quelles différences?

Développements asymptotiques raccordés et développement multi-échelle, quelles différences? G. VIAL IRMAR, ENS de Cachan, antenne de Bretagne avec S. Tordeux et M. Dauge 2 e journée d équipe d analyse numérique Rennes, 25 octobre 2007

Perturbations singulières Un modèle académique 2/24 couche limite Le comportement de u ε est régulier loin de 0, u ε singulier au voisinage de 0 0 δ L x δ 0 quand ε 0 Traditionnellement, 2 approches : Développement asymptotique multi-échelle (MSE), Développements asymptotiques raccordés (MAE).

Développement asymptotique multi-échelle 3/24 approximation globale de u ε sur [0,L], couche limite superposition de 2 développements : l un en variable physique/lente x, l autre en variable dilatée/rapide y = x/ε. u ε utilisation de fonctions de troncature. 0 δ L x u ε (x) ζ( x ε ) k 0 δ k (ε)u k (x) + χ(x) k 0 δ k (ε)uk ( x ε ). 1 0 ζ x 1 0 χ x δ k+1 (ε) = O(δ k (ε)) δ k+1 (ε) = O(δ k (ε)) (Ex. ε λ k,λ k ր) Le développement est valide partout, les termes coexistent dans la zone suppχ suppζ( ε ).

Développement asymptotique multi-échelle 4/24 u ε (x) ζ( x ε ) k 0 δ k (ε)u k (x) + χ(x) k 0 δ k (ε)uk ( x ε ). Avantages fournit une approximation de u ε sur [0,L] tout-entier, permet l obtention d estimations optimales du reste, méthode constructive rigoureuse. Inconvénients les termes u k et U k ne sont pas intrinsèques, mais dépendent de ζ et χ. Références Maz ya, Nazarov, Plamenevskij 79, Caloz, Costabel, Dauge, Bendali, Nicaise, Vial, etc.

Développements asymptotiques raccordés 5/24 Deux développements : u ε (x) k 0 δ k (ε)v k (x) loin de 0, (régulier, extérieur) u ε (x) δ k (ε)v k ( x ε ) proche de 0, (local, intérieur) k 0 Aucun des 2 n est valide sur [0,L], couche limite Il y a en général chevauchement dans une région de transition, dans laquelle ils doivent u ε être raccordés. 0 δ L x

Développements asymptotiques raccordés 6/24 Avantages u ε (x) k 0 δ k(ε)v k (x) loin de 0, k 0 δ k (ε)v k ( x ε ) proche de 0. construction intrinsèques des termes v k et V k, méthode largement usitée dans les applications. Inconvénients justification parfois peu convaincante des conditions de raccord, pas d estimations immédiates du reste. Références Van-Dyke 75, Leguillon-Sanchez-Palencia 87, Il lin 92, Joly-Tordeux 06.

Comparaison MSE/MAE dans un cas modèle 7/24 Plan de l exposé I. Le problème du coin arrondi II. MSE : dérivation des termes et estimations III. MAE : dérivation des termes et estimations IV. Comparaison des développements

Rappel sur la théorie des coins 8/24 α Ω 0 u 0 = f dans Ω 0, u 0 = 0 sur Ω 0, avec suppf Ω 0. Théorème. [cf. Kondrat ev 67, Grisvard 85] n u 0 = c kλ s kλ + u 0,n, k=1 avec λ = π/α, et c kλ R, coefficients de singularité, s kλ = r kλ sin(kλθ), fonction singulière, Remarque. si α = π, c est Taylor! Si α > π, s λ / H 2 (Ω 0 ), si α < π, s λ H 2 (Ω 0 ). u 0,n H (n+1)λ 0, partie régulière.

Le problème du coin arrondi 9/24 α Ω 0 u 0 = f dans Ω 0, u 0 = 0 sur Ω 0, avec suppf Ω 0. ε α Ω ε u ε = f dans Ω ε, u ε = 0 sur Ω ε. Question : que se passe-t-il si on régularise le coin à l échelle ε? u ε est complètement régulier... mais doit être proche de u 0 ; comment apparaissent les singularités à la limite?

Description géométrique 10/24 Ω 0 α α K 1 α ω Ω 0 coïncide avec K à l origine (i.e. x < r ). ω coïncide avec K à l infini (i.e. y > r ). Ω ε = { x Ω 0 ; x > εr } { x εω ; x < r }, Ω ε Ω 0 quand ε 0, Ω ε ε ω quand ε 0, ε α Ω ε

Autres géométries possibles 11/24 On peut rogner le coin de diverses manières... Ω ε Ω ε Ω ε ε α ε α ε α On peut prendre autre chose qu un secteur pour K... Ω 0 ω Ω ε O

Autres géométries possibles 12/24 On peut rogner le coin de diverses manières... Ω ε Ω ε Ω ε ε α ε α ε α On peut changer K... Qui peut le plus, peut le moins... Ω ε α = π ε O Ω ε Limitation : les motifs considérés sont autosimilaires.

Développement multi-échelle (MSE) Construction des premiers termes (1/4) 13/24 Ω ε = { } { x Ω 0 ; x > εr x εω ; x < r }, u ε = f dans Ω ε, (P ε ) u ε = 0 sur Ω ε. Un bon début de développement semble être u 0, solution de (P 0 ), mais u 0 n est pas définie sur Ω ε! on tronque avec ζ : ζ(y) = 0 si y < r et 1 si y > 2r. u ε (x) = ζ( x ε )u 0(x) + r 0 ε(x). il faut évaluer le reste r 0 ε... 1 0 ζ x

Développement multi-échelle (MSE) Construction des premiers termes (2/4) 14/24 Par construction, r 0 ε vérifie le problème r 0 ε = ϕ 0 ε dans Ω ε, r 0 ε = 0 sur Ω ε, avec ϕ 0 ε(x) = f(x) x [ ζ( x ε )u 0(x) ] = ε 2 y ζ( x ε )u 0(x) 2ε 1 y ζ( x ε ) xu 0 (x). supp(ϕ 0 ε) est contenu dans la couronne εr < x < 2εr. On va exploiter le scaling y = x ε en développant u 0 en fonctions homogènes : u 0 (x) = b 0 λ sλ (x) + b 0 2λ s2λ +

Développement multi-échelle (MSE) Construction des premiers termes (3/4) 15/24 En utilisant u 0 (x) = b 0 λ sλ (x) + b 0 2λ s2λ +, on obtient ϕ 0 ε(x) = ε 2 y ζ( x ε )u 0(x) 2ε 1 y ( x ε ) xu 0 (x) = ε 2 y ζ(y)u 0 (εy) 2ε 1 y ζ(y) x u 0 (εy) = ε λ 2 b 0 λ [ y,ζ] s λ (y) ε 2λ 2 b 0 2λ [ y,ζ] s 2λ (y) + le terme dominant ne fait intervenir que la variable y, on introduit donc le profil U λ, solution de U λ = b 0 λ [ y,ζ]s λ dans ω, U λ = 0 sur ω. 1 α ω Lemme. Un tel U λ existe, est unique et on a le développement à l infini U λ (y) = B λ λ s λ (y) + B λ 2λ s 2λ (y) +

Développement multi-échelle (MSE) Construction des premiers termes (4/4) 16/24 Un nouveau début de développement s écrit u ε (x) = ζ( x ε )u 0(x) + χ(x)ε λ U λ ( x ε ) + rλ ε, avec χ(x) = 1 si x < r et 0 si x > 2r. A-t-on avancé? Oui, car rε λ = [ x,ζ( ε )]u 0(x) ε λ 2 χ(x) b 0 λ }{{} [ y,ζ]s λ ( x ε ) + ελ [,χ]u λ ( x ε ) =1 [ x,ζ( ε )]u 0(x) = p 1 εpλ 2 b 0 pλ [ y,ζ] s pλ (y) +, ε λ [,χ]u λ ( x ε ) = ε2λ B λ λ ϕλ (x) +, donc r λ ε = ε 2λ 2 b 0 2λ [ y,ζ] s 2λ ( x ε ) + ε2λ B λ λ ϕλ (x) +

Développement multi-échelle (MSE) Le développement complet Théorème. u ε admet le développement 17/24 avec n 1 u ε (x) = ζ( x ε ) l=0 ε lλ u lλ (x) + χ(x) n 1 l=1 ζ( ε )ulλ H 1 (Ω ε ) C et χu lλ ( ε ) H 1 (Ω ε ) C, ε lλ U lλ ( x ε ) + r(n 1)λ ε (x), et l estimation optimale du reste r (n 1)λ ε H 1 (Ω ε ) Cε nλ. Preuve. Par construction, r (n 1)λ ε L2 (Ω ε ) Cε nλ 1. À l aide d une estimation a priori sur (P ε ) indépendante de ε, on obtient r (n 1)λ ε H1 (Ω ε ) Cε nλ 1, qu on améliore en écrivant r (n 1)λ ε = r (n+1)λ ε + O(ε nλ ).

Raccordement de développements asymptotiques (MAE) Construction des termes 18/24 u ε (x) l 0 ε lλ v lλ (x) loin de 0, u ε (x) ε lλ V lλ ( x ε ) proche de 0, l 0 On injecte les développements dans (P ε ), à la limite ε 0, on obtient v lλ = fδl 0 dans Ω 0, V lλ = 0 dans ω, v lλ = 0 sur Ω 0. V lλ = 0 sur ω. On ne peut imposer à v lλ et v lλ d être variationnels, sinon ils seraient nuls! on doit permettre à v lλ d exploser en 0 et v lλ à l infini. Les 2 développements doivent être raccordés...

Raccordement de développements asymptotiques (MAE) Conditions de raccord (1/2) 19/24 Les différents termes se développent en fonctions singulières v lλ V lλ = p 1 = p 1 [ a lλ pλ s pλ + b lλ pλ slλ], [ A lλ pλ spλ + Bpλ lλ s lλ]. On souhaite faire coïncider les deux développements dans une zone où x 1 et x ε 1. l 0 ε lλ v lλ (x) = l 0 ε lλ p 1 l 0 ε lλ V lλ ( x ε ) = l 0 ε lλ p 1 [ ] a lλ pλ s pλ (x) + b lλ pλ slλ (x) [ ] A lλ pλ spλ ( x ε ) + Blλ pλ s lλ ( x ε )

Raccordement de développements asymptotiques (MAE) Conditions de raccord (2/2) 20/24 On égale les deux expressions l 0 ε lλ v lλ (x) = l 0 ε lλ p 1 l 0 ε lλ V lλ ( x ε ) = l 0 ε lλ p 1 [ ] a lλ pλ s pλ (x) + b lλ pλ slλ (x) [ ] A lλ pλ spλ ( x ε ) + Blλ pλ s lλ ( x ε ) en utilisant l homogénéité des fonctions singulières : s µ ( x ε ) = ε µ s µ (x), a lλ pλ A lλ pλ = B (l p)λ pλ = b (l p)λ pλ (0 si l < p), (0 si l < p). Principe de raccord de Van-Dyke : the m-term inner expansion of (the n-term outer expansion) = the n-term outer expansion of (the m-term inner expansion).

Raccordement de développements asymptotiques (MAE) Estimation d erreur 21/24 Pour obtenir une estimation d erreur, il faut une approximation globale... soit η ε telle que η ε 0 et η ε ε +, ψ une troncature et û nλ ε (x) = ψ( x η ε ) n ε lλ v lλ (x) + ( 1 ψ( x η ε ) ) n ε lλ V lλ ( x ε ). l=0 Theorème. u ε û nλ ε (x) H 1 (Ω ε ) c ( η ε (n+1)λ l=0 + ( ε η ε ) (n+1)λ). l estimation est optimale pour η ε = ε, l erreur est alors en ε (n+1)λ/2. on peut retrouver les erreurs optimales en ε (n+1)λ localement dans chaque zone (proche de 0 et loin de 0).

Comparaison des développements (1/2) 22/24 n 1 (MSE) u ε (x) = ζ( x ε ) l=0 ε lλ u lλ (x) + χ(x) n 1 l=1 ε lλ U lλ ( x ε ) + r(n 1)λ ε (x) (MAE) u ε (x) 0 ε lλ v lλ (x) et u ε (x) ε lλ V lλ ( x ε ). l 0 À l aide des estimations locales optimales, En fait, on peut montrer les relations l 0 u lλ = v lλ loin de 0, U lλ = V lλ près de 0. u lλ (x) = v lλ (x) χ(x) U lλ (y) = V lλ ζ(y) l 1 p=1 l p=1 a lλ pλ s pλ (x), A lλ pλ spλ (y).

Comparaison des développements (2/2) 23/24 u lλ (x) = v lλ (x) χ(x) U lλ (y) = V lλ ζ(y) l 1 p=1 l p=1 a lλ pλ s pλ (x), A lλ pλ spλ (y). Développement multi-échelle Développements raccordés u ε u ε 0 L x 0 L x

Conclusions 24/24 Les deux développements fournissent les mêmes informations locales, l obtention d estimations pour MAE est une technique MSE...! on peut passer d un développement à l autre en ajoutant/retranchant des fonctions singulières, le choix est une question de goût...

Annexe Mécanisme de passage MAE vers MSE û ε ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) + ( 1 ψ( x η ε ) ) ε lλ V lλ ( x ε ). On injecte l expression v lλ (x) = u lλ (x) + χ(x) l 1 p=1 l 0 a lλ pλ s pλ (x), d où ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) = ψ( x η ε ) l =0ε lλ u lλ (x) + ψ( x η ε )χ(x) l 0 l 1 p=1 ε λl a lλ pλ s pλ (x)

Annexe Mécanisme de passage MAE vers MSE û ε ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) + ( 1 ψ( x η ε ) ) ε lλ V lλ ( x ε ). On injecte l expression v lλ (x) = u lλ (x) + χ(x) l 1 p=1 l 0 a lλ pλ s pλ (x), d où ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) = ψ( x η ε ) l =0 ε lλ u lλ (x) + ψ( x η ε )χ(x) l 0 l 1 p=1 ε λ(l p) a lλ pλ s pλ ( x ε )

Annexe Mécanisme de passage MAE vers MSE û ε ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) + ( 1 ψ( x η ε ) ) ε lλ V lλ ( x ε ). On injecte l expression v lλ (x) = u lλ (x) + χ(x) l 1 p=1 l 0 a lλ pλ s pλ (x), d où ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) = ψ( x η ε ) l =0ε lλ u lλ (x) + ψ( x η ε )χ(x) j 0 p 1 ε λj a (j+p)λ pλ s pλ ( x ε )

Annexe Mécanisme de passage MAE vers MSE û ε ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) + ( 1 ψ( x η ε ) ) ε lλ V lλ ( x ε ). On injecte l expression v lλ (x) = u lλ (x) + χ(x) l 1 p=1 l 0 a lλ pλ s pλ (x), d où ψ( x η ε ) l 0 ε lλ v lλ (x) = ψ( x η ε ) l =0ε lλ u lλ (x) + ψ( x η ε )χ(x) j 0 p 1 ε λj a (j+p)λ pλ s pλ ( x ε }{{} ) =Bpλ lλ soit une contribution en variable rapide y.