3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος, τότε για τη λύση x 2 R n του συστήματος Ux = e k ; με e k 2 R n το διάνυσμα με συνιστώσα ένα στη θέση k και όλες τις άλλες συνιστώσες μηδέν, ισχύει x k+ = = x n = ; συνεπώς και ο αντίστροφος του U είναι άνω τριγωνικός. Ανάλογα για κάτω τριγωνικούς πίνακες. 3.3 Έστω A; B 2 R n;n ; A αντιστρέψιμος και b 2 R n Πώς υπολογίζουμε, κατά το δυνατόν οικονομικότερα από άποψης πλήθους πράξεων και μνήμης, τα διανύσματα A 4 b και A BA b; 3.6 Θεωρούμε κάτω τριγωνικούς πίνακες A i ; i = ; ; n ; με μονάδες στη διαγώνιο και μηδενικά στις άλλες θέσεις που δεν δίνονται στοιχεία, της μορφής A i = a i+;i B @ C A a ni Βεβαιωθείτε ότι A i = a i+;i B @ a ni C A

2 3. Γραμμικά Συστήματα και, για i < j; C C C a i+;i C A i A j = C C a j +;j C B @ C A a ni a nj Παρόμοια για γινόμενα με τρεις παράγοντες, A i A j A k ; με i < j < k; κ.λπ. [Υπόδειξη Βεβαιωθείτε ότι για i j ισχύει (A i I n )(A j I n ) =, και, γενικά για n n πίνακες, AB = A + B I n + (A I n )(B I n ).] 3.7 Έστω A 2 R n;n αντιστρέψιμος πίνακας και τέτοιος ώστε κατά την απαλοιφή του Gauss για την επίλυση συστημάτων της μορφής Ax = b να μην χρειάζονται εναλλαγές γραμμών. Τότε, κατά την (3.4), ο A αναλύεται σε γινόμενο A = LU; όπου L κάτω τριγωνικός τριγωνικός με μονάδες στη διαγώνιο και U άνω τριγωνικός. Αποδείξτε ότι η ανάλυση αυτή είναι μοναδική, δηλαδή δεν υπάρχει ζεύγος πινάκων zl; zu διαφορετικό του L; U; με zl κάτω τριγωνικό με μονάδες στη διαγώνιο και zu άνω τριγωνικό, τέτοιο ώστε A = zl zu 3.8 Βεβαιωθείτε ότι, για κάθε πραγματικόν αριθμό ;!!! = ; δηλαδή ότι η ανάλυση LU μη αντιστρέψιμων πινάκων δεν είναι γενικά μοναδική. 3. Μια κατηγορία πινάκων για τους οποίους η ανάλυση LU μπορεί να γίνει χωρίς εναλλαγές γραμμών (δηλαδή για τους οποίους P = I στη σχέση PA = LU ), είναι οι πίνακες A = (a ij ) 2 R n;n ; των οποίων οι πρώτες n κύριες ορίζουσες ı i ; που ορίζονται ως a a 2 a a ;n ı = a ; ı 2 = ˇa 2 a 22 ˇ ; ; ı n = ; ˇa n ; a n ;n ˇ είναι όλες διάφορες του μηδενός. Αν A είναι ένας τέτοιος πίνακας, αποδείξτε με επαγωγή ότι a (i) ii ; i n ; χωρίς εναλλαγές γραμμών. Οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι P = I Μάλιστα, για αντιστρέψιμους πίνακες A η συνθήκη αυτή είναι και αναγκαία.

Ασκήσεις 3 [Υπόδειξη Βεβαιωθείτε ότι ı i = a () a (2) 22 a (i) ii ; i = ; ; n; βλ. Παρατήρηση 3.2, οπότε a (i) ii = ı i /ı i ] 3. Έστω ότι ο πίνακας A = (a ij ) 2 R n;n έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, δηλαδή ότι ισχύουν οι ανισότητες (3.68). Αποδείξτε απ ευθείας (δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσετε την ανισότητα του Gerschgorin), ότι αν ο A έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, τότε το ομογενές σύστημα Ax = έχει μόνο την τετριμμένη λύση x = ; δηλαδή ότι ο A είναι αντιστρέψιμος. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της Άσκησης 3., αποδείξτε ότι η ανάλυση LU ενός πίνακα με αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο μπορεί να επιτευχθεί χωρίς εναλλαγές γραμμών. 3.23 α) Έστω < p; q < τέτοια ώστε + p q Αποδείξτε την ανισότητα του Young ab ap p + bq q = ; και a; b μη αρνητικοί αριθμοί. Βεβαιωθείτε ότι αυτή η ανισότητα ισχύει ως ισότητα μόνο στην περίπτωση b = a p y b y = x p E 2 O E a x Σχήμα 3.3 Γεωμετρική ερμηνεία της ανισότητας του Young Το εμβαδόν του ορθογωνίου με μήκη πλευρών a και b δεν υπερβαίνει το άθροισμα των εμβαδών E και E 2 των γκρι χωρίων του σχήματος. [Γεωμετρική ερμηνεία, βλ. Σχήμα 3.3 Προφανώς E = Z a x p dx = ap p και E 2 = Z b y p dy = Z b y q dy = bq q Το εμβαδόν του ορθογωνίου με μήκη πλευρών a και b δεν υπερβαίνει το άθροισμα των E και E 2 ] [Υπόδειξη Έστω ' R! R μια κυρτή συνάρτηση. Τότε, για x; y 2 R και 2 [; ] ισχύει ' x + ( )y '(x) + ( )'(y)

4 3. Γραμμικά Συστήματα Για θετικούς a και b; επιλέξτε '(t) = e t ; x = ln a p ; y = ln b q και = p ] β) Για p < ορίζουμε την απεικόνιση k k p C n! R; nx /p kxk p = jx i j p Έστω x; y 2 C n Αποδείξτε την ανισότητα του Hölder για αθροίσματα i= nx jx i y i j kxk p kyk q ; i= όπου p + q = [Υπόδειξη Για p = (οπότε q = και k k η νόρμα μεγίστου) η ανισότητα είναι προφανής. Έστω λοιπόν p > Έστω ότι x και y Στην περίπτωση kxk p = και kyk q = ; αθροίστε από i = έως i = n τις ανισότητες jx i y i j jx ij p p + jy ij q q ; οι οποίες ισχύουν σύμφωνα με την ανισότητα του Young. Η γενική περίπτωση ανάγεται στην προηγούμενη, θέτοντας x = kxk p x και ỹ = kyk q y] γ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση k k p ορίζει μια νόρμα στον C n [Υπόδειξη Προφανώς, jx i +y i j p jx i j jx i +y i j p +jy i j jx i +y i j p Για p > χρησιμοποιήστε την ανισότητα του Hölder για αθροίσματα για να αποδείξετε την τριγωνική ανισότητα. Η τριγωνική ανισότητα στην προκειμένη περίπτωση λέγεται ανισότητα του Minkowski.] δ) Έστω p < q και x 2 C n Αποδείξτε την ανισότητα του Jensen kxk q kxk p Παρατηρήστε ότι για x = e = (; ; ; ) T συνεπώς η σταθερά δεν μπορεί να βελτιωθεί. 2 C n η ανισότητα αυτή ισχύει ως ισότητα, [Υπόδειξη Προφανώς, jx i j kxk p ; i = ; ; n Ιδιαίτερα, το αποτέλεσμα ισχύει για q = Επομένως, για q < έχουμε jx i j q = jx i j p jx i j q p jx i j p kxk q p p και αθροίζοντας οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα.] 3.24 Προσδιορίστε τις βέλτιστες σταθερές σύγκρισης για όλα τα ζεύγη των νορμών kk ; k k ; k k 2 του R n

Ασκήσεις 5 3.25 Έστω p < q < Χρησιμοποιήστε την ανισότητα του Hölder για αθροίσματα, βλ. Άσκηση 3.23, για να αποδείξετε ότι 8x 2 C n kxk p n p q kxkq Παρατηρήστε ότι για x = (; ; ; ) T 2 C n η ανισότητα αυτή ισχύει ως ισότητα. Συνδυάζοντας με την ανισότητα του Jensen οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι 8x 2 C n kxk q kxk p n p q kxkq και οι σταθερές σε αυτές τις εκτιμήσεις είναι βέλτιστες. 3.26 Έστω x 2 R n Αποδείξτε ότι για p 2 [; ) ισχύει kxk kxk p n /p kxk ; και οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι lim kxk p = kxk ; p! γεγονός που εξηγεί και τον συμβολισμό k k 3.3 Αποδείξτε ότι στον Ορισμό 3.5 το supremum για x μπορεί να αντικατασταθεί από το supremum πάνω σε ορισμένα υποσύνολα του R n Συγκεκριμένα αποδείξτε ότι kaxk kak = sup x2r n kxk = x sup kaxk = x2r n kxk sup kaxk x2r n kxk= 3.3 Εξετάστε κατά πόσον υπάρχει φυσική νόρμα k k; για 2 2 πίνακες, τέτοια ώστε για τον πίνακα A = 2 2 να ισχύει kak = 25 [Υπόδειξη Υπολογίστε τη φασματική ακτίνα του A ] 3.32 α) Ορίζουν οι ποσότητες kak max = max i;j φυσικές νόρμες πινάκων A 2 R n;n ; nx /2 ja ij j; kak E = ja ij j 2 i;j = β) Αποδείξτε ότι για κάθε A 2 R n;n και x 2 R n ισχύει kaxk 2 kak E kxk 2 3.33 Αν ένας πίνακας A 2 R n;n είναι συμμετρικός, αποδείξτε ότι όπου i (A) είναι οι ιδιοτιμές του A ˇ kak 2 = max ˇi (A)ˇˇ; i

6 3. Γραμμικά Συστήματα 3.36 Έστω k k μια νόρμα στον R n ; και k k η νόρμα στον R n;n που παράγεται από αυτή. Αν A 2 R n;n με kak < ; αποδείξτε ότι ο πίνακας I n A είναι αντιστρέψιμος, και επί πλέον ότι ισχύει + kak (In A) kak 3.37 α) Ορίστε την ποσότητα kak E ; όπως στην Άσκηση 3.3. Αποδείξτε ότι για κάθε A 2 R n;n ισχύει kak 2 kak E p n kak 2 (Σημειώστε ότι για A = I n η δεύτερη ανισότητα ισχύει ως ισότητα. Επίσης για A 2 R n;n με μη μηδενικό στοιχείο μόνο στη θέση (; ); η πρώτη ανισότητα ισχύει ως ισότητα.) β) Προσδιορίστε σταθερές σύγκρισης για όλα τα ζεύγη νορμών πινάκων από τις kk ; kk ; k k 2 γ) Αν 2 (A); (A) είναι οι δείκτες κατάστασης ενός αντιστρέψιμου πίνακα A ως προς τις νόρμες k k 2 και k k ; αντίστοιχα, αποδείξτε ότι n (A) 2 (A) n (A) Βρείτε ανάλογες ανισότητες σύγκρισης μεταξύ των δεικτών κατάστασης 2 (A) και (A) 3.4 α) Έστω A αντιστρέψιμος άνω ή κάτω τριγωνικός πίνακας. Αποδείξτε ότι για τον δείκτη κατάστασης του A ως προς τη νόρμα k k ισχύει (A) kak min ja iij in β) Χωρίς να υπολογίσετε τον A αποδείξτε ότι για τον πίνακα! 99 A = 99 ισχύει ότι (A) [Υπόδειξη Χρησιμοποιήστε το τελευταίο αποτέλεσμα της Άσκησης 3.39 για κατάλληλο μη αντιστρέψιμο πίνακα B ] 3.42 Έστω ότι ένας πίνακας A 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος και συμμετρικός. Αποδείξτε ότι 2 (A) = max j i (A)j i min j i (A)j ; i

Ασκήσεις 7 όπου i (A) οι ιδιοτιμές του A 3.43 Συμβολίζουμε με k k μια νόρμα στον R n Έστω A 2 R n;n ένας πίνακας τέτοιος ώστε 8x 2 R n kxk kaxk 2kxk Αν (A) είναι ο δείκτης κατάστασης του A ως προς τη νόρμα kk; αποδείξτε ότι (A) 2 3.5 Αν για κάποια διανυσματική νόρμα k k (και την αντίστοιχη φυσική νόρμα πίνακα) ισχύει kgk = < για τον πίνακα επανάληψης G = M N της επαναληπτικής μεθόδου (3.6), τότε ισχύει x (N ) x (N ) " H) x (N ) x " 3.59 Αν A; B 2 R n;n και kabk < για κάποια φυσική νόρμα του R n;n ; αποδείξτε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε k(ba) k < 3.6 Αποδείξτε ότι η μέθοδος των Gauss Seidel δεν συγκλίνει για 33 συστήματα με πίνακα 8 2 B C A = @ 4 A 5 25 2 3.62 Αποδείξτε ότι η μέθοδος των Gauss Seidel συγκλίνει για 3 3 συστήματα με πίνακα 2 B C A = @ 2 4 2A 2 6 3.63 Έστω 4 2 B C A = @ 4 2 A Εξετάστε κατά πόσον η μέθοδος των Gauss Seidel συγκλίνει για κάθε x () 2 R 3 στη λύση x του συστήματος Ax = b; b 2 R 3

8 3. Γραμμικά Συστήματα 3.64 Θεωρούμε γραμμικά συστήματα της μορφής Ax = b με πίνακα συντελεστών 2 7 2 A = B 7 @ C 4A Αποδείξτε ότι η μέθοδος του Jacobi συγκλίνει για οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση x () 2 R 3 ; ενώ η μέθοδος των Gauss Seidel γενικά αποκλίνει. 3.65 Θεωρούμε γραμμικά συστήματα της μορφής Ax = b με πίνακα συντελεστών 2 B A = @ C 3A Αποδείξτε ότι η μέθοδος των Gauss Seidel συγκλίνει για οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση x () 2 R 3 ; ενώ η μέθοδος του Jacobi γενικά αποκλίνει.