= +. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α. Μονάδες 7.

Transcript

1 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 06 ΘΕΜ ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ (ΝΕΟ Ι ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ). ν και είναι δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητες τους ισχύει: Ρ( )-Ρ() Μονάδες 7. Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. 3. Έστω f µία συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το. Πότε λέµε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A; 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) ν και Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Β, τότε για τις πιθανότητές τους ισχύει Ρ() Ρ(Β). β) Ο σταθµισµένος αριθµητικός µέσος ή σταθµικός µέσος είναι µέτρο διασποράς. γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες, τότε ισχύει ότι: ( f( ) g( ))' f '( ) g( ) f( ) g '( ) +. δ) Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. ε) ν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f ()>0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μονάδες 0 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

2 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 06 ΘΕΜ Β ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο ( ) 3 5 f 6 Β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. +, R. 3 Μονάδες 9 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της (0, f(0)). Β3. Να υπολογίσετε το όριο ΘΕΜ Γ ( ) f ' lim. + Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μεταξύ των οικογενειών µε τρία παιδιά επιλέγουµε τυχαία µία οικογένεια και εξετάζουµε τα παιδιά της ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Γ. Να προσδιορίσετε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος χρησιµοποιώντας ένα δενδροδιάγραµµα. Γ. Να παρασταθούν µε αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόµενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: : «το πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθµός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθµό των αγοριών» Γ: τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου». Μονάδες 6 Γ3. Υποθέτουµε ότι ο δειγµατικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχοµένων: ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

3 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 06 Β, Ε Β, ΖΓ-Ε β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχοµένων: Η: «δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα, Β» Θ: «πραγµατοποιείται ακριβώς ένα από τα, Β» ΘΕΜ (µονάδες 9) (µονάδες 6) Μονάδες 5 Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραµµα, έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιµή i [8, ) 0 [, ) 4 5 [, ) 0 Συχνότητα v i [, ) v 4 ΣΥΝΟΛΟ v. Να αποδείξετε ότι c4.. ν η µέση τιµή των χρόνων είναι 4, να αποδείξετε ότι v 4 5 (µονάδες 4) και στη συνέχεια να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συµπληρωµένο (µονάδες ). Μονάδες 6 3. ν οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατενεµηµένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραµµα. Μονάδες 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 3

4 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s4 και να εξετάσετε αν το δείγµα των χρόνων είναι οµοιγενές. Μονάδες 6 5. ντικαθιστούµε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή µε έναν ταχύτερο και βρίσκουµε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραµµα στο 80% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την οµοιογένεια το καινούργιο δείγµα χρόνων. ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ. Θεωρια σχολικου βιβλιου σελ. 50. Θεωρια σχολικου βιβλιου σελ Θεωρια σχολικου βιβλιου σελ α)σ, β)λ, γ)σ, δ)σ, ε)λ ΘΕΜ Β Β.Η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιµη στο R µε f () Το πρόσηµο της f () φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: f () f () τ.µ τ.ε Στο η f παρουσιάζει τοπικο µέγιστο το f() 3 Στο 3 η f παρουσιάζει τοπικο ελάχιστο το f(3) 7 Β. Έστω ε: yλ+β η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτόµενης στο σηµείο (0,f(0)). ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 4

5 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 06 Iσχύει: f(0)- και λf (0)6. Το σηµείο C f άρα: 6 0+β β Άρα η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτόµενης είναι: y6- Β3. lim f ' ( ) + lim ( 6) 7. lim lim ( + )( 6) lim + ΘΕΜ Γ Γ. Ω {,,,,,,, } Γ. {,,, } Β {,,, } Γ {,,, } Γ3. α) I Β {,, } Ε U Β {,,,, } Ζ Γ Ε {, } Ν ( ) ( ) 3 Ν P, ( ) ( Ε) 5 Ν P Ε, ( ) ( Ζ) P Ζ Ν( Ω) 8 Ν( Ω) 8 Ν( Ω) 8 4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 5

6 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ ' P( Η) P( AU B) P( AUB). Ισχύει Θ (( A B) U ( B A) ) {, } P ( Θ) Ν Ν Ω ( Θ) ( ) 8 4 ΘΕΜ c. Έστω c το πλάτος των κλάσεων τότε: 8 + c + 4 3c c 4. 4 ι ινi 590+ ν4 4 ν 4 5 ν 45+ν4 Χρόνος εντρική Τιµή Συχνότητα (σε λεπτά) i v i [8, ) 0 0 [,6) 4 5 [6, 0) 8 0 [0, 4) 5 ΣΥΝΟΛΟ v50 3. φού οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες µέσα στις κλάσεις, το πλήθος των υπολογιστών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραµµα είναι: 3 ν +ν +ν 3+ν υπολογιστές Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιµή i Συχνότητα v v i ( ) i i [8, ) [,6) [6, 0) [0, 4) 5 30 ΣΥΝΟΛΟ v s Σ i vi 6. v 50 Οπότε ( ) Άρα s4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 6

7 ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛ ΙΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 06 s 4 CV 4 0,9>0,0 άρα το δείγµα είναι ανοµοιογενές. 5. Έστω y i οι νέες τιµές µε y i 0,8 i Οπότε y sy 0,8 s 0,8 Άρα CV y s s y CV άρα η οµοιογένεια δεν µεταβάλλεται. y ΤΙΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΕ Ο ΤΟΜΕΣ ΤΩΝ ΜΘΗΜΤΙΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΕΝΤΡΟ» Ι «ΝΘΡΩΠΙΣΤΙΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ Β. ΟΥΣΗΣ Π. - ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 7