ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ µον Να βρεθούν οι τιµές της παραµέτρου έτσι ώστε το σύστηµα ² α Να έχει άπειρες ύσεις οι οποίες αι να βρεθούν β Να µην έχει αµία ύση Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίναα Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Από την τεευταία γραµµή παίρνουµε Ο συντεεστής του γίνεται µε ρίζες αι Αν τότε το σύστηµα γίνεται ισοδύναµο µε την εξίσωση Οι τριάδες που το επαηθεύουν είναι της µορφής Αν τότε η τεευταία εξίσωση δίνει αι το σύστηµα είναι αδύνατο Χωρίς να υποογίσετε το χαρατηριστιό πουώνυµο εξηγείστε γιατί ο άτωθι πίναας A α 7 µον έχει ιδιοτιµή αι βρείτε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα β µον διαγωνοποιείται

2 α Έχει ιδιοτιµή το µηδέν γιατί η ορίζουσά του είναι µηδέν αυτό το βρίσουµε απά προσθέτοντας την πρώτη γραµµή στη δεύτερη οπότε η δεύτερη γραµµή γίνεται µηδενιή Τα ιδιοδιανύσµατα τα βρίσουµε ύνοντας το σύστηµα Άρα µε όχι αι τα δύο µηδέν β ιαγωνοποιείται γιατί είναι συµµετριός µον Θεωρείστε τον πίναα A Βρείτε τον πίναα Ρ που διαγωνιοποιεί τον Α µέσω της σχέσης είναι διαγώνιος πίναας P AP Το χαρατηριστιό πουώνυµο είναι Α φ µε ιδιοτιµές αι Προσδιορίζουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: Για την ιδιοτιµή : Άρα Για την ιδιοτιµή : Άρα Εποµένως αι συνεπώς P P Επαήθευση:

3 µον Θεωρούµε τους υπόχωρους U { } V { } i Να βρεθούν οι διαστάσεις των υποχώρων U αι V ii Να βρεθούν οι διαστάσεις των υποχώρων U V αι U V iii Εξετάστε αν υπάρχει γραµµιή απειόνιση f : µε ker f U αι f V µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το i i Για τον U: Άρα Παίρνουµε τον πίναα µε γραµµές τα αι Ο υποπίναας έχει ορίζουσα άρα τα παραπάνω διανύσµατα είναι γραµµιώς ανεξάρτητα αι συνεπώς αποτεούν βάση του U Εποµένως dimu Για τον V: Άρα Παίρνουµε τον πίναα µε γραµµές τα αι Ο υποπίναας έχει ορίζουσα άρα τα παραπάνω διανύσµατα είναι γραµµιώς ανεξάρτητα αι συνεπώς αποτεούν βάση του U Εποµένως dimv ii Για τον U V : Άρα µε Παίρνουµε τον πίναα µε γραµµές τα αι Ο υποπίναας έχει ορίζουσα άρα τα παραπάνω διανύσµατα είναι γραµµιώς ανεξάρτητα αι συνεπώς αποτεούν βάση του U V Εποµένως dimu V dim U V dimu dimv- dim U V - iii dim dimkerfdimf dimudimv άτοπο Άρα δεν υπάρχει τέτοια απειόνιση α µον ίνοντας τον ορισµό ατά τον οποίο για δύο συναρτήσεις f g µε f g η f «απειρίζεται πού ταχύτερα» από την g αν g/ f να βρεθεί ποιά συνάρτηση «απειρίζεται ταχύτερα» από την άη αν f / g l

4 β µον Να εξετασθούν οι άτωθι σειρές ως προς τη σύγισή τους: α! i ii / f αι g l l De l' Hospital De l' Hospital την g g l f Έχουµε f g l ζ g l αι f Άρα η f «απειρίζεται πού ταχύτερα» από β i < / / p/> Από το ριτήριο σύγρισης συµπεραίνουµε ότι η σειρά που συγίνει γιατί συγίνει! ii Εφαρµόζουµε το ριτήριο όγου: Άρα η σειρά συγίνει!! < α 7 µον Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας της αµπύης l e στο σηµείο β 7 µον Έστω ότι για µία συνάρτηση f δίνεται ότι: f f ' f '' f ''' f! Να γραφεί η σειρά Talor της συνάρτησης αυτής γύρω από το Για ποιές τιµές του συγίνει αυτή η σειρά; Ποιά είναι η τιµή της f ; α l Άρα l l Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι l β f! Άρα η σειρά Talor γύρω από το είναι < Η ατίνα σύγισης είναι Η σειρά συγίνει για < <

5 Εφόσον η σειρά συγίνει για στο f που είναι µια γεωµετριή σειρά µε πρώτο όρο ίσο µε το µηδέν αι όγο Άρα f 7 µον Έστω ότι θέουµε να ατασευάσουµε ένα ανοιτό επάνω ορθό υινδριό δοχείο που να χωράει π ίτρα π υβ ε υγρού όπου π9 Ποιά πρέπει να είναι η ατίνα αι το ύψος h του δοχείου ώστε να εαχιστοποιήσουµε το εµβαδόν του υιού που θα χρησιµοποιηθεί για την ατασευή του; Όγος υίνδρου πh εµβαδόν παράπευρης επιφάνειας πh εµβαδόν βάσης π V π Ο όγος V του υίνδρου είναι V π h h π π Το εµβαδόν της επιφάνειας του δοχείου είναι ΕΕµβ Παρ Επιφ Εµβ Βάσης π πhπ π π E π π Εποµένως: E < για << E για αι E > για > Η Ε είναι οιπόν γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ] γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [ αι παρουσιάζει οιό εάχιστο στο Άρα cm αι h cm cm µον Να βρεθεί η τιµή της σταθερής a ώστε η παραάτω συνάρτηση να είναι συνεχής si cos f : f a si a f f cos cos 9 α µον Να υποογισθεί ένα από τα αόριστα οοηρώµατα:

6 cos d si d µπορείτε να χρησιµοποιήσετε αντιατάσταση β µον να υποογισθεί το οοήρωµα [ l ] µπορείτε να χρησιµοποιήσετε παραγοντιή οοήρωση cos d du α d c c si si si u si u u si β d du d l u c l c u u l l d l l d l l d [ l l d l d l ] l d l d [l [[ l ] d] l ] µον Να βρεθεί το εµβαδόν που περιείεται µεταξύ του γραφήµατος της συνάρτησης αι του άξονα των από µέχρι Συγρίνετε το αποτέεσµα που βρήατε µε την τιµή του οοηρώµατος d αι διαιοογήστε την ύπαρξη ή µη της διαφοράς Η γραφιή παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα των στα σηµεία αι Από το παραάτω πιναάι βρίσουµε το πρόσηµο της f στα διαστήµατα αι Η γραφιή παράσταση της συνάρτησης f είναι η αόουθη:

7 Εποµένως: d d E 7 d d E Συνεπώς το συνοιό εµβαδόν είναι E E Το οοήρωµα d d Η διαφορά οφείεται στο ότι d E γιατί f< στο διάστηµα αι εποµένως µείον E E d d d E E αι όχι που είναι το συνοιό εµβαδόν