Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Transcript

1 Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014

2 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική προσδοκία για την τιμή μιας μεταβλητής x την περίοδο t+1, βασισμένη στις διαθέσιμες πληροφορίες I στην περίοδο t, ορίζεται ως, x t+1 = E(x t+1 I t ) I είναι το σύνολο των διαθέσιμων πληροφοριών, το οποίο αποτελείται από την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιμές της μεταβλητής x, καθώς και την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιμές ενός συνόλου μεταβλητών z, οι οποίες ενδεχομένως βοηθούν στην πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών της x. I t = {x t i,z t i,i = 0,1,2,..., } Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

3 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών Oρίζουμε την ορθολογική προσδοκία για την τιμή μιας μεταβλητής x την περίοδο t+s, βασισμένη στις διαθέσιμες πληροφορίες I στην περίοδο t, ως, x t+s = E(x t+s I t ),s = 0,1,2,... Προκειμένου να ορίσουμε πιο συγκεκριμένα τις ορθολογικές προσδοκίες για μία μεταβλητή δεν αρκεί να γνωρίζουμε το σύνολο των πληροφοριών, αλλά και το υπόδειγμα του πώς προσδιορίζεται και εξελίσσεται στο χρόνο αυτή η μεταβλητή. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

4 Ορθολογικές Προσδοκίες για Στάσιμες Αυτοπαλλίνδρομες Στοχαστικές Διαδικασίες Υποθέτουμε μία μεταβλητή x, η οποία ακολουθεί μία αυτοπαλίνδρομη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθμού, της μορφής, x t = (1 λ)x 0 + λx t 1 + ε t όπου, x 0 είναι μία σταθερά, -1<λ<1, και ε είναι μία στοχαστική διαδικασία λευκού θορύβου, με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

5 Ορθολογικές Προσδοκίες για Στάσιμες Αυτοπαλλίνδρομες Στοχαστικές Διαδικασίες Θα ορίσουμε τη μεταβλητή x ως απόκλιση από το μέσο της, ως εξής, x^ t = x t x 0 Ως απόκλιση από το μέσο της, η μεταβλητή ακολουθεί, x^ t = λ x^ t 1+ ε t Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

6 Ορθολογικές Προσδοκίες για Στάσιμες Αυτοπαλλίνδρομες Στοχαστικές Διαδικασίες Μπορεί να δείξει κανείς με διαδοχικές αντικαταστάσεις ότι, x^ t+1 = λ x^ t, x^ t+2 = λ 2 x^ t,..., x^ t+s = λ s x^ t Η ορθολογική προσδοκία μίας αυτοπαλίνδρομης στοχαστικής διαδικασίας πρώτου βαθμού εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα τιμή της, με συντελεστή που εξαρτάται από το λ. Εάν η στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη, δηλαδή εάν -1<λ<1, τότε η επίπτωση της τρέχουσας τιμής της μεταβλητής στην ορθολογική της προσδοκία βαίνει μειούμενη καθώς αυξάνεται το s. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

7 Ορθολογικές Προσδοκίες για Στάσιμες Αυτοπαλλίνδρομες Στοχαστικές Διαδικασίες Καθώς το s τείνει στο άπειρο θα ισχύει, lim s x^ t+s = lim s λ s x^ t = 0 Κατά συνέπεια, lim s x t+s = x 0 Με την έννοια αυτή, ο μέσος της μεταβλητής x, ο οποίος αποτελεί το σημείο μακροχρόνιας ισορροπίας της, είναι και το όριο στο οποίο συγκλίνουν οι μελλοντικές προσδοκίες για την εξέλιξη μιας μεταβλητής που ακολουθεί μία στάσιμη στοχαστική διαδικασία. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

8 Ορθολογικές Προσδοκίες για Μη Στάσιμες Αυτοπαλλίνδρομες Στοχαστικές Διαδικασίες Εάν η διαδικασία δεν είναι στάσιμη αλλά τυχαίος περίπατος, δηλαδή εάν λ=1, τότε έχουμε, x^ t+1 = x^ t, x^ t+2 = x^ t, x^ t+3 = x^ t,..., x^ t+s = x^ t Στην περίπτωση αυτή, η ορθολογική προσδοκία για τη μελλοντική τιμή μιας μεταβλητής είναι η τρέχουσα τιμή της μεταβλητής, ανεξάρτητα από το s. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

9 Πρωτοβάθμια Υποδείγματα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόμαστε τώρα στην επίλυση ενός γραμμικού υποδείγματος στο οποίο μία μεταβλητή εξαρτάται από την ορθολογική προσδοκία για τη μελλοντική της τιμή, και κάποια άλλη εξωγενή μεταβλητή. Το υπόδειγμα περιγράφεται από μία πρωτοβάθμια εξίσωση της μορφής, = a +1 + bx t Η υπόθεση των ορθολογικών προσδοκιών συνεπάγεται ότι οι οικονομικοί παράγοντες γνωρίζουν ότι η μεταβλητή y προσδιορίζεται από την εξίσωση αυτή. Υποθέτουμε επίσης ότι όλοι οι οικονομικοί παράγοντες έχουν στη διάθεσή τους το ίδιο σύνολο πληροφοριών. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

10 Μέθοδοι Επίλυσης Πρωτοβάθμιων Υποδειγμάτων Ορθολογικών Προσδοκιών Υπάρχουν μια σειρά από μέθοδοι για την επίλυση υποδειγμάτων όπως αυτό. Ολες οι μέθοδοι βασίζονται στον νόμο των επαναληπτικών προσδοκιών. Αυτός δεν λέει τίποτα άλλο παρά ότι η σημερινή προσδοκία για την αυριανή προσδοκία μιας μελλοντικής τιμής μιας μεταβλητής δεν είναι παρά η σημερινή προσδοκία της μελλοντικής τιμής της μεταβλητής. Δηλαδή, ότι, ( E x ) = E x t+1 t+s t t+s Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

11 Η Μέθοδος των Διαδοχικών Αντικαταστάσεων Εφαρμόζοντας το νόμο των επαναληπτικών προσδοκιών, και αντικαθιστώντας διαδοχικά στην αρχική εξίσωση, E y = ae ( E y ) + be x = ae y + be x t t+1 t t+1 t+2 t t+1 t t+2 t t+1 = a ab x t+1 + bx t = a T +1 +T +1 + b T s=0 a i x t+s Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

12 Η Θεμελιώδης Λύση του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Εάν ισχύει ότι, lim T a T +1 +T +1 = 0 τότε μία λύση της αρχικής εξίσωσης δίνεται από, = b s=0 a i x t+s Η λύση αυτή μας υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιμή της ενδογενούς μεταβλητής y είναι το προεξοφλημένο άθροισμα των προσδοκώμενων μελλοντικών τιμών της εξωγενούς μεταβλητής x, με συντελεστή προεξόφλησης a<1. Η λύση αυτή συνήθως αποκαλείται η θεμελιώδης λύση. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

13 Μη Θεμελιώδεις Λύσεις του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Η θεμελιώδης λύση δεν αποτελεί τη μοναδική λύση. Η θεμελιώδης λύση βασίζεται μόνο στον ελάχιστο αριθμό μεταβλητών (το x στην περίπτωσή μας), στα λεγόμενα θεμελιώδη. Υπάρχει και σωρεία άλλων, μη θεμελιωδών, λύσεων, οι οποίες όμως δεν ικανοποιούν τη συνθήκη, lim T a T +1 +T +1 = 0 Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

14 Μη Θεμελιώδεις Λύσεις του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία εναλλακτική λύση του πρωτοβάθμιου υποδείγματος, η οποία συνίσταται από τη θεμελιώδη λύση σύν μία πρόσθετη μεταβλητή z. Η λύση αυτή λαμβάνει τη μορφή, = b Εάν η μεταβλήτη z ικανοποιεί, s=0 a i x t+s + z t z t = a z t+1 που συνεπάγεται ότι, z t+1 = 1 a z t τότε έχουμε μία επιπλέον λύση του πρωτοβάθμιου υποδείγματος. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

15 Μη Θεμελιώδεις Λύσεις του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Ωστόσο, επειδή a<1, η μαθηματική προσδοκία του μελλοντικού z εκρήγνυται με την πάροδο του χρόνου. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν λάβουμε το όριο της μαθηματικής προσδοκίας καθώς ο χρόνος τείνει προς το άπειρο., lim E z = 1 t t+s s a s z t = ± Λύσεις που βασίζονται σε μεταβλητές όπως το z αποκαλούνται φούσκες (bubbles), σε αντίθεση με λύσεις που βασίζονται μόνο στα θεμελιώδη. Στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε μόνο σε θεμελιώδεις λύσεις αγνοώντας τις φούσκες. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

16 Ο Τελεστής των Μελλοντικών Μαθηματικών Προσδοκιών και η Μέθοδος της Παραγοντοποίησης Η δεύτερη μέθοδος επίλυσης υποδειγμάτων με ορθολογικές προσδοκίες είναι η μέθοδος της παραγοντοποίησης. Αυτή απαιτεί τη χρήση του τελεστή των μελλοντικών μαθηματικών προσδοκιών F, ο οποίος για μία μεταβλητή x, ορίζεται ως, Fx t = x t+1 F 2 x t = x t+2,..., F s x t = x t+s Επιπλεόν, ισχύει ότι ο τελεστής των μελλοντικών μαθηματικών προσδοκιών είναι το αντίστροφο του τελεστή των χρονικών υστερήσεων L F s x t = x t s = x t s = L s x t Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

17 H Μέθοδος της Παραγοντοποίησης και η Επίλυση του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Ορθολογικών Προσδοκιών Το πρωτοβάθμιο υπόδειγμα των ορθολογικών προσδοκιών έχει τη μορφή, = a +1 + bx t Χρησιμοποιώντας τον τελεστή των μαθηματικών προσδοκιών, και υποθέτωντας ότι -1<a<1, το πρωτοβάθμιο υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως, = af + bx t = Αυτή είναι όμως η θεμελιώδης λύση. b 1 af x = b a s F s x = b a s E x t s=0 t s=0 t t+s Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

18 H Μέθοδος των Μη Προσδιορισμένων Συντελεστών και η Επίλυση του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Ορθολογικών Προσδοκιών Η μέθοδος των μη προσδιορισμένων συντελεστών συνίσταται στο να χρησιμοποιηθεί μια εικαζόμενη μορφή της λύσης με μη προσδιορισμένους συντελεστές, να ληφθεί η μαθηματική προσδοκία της εικαζόμενης λύσης, η οποία, αφού αντικατασταθεί στο αρχικό υπόδειγμα θα οδηγήσει σε σύγκριση των συντελεστών μεταξύ της εικαζόμενης λύσης, και της εξίσωσης που θα προκύψει από την αντικατάσταση. Ετσι θα προσδιοριστούν οι αρχικά μη προσδιορισμένοι συντελεστές. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

19 H Μέθοδος των Μη Προσδιορισμένων Συντελεστών και η Επίλυση του Πρωτοβάθμιου Υποδείγματος Ορθολογικών Προσδοκιών Η εικαζόμενη λύση είναι, = σ µ s s=0 x t+s όπου σ και μ είναι μη προσδιορισμένοι συντελεστές. Από τη λύση αυτή προκύπτει, +1 = σ µ s s=0 x t+1+s Αντικαθιστώντας στο αρχικό υπόδειγμα και συγκρίνοντας συντελεστές μεταξύ της εξίσωσης που προκύπτει και της εικαζόμενης λύσης, βρίσκουμε ότι σ=b και μ=a. Αυτό επιβεβαιώνει την εικασία μας, και η λύση είναι ακριβώς η ίδια όπως και με τις δύο άλλες μεθόδους. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

20 Παράδειγμα: Εξίσωση Αποδόσεων σε Μία Ανταγωνιστική Αγορά Κεφαλαίου Στο πρώτο μας παράδειγμα υποθέτουμε μία κεφαλαιαγορά στην οποία οι επενδυτές είναι ουδέτεροι απέναντι στον κίνδυνο. Οι επενδυτές επιλέγουν μεταξύ μιας μετοχής και μιας ασφαλούς τοποθέτησης με ποσοστό απόδοσης r. Στην ισορροπία, η προσδοκώμενη απόδοση της μετοχής θα ισούται με το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης. p t+1 p t p t + d t p t = r όπου p είναι η τιμή της μετοχής και d είναι το μέρισμα. Το ποσοστό απόδοσης της μετοχής ισούται με το προσδοκώμενο κεφαλαιακό κέρδος, συν το μέρισμα ως ποσοστό της τιμής της μετοχής. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

21 Ο Προσδιορισμός της Τιμής της Μετοχής Από την εξίσωση μεταξύ της απόδοσης της μετοχής με το πραγματικό επιτόκιο, το υπόδειγμα έχει τη μορφή του πρωτοβάθμιου υποδείγματος που αναλύσαμε, με a=b=1/(1+r)<1. Η θεμελιώδης λύση του είναι, p = 1 ( t 1+ r E p + d ) t t+1 t p t = 1 1+ r s= r Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, s d t+s Η τιμή της μετοχής είναι η παρούσα αξία των προσδοκώμενων μελλοντικών μερισμάτων, με συντελεστή προεξόφλησης που εξαρτάται από το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης.

22 Παράδειγμα: Ισορροπία στην Αγορά Χρήματος Στο δεύτερο μας παράδειγμα υποθέτουμε καταναλωτές και επιχειρήσεις που επιλέγουν μεταξύ της διακράτησης χρηματικών διαθεσίμων και αγαθών. Στην περίπτωση αυτή, η ζήτηση χρήματος είναι αρνητική συνάρτηση του προσδοκώμενου πληθωρισμού, και η ισορροπία στην αγορά χρήματος απαιτεί, = exp α P t+1 P t P t M t P t όπου M είναι η προσφορά χρήματος, P το επίπεδο τιμών και α>0 η ημι-ελαστικότητα της ζήτησης χρήματος σε σχέση με τον προσδοκώμενο πληθωρισμό. Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

23 Προσδιορισμός του Επιπέδου Τιμών Λαμβάνοντας λογαρίθμους και στις δύο πλευρές, και υποδηλώνοντας με m το λογάριθμο της προσφοράς χρήματος και με p το λογάριθμό του επιπέδου τιμών, το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως, m t p t = α( p t+1 p t ) Επιλύοντας ως προς p, p t = α 1+ α p t α m t Κατά συνέπεια, με ορθολογικές προσδοκίες, p t = 1 1+ α s=0 α 1+ α Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, s m t+s

24 Δευτεροβάθμια Δυναμικά Υποδείγματα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόμαστε τώρα στις μεθόδους επίλυσης ενός δευτεροβάθμιου δυναμικού υποδείγματος. Στο υπόδειγμα αυτό, μία μεταβλητή εξαρτάται από τη μελλοντική προσδοκία για την εξέλιξή της, από το επίπεδο στο οποίο βρισκόταν την προηγούμενη περίοδο καθώς και από μία εξωγενή μεταβλητή. Αυτό το υπόδειγμα συνδυάζει ορθολογικές προσδοκίες για τη μελλοντική τιμή μιας μεταβλητής, με επιπτώσεις των τιμών της μεταβλητής με χρονική υστέρηση. Το υπόδειγμά μας είναι γραμμικό και έχει τη μορφή, = a +1 + b 1 + cx t όπου, a, b>0, a+b<1 Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

25 Επίλυση με τη Μέθοδο της Παραγοντοποίησης = af + bf 1 + cx t ( 1 af bf 1 ) = cx t Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με -F/a, F 2 1 a F + b a = c a Fx t F 2 1 a F + b a = (F λ)(f µ) = y ( t F 2 (λ + µ)f + λµ ) = c a Fx t Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

26 Το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο και οι Ρίζες λ και μ είναι οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της, F 2 1 a F + b a ισχύει ότι, λ+μ=1/a, λμ=b/a. Είναι απλό να δείξει κανείς ότι η μία ρίζα, είναι μικρότερη από τη μονάδα (θα υποθέσουμε ότι αυτή είναι η λ) και η άλλη (η μ) είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα. Φ(φ) = φ 2 1 a φ + b a Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

27 Το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο και οι Ρίζες Φ(φ) = φ 2 1 a φ + b a Φ(0) = b a > 0, 1 a b Φ(1) = a Συνεπώς υπάρχει μία ρίζα λ μεταξύ μηδενός και μονάδας για την οποία Φ(λ)=0. Η δεύτερη ρίζα μ προσδιορίζεται από, μ=b/aλ. Θα έχουμε μ>1, εάν λ<b/a. Αυτό πράγματι ισχύει διότι, < 0 Φ b a = b(1 a b) a 2 < 0 Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

28 Επίλυση του Δευτεροβάθμιου Υποδείγματος με Ορθολογικές Προσδοκίες (F λ)(f µ) = c a Fx t Διαιρώντας τις δύο πλευρές με F(F-μ), λαμβάνουμε, ( 1 λf 1 ) = c a 1 µ F x t = c 1 aµ 1 µ 1 F x t = λc b 1 1 µ 1 F x t Κατά συνέπεια, = λ 1 + λc b 1 1 µ 1 F x = λy + λc t t 1 b s=0 1 µ s x t+s Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,

29 Η Θεμελιώδης Λύση του Δευτεροβάθμιου Υποδείγματος με Ορθολογικές Προσδοκίες Η θεμελιώδης λύση του δευτεροβάθμιου υποδείγματος με ορθολογικές προσδοκίες υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιμή της ενδογενούς μεταβλητής y είναι το προεξοφλημένο άθροισμα των προσδοκώμενων μελλοντικών τιμών της εξωγενούς μεταβλητής x, με συντελεστή προεξόφλησης 1/μ<1, ενώ η τιμή της ενδογενούς μεταβλητής εξαρτάται και από την τιμή της την προηγούμενη περίοδο, με συντελεστή λ<1. Για την επίλυση γενικότερων γραμμικών υποδειγμάτων με ορθολογικές προσδοκίες βλ. Blanchard and Kahn (1980). Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική,