Τάσεις λόγω απλής κάμψης-επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας της διατομής Διατομή με άξονα συμμετρίας στο επίπεδο φόρτισης Δεν αναπτύσσονται διατμητικες τάσεις με εφαρμογή μόνο ροπής Διάνυσμα ροπής κάθετο στο επίπεδο φόρτισης Ισορροπία δυνάμεων στη -διεύθυνση Ισορροπία ροπών στη -διεύθυνση Ισορροπία ροπών στη z-διεύθυνση σ = 0 zσ = 0 (-σ ) = Η κατανομή των ορθών τάσεων δεν μπορεί να προσδιορισθεί εκ των εξισώσεων ισορροπίας
Παραμορφώσεις λόγω κάμψεως Α ΑΒ θλίβεται Κάμψη συμμετρικής δοκού υπό την επιβολή συστήματος ίσων και αντιθέτων Ροπών στο επίπεδο συμμετρίας Α Β εφελκύεται Η δοκός διατηρείται συμμετρική κατά τη παραμόρφωση Ανάπτυξη ομοιόμορφης ροπής Σταθερή καμπυλότητα Ευθ. τμήμα ΑΒ πριν τη παραμόρφωση τόξο κύκλου μετά τη παραμόρφωση Αφού ΑΒ εφελκύεται, Α Β θλίβεται, κάπου στο εσωτερικό της δοκού υπάρχει επιφάνεια παράλληλη στο άνω και κάτω πέλμα όπου παραμορφώσεις και συνεπώς τάσεις είναι μηδέν (Ουδέτερη επιφάνεια) 2
Διαμήκης τομή στο επίπεδο συμμετρίας Διαμήκης τομή στο επίπεδο συμμετρίας Εγκάρσια τομή ρ ακτίνα καμπυλότητας DE (πάνω στον ουδέτερο άξονα) θ γωνία μεταξύ τομών κατά τη παραμόρφωση L=ρθ (μήκος DE πριν=μήκος DE μετά τη παραμόρφωση) Κάτοψη Eξέταση JK L =(ρ-)θ δ=l -L=(ρ-)θ-ρθ=-θ Aνηγμένη ορθή παραμόρφωση δ ε = =- Lρ 3
Προσδιορισμός του Ο.Α της διατομής Ο.Α= άξονας περί του οποίου στρέφεται η διατομή κατά τη κάμψη ως στερεό επίπεδο Για ομογενές υλικό που αποκρίνεται σ στη γραμμική ελαστική περιοχή =Eε δ ε = =- Lρ για =ma = c ε = ma c ρ ε =- ε c ma σ =- σ c ma c ma σ = 0 σ )=- (- ma 0 = = 0 σ c σ ma Ο.Α διέρχεται του κ.β Ουδέτερος άξονας Αρα: Ο.Α κάθετος στο επίπεδο φορτίσεως και διερχόμενος του κ.β (πάντα κύριος κεντροβαρικός) 4
Ο Ο.Α της διατομής συμπίπτει με τον άξονα του διανύσματος της ροπής εάν και μόνο εάν το έχει τη διεύθυνση ενός των κυρίων κεντροβαρικών αξόνων (ή διαφορετικά το επίπεδο φόρτισης περιέχει τον άξονα συμμετρίαςτης διατομής επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας Απλή κάμψη επί του επιπέδου φόρτισης Ο.Α. // διανύσματος ροπής 5
επίπεδο φόρτισης δεν περιέχει κύριο κ.β άξονα ή η διατομή δεν έχει άξονα συμμετρίας η συμμετρική κάμψη (Διαξονική κάμψη) Ο.Α. Δεν είναι παράλληλος του διανύσματος ροπής 66
Εκφραση ορθών τάσεων από απλή κάμψη σ ma 2 (-σ ) = (-)(- ) σma = = σma = c c c =- c σ σma σ =- απόσταση από Ο.Α Ι ροπή αδρανείας διατομής άξονα καθέτου στο επίπεδο φόρτισης = ως πρός άξονα // διανύσματος ροπής 7
Απλή κάμψη σύνθετων διατομών Διεπιφάνεια υλικών Σκοπός κατασκευής Αύξηση δυσκαμψίας Αύξηση αντοχής E > E 2 E 2 Τα δύο τμήματα υλικού μέσω της διεπιφάνειας τους συνδέονται με χημικά ή/και μηχανικά μέσα ώστε η δοκός να συμπεριφέρεται ως ενιαία και τη παραμόρφωση σ = Ο τύπος ίσχυει ως έχει για ομογενείς διατομές (ενός υλικού) Κατά τη κάμψη οι διατομές διατηρούν την επιπεδότητα τους Γραμμική κατανομή ορθών παραμορφώσεων ως προς τον Ο.Α. (Δεν διέρχεται του κ.β) 8
Κατανομή ορθών παραμορφώσεων Ο.Α. ( ε ), up ( ε ) int er Κατά μήκος τομή ( ε ) 2, down Ο.Α. Κατανομή καμπτικών τάσεων Ο.Α., up up 2,int er 2 int er,int er int er Κατά μήκος τομή 2, down 2 2, down Κατά μήκος τομή 9
Κατά μήκος τομή Ο.Α., up up ( σ) = E2 ( ε ) 2,int er,int er 2, down 2 2, down int er int er εθοδολογία υπολογισμού έθοδος ετασχηματισμού διατομής Διατηρώντας τα αρχικά ύψη των υλικών μετασχηματίζουμε την αρχική σε νέα διατομή αποτελούμενη από ένα και μόνο υλικό (Συνήθως το λιγότερο δύσκαμπτο-εδώ με Ε2) Σε διατομή υλικού 2 0
Σε διατομή υλικού Τάσεις στην ύναμη διατομή Ο.Α. Κατανομή καμπτικών τάσεων καθ ύψος της ύναμης διατομής Παρατηρείστε τη γραμμική μεταβολή τους Κατά μήκος τομή Σε διατομή υλικού 2 Οι τάσεις στη διεπιφάνεια των υλικών προκύπτουν ίσες στην ύναμη διατομή σε αντίθεση με τις πραγματικές τάσεις οι οποίες εμφανίζουν άλμα Ο.Α. Πραγματική κατανομή τάσεων
εθοδολογία υπολογισμού σύνθετων διατομών df =σ ()=E ε =E ρ h/2 h/2 κ.β άξονας ουδετ. άξονας df df 2 df 2=σ ()=E 2ε =E 2 ρ E2 Θέτουμε n = E df 2= ne =E ( n) ρ ρ b Τάσεις στην ύναμη διατομή b ( σ ) = ανω ανω E E 2 n = > h/2 df h/2 κ.β άξονας ουδετ. άξονας κ.β άξονας n df 2 b nb ( σ ) = κατω κατω 2
Τάσεις στην ύναμη διατομή Τάσεις στην πραγματική διατομή b ( σ ) = ανω ανω ( σ ) = ανω ανω κ.β άξονας Πολ/με τις τιμές των τάσεων στη περιοχή του υλικού 2 επί n h/2 h/2 ( σ ) = διε διε ( σ ) διε = n διε nb ( σ ) = κατω κατω b ( σ ) κατω = n κατω Ασκηση για επίλυση Να σχεδιαστεί η κατανομή των καμπτικών τάσεων στη σύνθετη διατομή, όταν Ε(ξύλο)=2Gpa και Ε(χάλυβας)=200Gpa) 50mm =2kNm 3