ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2008-2009 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές οδηγίες για την εργασία Οι απαντήσεις στις ερωτήσεις της εργασίας πρέπει να δίνονται σε δύο αρχεία σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία μαζί με το συμπληρωμένο δελτίο υποβολής αξιολόγησης εργασίας θα πρέπει να αποσταλούν ηλεκτρονικά (με e-mail) και σε έντυπη μορφή στον Καθηγητή Σύμβουλο. Ημερομηνία αποστολής της γραπτής εργασίας: Παρασκευή 9 Ιανουαρίου 2009 Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής: Τρίτη 13 Ιανουαρίου 2009 Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα (μετά την Τρίτη 13 Ιανουαρίου 2009) επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Εργασίες που υποβάλλονται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 7 ημέρες δεν γίνονται δεκτές.
Αναλυτικές Οδηγίες Η εργασία περιλαμβάνει 8 υποχρεωτικές ασκήσεις η λύση των οποίων απαιτεί τη δημιουργία των παρακάτω αρχείων: 1. Αρχείο Word με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις 1-8 (Όνομα αρχείου: Eponymo.Onoma-GE2.doc). Στο αρχείο αυτό θα πρέπει να δίνονται οι αναλυτικές απαντήσεις των ασκήσεων με τη σειρά που δίνονται στην εκφώνηση, αναγράφοντας και τον αριθμό του αντίστοιχου υποερωτήματος. Επίσης, όλοι οι πίνακες και τα διαγράμματα που περιέχονται στο αρχείο Excel θα πρέπει να μεταφερθούν και σε αυτό το αρχείο και συγκεκριμένα στα σημεία που δίνονται οι απαντήσεις των αντιστοίχων ασκήσεων. 2. Αρχείο Excel με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις όπου σας ζητείται να χρησιμοποιήσετε Excel (Όνομα αρχείου: Eponymo.Onoma-GE2.xls). Το αρχείο Excel πρέπει να περιέχει φύλλα εργασίας όσα και τα υποερωτήματα όπου σας ζητείται η χρήση Excel. Τα φύλλα εργασίας πρέπει να έχουν το όνομα του αντίστοιχου υποερωτήματος. π.χ. «Άσκηση 3-ΙΙ», «Άσκηση 8» κλπ. Τα παραπάνω αρχεία Word και Excel πρέπει να είναι συμβατά με την έκδοση του Office 2003. Αν χρησιμοποιήσετε μεταγενέστερη έκδοση του Office (π.χ. 2007) φροντίστε να αποθηκεύσετε τα αρχεία σας σε μορφή συμβατή με την έκδοση 2003. Επισημαίνεται ότι οι εργασίες πρέπει να είναι επιμελημένες και ότι η αντιγραφή μέρους ή ολόκληρης της εργασίας απαγορεύεται αυστηρά. Ο Συντονιστής και η Επιτροπή Γραπτών Εργασιών της ΔΕΟ 13 διεξάγουν σε όλη τη διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους δειγματοληπτικούς ελέγχους σε όλα τα τμήματα για τον εντοπισμό και την τιμωρία τέτοιων φαινομένων. Στο αρχείο Excel όλοι οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν αποκλειστικά με τη χρήση τύπων και συναρτήσεων του Excel. Επίσης, στις στήλες που θα δημιουργήσετε κατά την επίλυση των ερωτημάτων θα πρέπει να δίνονται επεξηγηματικοί τίτλοι. Το ίδιο ισχύει και για τα διαγράμματα. Οι τελικοί πίνακες (μετά την επίλυση όλων των ερωτημάτων) και τα διαγράμματα θα πρέπει να μεταφέρονται και στο αρχείο word. Για τη δημιουργία των μαθηματικών σχέσεων να γίνει χρήση της εφαρμογής «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equation Editor) του Word (Από τη γραμμή μενού: Insert Object από Object type επιλέξτε Microsoft Equation 3.0 ή στα Ελληνικά: Εισαγωγή Αντικείμενο από Τύπος Αντικειμένου επιλέξτε Microsoft Equation 3.0). Εάν η εφαρμογή «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equation Editor) δεν υπάρχει ήδη εγκατεστημένη στον υπολογιστή σας τότε δεν «εμφανίζεται». Στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να την εγκαταστήσετε χρησιμοποιώντας το CD εγκατάστασης του Microsoft Office. Περισσότερα στοιχεία για τον Equation Editor υπάρχουν στο εγχειρίδιο Η/Υ (σελ. 68-71), το οποίο είναι διαθέσιμο στη ιστοσελίδα της ΔΕΟ13 (http://class.eap.gr/deo13) ακολουθώντας διαδοχικά τους συνδέσμους: Εκπαίδευση Συμπληρωματικό Διδακτικό Υλικό στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές και επιλέγοντας το αρχείο με όνομα Egxeiridio H-Y.pdf.
Άσκηση 1 (14 μονάδες) Ιδιοκτήτης ενός Γυμναστηρίου διαπιστώνει ότι χρεώνοντας την ετήσια συνδρομή στο Γυμναστήριό του στα 600 έχει μόνο 10 κατά μέσο όρο εγγραφές τον μήνα. Εκτιμώντας ότι ο αριθμός των εγγραφών θα αυξηθεί όταν η ετήσια συνδρομή μειωθεί, αποφασίζει να την μειώσει στα 500. Πράγματι η μείωση της τιμής της συνδρομής αυξάνει τον μέσο όρο των εγγραφών σε 16 ανά μήνα. Ι) Θεωρώντας ότι η ζήτηση q είναι ο μέσος αριθμός των νέων μελών ανά μήνα, να την εκφράσετε ως μία γραμμική συνάρτηση της ετήσιας συνδρομής p και να ερμηνεύσετε την κλίσης της. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του Excel να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ζήτησης για εύρος τιμών της ετήσιας συνδρομής από 200 μέχρι 750 με βήμα 50. II) Χρησιμοποιήστε την συνάρτηση ζήτησης που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα για να προβλέψετε τι θα συμβεί αν μειωθεί η ετήσια συνδρομή σε 350. Αντίστοιχα τι θα συνέβαινε αν η τιμή αυξάνονταν σε 2000 ; ΙΙΙ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και ποιο το πεδίο τιμών της συνάρτησης ζήτησης. Ποια είναι η πρακτική ερμηνεία της απάντησής σας; IV) Το ετήσιο λειτουργικό κόστος του γυμναστηρίου είναι σταθερό και ίσο με 5000. Να εκφράσετε το ετήσιο έσοδο και το κέρδος του ιδιοκτήτη ως συνάρτηση του ποσού της συνδρομής που πληρώνουν οι πελάτες του. V) Για ποια τιμή του p η επιχείρηση δεν έχει ούτε κέρδος ούτε ζημία (νεκρό σημείο), και για ποία τιμή του p η επιχείρηση παρουσιάζει το μέγιστο κέρδος; Να σχεδιάσετε στο Excel τη συνάρτηση κέρδους σε εύρος τιμών της ετήσιας συνδρομής από 100 μέχρι 650 με βήμα 50 και να επιβεβαιώσετε γραφικά την τιμή συνδρομής που επιφέρει το μέγιστο κέρδος καθώς και την τιμή ισορροπίας. Αν το μοντέλο πρόβλεψης της ζήτησης παραμένει αμετάβλητο ενώ το λειτουργικό της κόστος της εταιρείας αυξηθεί σε 10000, υπάρχουν τιμές συνδρομής p με τις οποίες η επιχείρηση θα μπορούσε να λειτουργήσει κερδοφόρα; Τι θα προτείνατε στην επιχείρηση αν το λειτουργικό της κόστος αυξηθεί σε 10000 ;
Άσκηση 2 (12 μονάδες) Να βρεθούν οι παράγωγοι df ( x) dx για τις παρακάτω συναρτήσεις: Ι). f ( x) 3 x 2 x 1 ΙΙ). 2 2 f ( x) ( x 1)ln( x 1) ΙΙΙ). 2 w f ( w) e 1, w g( x) x Να υπολογισθούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: 1 ΙV) ( x ) 2 (2x 1) dx x V) e ( e x 2) dx VI) 1 ( x 2 x )(1 ) x dx Θέστε u x 2 x και λύστε το ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της αντικατάστασης
Άσκηση 3 (13 μονάδες) A. Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει συνολικό κόστος και παραγόμενη ποσότητα: TC( q) 2000 10q 3q 2 Ι) Γράψτε τις συναρτήσεις του Οριακού Κόστους (Marginal Cost - MC), του Μέσου Συνολικού Κόστους (Average Total Cost - ATC), και του Μέσου Σταθερού Κόστους (Average Fixed Cost - AFC). II) Βρείτε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ATC. Υπολογίστε το ATC και το MC σε αυτή την ποσότητα. Τι παρατηρείτε; Σχολιάστε. B. Σε μια βιομηχανία, το μεταβλητό κόστος, VC για τη κατασκευή q μονάδων προϊόντος 4 3 2 προσεγγίζεται από τη συνάρτηση: VC f ( q) 0, 25q 80q 7000q, σε q IIΙ) Αν το σταθερό κόστος λειτουργίας της βιομηχανίας ανέρχεται σε 2εκ., να βρείτε τη συνάρτηση συνολικού κόστους και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της. Δίδεται ότι η συνάρτηση συνολικού κόστους πρέπει να είναι συνεχής, αύξουσα με μη αρνητικές τιμές. [5 μονάδες] ΙV) Προσδιορίστε τη μέγιστη τιμή του μέσου μεταβλητού κόστους παραγωγής.
Άσκηση 4 (15 μονάδες) Στην αγορά ενός προϊόντος υπάρχουν δύο καταναλωτές Α και Β με τις ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης: p 150 2qA p 68 0,5q B όπου p η τιμή του προϊόντος και qa και qb η ζήτηση για τους δύο καταναλωτές αντίστοιχα. Η συνάρτηση συνολικής προσφοράς του προϊόντος είναι: ποσότητα που προσφέρεται στους δύο καταναλωτές. 2 p Q 50Q 400, όπου Q η συνολική Ι) Να προσδιορισθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των δύο συναρτήσεων ζήτησης. II) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση συνολικής ζήτησης του προϊόντος και τα πεδία ορισμού και τιμών της. (Η συνολική ζήτηση του προϊόντος στην αγορά προκύπτει από την άθροιση της ζήτησης των δύο καταναλωτών, (πχ. Q q q ). A B [5 μονάδες] ΙΙΙ) Να προσδιοριστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων συνολικής ζήτησης και προσφοράς ΙV) Να βρεθεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος V) Να υπολογισθεί η ελαστικότητα ζήτησης του προϊόντος στο σημείο ισορροπίας και να ερμηνευθεί.
Άσκηση 5 (13 μονάδες) Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων διαπιστώνει ότι η ζήτηση ενοικίασης αυτοκινήτων δίδεται από την επόμενη σχέση: q(p)=2530-50p όπου q ο αριθμός των ενοικιαζομένων αυτοκινήτων ανά ημέρα και p η τιμή ενοικίασης σε ευρώ. Ι) Να ευρεθεί ο αριθμός ενοικίασης αυτοκινήτων από τους ενοικιαστές όταν p=50 και στη συνέχεια να προσδιοριστεί η ελαστικότητα ζήτησης για τη συγκεκριμένη τιμή. ΙΙ) Να ευρεθεί η τιμή του p για την οποία η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση με -1 και να δοθεί η ερμηνεία για την τιμή αυτή. Χρησιμοποιώντας την ερμηνεία της ελαστικότητας υπολογίστε τη μεταβολή της ζήτησης αν η τιμή ενοικίασης των αυτοκινήτων αυξηθεί από την τιμή που βρήκατε στα 30 ευρώ. Υπολογίστε επίσης την ζήτηση με βάση την συνάρτηση ζήτησης. Εξηγήστε τις διαφορές που προκύπτουν μεταξύ των δύο υπολογισμών. ΙΙΙ) Να προσδιοριστεί η τιμή του p η οποία μεγιστοποιεί τη συνάρτηση συνολικών εσόδων R(p). Τι παρατηρείτε; Στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο Excel την συνάρτηση συνολικών εσόδων και να επιβεβαιώσετε γραφικά την μέγιστη τιμή της. ΙV) Να αποδείξετε αλγεβρικά ότι τα έσοδα μεγιστοποιούνται στο σημείο όπου η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση με -1.
Άσκηση 6 (15 μονάδες) Η συνάρτηση του συνολικού κόστους μίας επιχείρησης είναι της μορφής: 3 2 TC aq bq cq d. Είναι γνωστό ότι: -Το σταθερό κόστος της επιχείρησης είναι 320 μονάδες. -Το σημείο (10, 520) επαληθεύει τη συνάρτηση συνολικού κόστους και επιπλέον αποτελεί σημείο καμπής της καμπύλης της. -Το μέσο κόστος (AC) της επιχείρησης ελαχιστοποιείται για Q 20. Ι) Να βρεθεί η συνάρτηση του συνολικού κόστους (TC) της επιχείρησης. ΙΙ) Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι P 102 2,8Q, να βρεθούν οι συναρτήσεις των συνολικών εσόδων (TR) και του κέρδους (Π). ΙΙΙ) Να βρεθεί η ποσότητα Qmax για την οποία μεγιστοποιείται το κέρδος της επιχείρησης. ΙV) Να υπολογιστούν το συνολικό έσοδο και το συνολικό κόστος για την ποσότητα Q max, και να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών στα σημεία των καμπυλών των εσόδων και του κόστους που αντιστοιχούν στην ποσότητα Q max (ευθείες ε1 και ε2). V) Να δημιουργηθεί στο EXCEL πίνακας τιμών των συναρτήσεων ΤC, TR, Π, και των δύο εφαπτομένων ε1 και ε2 για διάστημα από 0 έως 30 με βήμα 1 και να απεικονιστούν όλες στο ίδιο γράφημα (μην απεικονίσετε τυχόν αρνητικές τιμές). Σχολιάστε το γράφημα. Τι σχέση έχουν οι δύο ευθείες και σε ποιο γενικό συμπέρασμα καταλήγετε για τις συναρτήσεις οριακών εσόδων και οριακού κόστους;
Άσκηση 7 (9 μονάδες) Έστω η συνάρτηση ζήτησης p = p(q)= 16-2q. Η τρέχουσα τιμή του προϊόντος είναι : p 0 10 I) Δημιουργήστε στο ίδιο γράφημα του Excel το διάγραμμα της συνάρτησης για τιμές του q από 0 έως 8 με βήμα 0,5 καθώς και της ευθείας που διέρχεται από το σημείο p0 10 και είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα. Σε ποιο σημείο τέμνονται οι δύο καμπύλες; Επαληθεύστε το αλγεβρικά. ΙΙ) Το πλεόνασμα του καταναλωτή (CS), το κέρδος δηλαδή που προκύπτει για κάποιους καταναλωτές που θα ήταν διατεθειμένοι να αγοράσουν το προϊόν και για τιμές μεγαλύτερες από την τρέχουσα τιμή του, ισούται με το εμβαδόν του χώρου κάτω από την καμπύλη ζήτησης και πάνω από την ευθεία p p0. Να υπολογίσετε αλγεβρικά το πλεόνασμα του καταναλωτή. ΙΙI) Το οριακό κόστος παραγωγής Q μονάδων ενός προϊόντος είναι MC( Q) 2Q 10lnQ 40. Να βρεθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους, αν είναι γνωστό ότι το κόστος παραγωγής τής πρώτης μονάδας ισούται με 1151 νομισματικές μονάδες.
Άσκηση 8 (9 μονάδες) Οι ρυθμοί μεταβολής των συνολικών εσόδων και των εξόδων μίας επιχείρησης είναι R ( t) 29 2 t και C ( t ) 4 3 t αντίστοιχα όπου t η μονάδα του χρόνου. Ι) Αν η επιχείρηση λειτουργεί όσο διάστημα αυτή παραμένει κερδοφόρος, να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα της κερδοφορίας της. ΙΙ) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση κερδών της επιχείρησης ως συνάρτηση του χρόνου t, και με τη χρήση αυτής να υπολογίζετε τα συνολικά κέρδη της επιχείρησης για το χρόνο της κερδοφόρου λειτουργίας της. ΙΙΙ) Τι ποσοστό των συνολικών κερδών της, έχει κερδίσει η επιχείρηση κατά τα πρώτα 7 χρόνια λειτουργίας της.