1 Γενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου (σελ. 16 13) 1. Ο αριθµός των παιδιών σε ένα δείγµα 8 οικογενειών µιας πόλης δίνονται στον πίνακα. Αριθµός παιδιών 1 3 4 5 6 Οικογένειες 1 5 1 6 5 α) Να βρείτε τη µέση τιµή,την διάµεση τιµή, και την τυπική απόκλιση του αριθµού των παιδιών. β) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Λύση Ο πίνακας κατανοµής συχνοτήτων συµπληρωµένος µε τις κατάλληλες στήλες είναι ο παρακάτω α) x = Αριθ. Παιδ. x i Πλήθος οικ. ν i x i ν i x i ν i f i % F i % 1 1,5 1,5 1 5 5 5 31,5 43,75 4 8 5, 68,75 3 1 36 18 15, 83,75 4 6 4 96 7,5 91,5 5 5 5 15 6,5 97,5 6 1 7,5 1, Σύνολο 8 16 56 1, --------- 7 1 16 x iν i = =, 5 ν 1= 1 8 παιδιά Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 8, η διάµεσος δ θα είναι ίση µε το ηµιάθροισµα της 4 ης και 41 ης των παρτηρήσεων. Από τον πίνακα συχνοτήτων βλέπουµε ότι η 4 η και η 41 η παρατηρήσεις έχουν η η τιµή οπότε δ = 4 +41 = + = παιδιά 7 S = ( x 7 iν i ) 1 i= 1 1 16 i = i= 1 ν x ν - i ν (56 8 8 ) =,4 Άρα η τυπική απόκλιση είναι S =, 4 =1,49 περίπου παιδιά. β) Το διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συνχοτήτων είναι τα παρακάτω
fi% 35 3 διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων 5 15 1 5 1 3 4 5 6 αριθµ. Παιδ. Fi% 1 8 6 πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων 4 1 3 4 5 6 αριθµός παιδιών
3. Ο αριθµός των τυπογραφικών λαθών που βρέθηκαν στις 6 σελίδες ενός κειµένου στην πρώτη του διόρθωση ήταν 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 4 6 4 3 1 1 4 5 4 3 3 7 6 4 3 1 1 3 3 3 4 4 5 6 8 3 9 3 1 4 4 5 5 6 6 7 8 9 5 α) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε πέντε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους και να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε τα ιστογράµµατα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων και τα αντίστοιχα πολύγωνα συχνοτήτων γ) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο, την κορυφή και την τυπική απόκλιση. Λύση α) Ο πίνακας συχνοτήτων συµπληρωµένος µε τις κατάλληλες στήλες είναι ο Κλάσεις Κετρ.τιµή Συχν. Αθρ.συχν. xi ν i xiν i [, ) x i ν i Ν i [,) 1 1 1 1 1 [,4) 3 17 7 51 153 [4,6) 5 18 45 9 45 [6,8) 7 11 56 77 539 [8,1) 9 4 6 36 34 Σύνολο --------- 6 ---------- 64 1476 β) ν i 16 1 ιστόγραµµα και πολύγωνο συχνοτήτων 8 4 4 6 8 1 αριθµός λαθών Για να φτιάξουµε το πολύγωνο συχνοτήτων, θεωρούµε αριστερά της πρώτης κλάσης και δεξιά της τελευταίας κλάσης δύο ακόµα κλάσεις µε συχνότητα, και ενώνουµε τα µέσα των πάνω βάσεων όλων των κλάσεων. Η τεθλασµένη γραµµή που προκύπτει είναι το πολύγωνο συχνοτήτων. Στο σχήµα µας το πολύγωνο είναι η γραµµή
4 Νι 6 5 4 Ιστόγραµµα και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. 3 Το πολύγωνο είναι η τεθλασµένη γραµµή µε την µορφή 1 4 6 8 1 αριθµός λαθών γ) x = s = 5 1 64 x iν i = = 4,4 ν i= 1 6 1 6 5 xi ν i 5 i= 1 x ν i i i= 1 ν λάθη = 1 (1476 64 ) = 5,4 6 6 Οπότε η τυπική αποκλιση είναι S = 5, 4 =,9 λάθη περίπου Για να βρούµε τη διάµεσο θα κατασκευάσουµε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών % (F i %) συχνοτήτων και θα δούµε ποια τιµή αντιστοιχεί στο 5% των παρατηρήσεων. Συµπληρώνουµε τον πίνακα συχνοτήτων µε τις στήλες των f i % και F i % οπότε έχουµε Κλάσεις Συχνοτ. Σχ.συχν Aθρ. Σχ συχν [, ) ν i f i % F i % [ ) 1 16.7 16,7 [,4) 17 8,3 45, [4,6) 18 3, 75, [6, 8) 11 18,3 93,3 [8, 1) 4 6,7 1, σύνολο 6 1 --------
5 Το ιστόγραµµα και το πολύγωνο των F i % είναι το παρακάτω F i % 1 8 6 5 4 4 δ 6 8 1 αριθµός λαθών από το παραπάνω σχήµα βλέπουµε ότι η διάµεσος δ είναι : δ = 4,3 λάθη περίπου
6 4. Τα εργατικά ατυχήµατα που συνέβησαν το 199 και το 1994 δίνονται στον παρακάτω πίνακα. α) Να απεικονίσετε τα δεδοµένα σ ένα ραβδόγραµµα συχνοτήτων β) Πόσα ατυχήµατα συνέβησαν κατά µέσο όρο τα έτη 199 και 1994; γ) Το 1,4% των ατυχηµάτων του 199 και το,1% του 1994 ήταν θανατηφόρα. Πόσα ατυχήµατα ήταν θανατηφόρα για τα αντίστοιχα έτη; Ποιο είναι το συµπέρασµασας ; Λύση α) Το ραβδόγραµµα συχνοτήτων είναι το παρακάτω Μήνες 199 1994 Ιαν-Φεβρ 157 69 Μαρτ-Απρλ 97 716 Μια-Ιουν 1114 89 Ιουλ-Αυγς 1 783 Σεπτ-Οκτ 941 89 Νοεµ- εκ 775 636 Σύνολο 5834 4465 1 1 8 6 4 ΙΑΝ-ΦΕΒ ΜΑΡ-ΑΠΡ ΜΑΙ-ΙΟΥ ΙΟΥ-ΑΥΓ ΣΕΠ-ΟΚΤ ΝΟΜ- ΕΚ 199 1994 β) 5834 Το 199 συνέβησαν κατά µέσο όρο x = = 486 ατυχήµατα περίπου ανά µήνα 1 και το 1994 x = 4465 = 37 ατυχήµατα περίπου ανά µήνα 1 γ) 1, 4 Τα θανατηφόρα ατυχήµατα του 199 ήταν : 5834 1,4%= 5834 = 8 περίπου 1,1 και το 1994 ήταν : 4465,1% = 4465 = 94περίπου 1 Παρατηρούµε ότι, ενώ συνολικά το 1994 είχαµε λιγότερα ατυχήµατα, σε αυτό το έτος είχαµε τα ποιο πολλά θανατηφόρα.
Ακόµα παρατηρούµε ότι το 199 είχαµε κατά την διάρκεια του έτους µία µικρή πτώση των ατυχηµάτων ( από 3 ο δίµηνο και µετά), ενώ το 1994 ο αριθµός των ατυχηµάτων ήταν περίπου σταθερός ανά δίµηνο. 7
8 5. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την διάρκεια ζωής δύο τύπων ηλεκτρικών συσκευών Α και Β σε χιλίάδες ώρες. Μια ηλεκτρική συσκευή τύπου Α στοιχίζει 3 ευρώ. α) Ποιόν τύπο ηλεκτρικής συσκευής θα προτιµήσετε, αν µία συσκευή τύπου Β στοιχίζει : i) 18 ευρώ ii) 19 ευρώ iii) ευρώ. Να αιτιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας. β) Ποιου τύπου οι ηλεκτρ. συσκευές παρουσιάζουν µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς την διάρκεια λειτουργίας τους ; Λύση α) Για να µπορέσουµε να δούµε ποια συσκευή µας συµφέρει να επιλέξουµε θα πρέπει να βρούµε ένα κατάλληλο µέτρο σύγκρισης. Ένα τέτοιο µέτρο είναι το κόστος ανά ώρα λειτουργίας. Η µέση διάρκεια ζωής των συσκευών τύπου Α είναι x 1 14 3 3 36 A = + + + + = 3χιλιάδες ώρες = 3 ώρες 5 Οπότε κατά µέσο όρο µία τέτοια συσκευή στοιχίζει ανά ώρα λειτουργίας : 3 ευρώ =,1ευρώ/ώρα =1 λεπτό / ώρα 3 ώρες Η µέση διάρκεια ζωής των συσκευών τύπου Β είναι x 1 13 16 3 B = + + + + = 19 χιλιάδες ώρες = 19 ώρες 5 εποµένως κατά µέσο όρο µία συσκευή τύπου Β στοιχίζει ανά ώρα λειτουργίας. 18 ευρώ i) =,95 ευρώ / ώρα =,95λεπτά / ώρα 19 ώρες 19 ευρώ ii) =, 1ευρώ / ώρα = 1λεπτό / ώρα 19 ώρες ευρώ iii) =, 15ευρώ / ώρα = 1,5 λεπτά /ώρα 19 ώρες Όπως βλέπουµε, όταν η συσκευή τύπου Β στοιχίζει 18 ευρώ µας συµφέρει να επιλέξουµε τύπου Β συσκευή διότι στοιχίζει λιγότερο ανά ώρα λειτουργίας Όταν στοιχίζει 19 ευρώ, τότε όποιον τύπο και να επιλέξουµε το ίδιο είναι και όταν στοιχίζει ευρώ πρέπει να επιλέξουµε τον τύπο Α, διότι αυτός είναι φτηνότερος ανά ώρα λειτουργίας. Α Β 1 1 14 13 3 16 3 36 3 β) Βρίσκουµε τους συντελεστές µεταβολής των δύο περιπτώσεων. (1 3) + (14 3) + (3 3) + (3 3) + (36 3) 4 SA = = = 84 5 5 S 9,165 Άρα SA = 84= 9,165 οπότε CV A = A = =,398 = 39,8% xa 3
9 (1 19) + (13 19) + (16 19) + ( 19) + (3 19) S 7 B = = = 54,4 5 5 SB 7,376 Άρα SB = 54,4= 7,376 οπότε CV B = = =,388 = 38,8% xb 19 Επειδή CV B < CV A, οι ηλεκτρικές συσκευές τύπου Β παρουσιάζουν µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς τις ώρες λειτουργίας τους.
1 6. Σε δειγµατοληπτική έρευνα που έγινε στις 15 χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε.Ε) µία εβδοµάδα πρίν και µία εβδοµάδα µετά το Συµβούλιο Κορυφής ( Σ.Κ) που έγινε τον Μάϊο του 1998, τα ποσοστά των ατόµων που αισθάνονταν πολύ καλά πληροφορηµένα για το ενιαίο νόµισµα (ευρώ) δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Χώρα Πριν Μετά Χώρα Πριν Μετά Σ.Κ Σ.Κ Σ.Κ Σ.Κ Αυστρία 5 47 Ισπανία 3 39 Βέλγιο 55 55 Ιταλία 49 39 Βρετανία 4 35 Λουξε/γο 56 6 Γαλλία 61 7 Ολλανδία 56 55 Γερµανία 44 48 Πορτο/λια 18 ανία 51 53 Σουηδία 4 38 Ελλάδα 6 Φινλανδία 45 45 Ιρλανδία 41 9 α) Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε µορφή ραβδογράµµατος β) Να βρεθεί το µέσο ποσοστό των πολύ καλά ενηµερωµένων για τις 15 χώρες της Ε.Ε πρίν και µετά το Σ.Κ, υπολογίζοντας i) τον αριθµητικό µέσο και ii) το σταθµικό µέσο ποσοστό µε βάση τους πληθυσµούς των 15 χωρών µελών της Ε.Ε. Ποιος από τους δύο µέσους είναι ο αντιπροσωπευτικότερος; α) Λύση Το ζητούµενο Ραβδόγραµµα είναι fi% 8 6 4 Αυστ Βελγ Βρετ Γαλ Γερ αν Ελλα.Ιρλ. Ισπ. Ιταλ Λουξ Ολν Πορτ Σουη Φινλ Πρίν το Σ.Κ Μετά το Σ.Κ β) i) Πρίν το Σ.Κ το µέσο ποσοστό των πολύ καλά ενηµερωµένων είναι π πριν 5+ 55+ 4+ 61+ 44+ 51+ 6+ 41+ 3+ 49+ 56+ 56+ 18+ 4+ 45 66 = = = 44,1% 15 15 Μετά το Σ.Κ το µέσο ποσοστό των πολύ καλά ενηµερωµένων είναι
11 π µετα 47+ 55+ 35+ 7 +... + + 38+ 45 659 = = = 43,9% 15 15 ii) Για να βρούµε τους σταθµικούς µέσους µε συντελεστές βαρύτητας τους πληθυσµούς των αντίστοιχων χωρών θα µας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας στον οποίο αναφέρονται οι πληθυσµοί των χωρων. Πρώτα θα βρούµε τον σταθµικό µέσο πριν το Σ.Κ Χώρα Ποσοστό Πληθυσµός π i w i π i πριν w i Αυστρία 5 8.4. 4.. Βέλγιο 55 1.131. 557.5. Βρετανία 4 58.76..331.4. Γαλλία 61 58.7 3.539.647. Γερµανία 44 81.553. 3.588.33. ανία 51 5.16. 66.16. Ελλάδα 6 1.44. 71.49. Ιρλανδία 41 3.577. 146.657. Ισπανία 3 39.17. 1.175.1. Ιταλία 49 57.48..85.15. Λουξ/γο 56 47..79. Ολλανδί. 56 15.43. 863.688. Πορτ/λια 18 9.91. 178.416. Σουηδία 4 8.818. 35.7. Φιλανδία 45 5.99. 9.455. Σύνολο 66 371.339. 16.79.71. Οπότε ο σταθµικός µέσος πρίν το Σ.Κ είναι i πi wi i= 1 π 16.79.71. wπριν = = = 45% περίπου 15 w 371.339. i= 1 i ουλεύοντας µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι ο σταθµικός µέσος µετά το Σ.Κ είναι π wµετά = 46% Είναι φανερό ότι ποιο αντιπροσωπευτικός είναι ο σταθµικός µέσος
1 7. Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται οι χρόνοι ( σε λεπτά και δευτερόλεπτα ) των νικητών των Ολυµπιακών αγώνων στην κολύµβηση στα 4 µέτρα ελευθέρας ανδρών και γυναικών. Να σχεδιάσετε το χρονόγραµµα για κάθε φύλλο. Τι συµπέρασµα βγάζετε ; Έτος Χρόνος Χρόνος Ανδρών Γυναικών Έτος Χρόνος Χρόνος Ανδρών Γυναικών 194 6:16. - 1956 4:7.3 4:54.6 198 5:36.8-196 4:18.3 4:5.6 191 5:4.4-1964 4:1. 4:43.3 19 5:6.8-1968 4:9. 4:31.8 194 5:4. 6:. 197 4:.3 4:19.4 198 5:1.6 5:4.8 1976 3:51.9 4:9.9 193 4:48.4 5:8.5 198 3:51.3 4:8.8 1936 4:44.5 5:6.4 1984 3:51. 4:7.1 1948 4:41. 5:17.8 1988 3:47. 4:3.9 195 4:3.7 5:1.1 199 3:45. 4:7. Μετατρέπουµε τους χρόνους σε δευτερόλεπτα και για τους άνδρες και για τις γυναίκες οπότε έχουµε τα παρακάτω χρονογράµµατα. χρόνος (sec) 4 35 3 5 15 1 5 194 8 1 16 4 8 3 36 4 44 48 5 56 6 64 68 7 76 8 84 88 9 Γυναίκες Άνδρες Παρατηρούµε ότι µε την πάροδο του χρόνου οι αθλητές γίνονται ταχύτεροι