ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΪΟΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΪΟΣ 018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Α1.Έστω F()() x c x με h 0 έχουμε F()()()()()() x h F x c x h c x x h x c h h h άρα F()()()()()() x h F x x h x x h x lm lm[ c ] c lm() c x h0 h h0 h h0 h τελικά c ()() x c x. Α. Αθροιστική Συχνότητα μιας τιμής x της ποσοτικής μεταβλητής Χ ονομάζεται ο αριθμός : 1..., = 1,,,, κ Εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες (το πολύ ίσες) από την τιμή x, = 1,,,, κ. Α3. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) Σ

2 ΘΕΜΑ Β Β1. Ο πίνακας που προκύπτει συμπληρωμένος : x Συχνότητα Σχετική (%) % Αθροιστική Αθροιστική σχετική F x Σχετική ,3 0 0, ,4 0,1 10 0, 10 0, ,8 4 0, , Σύνολο Πιο αναλυτικά : ν = v v 30 % v v4 v4 v v Σύμφωνα με τον τύπο % συμπληρώνεται η 3 η στήλη : v v % v 0 % % % % % % 100 % Σύμφωνα με τον τύπο 1 συμπληρώνεται η 4 η στήλη : Σύμφωνα με τον τύπο F F 1 συμπληρώνεται η 4 η στήλη : (προσθέτω την στήλη με την σχετική ) F1 1 0,3 F F1 0,3 0,1 0,4 F4 F3 4 0, 0,3 0,8 F3 F 3 0,4 0,1 0, F F4 0,8 0, 1

3 Β. Η μέση τιμή είναι : x x x 0 Για τη διάμεσο : Οι παρατηρήσεις είναι 0 ( άρτιος), οπότε η διάμεσος είναι η μέση τιμή των δυο μεσαίων ( η - 6 η ) παρατηρήσεων. Οι πρώτες παρατηρήσεις είναι ίσες με και από την 6 η έως και την 40 η παρατήρηση είναι ίσες με 3. Άρα, 3, Β3. α) μαθητές β) 1 3 % % % % B4. x Συχνότητα Σχετική (%) % Αθροιστική Αθροιστική σχετική F x x x x x x x v , , , , Σύνολο x x v 1 10 s,4 v 0 Αφού s,4, η τυπική απόκλιση είναι s s, 4 1, Επομένως, s 1, CV 0, 7 7% (ανομοιογενές > 10%) x 3

4 Έστω ότι είναι c 0 η ελάχιστη αύξηση των τιμών του δείγματος ώστε το δείγμα που θα προκύψει να είναι ομοιογενές. Η νέα μέση τιμή θα είναι x ' x c c Η νέα τυπική απόκλιση θα είναι s s 1, Επομένως ισχύει: s 1, Ο νέος συντελεστής μεταβολής θα είναι CV x c 1 Για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει CV , 1 CV c 1 c c 10 Άρα η ελάχιστη τιμή που πρέπει να προσθέσουμε στις τιμές του δείγματος, ώστε το δείγμα που θα προκύψει να είναι ομοιογενές είναι c = 13. ΘΕΜΑ Γ x 4x Γ1. lm x3 x (απροσδιοριστία) Παραγοντοποιώ τον αριθμητή : α = 1 β = 4 γ = 3 x 1, x x 1 x x x x Παραγοντοποιώ τον παρονομαστή : x 9 x 3 x 3x 3 x 3 x 1 x 4x 3 x 1 1 lm lm lm x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x

5 Για x x x x 3 : 3 Η έχει πεδίο ορισμού 1 1 x x x x 3x x 1 0 x x, x 3 3 Είναι Γνωρίζω ότι : 1 x x x 6x 3 Γ. 3 x x x 6 x 0 x x 6 0 Βρίσκω τις ρίζες της : α = 1 β = γ = 6 x , 1 x x 3 Ο πίνακας προσήμου της και μονοτονίας της είναι : x 3 x + x τ.ε. τ.μ. Η είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και3,. Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,3. Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1 =, το

6 Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = 3, το Γ3. Η εξίσωση εφαπτομένης στο, είναι ' y x 0 y 0 x y 0 0 y Γ4. Για να βρούμε την τετμημένη x 0 όπου γίνεται μέγιστος ο συντελεστής διεύθυνσης θα πρέπει να βρούμε που παρουσιάζει μέγιστο η δεύτερη παράγωγο για να βρούμε που παρουσιάζει ακρότατο η '' x x x 6 ' x x x x 6, άρα θα βρούμε την '. Βρίσκω τις ρίζες της : '' x 0 x 0 x x Ο πίνακας προσήμου της και μονοτονίας της είναι : x '' x + ' x τ.μ. Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η είναι γνησίως φθίνουσα στo διάστημα, 6

7 Η παρουσιάζει μέγιστο στο x 0. Άρα η εφαπτομένη παρουσιάζει μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης στο x 0. ΘΕΜΑ Δ Δ1. Έχουμε lm x Άρα έχουμε x3 x3 lm x lm (απροσδιοριστία) x x 9 x 13 4 x 9 lm x lm lm x3 x3 x 13 4 x3 x 13 4 x 13 4 x 13 4 x3 x3 x 3 x 3 x 13 4 x 3 x 3 x 13 4 lm x 1316 x 3 x 3 x 13 4 x x lm lm x3 x 3 x Δ. Για να είναι η συνεχής στο x0=3 πρέπει lm x 3 x3 x3. lm x 3 48 a 8 a 48 8 a 0. Δ3. Έχουμε x 1 κ α Σύνολο Άρα v

8 v4 0 και v1 v v3 v4 v Επομένως x Σύνολο 40 Το εύρος είναι R xmax xmn Δ4. Το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: Επιμέλεια: Τοπουζίδου Μαρίνα Αναστασιάδου Ειρήνη 8