ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α 1 Α 6 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά. Α.1. Ένα σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν τετραπλασιάσουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήματος, τότε α. η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. β. η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί. γ. το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί. δ. η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. ( Μονάδες 3 ) Α.2. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή α. έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο. β. έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο. γ. θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο ανάλογα με την αρχική φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. δ. μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν αντίθετο πρόσημο. ( Μονάδες 3 ) Α.3. Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση α. Η συχνότητα είναι αρµονική συνάρτηση του χρόνου β. Η ταχύτητα είναι αντίρροπη της επιτάχυνσης γ. Η θέση είναι αντίρροπη της ταχύτητας δ. Η απομάκρυνση είναι ανάλογη της συνισταμένης δύναµης ( Μονάδες 3 ) Α.4. Στη γραµµική αρµονική ταλάντωση α. Η ολική ενέργεια παραµένει σταθερή β. Η δυναµική ενέργεια ελαττώνεται εκθετικά µε το χρόνο γ. Η κινητική ενέργεια είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου δ. Η ολική ενέργεια ελαττώνεται εκθετικά µε το χρόνο ( Μονάδες 3 ) Α.5. Η διαφορά φάσης Δφ = φ u -φ α µεταξύ επιτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην απλή αρµονική ταλάντωση είναι: α. -π/2 β. π/2 γ. 3π/2 δ. 0. ( Μονάδες 3 )
Α.6. Ένα σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση. Όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας α. Η κινητική του ενέργεια είναι µηδέν. β. Η επιτάχυνσή του είναι µέγιστη. γ. Η δύναµη επαναφοράς είναι µηδέν. δ. Η δυναµική του ενέργεια είναι µέγιστη. ( Μονάδες 3 ) Α.7. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα Σ για τις σωστές απαντήσεις και Λ για τις λάθος. α. Στην απλή αρµονική ταλάντωση το μέτρο της επιτάχυνσης είναι ελάχιστο στις θέσεις x = ± Α. β. Η περίοδος στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι ανάλογη της μάζας του σώματος. γ. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη κίνηση, οµαλά μεταβαλλόμενη. δ. Η σταθερά επαναφοράς δεν επηρεάζει την περίοδο του ταλαντευόμενου συστήματος. ε. Στην απλή αρµονική ταλάντωση τα διανύσµατα u και α είναι πάντα αντίρροπα. στ. Η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης είναι ανάλογη με τη μάζα του σώματος. ζ. Σε χρόνο μιας περιόδου ένα σώμα που εκτελεί Α.Α.Τ περνά τρεις φορές από τη Θ.Ι. ΘΕΜΑ Β ( Μονάδες 7 ) Β.1. Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων Α και Β των οποίων τα άλλα άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα, ισορροπούν δύο σώματα με ίσες μάζες. Απομακρύνουμε και τα δύο σώματα προς τα κάτω κατά d και τα αφήνουμε ελεύθερα, ώστε αυτά να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Αν η σταθερά του ελατηρίου Α είναι τετραπλάσια από τη σταθερά του ελατηρίου Β, ποιος είναι τότε ο u A, max λόγος των μέγιστων ταχυτήτων των δύο σωμάτων; α. 1/2 β. 1 γ. 2 u B,max Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ( Μονάδες 2 ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ( Μονάδες 6) Β.2. Σε απλή αρµονική ταλάντωση, τη στιγµή που η αποµάκρυνση του ταλαντωτή είναι το µισό της µέγιστης αποµάκρυνσης ( x=a/2 ) η κινητική του ενέργεια Κ είναι το : α. 25 % β. 50 % γ. 75 % της ολικής ενέργειας Ε ο της ταλάντωσης. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. ( Μονάδες 2 ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( Μονάδες 6) B.3. Ένα σώμα m = 1Kg εκτελεί Α.Α.Τ με απομάκρυνση που δίνεται από τη σχέση : x= 3 συν 4 t ( S.I.) α) Να γράψετε τις συναρτήσεις U= f (x), E = f(x),k= f(x) της ταλάντωσης. ( Μονάδες 4 ) β) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις U= f (x), E = f(x),k= f(x) σε κοινό σύστημα ορθογώνιων αξόνων ποσοτικά ( να φαίνονται οι τιμές των μεγεθών) ( Μονάδες 5 )
ΘΕΜΑ Γ Σώµα µάζας m=2kg είναι δεµένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=50 Ν/m και ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αποµακρύνουµε τη µάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά 0,2 m προς τα κάτω κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και την αφήνουµε ελεύθερη. Γ.1. Να δείξετε ότι το σύστηµα ελατήριο - µάζα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. ( Μονάδες 9 ) Γ.2. Πόση είναι η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος; ( Μονάδες 5 ) Γ.3. Πόση είναι η µέγιστη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης; ( Μονάδες 5 ) Γ.4. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης της µάζας από τη θέση ισορροπίας της σε συνάρτηση µε το χρόνο, αν για t=0 διέρχεται από τη θέση y=+0,1 m κινούµενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η αποµάκρυνση είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. Δίνεται: g = 10 m/s 2 ( Μονάδες 6 ) ΘΕΜΑ Δ Σώµα µάζας m = 0,5 kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D = 8 N/m. Τη χρονική στιγµή t = 0 το σώµα διέρχεται από τη θέση x 1 = m µε ταχύτητα θετική (υ > 0) και την ίδια στιγµή η κινητική του ενέργεια ισούται µε το 25% της ολικής ενέργειας ταλάντωσης. Δ.1. Να υπολογίσετε το χρόνο κίνησης του σώµατος κατά την απευθείας µετάβασή του από τη θέση µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης στη θέση ισορροπίας. ( Μονάδες 5 ) Δ.2. Ν α υπολογίσετε το πλάτος και την αρχική φάση της ταλάντωσης. ( Μονάδες 7 ) Δ.3. Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης επαναφοράς που δέχεται το σώµα σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δ.4. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης επαναφοράς από τη χρονική t 1 = గ ଶସ στιγμή t 2 = గ ସ s. ( Μονάδες 6 ) s μέχρι τη χρονική ( Μονάδες 7 ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α.1. δ Α.2. α Α.3. δ Α.4. α Α.5. α Α.6. γ Α.7. α. Λ β. Λ γ. Λ δ. Λ ε. Λ στ. Λ ζ. Λ ΘΕΜΑ Β Β.1. Σωστό το γ. Αιτιολόγηση: ට = = = 2 ට ࢢ ࢢ B.2. Σωστό το γ. Αιτιολόγηση : από Α. Δ. Ε ταλάντωσης Ε= Κ + U ή E = K + 1/2 D (A/2) ή 1/2 D A 2 = K + 1/2 D Δηλ. 75%. ή Κ= D άρα Κ= Ε ή Κ= 0,75 Ε Β.3. α) δυναμική ενέργεια U = D x2, κινητική ενέργεια Κ = Ε- U και Ε = D A2 επίσης από εξίσωση έχουμε Α = 3 m και ω = 4 rad/s, φ 0 =. Οπότε U = 8 x 2, Ε= σταθερό =72 J και K= 72 8 x 2. (όπου D = m ω 2 = 16 Ν/m). β)
ΘΕΜΑ Γ Γ.1. Πρέπει να δείξω ότι ισχύει ΣF = - D x. Μελετώ στη Θ.Ι. όπου ΣF = 0. Σε μια τυχαία θέση ΣF = - F ελ ή ΣF = - Κ χ. Άρα της μορφής ΣF = - D x, με D=Κ οπότε εκτελεί Α.Α.Τ. T= 2π ට = 0,4 π s. Γ.2. u max = ω A ή u max = 1 m/s ( ω= =5 rad/s) Γ.3. U max = 1/2 D A 2 ή U max = 1J Γ.4. Για y = 0,1m την t = 0 έχουμε 0,1 = 0,2 ημφ 0 ή ημφ 0 = άρα φ 0= rad ή φ 0= rad Δεκτή η φ 0 = rad επειδή συν5 < 0 άρα u<0. Οπότε y = 0,2 ημ(5t + ) S.I. ΘΕΜΑ Δ Δ.1. Ο χρόνος για να μεταβεί από την ακραία θέση στη Θ.Ι είναι t = = ૡ s. Δ.2. από Α.Δ.Ε ταλάντωσης Ε= Κ + U ή Ε = 0,25 Ε + U ή U = 0,75 Ε ή D x2 = ή χ = ±ට Α. Επειδή Χ= άρα =ට Α δηλ. Α = 2m. Επίσης ημφ ο= = άρα D A2 φ ο = rad ή φ ο = rad. Δεκτή η φ ο = rad διότι υ > 0. Δ.3. ΣF = - D x = - D A ημ ( ωt + φ 0 ) άρα ΣF = -16 ημ ( 4t + ) S.Ι. Δ.4. από Θ.Μ.Κ.Ε έχουμε W ΣF = Κ τελ Κ αρχ ή W ΣF = 1/2 m u 2 τελ - 1/2 m u 2 αρχ.(1) Όπου υ αρχ = ω Α συν ( ωt + ) ή υ αρχ = 0 Όμοια υ τελ = ω Α συν ( ωt + ) ή υ τελ= - 4 m/s. Άρα η (1) δίνει W ΣF = 4 J.