Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων *

Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων Ισίδωρος Τσικής και Γιώργος Λυμπερόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, sks@me.uh.gr Περίληψη Αναπτύσσουμε ένα πρότυπο τύπου «εφημεριδοπώλη» δύο προμηθευτών που ανταγωνίζονται να πουλήσουν τον ίδιο τύπο προϊόντων σε ένα πελάτη, επαναλαμβανόμενα, σε διακριτές περιόδους, για άπειρο χρονικό ορίζοντα. Στην αρχή κάθε περιόδου, κάθε προμηθευτής παραγγέλνει έναν αριθμό προϊόντων που του παραδίδονται άμεσα. Σε κάθε περίοδο, ο πελάτης επιλέγει τυχαία έναν από τους δύο προμηθευτές και του ζητάει έναν τυχαίο αριθμό προϊόντων. Η πιθανότητα με την οποία επιλέγεται ένας προμηθευτής εξαρτάται από το λεγόμενο «επίπεδο αξιοπιστίας» αυτού του προμηθευτή, το οποίο αντικατοπτρίζει την εκτίμηση που έχει ο πελάτης για τη σχετική αξιοπιστία του προμηθευτή βάσει της ιστορίας εξυπηρέτησης μετρούμενης με όρους διαθεσιμότητας προϊόντων που έχουν παράσχει και οι δύο προμηθευτές στον πελάτη στο παρελθόν. Τα επίπεδα αξιοπιστίας των προμηθευτών αλλάζουν δυναμικά ανάλογα με την ποιότητα εξυπηρέτησης καλής ή κακής που ο πελάτης λαμβάνει σε κάθε περίοδο. Μορφοποιούμε το πρόβλημα εύρεσης της βέλτιστης στάσιμης πολιτικής παραγγελίας για τους δύο προμηθευτές σε ισορροπία ως ένα στοχαστικό δυναμικό παίγνιο, και επιλύουμε αριθμητικά τις προκύπτουσες συνθήκες βελτιστότητας για διάφορες περιστάσεις του προβλήματος. Σε όλες τις περιστάσεις, προκύπτει ότι η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας για κάθε προμηθευτή είναι μια πολιτική τύπου «παραγγελίας μέχρις ένα επίπεδο» (order-up-o). Λέξεις-κλειδιά: Αποθέματα, Ανταγωνισμός, Καλή Θέληση Πελατών, Διαθεσιμότητα Προϊόντων 1. Εισαγωγή Σε πολλά λιανεμπορικά, χονδρεμπορικά και κατασκευαστικά περιβάλλοντα, οι πελάτες έχουν μια επαναλαμβανόμενη ανάγκη για αναλώσιμα προϊόντα τα οποία μπορούν να αγοράσουν από μια λίστα επιλογής ανταγωνιστικών προμηθευτών. Κάθε πελάτης έχει δημιουργήσει τη δική του λίστα σε κάποια στιγμή στο παρελθόν και την ανανεώνει από καιρού εις καιρόν λαμβάνοντας υπόψη διάφορους παράγοντες. Υπάρχει ελάχιστος χώρος για διαφοροποίηση των τιμών μεταξύ των προμηθευτών, επειδή τα ζητούμενα προϊόντα είναι συνηθισμένα και οι προμηθευτές στην λίστα έχουν έτσι κι αλλιώς επιλεγεί από μια μεγαλύτερη ομάδα υποψήφιων προμηθευτών βάσει των πάνω-κάτω ίδιων ανταγωνιστικών τιμών τους. Ο ανταγωνισμός μεταξύ των προμηθευτών βασίζεται κυρίως στο επίπεδο εξυπηρέτησης που παρέχουν. Κάθε προμηθευτής έχει κερδίσει ένα επίπεδο αξιοπιστίας στο μυαλό των πελατών του, με βάση την προηγούμενη επίδοσή του όσον αφορά την εξυπηρέτηση πελατών. Το επίπεδο αυτό, που αντανακλά την καλή θέληση των πελατών προς τον προμηθευτή, αλλάζει δυναμικά και εξαρτάται από τα επίπεδα αξιοπιστίας των ανταγωνιστών. Ένας προμηθευτής μπορεί να χάσει μερικούς πόντους αξιοπιστίας αν δεν παράσχει καλή εξυπηρέτηση ή αν ένας άλλος προμηθευτής παράσχει καλή εξυπηρέτηση. Αντίστροφα, ένας προμηθευτής μπορεί να κερδίσει πόντους αν παράσχει καλή εξυπηρέτηση ή αν ένας άλλος προμηθευτής παράσχει Η εκπόνηση αυτής της εργασίας υποστηρίχθηκε από την Πράξη «Ηράκλειτος: Υποτροφίες Έρευνας με Προτεραιότητα στην Βασική Έρευνα» του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Αρχική Επαγγελματική Κατάρτιση» (ΕΠΕΑΕΚ) ΙΙ του Υπουργείου Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων που συγχρηματοδοτήθηκε από το Ευρωπαϊκό Κοινοτικό Ταμείο και το Ευρωπαϊκό Ταμείο Περιφερειακής Ανάπτυξης (75%) και από το Ελληνικό Δημόσιο κατά (5%). 1

κακή εξυπηρέτηση. Η αύξηση ή μείωση στο επίπεδο αξιοπιστίας ενός προμηθευτή οδηγεί στην αύξηση ή μείωση του μεριδίου της μελλοντικής ζήτησής του. Ένα από τα σημαντικότερα μέτρα εξυπηρέτησης πελατών είναι ο χρόνος παράδοσης προϊόντων, που σε πολλές περιπτώσεις ανάγεται απλά στη διαθεσιμότητα προϊόντων. Όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμα προϊόντα για να καλύψουν τη ζήτηση, δημιουργούνται ελλείψεις αποθέματος (sockous). Βραχυπρόθεσμα, οι ελλείψεις μπορούν να επιφέρουν κόστη καθυστερημένων παραδόσεων και/ή κόστη χαμένων πωλήσεων. Μακροπρόθεσμα, οι ελλείψεις μπορούν να οδηγήσουν στην απώλεια της καλής θέλησης των πελατών και στη μείωση της ζήτησης. Η ποσοτικοποίηση των συνεπειών της απώλειας της καλής θέλησης των πελατών λόγω ελλείψεων είναι ένα δύσκολο ζήτημα που δεν έχει αντιμετωπισθεί ικανοποιητικά στη βιβλιογραφία. Η πλειοψηφία των σχετικών εργασιών στην βιβλιογραφία του μάρκετινγκ έχει εστιαστεί στην αναγνώριση και επεξήγηση των αντιδράσεων των καταναλωτών σε ελλείψεις, κυρίως σε περιβάλλοντα λιανικού εμπορίου. Στη βιβλιογραφία της διοικητικής επιστήμης, μέρος των εργασιών αναφορικά με την επίδραση των ελλείψεων στις πωλήσεις έχει εστιαστεί στην ανάπτυξη μαθηματικών προτύπων διαχείρισης αποθεμάτων, όπου η ζήτηση λογίζεται ως συνάρτηση κάποιου ποσοτικού μέτρου της έλλειψης, όπως π.χ. του μέσου ρυθμού εξυπηρέτησης. Υπάρχουν ακόμα αρκετές εργασίες που μελετούν το φαινόμενο της υποκατάστασης προϊόντων ή/και αλλαγής προμηθευτών λόγω ελλείψεων, σε ένα πλαίσιο ανταγωνιστικών παιγνίων (βλέπε [1] για μια αρκετά πλήρη ανασκόπηση αυτής της βιβλιογραφίας). Σε ελάχιστες από αυτές τις εργασίες, η ζήτηση θεωρείται ότι είναι συνάρτηση προηγούμενων εξυπηρετήσεων (π.χ., [], [3], [4], [5]). Η δουλειά μας σε αυτή την εργασία ακολουθεί αυτή τη κατεύθυνση. Πιο συγκεκριμένα, στην Ενότητα, αναπτύσσουμε ένα πρότυπο «εφημεριδοπώλη» με δύο προμηθευτές που ανταγωνίζονται για έναν πελάτη με βάση την διαθεσιμότητα των προϊόντων τους. Για αυτό το πρότυπο, μορφοποιούμε το πρόβλημα εύρεσης βέλτιστων πολιτικών παραγγελίας για τους δύο προμηθευτές σε ισορροπία ως ένα στοχαστικό δυναμικό παίγνιο. Στην Ενότητα 3, επιλύουμε αριθμητικά τις προκύπτουσες συνθήκες βελτιστότητας για διάφορες περιστάσεις του προβλήματος. Σε όλες τις περιστάσεις, προκύπτει ότι η βέλτιστη πολιτική για κάθε προμηθευτή είναι τύπου «παραγγελία μέχρις ένα επίπεδο» (order-up-o).. Περιγραφή Προτύπου Θεωρούμε ένα πρότυπο τύπου «εφημεριδοπώλη» με δύο προμηθευτές που ανταγωνίζονται να πουλήσουν τον ίδιο τύπο προϊόντων σε ένα πελάτη, επαναλαμβανόμενα, σε διακριτές περιόδους, για άπειρο χρονικό ορίζοντα. Κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις. Σε κάθε περίοδο, ο πελάτης επιλέγει τυχαία έναν εκ των δύο προμηθευτών και του ζητά μια τυχαία ποσότητα προϊόντων. Έστω w η ζήτηση του πελάτη στην περίοδο. Οι ζητήσεις w 0, w 1,, είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες διακριτές τυχαίες μεταβλητές με συνάρτηση πιθανότητας p(w) και μέση τιμή θ. Η πιθανότητα με την οποία ο πελάτης επιλέγει έναν προμηθευτή εξαρτάται αποκλειστικά από το λεγόμενο «επίπεδο αξιοπιστίας» αυτού του προμηθευτή, το οποίο αντικατοπτρίζει την εκτίμηση που έχει ο πελάτης για τη σχετική αξιοπιστία του προμηθευτή βάσει της ιστορίας εξυπηρέτησης μετρούμενης με όρους διαθεσιμότητας προϊόντων που έχουν παράσχει και οι δύο προμηθευτές στον πελάτη στο παρελθόν. Αυτό υπονοεί ότι όλοι οι άλλοι παράγοντες ανταγωνισμού, όπως η τιμή, εξυπηρέτηση μετά την πώληση, κτλ., είναι πάνω-κάτω οι ίδιοι για τους δύο προμηθευτές. Έστω a το επίπεδο αξιοπιστίας του 1 ου προμηθευτή στην αρχή της περιόδου, όπου a [0,1,, Μ]. Το άθροισμα των επιπέδων αξιοπιστίας και των δύο προμηθευτών είναι σταθερό και ίσο με Μ σε όλες τις περιόδους. Συνεπώς, το επίπεδο αξιοπιστίας του ου προμηθευτή στην αρχή της περιόδου είναι M a. Με άλλα λόγια, το επίπεδο αξιοπιστίας του ενός προμηθευτή είναι συμπληρωματικό και άρα σχετικό ως προς αυτό του ανταγωνιστή του. Η υπόθεση αυτή είναι λογική εφόσον ο πελάτης μπορεί να αγοράσει τα προϊόντα που ζητάει μόνον από τους δύο προμηθευτές και δεν διατίθεται να αλλάξει την κατανομή της ζήτησής του (π.χ. την μέση τιμή) ακόμα και αν υποστεί αλλεπάλληλες κακές εξυπηρετήσεις και από τους δύο προμηθευτές. Αν στην περίοδο, επιλεγεί ο 1 ος προμηθευτής και ικανοποιήσει όλη τη ζήτηση (καλή εξυπηρέτηση) ή επιλεγεί ο ος προμηθευτής και δεν ικανοποιήσει όλη τη

ζήτηση (κακή εξυπηρέτηση), τότε στην περίοδο + 1, το επίπεδο αξιοπιστίας του 1 ου προμηθευτή θα αυξηθεί κατά ένα, δηλαδή a +1 = a + 1, ενώ το επίπεδο αξιοπιστίας του ου προμηθευτή θα μειωθεί κατά ένα, εκτός και αν a = Μ, a +1 = Μ. Τα αντίστροφα ισχύουν στην αντίθετη περίπτωση. Αυτό υπονοεί ότι η αντίδραση του πελάτη στην περίπτωση καλής εξυπηρέτησης από τον ένα προμηθευτή είναι ακριβώς ίδια με αυτήν της κακής εξυπηρέτησης από τον άλλο προμηθευτή. Η υπόθεση αυτή απλοποιεί την ανάλυση, αφού καθιστά το a μια διαδικασία γεννήσεων θανάτων, όμως δεν είναι κρίσιμη, υπό την έννοια ότι δεν οδηγεί σε απώλεια γενίκευσης του πρότυπου. Έστω q (a) η πιθανότητα να επιλέξει ο πελάτης τον προμηθευτή σε μια περίοδο, δεδομένου ότι το επίπεδο αξιοπιστίας του 1 ου προμηθευτή στην αρχή της συγκεκριμένης περιόδου είναι a. Αφού τα επίπεδα αξιοπιστίας των δύο προμηθευτών είναι συμπληρωματικά, ισχύει ότι q1( a) q( a) 1, άρα q( a) 1 q( a) q ( a), 1,, όπου είναι ο ανταγωνιστής του προμηθευτή. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι q 1 (a) q 1 (a') και q (a) q (a'), a > a'. Αυτό υπονοεί ότι η πιθανότητα με την οποία ο πελάτης επιλέγει έναν προμηθευτή είναι μη-μειούμενη με το επίπεδο αξιοπιστίας του συγκεκριμένου προμηθευτή. Γενικά, θα περιμέναμε ότι τα q 1 (a) και q (Μ a) έχουν παρόμοιο σχήμα, αν η συμπεριφορά του πελάτη απέναντι στους δύο προμηθευτές είναι συμμετρική. Μια απλή υπόθεση θα ήταν ότι το q 1 (a) είναι μια γραμμική ή τύπου «S» συνάρτηση του α. Στην αρχή κάθε περιόδου, κάθε προμηθευτής παραγγέλνει έναν αριθμό προϊόντων, τα οποία παραλαμβάνει αμέσως. Όταν παραγγέλνει, γνωρίζει το επίπεδο αποθέματος/ ελλείμματος και το επίπεδο αξιοπιστίας, τόσο το δικό του όσο και του ανταγωνιστή του, δεν γνωρίζει όμως την απόφαση παραγγελίας του ανταγωνιστή του. Έστω x το ύψος του αποθέματος του προμηθευτή στην αρχή της περιόδου. Το x μπορεί να πάρει αρνητικές ή θετικές τιμές. Έστω u η ποσότητα παραγγελίας του προμηθευτή στην αρχή της περιόδου. Αν ο προμηθευτής που επιλεγεί από τον πελάτη σε μια περίοδο δεν καταφέρει να ικανοποιήσει ολόκληρη την ζήτηση, τότε η ζήτηση που δεν έχει ικανοποιηθεί θα πρέπει να ικανοποιηθεί από τον ίδιο προμηθευτή στην αρχή της επομένης περιόδου, δηλαδή u ( x), όπου ( x) max(0, x). Αυτό σημαίνει ότι ο πελάτης δεν αλλάζει προμηθευτή κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Η υπόθεση αυτή είναι λογική αν ο πελάτης ζητάει προϊόντα σε κάθε περίοδο ως μέρος μιας ρουτίνας χωρίς πρώτα να ελέγχει για την διαθεσιμότητά τους, και είναι διατεθειμένος να ανεχτεί εν τούτοις με κάποια δυσφορία που αντικατοπτρίζεται στα επίπεδα αξιοπιστίας των προμηθευτών την καθυστέρηση στην παράδοση για μία περίοδο. Ο παραπάνω περιορισμός στο u φαίνεται κάπως περιοριστικός αφού υπονοεί ότι η ποσότητα παραγγελίας κάθε προμηθευτή «πρέπει» να είναι αρκετά μεγάλη για να καλύψει όλες τις ανικανοποίητες ζητήσεις της προηγούμενης περιόδου. Αν όμως ο πελάτης είναι διατεθειμένος να ανεχτεί την καθυστέρηση στην παράδοση για μία περίοδο χωρίς άμεσο κόστος στον προμηθευτή, μπορεί κανείς να δει εύκολα ότι θα ήταν ούτως ή άλλως βέλτιστο για τον προμηθευτή να καλύψει τις ελλείψεις του της προηγούμενης περιόδου, αν υπάρχουν, αφού αυτό θα μεγιστοποιούσε τα κέρδη του. Σε αυτή την περίπτωση, ο περιορισμός στο u θα ήταν περιττός. Με βάση τις παραπάνω υποθέσεις, το πλεόνασμα/έλλειμμα αποθέματος του προμηθευτή εξελίσσεται σύμφωνα με την ακόλουθη δυναμική εξίσωση: 1 x u w, με πιθανότητα q( a ) x x u, με πιθανότητα q( a ) Σε κάθε περίοδο, ο προμηθευτής δέχεται μια αμοιβή (τιμή πώλησης) r για κάθε τεμάχιο που πουλάει και πληρώνει ένα κόστος αγοράς c για κάθε τεμάχιο προϊόντος που παραγγέλνει. Επίσης επιφέρει ένα κόστος h για κάθε τεμάχιο προϊόντος που διατηρεί ως απόθεμα στο τέλος της περιόδου. Αφού οι δύο προμηθευτές δεν ανταγωνίζονται στις τιμές πώλησης των προϊόντων, υποθέτουμε ότι r 1 = r r. Υποθέτουμε ακόμα ότι r > c, = 1,, αφού διαφορετικά δεν θα είχε νόημα για τους προμηθευτές να πουλούν προϊόντα. Τέλος υποθέτουμε ότι h c, π.χ. h = βc, =1,, όπου β είναι το επιτόκιο ανά περίοδο. 3

Έστω g (x, a, u, w) το κέρδος του προμηθευτή ανά περίοδο, ως συνάρτηση της κατάστασης και απόφασής του, (x, a) και u, στην αρχή της περιόδου, και της ζήτησης της περιόδου w. Το g (x, a, u, w) δίνεται από την σχέση: rw cu hx u w, με πιθανότητα q( a), g( x, a, u, w) u x cu hx u, με πιθανότητα q( a), G ( x, a, u ) E g ( x, a, u, w). Είναι εύκολο να δούμε ότι Έστω wx, au, xu (,, ) ( ) ( ) ( ) ( ), w0 G x a u r q a cu h x u q a x u w p w q a u x Ας υποθέσουμε ότι ο προμηθευτής χρησιμοποιεί μια στάσιμη πολιτική παραγγελίας, η οποία, σε κάθε κατάσταση του συστήματος (x 1, x, a), αντιστοιχεί μια τιμή της μεταβλητής απόφασης u ( x1, x, a), όπου ( x1, x, a) ( x ) για όλες τις καταστάσεις αποθέματος x, ώστε η να είναι επιτρεπτή. Το πρόβλημα του προμηθευτή είναι να βρει μια στάσιμη επιτρεπτή πολιτική παραγγελίας, δεδομένης της πολιτικής του προμηθευτή, που να μεγιστοποιεί το μακροπρόθεσμο μέσο κέρδος του, T 1 1 J mn lm E g (,, ( 1,, ), ( 1,, )) x a x x a w x x a ( x, x, a ) T T 0 Χρησιμοποιώντας κλασικά επιχειρήματα δυναμικού προγραμματισμού, το J πρέπει να ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση βελτιστότητας J V ( x1, x, a) ( TV )( x1, x, a), για όλα τα ( x1, x, a) (1) όπου V ( x1, x, a) είναι το διαφορικό κέρδος του προμηθευτή στην κατάσταση (x 1, x, a), όταν ο ανταγωνιστής του χρησιμοποιεί σταθερή πολιτική παραγγελίας, και ( TV )( x1, x, a) είναι μια απεικόνιση (mappng) που δίνεται για = 1 από την ακόλουθη έκφραση: ( TV )( x, x, a) mn G ( x, a, u ) 1 1 1 1 1 u1 ( x1) x1 u1 1 1 1 1 1 w0 όπου max 0,, mn am, q ( a) p( w) V ( x u w, x ( x, x, a), a1) pwv ( ) ( xuwx, ( x, x, a), a1) 1 1 1 1 wx1u11 x( x1, x, a) 1 1 1 1 w0 q ( a) p( w) V ( x u, x ( x, x, a) w, a1) pwv ( ) 1 ( x1 u1, x ( x1, x, a) wa, 1) wx( x1, x, a) 1. Μια παρόμοια έκφραση μπορεί να αναπτυχθεί και για =, αλλά την παραλείπουμε λέγω έλλειψης χώρου. Έστω η βέλτιστη στάσιμη πολιτική παραγγελίας του προμηθευτή στην κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή όταν και ο ανταγωνιστής του χρησιμοποιεί την δική του βέλτιστη στάσιμη πολιτική παραγγελίας. Τα 1, πρέπει να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις συνθήκες βελτιστότητας ( x, x, a ) arg mn ( TV )( x, x, a ), for all ( x, x, a ), 1, () 1 1 1 u x 4

1 Έστω J J και V ( x1, x, a) V ( x1, x, a). Τότε, από την (1), τα V ( x, x, a ) πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση 1 1 1 J και J V ( x, x, a) ( TV )( x, x, a), for all ( x, x, a), 1, (3) Ένας τρόπος για να λύσουμε τις εξισώσεις () και (3) είναι να χρησιμοποιήσουμε μια αριθμητική επαναληπτική μέθοδο, όπου σε κάθε βήμα οι τιμές των ( x1, x, a) και V ( x1, x, a ) για όλες τις καταστάσεις (x 1, x, a), ανανεώνονται με βάση τις τιμές του προηγούμενου βήματος, έως ότου συγκλίνουν. Το μέσο κέρδος J μπορεί στην συνέχεια να υπολογιστεί από την εξίσωση (3). Για την χρήση της μεθόδου πρέπει να περιορίσουμε τον mn άπειρο χώρο καταστάσεων (x 1, x ), θέτοντας τους περιορισμούς x max x x, 1,, για mn max κάποια κατώτατα και ανώτατα όρια x, x. Αν τα όρια αυτά είναι αρκετά μεγάλα, η επίδρασή τους στις καταστάσεις που είναι μακριά από αυτά θα είναι αμελητέα. 3. Αριθμητικά Αποτελέσματα Για να βρούμε τις βέλτιστες πολιτικές παραγγελίας για τους δύο προμηθευτές και να μελετήσουμε την επιρροή των παραμέτρων του προτύπου στις πολιτικές αυτές και στο συνεπαγόμενο μακροπρόθεσμο μέσο κέρδος, εφαρμόσαμε την επαναληπτική αριθμητική μέθοδο επίλυσης που σκιαγραφήσαμε στην προηγούμενη ενότητα, για διάφορες περιστάσεις του προβλήματος, με και 4 επίπεδα αξιοπιστίας. Σε όλες τις περιστάσεις, η ζήτηση σε κάθε περίοδο ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με μέση τιμή 1/ρ, και η τιμή πώλησης είναι ίδια για τους δύο προμηθευτές, δηλαδή r 1 = r r. Το σημαντικότερο εύρημά μας είναι ότι σε όλες τις περιστάσεις η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας και για τους δύο προμηθευτές είναι τύπου «παραγγελία μέχρις ένα επίπεδο» (order-up-o), όπου το επίπεδο αυτό για κάθε προμηθευτή εξαρτάται μόνο από το επίπεδο αξιοπιστίας του. Έστω s (a) το βέλτιστο επίπεδο παραγγελίας του προμηθευτή όταν το επίπεδο αξιοπιστίας του 1 ου προμηθευτή είναι a. Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται οι τιμές των παραμέτρων του προτύπου και των μέτρων απόδοσης, δηλαδή των βέλτιστων επιπέδων παραγγελίας και των μέσων κερδών για τους δύο προμηθευτές, για 19 περιστάσεις με δύο επίπεδα αξιοπιστίας, ένα χαμηλό και ένα υψηλό, δηλαδή a = 0, 1. Στις δύο τελευταίες στήλες του Πίνακα 1 καταγράφονται ο αριθμός των επαναλήψεων (Ν) και ο συνολικός χρόνος σε δευτερόλεπτα μέχρι να συγκλίνει ο αλγόριθμος. Σε όλες τις περιστάσεις χρησιμοποιήθηκε ένας Η/Υ με επεξεργαστή AMD Ahlon 64 3000+ @1.8 GHz. Οι 19 περιστάσεις του Πίνακα 1 ομαδοποιούνται σε 5 κατηγορίες. Στις τρεις πρώτες κατηγορίες η πιθανότητα να επιλεγεί ο ένας ή ο άλλος προμηθευτής όταν το επίπεδο αξιοπιστίας του είναι χαμηλό είναι η ίδια και ίση με 0.4. Σε αυτές τις περιστάσεις, λοιπόν, ο πελάτης επιδεικνύει μια συμμετρική συμπεριφορά καλής θέλησης προς τους δύο προμηθευτές. Στις περιστάσεις 1-3 μεταβάλλουμε τις παραμέτρους του κόστους για τους δύο προμηθευτές. Ειδικότερα, στην περίσταση 1, οι δύο προμηθευτές έχουν ίδια μοναδιαία κόστη παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος και ως εκ τούτου εμφανίζουν τα ίδια μέτρα απόδοσης. Στην περίσταση, τα μοναδιαία κόστη παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος του ου προμηθευτή είναι υψηλότερα από αυτά του 1 ου αλλά και από τα αντίστοιχα της περίστασης 1. Ως αποτέλεσμα, τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας του ου προμηθευτή μειώνονται σημαντικά ενώ αυτά του 1 ου παραμένουν σχεδόν ίδια. Ο 1 ος προμηθευτής κερδίζει ένα επιπλέον κομμάτι της αγοράς εις βάρος του ου και έτσι τα κέρδη του αυξάνονται, ενώ του ου μειώνονται. Στην περίσταση 3, το κόστος παραγγελίας του ου προμηθευτή και το κόστος διατήρησης αποθέματος του 1 ου αυξάνονται σε σχέση με τις τιμές τους στην περίσταση 1. Ως αποτέλεσμα, τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας του 1 ου προμηθευτή μειώνονται σημαντικά, ενώ αυτά του ου μειώνονται λίγο. Ο ος προμηθευτής κερδίζει ένα επιπλέον μερίδιο της αγοράς εις βάρος του 1 ου. Παρόλα αυτά όμως το κέρδος του μειώνεται εξαιτίας της μείωσης του περιθωρίου κέρδους του (τιμή πώλησης τιμή αγοράς). Όμως και 5

το κέρδος του 1 ου προμηθευτή μειώνεται λόγω της αύξησης του κόστους διατήρησης αποθέματος και της απώλειας ενός μεριδίου της αγοράς. # ρ r c 1 c h 1 h q 1 (0) q 1 (1) s 1 (0) s 1 (1) s (0) s (1) N Υπολ. χρόνος 1 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 8 8 8 8 4.57 4.57 80 680.90 0.35 10 5 7 0.01 0. 0.4 0.6 7 8 1 0 5.1.4 91 690.00 3 0.35 10 5 7 0. 0.01 0.4 0.6 1 7 6 4.09.90 79 689.90 4 0.35 15 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 9 10 10 9 9.19 9.19 76 701.57 5 0.35 5 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 11 11 11 11 18.47 18.47 70 71.48 6 0.35 35 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 1 1 1 1 7.74 7.74 67 679.8 7 0.7 10 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 1.05 1.05 50 431.35 8 0.6 10 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 3 3 3 3 1.63 1.63 173 1497.17 9 0.5 10 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 4 4 4 4.46.46 16 949.6 10 0.3 10 5 5 0.01 0.01 0.4 0.6 9 10 10 9 5.74 5.74 69 73.96 11 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0.0 0. 0 0 9 9 0.1 9.08 3049 9610.3 1 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0.1 0.3 4 5 9 9 1.11 8.04 347 33.34 13 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 0.4 6 7 9 9.66 6.88 168 1564.15 14 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0.3 0.5 7 7 9 8 3.41 5.73 109 1019.71 15 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 0. 0 0 0 0 1.85 7.4 13 1916.5 16 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 0.4 6 7 9 9.66 6.88 168 1564.15 17 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 0.6 8 9 11 9 3.00 6.09 131 141.79 18 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 0.8 10 1 1 10 4.53 4.53 97 984.64 19 0.35 10 5 5 0.01 0.01 0. 1.0 10 10 7 0 8.9 0.1 1835 1800.90 Πίνακας 1. Παράμετροι Προτύπου και Αποτελέσματα για 19 Περιστάσεις με Επίπεδα Αξιοπιστίας Στις περιστάσεις 4-6 και 7-10 μεταβάλλουμε τις τιμές των r και 1/ρ, ενώ οι υπόλοιπες παράμετροι είναι ίδιες για του δύο προμηθευτές. Τα αποτελέσματα υποδεικνύουν ότι καθώς το r ή το 1/ρ αυξάνεται, και οι δύο προμηθευτές αυξάνουν τα επίπεδα παραγγελίας τους (και άρα και τα κόστη διατήρησης αποθέματος) ούτως ώστε να μην χάσουν μερίδιο της αγοράς. Παρόλα αυτά καταφέρνουν να αυξήσουν τα κέρδη τους. Τέλος στις περιστάσεις 11-14 και 15-19, ο πελάτης επιδεικνύει μια ασύμμετρη συμπεριφορά καλής θέλησης προς τους δύο προμηθευτές, οι οποίοι κατά τα άλλα έχουν ίδιες παραμέτρους κόστους. Στις περιστάσεις 11-14, μεταβάλλουμε τα q 1 (0) και q 1 (1) διατηρώντας τη διαφορά τους σταθερή και ίση με 0.. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι όσο το q 1 (0) και άρα και το q 1 (1) αυξάνεται, ο 1 ος προμηθευτής κερδίζει μερίδιο της αγοράς και άρα παρουσιάζει αύξηση κερδών. Αυτό του επιτρέπει να αυξήσει τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας του ούτως ώστε να αυξήσει την μακροπρόθεσμη πιθανότητα το επίπεδο αξιοπιστίας του να είναι υψηλό. Ο ος προμηθευτής παρουσιάζει ακριβώς την αντίθετη συμπεριφορά. Σε όλες αυτές τις περιστάσεις ο πελάτης έχει μια μεροληψία (μεγαλύτερη εμπιστοσύνη) προς τον ο προμηθευτή. Έτσι τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας του και το μέσο κέρδος του είναι υψηλότερα από αυτά του 1 ου προμηθευτή. Είναι αξιοσημείωτο ότι στην περίσταση 11, δεν έχει νόημα για τον 1 ο προμηθευτή να κρατά απόθεμα όταν a = 0 επειδή q 1 (0) = 0. Γι αυτό s 1 (0) = 0. Στις περιστάσεις 15-19, μεταβάλλουμε το q 1 (1) ενώ το q 1 (0) διατηρείται σταθερό στο 0.. Παρατηρούμε ότι όταν q 1 (1) = q 1 (0) και οι δύο προμηθευτές έχουν μηδενικά βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας. Αυτό συμβαίνει επειδή κανένας προμηθευτής δεν κερδίζει ή χάνει αξιοπιστία παρέχοντας καλή ή κακή εξυπηρέτηση και άρα δεν υπάρχει κίνητρο για κανένα προμηθευτή να κρατά απόθεμα. Καθώς το q 1 (1) αυξάνει, τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας και των δύο προμηθευτών αυξάνουν. Στις περιστάσεις 15-17, ο πελάτης έχει καλύτερη θέληση προς στον ο προμηθευτή και γι αυτό τα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας του και το μέσο κέρδος του είναι υψηλότερα από αυτά του 1 ου προμηθευτή. Στην περίσταση 18, που είναι παρόμοια με την περίσταση 1, η καλή θέληση του πελάτη προς τους δύο προμηθευτές είναι συμμετρική και έτσι τα μέτρα απόδοσης είναι ίδια και για τους δύο. Βέβαια τα επίπεδα παραγγελίας είναι σημαντικά υψηλότερα από τα αντίστοιχα της περίστασης 1, επειδή το κέρδος ή απώλεια αξιοπιστίας μετά από μια καλή ή κακή εξυπηρέτηση είναι περισσότερο J 1 J 6

σημαντική στην περίσταση 18 από ότι στην περίσταση 1. Τέλος, η περίσταση 19 είναι παρεμφερής με την περίσταση 11. Είναι αξιοσημείωτο ότι σε όλες τις περιστάσεις του Πίνακα 1, ισχύει ότι s 1 (1) s 1 (0) και s (0) s (1). Αυτό υπονοεί ότι κάθε προμηθευτής πρέπει να διατηρεί τουλάχιστον τόσο απόθεμα όταν βρίσκεται σε υψηλό επίπεδο αξιοπιστίας όσο όταν βρίσκεται σε χαμηλό, υπονοώντας ότι περισσότερα χρήματα πρέπει να επενδυθούν σε αποθέματα για να διατηρηθεί παρά για να κερδηθεί το υψηλό επίπεδο αξιοπιστίας. Η παρατήρηση αυτή, όπως θα δούμε στην συνέχεια, δεν ισχύει όταν υπάρχουν περισσότερα από δύο επίπεδα αξιοπιστίας. Στον Πίνακα παρουσιάζονται οι παράμετροι του προτύπου και τα βέλτιστα αποτελέσματα για τον 1 ο προμηθευτή για 3 περιστάσεις με 4 επίπεδα αξιοπιστίας, δηλαδή α = 0, 1,, 3. Σε όλες τις περιστάσεις του Πίνακα ισχύει ότι c 1 = c c, h 1 = h h. Επίσης, η καλή θέληση του πελάτη προς τους δύο προμηθευτές είναι συμμετρική, δηλαδή q 1 (a) = q (3 a). Συνεπώς τα βέλτιστα αποτελέσματα του ου προμηθευτή είναι συμμετρικά με αυτά του 1 ου, δηλαδή s (a) = s 1 (3 a) για όλα τα a και J J1. Οι τρεις περιστάσεις διαφέρουν ουσιαστικά στο σχήμα του q 1 (a). Ενώ σε όλες τις περιστάσεις το q 1 (a) έχει σχήμα τύπου S, είναι πιο επίπεδο στην περίσταση από ότι την περίσταση 3 (όπου είναι κατά τμήμα γραμμικό) και εντελώς επίπεδο (γραμμικό) στην περίσταση 1. Γι αυτό τον λόγο, υπάρχει διαφορά στα βέλτιστα επίπεδα παραγγελίας που αντιστοιχούν σε a = μεταξύ των τριών περιστάσεων. Μάλιστα, στις περιστάσεις και 3 το s 1 (a) δεν είναι πια μη-μειούμενο ως προς α, όπως συνέβαινε σε όλες τις περιστάσεις με επίπεδα αξιοπιστίας. Αντίθετα, το s 1 (a) αυξάνεται όσο αυξάνεται το α, για α, ενώ μειώνεται για α. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι σε αυτές τις δύο περιστάσεις η απώλεια αξιοπιστίας προς τον προμηθευτή 1 είναι μεγαλύτερη αν το επίπεδο αξιοπιστίας του 1 ου προμηθευτή μειωθεί από το στο 1 από ότι αν μειωθεί από το 3 στο, αναγκάζοντας τον 1 ο προμηθευτή να κρατά υψηλότερα αποθέματα όταν βρίσκεται στο επίπεδο αξιοπιστίας παρά από όταν βρίσκεται στο 3. # ρ r c h q 1 (0) q 1 (1) q 1 () q 1 (3) s 1 (0) s 1 (1) s 1 () s 1 (3) N Υπολ. χρόνος 1 0.35 10 5 0.01 0. 0.4 0.6 0.8 10 1 13 13 4.5 15 566.8 0.35 10 5 0.01 0. 0.3 0.7 0.8 10 1 14 13 4.5 139 849.93 3 0.35 10 5 0.01 0. 0. 0.8 0.8 10 1 15 13 4.51 190 394.43 Πίνακας. Παράμετροι Προτύπου και Αποτελέσματα για 3 Περιστάσεις με 4 Επίπεδα Αξιοπιστίας 4. Συμπεράσματα Προτάσεις Σε όλες τις περιστάσεις που επιλύθηκαν αριθμητικά βρέθηκαν βέλτιστες πολιτικές ισορροπίας που να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις συνθήκες βελτιστότητας (), φάνηκε δηλαδή ότι υπάρχει λύση ισορροπίας τύπου Nash. Επιπλέον, η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας και για τους δύο προμηθευτές παρατηρήθηκε ότι είναι τύπου «παραγγελία μέχρις ένα επίπεδο» (order-up-o), όπου το επίπεδο αυτό για κάθε προμηθευτή εξαρτάται μόνο από το επίπεδο αξιοπιστίας του. Οι δύο αυτές παρατηρήσεις μένει να αποδειχθούν και μαθηματικά. Βιβλιογραφικές Αναφορές 1) G.P. Cachon and S. Neessne (005). Game Theory n Supply Chan Analyss. Paul Gray Ed. TuORals n Operaons Research. INFORMS, New Orleans, pp. 00-33. ) J.D. Dana Jr. and N.C. Peruzz (001). Noe: The Newsvendor Model wh Endogenous Demand. Managemen Scence vol. 47(11), pp. 1488-1497. 3) V. Gaur and H. Park. (007). Asymmerc Consumer Learnng and Invenory Compeon. Managemen Scence vol. 53(), pp. 7-40. 4) J. Hall and E. Poreus (000). Consumer Servce Compeon n Capacaed Sysems. Manufacurng and Servce Operaons Managemen vol. (), pp. 144-165. 5) L. Lu, W. Shang, and S. Wu (007). Dynamc Compeve Newsvendors wh Servce- Sensve Demands. Manufacurng & Servce Operaons Managemen vol. 9(1) pp. 84-93. J1 7