Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
13.1 Εισαγωγή Κύκλωμα συνεχούς ρεύματος Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος Κάποια στοιχεία παράγουν ισχύ Κάποια στοιχεία καταναλώνουν ισχύ Είναι δυνατόν κάποια στοιχεία ούτε να παράγουν ούτε να καταναλώνουν ισχύ Κάποια στοιχεία μπορεί να παράγουν ισχύ για ένα μέρος της περιόδου και να καταναλώνουν για το υπόλοιπο Οι ωμικές αντιστάσεις καταναλώνουν ισχύ κάθε χρονική στιγμή Η ισχύς είναι περιοδικό μέγεθος. Για να το περιγράψουμε χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε πολλά μεγέθη.
13.2 Στιγμιαία ισχύς Η ισχύς δίνεται από τη σχέση: I Έστω ότι έχουμε ένα ηλεκτρικό στοιχείο με ημιτονοειδή τάση στα άκρα του: Αν το στοιχείο είναι γραμμικό θα διαρρέεται από ρεύμα της μορφής: V Z Αν το στοιχείο είναι καθαρά ωμικό: Αν είναι καθαρά επαγωγικό: Αν είναι καθαρά χωρητικό: Στη γενική περίπτωση θα έχουμε: Αν όμως είναι πηγή:
13.2 Στιγμιαία ισχύς Η στιγμιαία ισχύς δίνεται από τη σχέση: Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική σχέση: Η στιγμιαία ισχύς γίνεται: Η στιγμιαία ισχύς αποτελείται από δύο όρους: Ο πρώτος όρος είναι σταθερός, ανεξάρτητος του χρόνου. Ο δεύτερος όρος είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου με συχνότητα διπλάσια της συχνότητας της τάσης ή του ρεύματος.
13.2 Στιγμιαία ισχύς Ενδιαφέρον έχει να δούμε την ισχύ συναρτήσει του χρόνου για διάφορες τιμές της διαφοράς φάσης τάσης ρεύματος. Τα σχήματα αντιστοιχούν σε 0 (δεξιά), 60 (κάτω) και 90 (κάτω δεξιά) μοίρες.
13.2 Στιγμιαία ισχύς Από τις γραφικές παραστάσεις της ισχύος συναρτήσει του χρόνου παρατηρούμε τα εξής: α) Η ισχύς είναι ημιτονοειδής με συχνότητα διπλάσια από της τάσης ή του ρεύματος (100 Hz). β) Υπάρχουν χρονικά διαστήματα στα οποία η ισχύς είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι ο καταναλωτής λειτουργεί σαν πηγή, δηλαδή παρέχει ισχύ στο υπόλοιπο κύκλωμα. γ) Η (ημιτονοειδής) καμπύλη της ισχύος είναι μετατοπισμένη προς τις θετικές τιμές κατά: Η παραπάνω τιμή είναι η μέση τιμή της ισχύος που καταναλώνει το στοιχείο μας.
13.3 Μέση ισχύς Η μέση τιμή ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους είναι ο "μέσος όρος" των τιμών που παίρνει. Μαθηματικά ορίζεται με τη σχέση: Θυμίζουμε τη σχέση της ισχύος: Η μέση τιμή της παραπάνω σχέσης ισούται με τον πρώτο όρο, καθώς η μέση τιμή ενός ημιτονοειδούς μεγέθους είναι μηδέν:
13.3 Μέση ισχύς Παράδειγμα 131: Σύνθετη αντίσταση τιμής Z=30j40 Ω συνδέεται σε πηγή τάσης πλάτους 100 Volt. Να βρεθεί η μέση ισχύς που καταναλώνει. Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση είναι: Η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος είναι: Η μέση ισχύς που καταναλώνει η σύνθετη αντίσταση είναι:
13.3 Μέση ισχύς Παράδειγμα 132: Το κύκλωμα του σχήματος τροφοδοτείται από δύο πηγές τάσης πλάτους 10 V και της ίδιας φάσης. Να βρεθεί η μέση ισχύς κάθε στοιχείου του κυκλώματος. V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω V C V R i C (t) 10 Ω j10 Ω i s2 (t) β V s2 Έχουμε υπολογίσει τα ρεύματα του κυκλώματος και έχουμε βρει: γ Ο πυκνωτής και το πηνίο δεν καταναλώνουν ισχύ. Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι: Η αντίσταση διαρρέεται από το ρεύμα της δεύτερης πηγής:
13.3 Μέση ισχύς Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση είναι: i s1 (t) α V L j10 Ω V R i C (t) 10 Ω i s2 (t) β V s1 V C j10 Ω V s2 Η ισχύς που παρέχει η πρώτη πηγή είναι: γ Η ισχύς που παρέχει η δεύτερη πηγή είναι: Μόνο η πρώτη πηγή παρέχει ισχύ, η οποία καταναλώνεται όλη στην αντίσταση.
13.4 Ενεργός τιμή Το ενεργειακό περιεχόμενο ενός σήματος (ρεύμα ή τάση) περιγράφεται με την ενεργό του τιμή. Μαθηματικά η ενεργός τιμή ορίζεται με τη σχέση: Η ενεργός τιμή μιας ημιτονοειδούς τάσης είναι:
13.4 Ενεργός τιμή Η ενεργός τιμή ενός ημιτονοειδούς μεγέθους (ρεύματος ή τάσης) ισούται με το πλάτος του πολλαπλασιασμένο επί 0,707. Ενεργός τιμή μιας περιοδικής τάσης είναι η τιμή της συνεχούς τάσης που αν εφαρμοστεί στα άκρα μιας ωμικής αντίστασης R παρέχει σε αυτήν την ίδια ισχύ που παρέχει η περιοδική τάση, όταν εφαρμόζεται στα άκρα της ίδιας αντίστασης.
13.4 Ενεργός τιμή Εάν μια ημιτονοειδής τάση: Εφαρμόζεται στα άκρα μιας ωμικής αντίστασης, αυτή διαρρέεται από ρεύμα: Η μέση ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση είναι: Εάν έχουμε ένα μη ωμικό φορτίο, η ισχύς που καταναλώνει είναι: Για τη μέση ισχύ χρησιμοποιείται και ο όρος πραγματική ισχύς.
13.4 Ενεργός τιμή Η πραγματική ισχύς που καταναλώνει ένα στοιχείο δίνεται από τη σχέση: Το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης και του ρεύματος λέγεται φαινόμενη ισχύς (apparent power): Για να ξεχωρίσουμε τη φαινόμενη ισχύ από τη μέση ισχύ χρησιμοποιούμε σαν μονάδα της φαινόμενης ισχύος το VA (VoltAmpere). Το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος λέγεται συντελεστής ισχύος. Η πραγματική ισχύς είναι το γινόμενο της φαινόμενης ισχύος και του συντελεστή ισχύος: Για ωμικά φορτία (cosφ=1) η φαινόμενη ισχύς ισούται με την πραγματική.
13.5 Άεργος ισχύς Έστω ότι έχουμε ένα στοιχείο που έχει ημιτονοειδή τάση στα άκρα του : Έστω επίσης ότι το στοιχείο αυτό διαρρέεται από ρεύμα που καθυστερεί σε σχέση με την τάση κατά μία γωνία φ (το στοιχείο μας δηλαδή έχει επαγωγικό χαρακτήρα): Η στιγμιαία ισχύς είναι το γινόμενο της τάσης και του ρεύματος: Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα: Η στιγμιαία ισχύς γίνεται:
13.5 Άεργος ισχύς Ο πρώτος όρος είναι ανάλογος του συντελεστή ισχύος (cosφ) και είναι πάντα θετικός, δηλαδή αφορά ισχύ που καταναλώνεται στο στοιχείο μας. Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα: Ο δεύτερος όρος γίνεται: Το πλάτος της παραπάνω ποσότητας λέγεται άεργος ισχύς (reactive power) και συμβολίζεται με το γράμμα Q.
13.5 Άεργος ισχύς Για να την ξεχωρίζουμε από την πραγματική ισχύ χρησιμοποιούμε σαν μονάδα για την άεργο ισχύ το VAR (VoltAmpere Reactive): Αναλύσαμε δηλαδή τη στιγμιαία (ημιτονοειδή) ισχύ σε δύο συνιστώσες, με διαφορά φάσης 90 μοίρες. Η μία συνιστώσα είναι πάντα θετική και έχει σαν μέση τιμή την πραγματική ισχύ. Η δεύτερη συνιστώσα έχει μέση τιμή μηδέν. Το πλάτος της είναι η άεργος ισχύς και δείχνει την ενέργεια που στη μία ημιπερίοδο καταναλώνεται και στην άλλη παράγεται.
13.5 Άεργος ισχύς Το σχήμα αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης 30 μοιρών. Όταν η διαφορά φάσης αυξάνεται μειώνεται η μέση τιμή (και το πλάτος) της πραγματικής ισχύος και αυξάνεται το πλάτος της άεργης ισχύος. Το αντίθετο συμβαίνει όταν μειώνεται η διαφορά φάσης.
13.5 Άεργος ισχύς Έστω ότι έχουμε ένα επαγωγικό φορτίο, το οποίο συνδέεται σε πηγή τάσης ενεργού τιμής V s. Η σύνθετη αντίσταση του φορτίου είναι: V s I Z=RjX όπου: Το ρεύμα που διαρρέει το φορτίο είναι: Η πραγματική ισχύς που καταναλώνει το φορτίο είναι: Η άεργος ισχύς που καταναλώνει το φορτίο είναι:
13.5 Άεργος ισχύς ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι σχέσεις: δεν ισχύουν για το παράδειγμά μας που οι ποσότητες R και X παριστούν το πραγματικό και φανταστικό μέρος αντίστοιχα μιας σύνθετης αντίστασης που έχει στα άκρα της τάση V. Οι σχέσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η τάση εφαρμόζεται στα άκρα μιας ωμικής αντίστασης ή στα άκρα ενός πηνίου ή ενός πυκνωτή.
13.5 Άεργος ισχύς Παράδειγμα 133: Να βρεθεί η πραγματική και η άεργος ισχύς που καταναλώνει κάθε φορτίο, καθώς και η πραγματική και άεργος ισχύς που παρέχει η πηγή. Η πηγή έχει ενεργό τιμή 100 V. Tο ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι: V s Z I 1 =30j40 V 1 V 2 Z 2 =10j10 Το πρώτο φορτίο καταναλώνει πραγματική ισχύ: Και άεργο ισχύ:
13.5 Άεργος ισχύς Το δεύτερο φορτίο καταναλώνει: I Z 1 =30j40 V 1 Η συνολική ισχύς που καταναλώνεται στο κύκλωμα είναι: V s V 2 Z 2 =10j10 Η πηγή παρέχει πραγματική ισχύ: Η πηγή παρέχει άεργο ισχύ: Προσέξτε ότι εκτός από την πραγματική, διατηρείται και η άεργος ισχύς σε ένα κύκλωμα.
13.5 Άεργος ισχύς Παράδειγμα 134: Κύκλωμα αποτελούμενο από ένα πηνίο και μία αντίσταση διεγείρεται από μια πηγή τάσης ενεργού τιμής V s =10<90 0 και μία πηγή ρεύματος ενεργού τιμής I s =1<0 0. Να βρεθεί η πραγματική και άεργος ισχύς κάθε στοιχείου του κυκλώματος. I L I R Ζ L =j10 Ω V L I s V R R=10 Ω V s Εφαρμόζουμε τη μέθοδο κόμβων για να βρούμε την τάση της αντίστασης:
13.5 Άεργος ισχύς Τα ρεύματα του κυκλώματος είναι: I L Ζ L =j10 Ω I R V L I s V R R=10 Ω V s Η αντίσταση καταναλώνει πραγματική ισχύ: Το πηνίο καταναλώνει άεργο ισχύ: Η πηγή ρεύματος παρέχει (αφού το ρεύμα ρέει από τον αρνητικό προς το θετικό της ακροδέκτη) πραγματική ισχύ: και άεργο ισχύ:
13.5 Άεργος ισχύς Για να βρούμε την ισχύ που παρέχει η πηγή πρέπει να πάρουμε αντίθετη φορά ρεύματος (ενεργή σύμβαση προσήμου), δηλαδή το I L =1<90 0 = =1<90 0. Η πραγματική και άεργος ισχύς που παρέχει η πηγή τάσης στο κύκλωμα είναι: I L I R Ζ L =j10 Ω V L I s V R R=10 Ω V s Τελικά η κάθε πηγή παρέχει πραγματική ισχύ 10 W, την οποία καταναλώνει η αντίσταση, ενώ η πηγή ρεύματος παρέχει και άεργο ισχύ 10 VAR (λειτουργεί με φ=45 0, cosφ=0,707), την οποία καταναλώνει το πηνίο. Η πηγή τάσης δεν παρέχει άεργο ισχύ (λειτουργεί με cosφ=1).