ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ 97 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ Ορισμός Κώνος έγεται το στερεό σχήµα ου αράγεται αό την εριστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου ΚΟΑ γύρω αό µία άθετη ευρά του ΚΟ. Κ Α Β Η ατίνα ΟΑ ρ έγεται ατίνα του ώνου. Η άθετη ευρά ΚΟ γύρω αό την οοία εριστρέψαµε το ορθογώνιο τρίγωνο, έγεται ύψος του ώνου Η υοτείνουσα ΚΑ του ορθογωνίου τριγώνου έγεται γενέτειρα του ώνου αι το µήος της συµβοίζεται µε. μβαδόν ειφάνειας ώνου To εµβαδόν της αράευρης ειφάνειας ενός ώνου είναι ίσο µε το εµβαδόν ενός υιού τοµέα, ου έχει ατίνα τη γενέτειρα του ώνου αι µήος τόξου το µήος του ύου της βάσης του ώνου..ρ. Για να βρούµε το εµβαδόν της οιής ειφάνειας του ώνου, αρεί στο εµβαδόν της αράευρης ειφάνειας να ροσθέσουµε αι το εµβαδόν της βάσης του: E β ρ ρ ρ + β + ο Όγος ώνου ρ.υ
98 ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. T o ανάτυγµα της αράευρης ειφάνειας ενός ώνου είναι τρίγωνο. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ T o ανάτυγµα της αράευρης ειφάνειας ενός ώνου είναι υιός τομέας.. Η γενέτειρα, το ύψος υ αι η ατίνα ρ του ώνου ιανοοιούν τη σχέση υ + ρ. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ου δημιουργούν η γενέτειρα,το ύψος αι η ατίνα του ώνου ισχύει το υθαγόρειο θεώρημα.. Η γενέτειρα ενός ώνου είναι άντα µεγαύτερη αό την ατίνα. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υοτείνουσα είναι μεγαύτερη αό τις άθετες ευρές 4. Η βάση ενός ώνου είναι υιός δίσος. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Η ορυφή της οξείας γωνίας του ορθογωνίου τριγώνου διαγράφει ύο. 5. Η ατίνα της βάσης ενός ώνου είναι 6 cm αι το ύψος του 8 cm. Η γενέτειρά του είναι: A: 0 dm B: 0 cm Γ: m : 6 cm. Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Β: 0cm,γιατί υ + ρ 8 + 6 00 0 cm 6. O όγος του ώνου είναι m αι η ατίνα του m. Το ύψος του είναι: A: m B: 6 m Γ: 4 m : 4 m. Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Γ: 4 m, γιατί... υ υ υ 4 m
ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ 99 7. Αν διασιάσουµε την ατίνα της βάσης ενός ώνου, τότε η αράευρη ειφάνεια: A: διασιάζεται B: τετραασιάζεται Γ: αραµένει ίδια. Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Α: διασιάζεται, γιατί ρ ρ ρ 8. Αν διασιάσουµε την ατίνα της βάσης ενός ώνου, τότε ο όγος του ώνου: A: διασιάζεται B: τετραασιάζεται Γ: αραµένει ίδιος Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Β: τετραασιάζεται, γιατί.. ( ρ). υ 4 4 9. Το ανάτυγµα της αράευρης ειφάνειας ενός ώνου είναι υιός τοµέας µε ατίνα cm αι γωνία 60. H ατίνα της βάσης του ώνου είναι: A: 4 cm B: dm Γ: cm : dm. Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Γ: cm, γιατί Το εμβαδόν του υιού τομέα είναι ίσο με την αράευρη ειφάνεια του ώνου. 0 60 4... ρ. 4 ρ ρ cm E. τ 0 60 0. Aν διασιάσουµε το ύψος ενός ώνου, τότε ο όγος του: A: διασιάζεται B: τριασιάζεται Γ: τετραασιάζεται. Να υώσετε τη σωστή αάντηση. Η σωστή αάντηση είναι η Α: διασιάζεται, γιατί.. ρ.υ ρ. υ
400 ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ Α Σ Κ Η Σ Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Να συµηρώσετε τον αραάτω ίναα ου αφορά στα στοιχεία µιας ανονιής τετραγωνιής υραµίδας. Ύψος (cm) 4 8 0 6,7 Ατίνα βάσης (cm) 6 4 6 Γενέτειρα (cm) 5 0 0,8 9 Όγος (cm ) 7, 6 8 0,44 67,46 5,8 Παράευρη ειφάνεια (cm ) 4 7, 88,4 5,7 69,56 υ + ρ 4 + 5 5 cm.,4..4 7,68 cm ρ,4..5 47,cm υ + ρ 0 8 + ρ ρ 00 64 6 ρ 6 cm.,4.6.8 0,44 cm ρ,4.6.0 88,4 cm υ + ρ 0 + 4 6 0,77 cm ρ,4.4.0,77 5,7 cm ρ 69,56,4. ρ.9 8,6ρ 69,56 ρ 6 cm υ + ρ υ ρ 9 6 υ 45 6,7 cm.,4.6.6,7 5,8 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους υ + ρ, ρ Ένας ώνος έχει όγο m.να υοογίσετε τον όγο του ώνου: ΑΣΚΗΣΗ α) µε διάσιο ύψος (µόνο), β) µε διάσια ατίνα βάσης (µόνο), γ) µε διάσιο ύψος αι διάσια ατίνα βάσης.
ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ 40 α ).. ρ.υ... m β). ( ρ). υ 4.. 4 4. 4 m γ). ΑΣΚΗΣΗ ( ρ).υ 8.. 8 8. 8 m Χρησιμοοιούμε τον τύο: Ένα δοχείο µε σχήµα ώνου, ου έχει ύψος 0 cm αι ατίνα βάσης 0 cm, είναι γεµάτο νερό. Αδειάζουµε το αραάνω δοχείο σε ένα άο δοχείο, ου έχει σχήµα ύβου µε αµή 0 cm. Να εξετάσετε αν θα ξεχειίσει το νερό ή όχι. ρ. υ.,4.0 0 8000 cm ύβου α.0 09 cm Χρησιμοοιούμε τον τύο: αι ύβου α ειδή ύβου > (8000>09) Άρα δεν θα ξεχειίσει το νερό. ΑΣΚΗΣΗ 4 Θέουµε να ατασευάσουµε µια ωνιή σηνή, η οοία να έχει όγο τουάχιστον 0 m. Aν το ύψος της σηνής είναι m, όση ρέει να είναι η διάµετρος της βάσης; δ 0.,4.. Χρησιμοοιούμε τον τύο: δ 0.,4..,4δ 80 δ 5,48 4 δ 5 m
40 ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 5 Να υοογιστεί ο όγος αι το εµβαδόν της οιής ειφάνειας του στερεού στο διανό σχήµα. 6 cm στερεού ώνου + υίνδρου ώνου..,4.4.6 00,48 cm E. υ ρ. υ,4.4.4 00,96 cm υίνδρου β στερεού ώνου + υίνδρου 00,48 + 00,96 0,44 cm αρ.ώνου + + οιής αρ.υίνδρου β. υ ρ + ρυ + ρ,4.4.7,+.,4.4.4 +,4.4 4,5 cm 4 cm 6 4 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους,. υ 6 4 + 4 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 ύο στερεοί ώνου έχουν οινή βάση µε ατίνα 4 cm αι ύψη 8 cm αι cm αντίστοιχα. Να βρείτε τον όγο του στερεού ου σχηµατίζεται. + στερεού.. +.,4.4.8 ώνου ώνου.. +.,4.4. 4,9 cm ρ υ υ Χρησιμοοιούμε τον τύο: 5 7,cm
ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ 40 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α90 ) στρέφεται ρώτα γύρω αό την ευρά ΑΒ αι έειτα γύρω αό την ευρά ΑΓ, όως φαίνεται στα αραάτω σχήµατα Β Β Α Γ Δ Α Γ Δ Να υοογίσετε: α) το όγο των υρτών ειφανειών των δύο ώνων ου σχηµατίζονται, β) το όγο των όγων τους. α) ρ. ΑΓ. ΒΓ ρ. ΑΒ. ΒΓ Χρησιμοοιούμε τους τύους. ΑΓ. ΒΓ ΑΓ. ΑΒ. ΒΓ ΑΒ ρ.. ΑΓ. ΑΒ ΑΓ β) ΑΒ.. ΑΒ. ΑΓ ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένα ισοσεές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ εριστρέφεται γύρω αό τη βάση του ΒΓ, όως φαίνεται στο αραάτω σχήµα. Αν ΒΓ 4 cm αι AB cm, να υοογίσετε: Α Β Γ Δ
404 ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ α) την οιή ειφάνεια του στερεού ου σχηµατίζεται, β) τον όγο του. α) + ραγ + ραβ ρ β) οιής ( ΑΓ + ΑΒ) οιής ρ ( υ + υ ).,4.5. 4 68 cm,4.5.6 408, cm + ρ. υ + ρ. υ Χρησιμοοιούμε τους τύους Α ρ ρ ρ 5 ρ 5 cm ρ ΑΒ ΑΓ ΑΣΚΗΣΗ 9 Η στέγη της εντριής σηνής ενός τσίρου έχει σχήµα ώνου µε διάµετρο βάσης 40 m αι ύψος 5 m. Πόσα τετραγωνιά µέτρα αστιοοιηµένου υφάσµατος χρειάστηαν για την ατασευή της; Γ ρ,4.0.5 570 m Χρησιμοοιούμε τον τύο ρ 5 + 0 δ ρ 65 5 m 40 υ5 m 0 m ρ0 m ΑΣΚΗΣΗ 0 Μια εψύδρα σχήµατος ώνου µετρά το χρόνο αδειάζοντας 4 cm άµµο το ετό (min). Aν η ατίνα της βάσης είναι 5 cm αι το ύψος 9,7 cm, να βρείτε σε όσο χρόνο θα αδειάσει τεείως η εψύδρα; ρ. υ.,4.5 9,95 cm t 60 min h cm 4 min.9,7 9,95 cm Χρησιμοοιούμε τον τύο
ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ 405 ΠΑΡΑΔΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Μ ΦΥΛΛΟ ΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΙΓΜΑ νότητα: μβαδόν - Όγος ώνου. Στόχοι: Να μορούν οι μαθητές να υοογίζουν εμβαδά αι όγους ώνων αι να τα εφαρμόζουν σε ρατιά ροβήματα. Μέθοδος: Μειτή (αθοδηγούμενη - ανααυτιή) Φύο εργασίας. «Ξεδιώστε» έναν ώνο στο αόουθο είεδο σχήμα υώντας τον στο είεδο. Υοογίστε το εμβαδόν της αράευρης ειφάνειας του ώνου, αν ΑΚΒ0 αι ΚΒ0 cm.. Στο υινδριό δοχείο ο Μιχαάης έχει αναψυτιό για τους φίους του: τον Αέο, τη Μόνη, τον Βασίη αι τη Μούα. όσοι αό τους φίους του θα ιούν αναψυτιό, αν ο Μιχαάης γεμίζει οτήρια όως αυτά του διανού οχήματος;. α) Να υοογίσετε το οιό εμβαδόν αι τον όγο αθενός αό τους τέσσερις ώνους των δύο σχημάτων. β) Τι αναογία αοουθούν; γ) Μορείτε να γενιεύσετε το συμέρασμα; 4. Για να φτιάξουμε το άυμμα ενός ούφωτου, γνωστού ως αμαζούρ (abat-jour), χρησιμοοιούμε ειδιό άυρο. Το σχήμα του αύμματος αυτού ουσιαστιά ρούτει αό τη διαφορά δύο ώνων. α) Σχεδιάστε τους δύο ώνους των οοίων η διαφορά σχηματίζει το άυμμα.
406 ΜΡΟΣ Β 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΟΥ β) Αν ο μεγάος ώνος έχει ύψος 70 cm αι ατίνα βάσης 5 cm, ενώ ο μιρός έχει ύψος 0 cm αι ατίνα βάσης 0 cm, όσο είναι το εμβαδόν του αύρου ου χρειαζόμαστε; Αν ο άυρος οστίζει 0 το τετραγωνιό μέτρο, όσο θα οστίσει το άυμμα; γ) Μέσα στο φωτιστιό αυτό τοοθετούμε μία άμα 60 Watt. Για να υοογίσουμε τα τετραγωνιά μέτρα S ου φωτίζει εαρώς η άμα, χρησιμοοιούμε τον τύο: S. Να βρείτε σε τι δωμάτιο μορούμε να τη τοοθετήσουμε, ώστε να το φωτίζει ήρως.