ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 13 Ιανουαρίου 18 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1 Έστω η συνάρτηση f ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ = εφ Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 συν 1 = συν 1 = { /συν = } με f = δηλαδή ( εφ) A Δίνεται ο παρακάτω ισχυρισμός: Αν για δύο συναρτήσεις f,g: ισχύει: f g = για κάθε τότε: f = για κάθε ή g = για κάθε (α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό ως ΑΛΗΘΗ ή ΨΕΥΔΗ (β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο (α) ερώτημα Α3 Να γράψετε στο τετράδιο σας δίπλα από τον αντίστοιχο αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1 H αντίστροφη της συνάρτησης (α) f = ln +, > f = e +, είναι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 5

2 f = ln + +, > (β) (γ) f = ln +, > Η παράγωγος της συνάρτησης f 3 = ισούται με (α) 3 (β) 1 3 (γ) 3 ln 3 3 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,1] με f( 1) = 3 και Τότε μπορούμε να ισχυριστούμε με βεβαιότητα ότι: (α) Η μέγιστη τιμή της f το 3 και η ελάχιστη το 4 f π (β) Η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( 1,1) (γ) Η f διατηρεί πρόσημο στο [ 1,1] f 1 = 4 Μονάδες 9 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη f( + h) f 1 Αν το lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε h h αυτό ισούται με το f ( ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο f( ) τότε και η συνάρτηση f g είναι πάντα παραγωγίσιμη στο 3 Αν η συνάρτηση f :A αντιστρέφεται τότε ισχύει f f =, A 4 Αν για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A ισχύει f f για κάθε A με Aτότε λέμε ότι στη θέση η f παρουσιάζει μέγιστο με τιμή f( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5

3 ΘΕΜΑ Β Δίνονται η συνεχής συνάρτηση f:, με: f και η συνάρτηση h = + με A [,1] h = + 3 = Β1 Να αποδείξετε ότι k = 1 και f = + 4 για κάθε 1, 3 k k + 8, = 3 Β Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση h f και ο τύπος της είναι Μονάδες 7 = ( ) = ( + ) 17 + ( + ) 19 με πεδίο ορισμού Α [ 4, 3] g h f 4 4 Β3 (α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g (β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό [ 4, 3] 18 g( ) 35 = Β4 Να υπολογίσετε το όριο lim 4 ημf g τέτοιο ώστε: = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 5

4 ΘΕΜΑ Γ Έστω η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: (i) f > 1 f f = e + e για κάθε (ii) Γ1 Να δείξετε ότι f = e +, για κάθε Μονάδες 7 Γ α) Να δείξετε ότι η εξίσωσηe + 4 = λ έχει μοναδική ρίζα στο για κάθε τιμή της παραμέτρου λ β) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f = e + και έχουν μόνο μια κοινή εφαπτομένη Γ3 Να λύσετε την ανίσωση: f f( ) 4 (g() ) με g = + + > ( 1 ) ( ) Γ4 Δυο σημεία με ίδια τετμημένη A ( t ),y ( t) και B t,y t κινούνται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g αντίστοιχα Αν η τετμημένη τους αυξάνεται με ρυθμό 1 cm / sec να βρείτε τη θέση των σημείων για την οποία ισχύει: y 1(t) = y (t) + 1 με t Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5

5 ΘΕΜΑ Δ Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: Δ1 Να δείξετε ότι: (α) f( 1) = 1 (β) f ( 1) = f 1 lim = και 1 f lim = Δ Να δείξετε ότι η συνάρτηση fείναι ου βαθμού και ο τύπος της είναι f =, Δ3 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτησηg: την f στην μοναδική θέση = α, α > Μονάδες4 Μονάδες5 η οποία έχει το ίδιο ελάχιστο με Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο M(,y) με (,α) ( ) gg + h gg h Δ4 Αν επιπλέον ισχύει: lim h h με (,α) ( ( )) = g ημg τότε να δείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι αντιστρέψιμη Μονάδες8 Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5