ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1 ο Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; A2. Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f ; Α3. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα a,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x o, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) στο (, x) και f ( x) στο ( x, ), τότε να αποδείξετε ότι το f ( x ) είναι τοπικό μέγιστο της f. (Μονάδες 7) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ α. Αν f συνεχής με f ( x) για κάθε x [ a, ], τότε ισχύει πάντοτε f ( x ) dx. a β. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, B, όπου: γ. Αν υπάρχει το A lim f ( x) και B lim f ( x ). xa δ. Αν μια συνάρτηση f : x lim f ( x), τότε f ( x) «κοντά» στο x xx. έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και f ( x) για κάθε x, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο. ε. Έστω συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα. Στα εσωτερικά σημεία του όπου η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, η γραφική παράσταση εφαπτομένη. ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με: f x 2x x, αν x x x2, x C της f έχει οριζόντια f 8x2 x 16 3 x, αν x (Μονάδες 5x2=1) ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Να δείξετε ότι 2 και 4. Β2. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( x). x Β3. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( x). x Β4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) 2ln 8x 1 τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα, 1. έχει μία, (Μονάδες 8) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 3 ο Έστω μία συνάρτηση f :, οποία ικανοποιεί τις επόμενες συνθήκες: δύο φορές παραγωγίσιμη η f (1) f (1) 1 2 2 f ( x) 4 xf ( x) x f ( x) 2lnx 3 Δίνεται επίσης η συνάρτηση:, για κάθε x g( x) 2 xf ( x) x2f ( x) x2lnx 1, x Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο,. Γ2. Να αποδείξετε ότι f ( x) ln x, x ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ (Μονάδες 5 ) (Μονάδες 5 )
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ3. i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. f ii. Αν ένα σημείο M x( t), y( t ), όπου t ο χρόνος σε sec και x( t) 1, κινείται πάνω στην καμπύλη της γραφικής παράστασης C της fof με σταθερό ρυθμό μεταβολής της fof τετμημένης του και ίσο με 1 cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία Γ4. Να αποδείξετε ότι: x( t ) 2 cm. f a f ( a) f ( ) 2 (Μονάδες 6) για κάθε 1 a,, e με a. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο 5 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x x, x Δ1. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη. ii) Να αποδείξετε ότι : e5x e3x2 ex4 e5x x4 x 2 1, για κάθε x (Μονάδες 3) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ2. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) 1 έχει μοναδική ρίζα x,1. ii) Να λύσετε την ανίσωση: Δ3. Να αποδείξετε ότι: 2x 3x 6x 12x 2x 3x 6x 12x 6 4 2 6 4 2 21 11 Δ4. i) Να αποδείξετε ότι: f ( t) dt 3 42 2 1 1 x2 3 e dx 4, με 1 1 2 ii) Να υπολογίσετε, συναρτήσει του x, το ολοκλήρωμα: (Μονάδες 3) 1 1 f x dx (Μονάδες 3) ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 1 ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Επιστημονική επιμέλεια: Συντακτική ομάδα www.mathp.gr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών