hs ðoà Vươg Nguyê OÁN CAO CẤP A ðại HỌC à lệu thm khảo Gáo trìh oá co cấp A Nguyễ Phú Vh ðhcn P HCM Ngâ hàg câu hỏ oá co cấp ðhcn PHCM 3 oá co cấp A ðỗ Côg Khh NXBðHQG P HCM 4 oá co cấp A Nguyễ ðìh rí NXB Gáo dục 5 oá co cấp A Nguyễ Vết ðôg NXB Gáo dục 6 oá co cấp ðạ số uyế tíh Lê Sĩ ðồg NXB Gáo dục 7 Bà tập oá co cấp ðạ số uyế tíh Hoàg Xuâ Síh NXB Gáo dục 8 ðạ số tuyế tíh Bù Xuâ Hả (chủ bê ðhkhn P HCM Slde bà gảg oá AðH Chươg MA RẬN ðịnh HỨC HỆ PHƯƠNG RÌNH UYẾN ÍNH MA RẬN ðịh ghĩ M trậ A cấp m trê R là hệ thốg gồm m số (, ;, R = m j = và ñược sắp xếp thàh bảg: A = (gồm m dòg và cột m m m là các phầ tử củ A ở dòg thứ và cột thứ j Cặp số (m, là kích thước củ A Kh m =, A = ( là m trậ dòg; =, A = là m trậ cột; m = =, A = ( ( phầ tử m ập hợp các m trậ A là M, ( R, ñể cho gọ t vết A = ( b H m trậ A và B bằg hu, ký hệu A = B kh và chỉ kh chúg cùg kích thước và = b m VD x y 0 x 0; y ; z ; u ; t 3 z t = = = = = = u 3 c M trậ Ο = (0 gồm tất cả các phầ tử ñều bằg 0 là m trậ khôg d Kh m = : A là m trậ vuôg cấp, ký hệu A = ( Các m trậ vuôg ñặc bệt: ðườg chéo chứ,,, là ñườg chéo chíh củ A, ñườg chéo cò lạ là ñườg chéo phụ M trậ vuôg có tất cả các phầ tử ằm goà ñườg chéo chíh ñều bằg 0 là m trậ chéo M trậ chéo cấp gồm tất cả các phầ tử trê ñườg chéo chíh ñều bằg là m trậ ñơ vị cấp, ký hệu I 0 0 0 VD I = 0, I3 = 0 0 0 0 M trậ tm gác trê (dướ cấp là m trậ có các phầ tử ằm phí dướ (trê ñườg chéo chíh ñều bằg 0 0 VD 3 A = 0 là m trậ tm gác trê; 0 0 0 3 0 0 B = 4 0 là m trậ tm gác dướ 5 M trậ ñố xứg cấp là m trậ có các phầ tử ñố xứg qu ñườg chéo chíh bằg hu ( = j Các phép toá trê m trậ Phép cộg và trừ Cho A = (, B = ( b t có: A ± B = ( ± b 0 0 0 4 VD 5 + = 3 4 5 3 7 0 3 ; 0 0 3 0 0 = 3 4 5 3 3 6 5 Phép cộg m trậ có tíh go hoá và kết hợp M trậ phả ñố xứg cấp là m trậ có các phầ tử ñố xứg qu ñườg chéo chíh ñố hu ( = j và tất cả các phầ tử trê ñườg chéo chíh ñều bằg 0 VD 4 3 4 A = 4 0 là m trậ ñố xứg; 0 0 4 B = 4 0 0 là m trậ phả ñố xứg 0 0 b Nhâ vô hướg Cho A = (, λ R t có: λ A = ( λ m 0 3 3 0 VD 6 3 = 0 4 6 0 ; 6 4 3 = 4 0 8 0 4 Phép hâ vô hướg có tíh phâ phố ñố vớ phép cộg m trậ M trậ A là m trậ ñố củ A rg
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH c Nhâ h m trậ Cho A = (, B = ( b jk p t có: k p k jk j= ( AB = ( c, c = b =, m; k =, p 3 0 0 0 ; b 5 4 0 3 ; 0 c 0 3 3 VD 7 íh ( Phép hâ m trậ có các tíh chất: (ABC = A(BC; A(B + C = AB + AC; 3 (A + BC = AC + BC; 4 λ(ab = (λab = A(λB; 5 AI = A = Im A, vớ A M m, ( R VD 8 íh 0 3 3 0 0 ; 4 3 3 0 0 b 0 0 3 và 3 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 3 Phép hâ m trậ khôg có tíh go hoá * ðặc bệt, kh A = ( và p N t có: A 0 = I ; A p = A p A (lũy thừ m trậ VD 9 Cho A = 0, tíh A009 ; 0 b Cho B =, tíh (I B 009 VD 0 Cho A = ( là m trậ vuôg cấp 00 có các phầ tử ở dòg thứ là ( ìm phầ tử 36 củ A d Phép chuyể vị Cho A = (, m trậ chuyể vị củ A là: A = ( j m (chuyể tất cả dòg thàh cột íh chất: (A + B = A + B ; (λa = λa ; 3 (A = A; 4 (AB = B A ; 5 A = A A ñố xứg; 6 A = A A phả xứg 3 Phép bế ñổ sơ cấp trê dòg củ m trậ ðịh ghĩ Cho A = ( ( m Các phép bế ñổ sơ cấp dòg e trê A là: d dk (e : Hoá vị h dòg cho hu A A d λd (e : Nhâ dòg vớ số λ 0, A A (e 3 : hy dòg bở tổg củ dòg ñó vớ tích λ dòg d d +λdk khác A A Chú ý d µ d + λdk rog thực hàh t thườg làm A B Su số hữu hạ các PBðSC dòg t ñược m trậ B tươg ñươg vớ A, ký hệu B A 3 ươg tự, t cũg có các phép bế ñổ sơ cấp trê cột củ m trậ 3 VD Cho A = 3 Chứg tỏ A B và 3 B = 0 7 / 5 0 0 0 4 M trậ bậc thg và m trậ bậc thg rút gọ M trậ bậc thg Hàg có tất cả các phầ tử ñều bằg 0 ñược gọ là hàg bằg 0 b M trậ sơ cấp M trậ thu ñược từ I bở ñúg phép bế ñổ sơ cấp dòg (cột là m trậ sơ cấp 0 0 0 0 0 0 VD 0 0, 0 5 0 và 0 là các m 0 0 0 0 0 0 trậ sơ cấp Phầ tử khác 0 ñầu tê tíh từ trá sg củ hàg ñược gọ là phầ tử cơ sở củ hàg ñó M trậ bậc thg là m trậ khác 0 cấp m ( m, thỏ: Các hàg bằg 0 ở dướ các hàg khác 0; Phầ tử cơ sở củ hàg bất kỳ ằm bê phả phầ tử cơ sở củ hàg trê ó rg
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH VD 3 0 0 3 + 0 0 3, 0 0 4 5 và I là các m trậ bậc thg; 0 0 0 0 0 0 0 7 3 5 + 0 3 4 và 0 0 0 khôg là m trậ bậc thg 0 0 5 0 3 ðịh lý Mọ m trậ ñều có thể ñư về bậc thg bằg hữu hạ phép bế ñổ sơ cấp trê dòg b M trậ bậc thg rút gọ M trậ bậc thg rút gọ là m trậ bậc thg có phầ tử cơ sở củ một dòg bất kỳ ñều bằg và là phầ tử khác 0 duy hất củ cột chứ ó VD 4 3 0 0 0 0 3 I, 0 0 0 và 0 0 là các m trậ bậc 0 0 0 0 0 0 0 thg rút gọ 5 M trậ khả ghịch ðịh ghĩ M trậ A M ( R ñược gọ là khả ghịch ếu tồ tạ B M ( R so cho AB = BA = I M trậ B là duy hất và ñược gọ là m trậ ghịch ñảo củ A, ký hệu A Kh ñó: A A = AA = I ; (A = A Nếu B là m trậ ghịch ñảo củ A thì A cũg là m trậ ghịch ñảo củ B VD 5 5 A = 3 và 3 5 B = là ghịch ñảo củ hu vì AB = BA = I Nhậ xét Nếu m trậ vuôg A có dòg (hoặc cột bằg 0 thì khôg khả ghịch Mọ m trậ sơ cấp ñều khả ghịch và m trậ ghịch ñảo cũg là m trậ sơ cấp 3 (AB = B A b ìm m trậ ghịch ñảo bằg phép bế ñổ sơ cấp dòg Cho A M ( R, t tìm A hư su: Bước Lập m trậ ( A I (m trậ ch khố bằg cách ghép I vào bê phả A Bước Dùg phép bế ñổ sơ cấp dòg ñể ñư ( A I về dạg ( A B ( A là m trậ bậc thg dòg rút gọ Nếu A có dòg (cột bằg 0 hoặc A I thì A khôg khả ghịch Nếu A = I thì A khả ghịch và A = B VD 6 ìm m trậ ghịch ñảo (ếu có củ: 0 0 0 A = và B = 0 0 0 0 0 0 0 ðịnh HỨC ðịh ghĩ M trậ co cấp k Cho m trậ vuôg A ( M ( = R M trậ vuôg cấp k ñược lập từ các phầ tử ằm trê go k dòg và k cột củ A ñược gọ là m trậ co cấp k củ A M trậ M cấp thu ñược từ A bằg cách bỏ ñ dòg thứ và cột thứ j là m trậ co củ A ứg vớ phầ tử b ðịh thức ðịh thức cấp củ m trậ vuôg A ( M ( = R, ký hệu deta hy A, là số thực ñược ñịh ghĩ: A cấp : A = ( det A = ; A cấp : A = det A = ; 3 A cấp : det A = A + A + + A, trog ñó A = ( +j det(m là phầ bù ñạ số củ phầ tử rg 3
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH Chú ý 3 = + + 3 33 3 3 3 3 3 3 33 33 33 33 (quy tắc 6 ñườg chéo ðặc bệt det I =, det 0 = 0 VD íh các ñịh thức củ: 0 0 3 A = 4, B = 3 4 và C = 3 0 3 3 5 Các tíh chất cơ bả củ ñịh thức Cho m trậ vuôg A = ( M ( R, t có các tíh chất cơ bả su: íh chất VD det ( A 3 = det A = 3 ; 3 0 0 0 = 3 0 0 0 íh chất Hoá vị h dòg (cột cho hu thì ñịh thức ñổ dấu VD 3 3 = = 3 3 Hệ quả ðịh thức có ít hất dòg (cột gốg hu thì bằg 0 VD 4 3 5 3 3 x x x y y = 0 ; 7 5 y y 0 y y 5 = ; 5 y y 0 y y 5 = íh chất 3 Nhâ dòg (cột vớ số thực λ thì ñịh thức tăg lê λ lầ 3 0 3 0 VD 5 = 3 ; 3 7 3 7 x x x + x x 3 3 ( x + y y = x + y y 3 3 z z x + z z 3 3 Hệ quả ðịh thức có ít hất dòg (cột bằg 0 thì bằg 0 ðịh thức có dòg (cột tỉ lệ vớ hu thì ñịh thức bằg 0 íh chất 4 Nếu ñịh thức có dòg (cột mà mỗ phầ tử là tổg củ số hạg thì có thể tách thàh tổg ñịh thức VD 6 x + x x x x x x x 3 3 3 x + y y = x y y + y y 3 3 3 x z z x z z z z 3 3 3 íh chất 5 ðịh thức sẽ khôg ñổ ếu t cộg vào dòg (cột vớ λ lầ dòg (cột khác 3 x VD 7 íh các ñịh thức: ; x 3 4 x Chú ý 5 d d d 0 7 Phép bế ñổ = là s do dòg ñã 3 3 hâ vớ số 3 ðịh lý Lplce Cho m trậ vuôg A = ( M ( R, t có các kh trể det A su: Kh trể theo dòg thứ det A = A + A + + A + j = A, A = ( det( M j= b Kh trể theo cột thứ j det A = A + A + + A j j j j j j + j = A, A = ( det( M = VD 8 íh ñịh thức 0 0 3 3 0 bằg cách kh trể theo dòg ; cột VD 9 Áp dụg tíh chất và ñịh lý Lplce, tíh ñịh thức: Các kết quả ñặc bệt: 3 3 3 0 0 0 0 = = 0 0 (dạg tm gác rg 4
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH det(ab = detadetb (ñịh thức củ tích h m trậ A B 3 det Adet C 0 C =, vớ A, B, C M ( R (ñịh thức ch khố 3 4 0 7 9 3 0 VD 0 = ; 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 4 b 0 3 3 = 0 3 3 ; 3 3 c 4 3 4 0 3 3 0 3 = 4 3 4 = 0 3 3 0 3 4 Ứg dụg ñịh thức tìm m trậ ghịch ñảo ðịh lý M trậ vuôg A khả ghịch kh và chỉ kh det A khác 0 b huật toá tìm A Bước íh det A Nếu det A = 0 thì kết luậ A khôg khả ghịch, gược lạ làm tếp bước Bước Lập m trậ ( ( A A = A (m trậ phụ hợp củ A Bước 3 M trậ ghịch ñảo là: A = A det A VD ìm m trậ ghịch ñảo (ếu có củ: A = và B = 0 3 5 4 3 Nhậ xét Nếu c bd 0 thì: b c b d c = c bd d 5 Hạg củ m trậ ðịh thức co cấp k A = ðịh thức củ m trậ co cấp Cho m trậ ( k củ A ñược gọ là ñịh thức co cấp k củ A ðịh lý Nếu trog m trậ A tất cả các ñịh thức co cấp k ñều bằg 0 thì các ñịh thức co cấp k + cũg bằg 0 b Hạg củ m trậ Hạg củ m trậ A là cấp co hất củ ñịh thức co khác 0 củ A, ký hệu r(a có: r( A m{ m, } Nếu A là m trậ khôg thì t quy ước r(a = 0 c Phươg pháp tìm hạg củ m trậ ðịh lý Hạg củ m trậ bậc thg (dòg bằg số dòg khác 0 củ m trậ ñó Cho A là m vuôg cấp, r( A = det A 0 Phươg pháp Bước Dùg PBðSC dòg ñư m trậ A về bậc thg Bước Số dòg khác 0 củ A su bế ñổ là r(a 3 0 0 0 VD ìm hạg củ m trậ A = 0 0 0 4 VD 3 ìm hạg củ m trậ 3 4 A = 5 4 3 8 5 6 VD 4 ùy theo gá trị m, tìm hạg củ m trậ m A = m 0 rg 5
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH 3 HỆ PHƯƠNG RÌNH UYẾN ÍNH 3 ðịh ghĩ Hệ phươg trìh tuyế tíh gồm ẩ và m phươg trìh có dạg: x + x + + x = b x + x + + x = b ( mx + mx + + mx = bm ðặt A = = ( m m (m trậ hệ số, b B = = ( b bm (m trậ cột tự do b m x và X = = ( x x là m trậ cột ẩ x Kh ñó, hệ ( trở thàh AX = B α = α α ñược gọ là ghệm củ ( ếu Aα = B Bộ số ( x x + x3 + 4x4 = 4 VD Cho hệ phươg trìh: x + x + 4x3 = 3 x 7x3 = 5 ðư hệ về dạg m trậ: x 4 4 x 4 0 3 = x 3 0 7 0 5 x4 Kh ñó, (; ; ; là ghệm củ hệ 3 ðịh lý Croceker Cpell Cho hệ phươg trìh tuyế tíh AX = B Xét m trậ mở b = = m m m b m rộg A ( A B Hệ có ghệm kh và chỉ kh r ( A = r( A = r Kh ñó: r = : Hệ phươg trìh tuyế tíh có ghệm duy hất; r < : Hệ phươg trìh tuyế tíh có vô số ghệm phụ thuộc vào r thm số 33 Phươg pháp gả hệ phươg trìh tuyế tíh Phươg pháp m trậ ghịch ñảo Cho hệ pttt AX = B, A là m trậ vuôg cấp khả ghịch có AX = B X = A B x + y z = VD Gả hệ phươg trìh y + 3z = 3 x + y + z = b Phươg pháp ñịh thức (Crmer Cho hệ pttt AX = B, A là m trậ vuôg cấp j ðặt = det A =, j b j =, j =, (thy cột j trog A bở j b j cột tự do Kh ñó, t có các trườg hợp: j Nếu 0 thì hệ có ghệm duy hất x j =, j =, Nếu = j = 0, j =, thì hệ có vô số ghệm (thy thm số vào hệ và tíh trực tếp 3 Nếu = 0 và j 0, j =, thì hệ vô ghệm VD 3 Gả hệ phươg trìh su bằg ñịh thức: x + y z = y + 3z = 3 x + y + z = VD 4 ùy theo thm số m, gả và bệ luậ hệ phươg trìh: mx + y + z = x + my + z = m x + y + mz = m c Phươg pháp Guss Bước ðư m trậ mở rộg ( A B về dạg bậc thg bở PBðSC trê dòg Bước Gả gược từ dòg cuố cùg lê trê Chú ý rog quá trìh thực hệ bước, ếu: Có dòg tỉ lệ thì xó ñ dòg; Có dòg ào bằg 0 thì xó dòg ñó; 3 Có dòg dạg ( 0 0 b, b 0 thì kết luậ hệ vô ghệm 4 Gặp hệ gả gy ñược thì khôg cầ phả ñư ( A B về bậc thg rg 6
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH VD 5 Gả hệ phươg trìh: x + 6x + x3 5x4 x5 = 4 x + x + 6x3 8x4 5x5 = 5 3x + 8x + 8x3 3x4 6x5 = VD 6 Gả hệ phươg trìh: 5x x + 5x3 3 x4 = 3 4x + x + 3x3 x4 = x + 7 x x3 = 34 Hệ phươg trìh tuyế tíh thuầ hất ðịh ghĩ Hệ pttt thuầ hất là hệ pttt có dạg: x + x + + x = 0 x + x + + x = 0 AX = θ ( mx + mx + + mx = 0 Nhậ xét Do r ( A r( A = ê hệ pttt thuầ hất luô có ghệm Nghệm (0; 0; ; 0 ñược gọ là ghệm tầm thườg b ðịh lý Hệ ( chỉ có ghệm tầm thườg r( A = det A 0 c Lê hệ vớ hệ pttt tổg quát ðịh lý Xét hệ pttt tổg quát AX = B ( và hệ pttt thuầ hất AX = θ ( Kh ñó: Hệu h ghệm bất kỳ củ ( là ghệm củ (; ổg ghệm bất kỳ củ ( và ghệm bất kỳ củ ( là ghệm củ ( Chươg KHÔNG GIAN VECOR KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECOR ðịh ghĩ Khôg g vector V trê R là cặp (V, R trg bị h phép toá V V V R V V thỏ 8 tíh chất su: ( x, y x + y ( λ, y λx x + y = y + x; (x + y + z = x + (y + z; 3! θ V : x + θ = θ + x = x ; 4 ( x V : ( x + x = x + ( x = θ ; ( λ λ x = λ ( λ x ; 6 λ( x + y = λ x + λ y ; 5 ( λ + λ x = λ x + λ x ; 8 x = x 7 VD ập ghệm củ hệ phươg trìh tuyế tíh thuầ hất là khôg g vector V = A M ( R các m trậ vuôg cấp là kgvt ập { } { (,,,,, } V = u = x x x x R là kgvt Euclde Khôg g co củ kgvt Cho kgvt V, tập W V là kgvt co củ V ếu (W, R cũg là một kgvt Cho kgvt V, tập W V là kgvt co củ V ếu: ( x + λ y W, x, y W, λ R VD ập W { θ} rog = là kgvt co củ mọ kgvt V R, tập W { u ( x,0,,0 x } = = R là kgvt co R SỰ ðộc LẬP UYẾN ÍNH VÀ PHỤ HUỘC UYẾN ÍNH ðịh ghĩ rog kgvt V, cho vector u ( =,,, ổg = λ u, λ R ñược gọ là một tổ hợp tuyế tíh củ vector u Hệ vector {u, u,, u } ñược gọ là ñộc lập tuyế tíh ếu có λ u = θ thì 0,, = λ = = Hệ vector {u, u,, u } khôg là ñộc lập tuyế tíh thì ñược gọ là phụ thuộc tuyế tíh VD rog R, hệ {u = (;, u = (; 3} là ñltt rog R, hệ {u = (0; 0; ; ; 0; ; 0} (vị trí thứ là là ñltt 3 rog R, hệ {u =( ;3;, u =(;0;, u 3 =(0;6;5} là pttt ðịh lý Hệ vector phụ thuộc tuyế tíh vector là tổ hợp tuyế tíh củ vector cò lạ VD Nếu x = x 3x 3 thì hệ {x, x, x 3 } là phụ thuộc tuyế tíh Hệ quả Hệ có vector khôg thì phụ thuộc tuyế tíh Nếu có bộ phậ củ hệ phụ thuộc tuyế tíh thì hệ phụ thuộc tuyế tíh R Hệ vector trog ðịh ghĩ rog R cho m vector u = (,,,, =, m gọ A ( = là m trậ dòg củ m vector u rg 7
hs ðoà Vươg Nguyê ðịh lý rog R, hệ {,,, m} u u u ñộc lập tuyế tíh kh và chỉ kh r(a = m (bằg số phầ tử củ hệ rog R, hệ { u, u,, u m} phụ thuộc tuyế tíh kh và chỉ kh r(a < m VD 3 Xét sự ñltt hy pttt củ các hệ: B = {( ;;0, (;5;3, (;3;3}, B = {( ; ; 0, (; ; } Hệ quả rog tíh rog R, hệ có hều hơ vector thì phụ thuộc tuyế R, hệ vector ñộc lập tuyế tíh det A 0 3 CƠ SỞ SỐ CHIỀU ỌA ðộ 3 Cơ sở củ kgvt Slde bà gảg oá AðH ðịh ghĩ rog kgvt V, hệ B = {u, u,, u } ñược gọ là một cơ sở củ V ếu hệ B ñltt và mọ vector củ V ñều bểu dễ tuyế tíh qu B VD rog R, hệ E = {e = (; 0; ; 0, e = (0; ; ; 0,, e = (0; ; 0; } là cơ sở chíh tắc rog R, hệ B = {u = (;, u = (; 3} là cơ sở 3 Số chều củ kgvt ðịh ghĩ Kgvt V ñược gọ là có chều, ký hệu dmv =, ếu trog V có ít hất hệ gồm vector ñltt và mọ hệ gồm + vector ñều pttt ðịh lý dmv = kh và chỉ kh trog V tồ tạ cơ sở gồm vector Hệ quả rog R, mọ hệ gồm vector ñltt ñều là cơ sở 33 ọ ñộ ðịh ghĩ rog kgvt V cho cơ sở B = {u, u,, u } Kh ñó, mỗ x V có bểu dễ tuyế tíh duy hất x = x u + +x u ó x có tọ ñộ ñố vớ B là (x,, x x Ký hệu [ x] = B x ðặc bệt, tọ ñộ củ vector x ñố vớ cơ sở chíh tắc E là [x] E = [x] (tọ ñộ cột thôg thườg củ x VD rog R cho cơ sở B = {u = (;, u = (; } và x = (3; 5 ìm [x] B b ðổ cơ sở M trậ chuyể cơ sở rog kgvt V cho cơ sở B = {u, u,, u } và B = {v, v,, v } ( B B B v v v ñược gọ là m trậ chuyể M trậ [ ] [ ] [ ] cơ sở từ B sg B Ký hệu P B B ðặc bệt, ếu E là cơ sở chíh tắc thì: ([ ][ ] [ ] P = E B u u u Côg thức ñổ tọ ñộ x = P x [ ] [ ] B B B B VD 3 rog R cho cơ sở B = {u = (; 0, u = (0; }, B = {v = (;, v = (; } và [ x] = B ìm x PB B ; b ìm [ ] B ðịh lý rog kgvt R cho 3 cơ sở B, B và B 3 Kh ñó: P = I ( =,, 3; B B P = P P ; B B3 B B B B3 3 PB B ( PB B = Hệ quả ( P = P P = P P B B B E E B E B E B rog kgvt R, t có: { λ λ λ λ } u, u,, u = x R : x = u + u + + u, R m m m VD 4 Gả lạ VD 3 34 Khôg g co sh bở hệ vector rog kgvt V cho hệ m vector S = {u,, u m } ập tất cả các tổ hợp tuyế tíh củ S ñược gọ là khôg g co sh bở S trê R Ký hệu sps hoặc <S> Kh ñó: dm<s> = r(s (hạg m trậ dòg m vector củ S; Nếu dm<s> = r thì mọ hệ co gồm r vector ñltt củ S ñều là cơ sở củ sps VD 5 4 rog R cho hệ vector S = {u =( ; 4; ; 4, u = (; 5; 3;, u 3 = ( ; 3; 4; } ìm cơ sở và dmsps rg 8
hs ðoà Vươg Nguyê 4 ÁNH XẠ UYẾN ÍNH 4 ðịh ghĩ m Áh xạ f : R R thỏ f ( x + y = f ( x + f ( y x, y R, λ R f ( λx = λ f ( x ñược gọ là áh xạ tuyế tíh Áh xạ f : R R thỏ f ( x + y = f ( x + f ( y x, y R, λ R f ( λx = λ f ( x ñược gọ là phép bế ñổ tuyế tíh VD 3 f(x ; x ; x 3 = (x x +x 3 ; x +3x là AX từ R R f(x ; x = (x x ; x + 3x là PBð từ R R f(x ; x = (x x ; + 3x khôg là PBð từ Slde bà gảg oá AðH R R Chú ý f ( x + y = f ( x + f ( y ðều kệ f ( λx = λ f ( x f ( x + λ y = f ( x + λ f ( y x, y R, λ R VD Các PBð thườg gặp trog mặt phẳg: Phép chếu vuôg góc xuốg trục Ox, Oy: f(x; y = (x; 0, f(x; y = (0; y Phép ñố xứg qu Ox, Oy: f(x; y = (x; y, f(x; y = ( x; y 3 Phép quy góc φ quh gốc tọ ñộ O: f(x; y = (xcosφ ysφ; xsφ + ycosφ 4 M trậ củ áh xạ tuyế tíh ðịh ghĩ m Cho AX f : R R và h cơ sở lầ lượt là B = {u, u,, u } và B = {v, v,, v m } M trậ cấp m [ f ( u ] [ f ( u ] [ f ( u ] ñược ( B B B gọ là m trậ củ AX f trog cặp cơ sở B, B Ký hệu [ f ] B B hoặc A ( ( f u = v + v + 3v3 + + mvm f u = v + v + 3v3 + + mvm Cụ thể, ếu thì f ( u = v + v + 3v3 + + mvm B [ f ] B = m m m Cho PBð f : R R và cơ sở B = {u, u,, u } ( M trậ vuôg cấp [ ( ] [ ( ] [ ( ] f u f u f u ñược B B B gọ là m trậ củ PBð f trog cơ sở B Ký hệu [ f ] B hoặc [f] hoặc A Chú ý Nếu A là m trậ củ AX f trog cặp cơ sở B, B thì f ( x, x,, x = A( x x x VD 3 Cho AX f(x, y, z, t = (3x + y z; x y + t; y + 3z t 3 ìm [ f ] E E 4 3 b Cho AX f(x, y = (3x; x y; 5y ìm [ f ] E E c Cho PBð f(x, y, z = (3x + y z; x y; y + 3z ìm [ f ] E3 VD 4 Cho AX f : 3 R R có m trậ củ f trog h 3 cơ sở chíh tắc E và E 3 là A = 0 4 3 ìm m trậ f trog h cơ sở B = {u = (;, u = (; } và B = {v = (; 0;, v = (; ;, v 3 = (; 0; 0} b M trậ ñồg dạg ðịh ghĩ H m trậ vuôg A, B cấp ñược gọ là ñồg dạg vớ hu ếu tồ tạ m trậ khả ghịch P thỏ B = P AP ðịh lý m Nếu AX f : R R có m trậ trog các cặp cơ sở / / ( B, B, (, P P / / B B B B tươg ứg là A, A và = thì ( A = P A P P =, PB B ðặc bệt, ếu PBð f : R R có m trậ trog h cơ sở B, B lầ lượt là A, B và P = thì B = P AP PB B VD 5 Cho PBð f(x, y = (x + y; x y ìm m trậ củ f trog cơ sở chíh tắc E và trog B={u =(;,u =(; } VD 6 Cho AX f(x, y, z = (x + y z; x y + z ìm m trậ củ f trog cặp cơ sở: B = { u = (;;0, u = (0;;, u = (;0;} và 3 B = { u = (;, u = (;} / / c huật toá tìm m trậ củ AX m Cho AX f : R R và h cơ sở lầ lượt là B = {u, u,, u } và B = {v, v,, v m } Ký hệu: S = [ v ][ v ] [ vm ] (m trậ cột các vector củ B, ( ([ ( ][ ( ][ ( ] Q = f u f u f u B ( B Dùg PBðSC dòg ñư m trậ ( S Q I [ f ] VD 7 ìm lạ các m trậ f trog VD 4 và VD 6 rg 9
hs ðoà Vươg Nguyê 5 CHÉO HÓA MA RẬN 5 Gá trị rêg, vector rêg củ PBð ðịh ghĩ Cho PBð f : R R có m trậ trog cơ sở B = {u, u,, u } là A Số λ R ñược gọ là gá trị rêg củ A (hy f ếu: x R, x θ : Ax = λx Vector x ñược gọ là vector rêg củ A (hy f ứg vớ gá trị rêg λ ð thức P A (λ = det(a λi ñược gọ là ñ thức ñặc trưg củ A (hy f và λ là ghệm củ pt ñặc trưg P A (λ = 0 Slde bà gảg oá AðH Cách tìm gá trị rêg và vector rêg: Bước Gả phươg trìh ñặc trưg A λi = 0 ñể tìm gá trị rêg λ Bước Gả hệ phươg trìh ( A λ khôg tầm thườg là vector rêg 0 0 VD Cho A = 0 0 0 0 ìm gá trị rêg và vector rêg củ A I x = θ, ghệm 3 3 VD Cho B = 3 5 3 3 3 ìm gá trị rêg và vector rêg củ B b íh chất Các vector rêg ứg vớ gá trị rêg λ cùg vớ vector khôg tạo thàh khôg g vector co rêg E(λ củ R Các vector rêg ứg vớ gá trị rêg khác hu thì ñộc lập tuyế tíh 5 Chéo hó m trậ ðịh ghĩ Cho PBð f : R R, ếu có một cơ sở so cho m trậ củ f là m trậ ñườg chéo thì t ó f chéo hó ñược M trậ vuôg A là chéo hó ñược ếu ó ñồg dạg vớ m trậ ñườg chéo D, ghĩ là P AP = D Kh ñó, t ó P làm chéo hó A 0 0 0 VD 3 Cho A = 0 0, xét m trậ: 0 0 0 0 0 P = 0 0 P 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Kh ñó: P AP = 0 0 A P 0 0 = P 0 0 0 0 b ðều kệ chéo hó ñược ðịh lý Nếu A có gá trị rêg ñô phâ bệt thì A chéo hó ñược A chéo hó ñược kh và chỉ kh A có gá trị rêg kể cả bộ và số chều củ tất cả khôg g co rêg bằg số bộ củ gá trị rêg tươg ứg c huật toá chéo hó m trậ Bước Gả phươg trìh ñặc trưg ñể tìm các gá trị rêg củ A Nếu A khôg có gá trị rêg ào thì A khôg chéo hó ñược Gả sử A có k gá trị rêg phâ bệt λ, λ,, λ k vớ số bộ tươg ứg,,, k Kh ñó: + + + k < thì A khôg chéo hó ñược b + + + k = thì t làm tếp bước Bước Vớ mỗ λ tíh r(a λ I = r Kh ñó dme(λ = r Nếu có một λ mà dme(λ < thì A khôg chéo hó ñược Nếu dme(λ = vớ mọ λ thì kết luậ A chéo hó ñược làm tếp bước 3 Bước 3 Lập m trậ P có các cột là các vector cơ sở củ E(λ Kh ñó, P AP = D vớ D là m trậ ñườg chéo có các phầ tử trê ñườg chéo chíh lầ lượt là λ (xuất hệ lê tếp lầ VD 4 Chéo hó các m trậ: A 3 0 = 8, B 0 = 6 VD 5 Chéo hó các m trậ : 0 0 0 3 3 A = 0 0, B = 3 5 3 0 3 3 rg 0
hs ðoà Vươg Nguyê Chươg 3 DẠNG OÀN PHƯƠNG KHÁI NIỆM DẠNG OÀN PHƯƠNG Dạg toà phươg tổg quát ðịh ghĩ Hàm số bế số x = (x, x,, x Q : R R cho bở bểu thức [ ] [ ] Q( x = x A x = x x (A là m trậ ñố xứg = j= j ñược gọ là dạg toà phươg trog R M trậ A và r(a ñược gọ là m trậ và hạg củ dạg toà phươg Q Slde bà gảg oá AðH VD ìm dạg toà phươg Q(x h bế x, x Bết m trậ củ Q(x là A = VD Cho dạg toà phươg 3 bế Q( x = x + 3x x3 xx + 6xx3 ìm m trậ A Dạg chíh tắc củ dạg toà phươg ðịh ghĩ Dạg chíh tắc là dạg toà phươg trog R chỉ chứ bìh phươg củ các bế Q( x = x = M trậ A củ dạg chíh tắc là m trậ ñườg chéo VD 3 ìm dạg chíh tắc Q(x h bế x, x 0 Bết m trậ củ Q(x là A = 0 VD 4 Cho dạg chíh tắc 3 bế Q( x = x 5x 3x3 ìm m trậ A 3 Dạg toà phươg xác ñịh dấu ðịh ghĩ Dạg toà phươg Q(x là xác ñịh dươg ếu: Q( x > 0, x R ( x θ Dạg toà phươg Q(x là xác ñịh âm ếu: Q( x < 0, x R ( x θ Dạg toà phươg Q(x là ử xác ñịh dươg (âm ếu: Q( x 0, x R ( Q( x 0, x R Dạg toà phươg Q(x là khôg xác ñịh ếu ó hậ cả gá trị dươg lẫ âm b các têu chuẩ xác ñịh dấu ðịh lý Dạg toà phươg Q(x củ R xác ñịh dươg kh và chỉ kh tất cả các hệ số dạg chíh tắc củ ó ñều dươg Dạg toà phươg Q(x củ R xác ñịh âm kh và chỉ kh tất cả các hệ số dạg chíh tắc củ ó ñều âm ðịh lý (Sylvester Cho m trậ vuôg cấp A ( k k k kk = ðịh thức: D = ( k ñược gọ là ñịh thức co chíh củ A (A có ñịh thức co chíh Dạg toà phươg Q(x củ R xác ñịh dươg kh và chỉ kh tất cả các ñịh thức co chíh D k > 0 Dạg toà phươg Q(x củ R xác ñịh âm kh và chỉ kh các ñịh thức co chíh cấp chẵ dươg, cấp lẻ âm ðưa DẠNG OÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH ẮC Phươg pháp chug ðổ bế x R bằg bế [ ] [ ] [ ] [ ] y R : x = P y y = P x (P là m trậ vuôg khôg suy bế, det P 0 so cho D = P AP có dạg chéo Kh ñó: [ ] [ ] [ ] [ ] Q( x = x A x = y D y (dạg chíh tắc theo bế y huật toá Lgrge Cho dạg toà phươg ( = j = + j = j= = < j ( = j Q x x x x x x rườg hợp (có hệ số 0 Bước Gả sử 0, t tách tất cả các số hạg chứ x trog Q(x và thêm (bớt ñể có dạg: Q( x = ( x + x + + x + Q ( x, x3,, x, 3 Q ( x, x,, x có bế ðổ bế y x x x = + + +, y x (, =, ðổ bế gược x ( y y y (, x = y = Vớ bế mớ thì Q( y = y + Q ( y,, y = = rg
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH Bước ếp tục làm hư bước cho Q (y,, y, su số hữu hạ bước thì Q(x có dạg chíh tắc b rườg hợp (các hệ số = 0 x = y + y Gả sử 0, t ñổ bế x = y y Kh ñó, x = y ( = 3,, Q = y y + có hệ số củ y là 0 rở lạ trườg hợp VD ðư dạg toà phươg Q = x + 4x + x x + 4x x về dạg chíh tắc ìm P 3 3 VD ðư dạg toà phươg Q = xx + xx3 6xx3 về dạg chíh tắc ìm P huật toá Jcob Cho dạg toà phươg ( Q x có m trậ A ( = thỏ Dk 0, k, Vớ j >, t ñặt D j, là ñịh thức củ m trậ có các phầ tử ằm trê go củ các dòg,,, j và các cột,,,, +,, j (bỏ cột củ A ðổ bế theo côg thức: x = y + b y + b3 y3 + b4 y4 + + b y x = y + b3 y3 + b4 y4 + + b y, x = y vớ b D + j j, j = ( D j D D3 D Kh ñó, Q = D y + y + y3 + + y D D D VD 3 ðư dạg toà phươg Q = x + x + x + 3x x + 4x x về dạg chíh tắc ìm P 3 3 3 huật toá chéo hó trực go ðịh ghĩ M trậ vuôg P ñược gọ là m trậ trực go ếu: P = P hy P P = I Nếu có m trậ trực go P làm chéo hó m trậ A thì t gọ P chéo hó trực go m trậ A Chú ý P = là m trậ trực go thì : Nếu ( = (tổg bìh phươg cột = b ðịh lý Mọ dạg toà phươg Q(x củ R ñều ñư ñược về dạg chíh tắc Q = λ y + λ y + + λ y bằg phép ñổ bế [x] = P[y], vớ P là m trậ làm chéo hó trực go A và các λ là các gá trị rêg củ A c huật toá Bước ìm các gá trị rêg λ và vector rêg u ( =,, Bước rực chuẩ hó u hư su: ðặt v u v = u, v = u v, v v 4 huật toá bế ñổ sơ cấp m trậ ñố xứg Bước Bế ñổ sơ cấp dòg ( A I và ñồg thờ lặp lạ các bế ñổ cùg kểu trê các cột củ ( A I ñể ñư A về dạg chéo Kh ñó, I sẽ trở thàh P và λ 0 0 0 λ 0 P AP = 0 0 0 λ Bước ðổ bế [x] = P[y] t có Q = λ y + λ y + + λ y VD 5 ðư dạg toà phươg Q = xx 4xx3 + 6xx3 về dạg chíh tắc ìm P u v u v v = u v v, 3 3 3 3 v v v v (ký hệu u v là tích vô hướg củ u và v v Chuẩ hó w =, vớ v là ñộ dà vector v v Bước 3 M trậ P = ([w ] [w ] [w ] VD 4 ðư dạg toà phươg Q = 6x + 6x + 5x 4x x x x x x về dạg chíh 3 3 3 tắc ìm P Cho bết A có λ = 3, u = (;;; λ = 6, u = ( ; ;; λ = 8, u = ( ;;0 3 3 3 RÚ GỌN QUADRIC 3 ðườg bậc h trê mặt phẳg tọ ñộ Oxy ðịh ghĩ rê mpoxy, ñườg bậc h là tập hợp tất cả các ñểm M(x; y có tọ ñộ thỏ phươg trìh: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 ( rog ñó, A + B + C > 0 Các dạg chíh tắc củ ñườg bậc h: x y + = (ñườg elp; b x y = (ñườg hyperbol; b 3 y = px (prbol; 4 x y = 0 (cặp ñườg thẳg cắt hu; rg
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH 5 y =, > 0 (cặp ñườg thẳg sog sog; 6 y = 0 (cặp ñườg thẳg trùg hu Các ñườg bậc h có phươg trìh dạg, và 3 ñược gọ là khôg suy bế b Nhậ bết các ñườg Coc Cho (C là ñườg bậc h có phươg trìh ( A B D ðặt Q = B C E, kh ñó: D E F (C khôg suy bế Q r ( Q det 0 = 3 Cho (C là ñườg bậc h khôg suy bế (Coc có phươg trìh ( A B ðặt Q = B C, kh ñó: (C là ñườg elp det Q > 0 ; (C là ñườg hyperbol det Q < 0 ; 3 (C là ñườg prbol detq = 0 ; 4 (C là ñườg trò A = C 0, B = 0 c Phươg pháp lập phươg trìh chíh tắc củ ñườg bậc h Gả sử ñườg bậc h (C có phươg trìh ( trog Oxy Xét dạg toà phươg: Q(x, y = Ax + Bxy + Cy xác ñịh bở phầ ñẳg cấp trog ( Bước Chíh tắc hó trực go Q(x, y hờ phép quy thích hợp trog hệ tọ ñộ ñg xét Bước ịh tế hệ tọ ñộ một cách thích hợp ñể phươg trìh (C có dạg chíh tắc VD Xác ñịh dạg củ ñườg bậc h (C: x 4xy + 4y + 4x 3y 7 = 0 có Q = 4 3 / r ( Q = 3 3 / E 7 (C khôg suy bế Q = detq = 0 4 (C là ñườg prbol VD Lập phươg trìh chíh tắc củ (C: 5x + 4xy + 8y 3x 56y + 80 = 0 trog Oxy Gả Xét dạg toà phươg Q(x, y = 5x + 4xy + 8y 5 có Q = 8 5 5 P = là m trậ trực go chéo hó Q 5 5 cosϕ sϕ Quy quh O một góc ϕ so cho P = sϕ cosϕ, x = x y 5 5 ghĩ là t ñổ tọ ñộ: y = x + y 5 5 Kh ñó, (C có phươg trìh: 44 8 9x + 4 y x + y + 80 = 0 5 5 8 9 x + 4 y + = 36 5 5 8 x y + 5 5 + = 4 9 8 X = x 5 Dùg phép tịh tế hệ tọ ñộ: Y = y + 5 X Y ( C : + = (elp 4 9 thì 3 Mặt bậc h trog khôg g tọ ñộ Oxyz ðịh ghĩ rog khôg g Oxyz, mặt bậc h là tập hợp tất cả các ñểm M(x; y; z có tọ ñộ thỏ phươg trìh: Ax + Bxy + Cxz + Dy + Eyz + Fz + Gx + Hy + Kz + L = 0( rog ñó A, B, C, D, E, F khôg ñồg thờ bằg 0 Các dạg chíh tắc củ mặt bậc h: x y z + + = (mặt elpxot; b c x y z + = (hyperbolot tầg; b c x y z 3 + = (hyperbolot tầg; b c 4 5 6 7 8 9 x y z + = 0 (ó elptc; b c x y + = z (prbolt elptc; b x y = z (prbolt hyperbolc yê gự; b x y + = (mặt trụ elptc; b x y = (mặt trụ hyperbolc; b y = px (mặt trụ prbolc rg 3
hs ðoà Vươg Nguyê Slde bà gảg oá AðH b Nhậ bết các mặt bậc h Cho (S là mặt bậc h có phươg trìh ( A B C G A B C ðặt Q = B D E B D E H và Q =, t có: C E F C E F K G H K L (S khôg suy bế Q r ( Q det 0 = 4 Kh ñó: (S là mặt elpxot Q xác ñịh dươg hoặc xác ñịh âm (S là mặt prbolc detq = 0 VD 3 Xác ñịh dạg củ mặt bậc h su ñây rồ lập phươg trìh chíh tắc (S: x + 8xy + 8y + 5z x 84y 30z + 343 = 0 Gả có 4 0 56 4 0 Q = 4 8 0 4 8 0 9 và Q = 0 0 5 0 0 5 5 56 9 5 343 Do r ( Q = 4 ê (S khôg suy bế heo ñịh lý Sylvester, Q có D = > 0; D = 600 > 0; D 3 = 9000 > 0 ê Q xác ñịh dươg Vậy (S là mặt elpxot 0 4 0 5 5 có: Q = 4 8 0 P = 0 5 5 0 0 5 0 0 trậ trực go chéo hó Q x = x y 5 5 ðổ tọ ñộ: y = x + y 5 5 z = z Kh ñó, (S có phươg trìh: là m 480 40 30x + 0 y + 5z x y 30z + 343 = 0 5 5 8 x y 5 5 ( z + + = 3 4 8 X = x 5 Dùg phép tịh tế hệ tọ ñộ: Y = y 5 Z = z X Y Z thì ( S : + + = (mặt elpxot 3 4 Hết rg 4