητας στην επιφάνεια του κυκλικού χωρίου. Επιλέγοντας το εικονίδιο από την επιφάνεια εργασίας, απεικονίζονται οι ισοθερµοκρασιακές καµπύλες. Πρόκειται για οµόκεντρους κύκλους, αφού η αναλυτική λύση της εξίσωσης που περιγράφει τη µεταφορά θερµότητας στο παράδειγµα αυτό είναι : Τ(x, y) = x 2 + y 2.
Εάν θέλουµε να απεικονίσουµε το grad(t) σε ανυσµατική µορφή, επιλέγουµε Postprocessing > Plot Parameters > Arrow, και στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται ορίζουµε Predefined quantities : Temperature gradient.
Στο πεδίο Arrow positioning ορίζεται ο αριθµός των ανυσµάτων που θα σχεδιαστούν, ανά διεύθυνση (x points : 15, y points : 15). Το αποτέλεσµα που προκύπτει :
Για τον υπολογισµό της κατανοµής της θερµοκρασίας σε µεταβατική κατάσταση, αντί να επιλύσουµε το µοντέλο από την αρχή, µπορούµε να αλλάξουµε µόνο το χρησιµοποιούµενο επιλύτη : Επιλέγουµε Solve > Solver parameters και αντί για τον Stationary linear, χρησιµοποιούµε τον Time-dependent solver. Ως χρονικό διάστηµα επίλυσης επιλέγεται το [0, 1], µε χρονικό βήµα για την απεικόνιση των αποτελεσµάτων 0.01 (Time stepping : Times : 0:0.01:1). Χρησιµοποιώντας το εικονίδιο συντόµευσης για τον υπολογισµό της λύσης προκύπτει η κατανοµή της ταχύτητας στην επιφάνεια του χωρίου.
Η κατανοµή της θερµοκρασίας σε ένα σηµείο, έστω το (0.5, 0.5), συναρτήσει του χρόνου, υπολογίζεται επιλέγοντας Postprocessing > Cross-section plot parameters. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται είναι αυτόµατα επιλεγµένοι όλες οι χρονικές στιγµές.
Στο ίδιο πλαίσιο διαλόγου, από την επιλογή Point, καθορίζεται το προς απεικόνιση µέγεθος (Predefined quantities : Temperature) και οι συντεταγµένες του σηµείου (Coordinates : x : 0.5, y: 0.5)
Πρόβληµα 2 Ροή σε αγωγό µε απότοµη µεταβολή της διαµέτρου του Η ροή αυτή αναλύεται στο βιβλίο του Α. Θ. Παπαϊωάννου «Μηχανική των Ρευστών», Τόµος Ι, σελ. 345 347 και Τόµος ΙΙ, σελ. 239 240. Χρησιµοποιώντας το FEMLAB, θα προσοµοιωθεί το φαινόµενο σε µόνιµη κατάσταση, όταν το ρευστό έχει πυκνότητα 1kg/m 3 και κινηµατικό ιξώδες 1Pa s, εισάγεται δε στον αγωγό µε ταχύτητα 3 m/s. Η επίδραση της βαρύτητας θεωρείται αµελητέα. Η σχηµατική απεικόνιση του προβλήµατος είναι η ακόλουθη : Είσοδος 4 m 15 m 12 m 20 m Έξοδος Βήµα 1 : Ρυθµίσεις στον οδηγό πλοήγησης Πορεία επίλυσης Επιλογή επίλυσης του προβλήµατος σε δύο διαστάσεις, αξιοποιώντας την αξονική συµµετρία : Space dimension : Axial symmetry (2D) Θα χρησιµοποιηθεί το µοντέλο ασυµπίεστης ροής Navier-Stokes. Επιλέγονται διαδοχικά : Fluid Dynamics > Incompressible Navier-Stokes > Steady-state analysis, ώστε να µελετηθεί το φαινόµενο σε µόνιµη κατάσταση Εξαρτηµένες µεταβλητές είναι το πεδίο ταχύτητας (u,v) και η πίεση p.
Βήµα 2 : Κατασκευή της γεωµετρίας Ρυθµίζεται η κλίµακα στους άξονες, επιλέγοντας Options > Axes/Grid Settings από την επιφάνεια εργασίας : ο άξονας r έχει µέγιστη τιµή 10 και ελάχιστη -2, ενώ ο z εκτείνεται από -2 µέχρι 37. Η επιλογή Axis equal παραµένει ενεργοποιηµένη. Θα σχεδιασθούν δύο ορθογώνια, τα οποία στη συνέχεια θα ενωθούν για να προκύψει η επιθυµητή γεωµετρία. Επιλέγεται Draw > Specify objects > Rectangle. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, εισάγονται οι διαστάσεις του πρώτου ορθογωνίου (Width : 6, Height : 20) και οι συντεταγµένες του γωνιακού σηµείου αναφοράς (Base : Corner, r : 0, z : 0). Οι αντίστοιχες ρυθµίσεις για το δεύτερο ορθογώνιο ορίζονται επιλέγοντας Draw > Specify objects > Rectangle από την επιφάνεια εργασίας. Οι διαστάσεις του δεύτερου χωρίου είναι Width : 2, Height : 15, και οι συντεταγµένες του γωνιακού σηµείου αναφοράς (Base : Corner) είναι r : 0, z : 20. Επιλέγονται τα R1 και R2 πατώντας Ctrl + A, και χρησιµοποιείται το εικονίδιο συντόµευσης που δηλώνει την ένωση στερεών χωρίων : ιαγράφεται το εσωτερικό σύνορο χρησιµοποιώντας το εικονίδιο συντόµευσης η γεωµετρία είναι έτοιµη. και
Βήµα 3 : Ορισµός των παραµέτρων Από την επιφάνεια εργασίας επιλέγεται Physics > Subdomain Settings Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, επιλέγεται το χωρίο στο οποίο θα ισχύουν οι τιµές των παραµέτρων (Subdomain Selection : 1). Οι τιµές της πυκνότητας και του ιξώδους του ρευστού εισάγονται στα πεδία Density και Dynamic viscosity αντίστοιχα. Βήµα 4 : Επιβολή των συνοριακών συνθηκών Από το κεντρικό µενού επιλέγεται Physics > Boundary Settings. Στα σύνορα 1, 3 ορίζουµε την ύπαρξη της αξονικής συµµετρίας του αγωγού (Axial symmetry). Στο σύνορο 2 ορίζεται η πίεση εξόδου ίση µε µηδέν (Pressure : P 0 =0) Επιλέγονται τα σύνορα 5, 6, 7 και επιβάλλεται η συνθήκη µη ολίσθησης (No slip) µια και πρόκειται για τα τοιχώµατα του αγωγού. Στο σύνορο 4 ορίζεται η ταχύτητα εισόδου, εισάγοντας την τιµή της στο αντίστοιχο πεδίο (Inflow velocity : v0 = -3). Tο αρνητικό πρόσηµο υποδηλώνει ότι η ταχύτητα του ρευστού έχει φορά αντίθετη από τη θετική φορά του άξονα z. Βήµα 5 : Κατασκευή πλέγµατος διακριτοποίησης Κατασκευάζεται και πυκνώνεται το πλέγµα διακριτοποίησης επιλέγοντας διαδοχικά Mesh > Initialize Mesh και Mesh > Refine Mesh.
Επειδή το grad(u) είναι πολύ µεγάλο στο σηµείο της απότοµης αύξησης της διατοµής, πυκνώνουµε περαιτέρω τη συγκεκριµένη περιοχή χρησιµοποιώντας το εικονίδιο συντόµευσης.. Βήµα 6 : Επιλογή επιλύτη Επιλέγεται Solve > Solve Parameters, και επειδή ζητείται η κατανοµή της ταχύτητας σε µόνιµη κατάσταση, επιλέγεται ο Stationary nonlinear solver (πρόκειται για µη γραµµικό πρόβληµα). Οι ρυθµίσεις του παραµένουν ως έχουν. Βήµα 7 : Επίλυση του προβλήµατος και γραφική επεξεργασία των αποτελεσµάτων Χρησιµοποιώντας το εικονίδιο συντόµευσης για τον υπολογισµό της λύσης προκύπτει η µορφή του πεδίου ταχύτητας του ρευστού στον αγωγό. Επιλέγοντας Postprocessing > Plot Parameters, εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου απ όπου επιλέγεται το είδος της απεικόνισης που θέλουµε για τη µορφή της λύσης. Π.χ. για την απεικόνιση των ροϊκών γραµµών : Επιλέγεται Streamline, και στο πεδίο Predefined quantities εισάγεται Velocity field.
Το γράφηµα που προκύπτει είναι : Καθορισµός του πλήθους των σηµείων απ όπου θα ξεκινούν οι ροϊκές γραµµές
Το πεδίο ταχύτητας κατά µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, το οποίο απέχει 10m από την έξοδο, υπολογίζεται επιλέγοντας Postprocessing > Cross-section plot parameters. Επειδή πρόκειται για απεικόνιση µεγέθους κατά µήκος ευθύγραµµου τµήµατος, επιλέγεται Line/Extrusion Plot. Οι ρυθµίσεις καθορίζονται από το µενού Line/Extrusion :
Στον κατακόρυφο άξονα το προς απεικόνιση µέγεθος είναι το πεδίο ταχύτητας : Predefined quantities : Velocity field (U_ns). Στον οριζόντιο άξονα επιλέγεται το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ : Arc-length. Στα πεδία (r0, z0) και (r1, z1) ορίζονται οι συντεταγµένες των σηµείων απ όπου ξεκινάει και καταλήγει το ευθύγραµµο τµήµα, αντιστοίχως (r0 : 0, z0 : 10, r1 : 6, z1 : 10). Η κατανοµή ταχύτητας που προκύπτει :