(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΝΝΙΑ (9) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ) Λ ) Σ ) Λ v) Λ v) Σ ΘΕΜΑ Β Β Η ταχύτητα είναι: υ (t) = (t) = t t + Β Η ταχύτητα του σηµείου σε χρόνο t=sec είναι: υ()=m/sec Η ταχύτητα του σηµείου σε χρόνο t=sec είναι: υ()=m/sec Β Το σηµείο είναι (στιγµιαία) ακίνητο όταν : (t) (t) t t t t υ = = + 6 = + 6 = t = ή t = Άρα το σηµείο είναι ακίνητο ύστερα από sec και ύστερα από sec Β Το σηµείο κινείται στη θετική κατεύθυνση όταν η ταχύτητα του είναι θετική, δηλαδή για <t< και t>εποµένως το διάστηµα που διανύθηκε από το σηµείο είναι: Από t=sec ως t=sec: 8 S = = = m Από t=sec ως t=sec: S = = = = m Από t=sec ως t=sec: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ S = = = m Άρα το ολικό διάστηµα που έχει διανύσει το σηµείο είναι : 8 S = S + S + S = m ολ + + = ΘΕΜΑ Γ Γ α) Η πιθανότητα να πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Β είναι ( ) = = = ( ) P B P B P B P B,, P( B A) = P( A B ) = + Ακόµα γνωρίζουµε ότι P( B A) = P( B) P( A B) P( A B) = P( B) P( B A) + P( A B) = P( A B) = + + P( A B ) =, (, ) + Άρα η πιθανότητα να πραγµατοποιείται µόνο το ενδεχόµενο Α είναι P( A B) = P( A) P( A B ) = =, (, ) Οπότε η πιθανότητα να πραγµατοποιείται µόνο το Α ή µόνο το Β είναι ( A B ), ( A B ) ξένα + P A B B A = P( A B) + P( B A) = + = ηλαδή η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα του ενδεχοµένου να + f,, + πραγµατοποιείται µόνο το Α ή µόνο το Β είναι = ( ) β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και συνεχής στο (, ) ως ρητή πολυωνυµική µε ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = + =,, ( + ) ( ) f + + < Ο πίνακας µεταβολών είναι: χ + f - + f Η πιθανότητα να συµβαίνει µόνο το Α ή µόνο το Β γίνεται ελάχιστη όταν = + Η ελάχιστη πιθανότητα είναι P ( A B) ( B A) f ( ) + 6 = = = + + Γνωρίζουµε ότι = + = f f + P A B B A P( A B) + P( B A) P( A) P( A B) + P( B) P( A B) P A B P A B P A B + P A B + ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ Έστω Φ η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα του ενδεχοµένου να πραγµατοποιείται µόνο το Α Οπότε θα είναι P( A B) = Φ ( ) =, (, ) + Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιµη και συνεχής στο (, ) ως ρητή πολυωνυµική µε Φ = = =,, ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Η εφαπτοµένη (ε) της καµπύλης της Φ στο σηµείο Μ µε τετµηµένη είναι κάθετη στην ευθεία (δ) µε εξίσωση y + 8 = y = + λ λ = Φ ( ε δ ) = = + = + = 6 + = ή Επειδή (, ) ( + ) + = δηλαδή = ή = θα είναι = Για = τότε έχουµε 9 P( A B) = Φ = = = + = = = οπότε P( A B) P( A B) είναι η πιθανότητα να µην πραγµατοποιείται µόνο το ενδεχόµενo Α Γ α) Η πιθανότητα να πραγµατοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόµενα Α, Β είναι P( A B ) =, (, ) Εποµένως έχουµε + ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ( B) ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ P A άρα: A B Οπότε τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα + β) Έχουµε : Φ ( ) =, (, ) τη συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα να πραγµατοποιείται µόνο το ενδεχόµενο Α και έχουµε δείξει ήδη στο Γ ερώτηµα ότι Φ = < ( + ) Άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε η πιθανότητα να πραγµατοποιείται µόνο το ενδεχόµενο Α διαρκώς µειώνεται + η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα να + πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β Ακόµα έχουµε Γ Είναι g( ) =, (, ) P ( A) P ( A) P( A) ( P A ) ( P ( A) P( A) ) ( P( A) + ) ( P( A) ) ( P( A) ) διότι Άρα: P A + > P A = P A = = + = = P A B = g = = = = ηλαδή Οπότε η πιθανότητα να µην πραγµατοποιείται κανένα από τα ενδεχόµενα Α, Β είναι P( A B) = P( A B) = = 6 6 ΘΕΜΑ 68 =, =, % =, 8 = 8% Το δείγµα Γ ακολουθεί την κανονική κατανοµή ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ % % % % % % % % s s s + s + s + s Από την κανονική κατανοµή καταλαβαίνουµε ότι το,% των παρατηρήσεων έχουν τιµή µικρότερη του συνεπώς: s = και το 8% έχουν τιµή µικρότερη του συνεπώς: s = s = + s = Λύνουµε το σύστηµα: + s = s = s = 8 s = + = = 9 = δ Το,% των παρατηρήσεων του δείγµατος βρίσκεται κάτω από την τιµή: s = 9 = Έστω α το αριστερό άκρο της ης κλάσης του δείγµατος Γ και c το πλάτος των κλάσεων Θα ισχύει ότι: α + c = α + c = 9 c = c = και άρα: α= Συνεπώς οι κλάσεις του δείγµατος είναι: [ ), [ 7), [ 7 9), [ 9 ), [ ) f = e + = άρα (, ) Ν Η παράγωγος της συνάρτησης είναι: f = e + µε Έστω : y f ε = α +β η ζητούµενη εφαπτοµένη της C f α = = Ν ε άρα: = +β β = (, ) f = ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

7 ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Συνεπώς ( ε ) : y = Για = 8 έχουµε y = 8 = 6 Έστω ( η ) : y = κ + µ η ζητούµενη ευθεία Επειδή: λ λ = λ = συνεπώς: κ = λ = η ε η η Λ η άρα: 6 = 8+ µ µ = ( 8, 6) Συνεπώς ( η ) : y = + y = έχουµε: Για της ευθείας (ε) µε τον για ) Το πολύγωνο συχνοτήτων είναι: = + = άρα: Μ (, ) η ε άρα: y = έχουµε Οµοίως για το σηµείο τοµής = = συνεπώς: Κ (, ) v Οι κεντρικές τιµές του δείγµατος είναι: =, = 6, = 8, =, = Από το πολύγωνο συχνοτήτων παρατηρούµε ότι: Για = έχουµε: Για = 6 έχουµε: Για = 8 έχουµε: ( ε) y = = άρα: ν = ( ε) y = 6 = άρα: ν = ( ε) y = 8 = 6 άρα: ν = 6 ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

8 Για = έχουµε: Για = έχουµε: ( η) ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ y = + = άρα: ν = ( η) Ο πίνακας συµπληρωµένος είναι: [ ) v y = + = άρα: ν = v ( ) ( ) v ΣΥΝΟΛΑ 8 96 ) Η µέση τιµή των τιµών του δείγµατος είναι: διακύµανση: 6 s = = = ( ) v 96 6 s = = = v 8 ) Η ευθεία (ε) είναι: y v = = = = 8 v 8 ενώ η συνεπώς η τυπική απόκλιση είναι: = Αν t,t,,t οι 8 παρατηρήσεις του δείγµατος Γ 8 οποίες είναι οι τετµηµένες των ευθειών (ε) µε µέση τιµή = 8 και τυπική απόκλιση: s = Συνεπώς για τις τεταγµένες των σηµείων ( t,y ) οι Α της ευθείας (ε) από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου θα ισχύει: y = = 8 = 6 και s y = s = Όµοια για τις τεταγµένες των σηµείων ( t,z ) = + έχουµε ότι: z = + = 8+ = 6 και s εξίσωση z ) Οι νέες τιµές της των τεταγµένων των σηµείων ( t,y ) Β της ευθείας (η) µε z = s = Α της ευθείας (ε) µετά την προσθήκη της σταθεράς c Z είναι: y = y + c, y = y + c,,y = y + c 8 8 ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ

9 Οπότε έχουµε: y = y + c = 6 + c και ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ τεταγµένων της ευθείας (ε) λιγότερο οµοιογενές από σηµείων ( t,z ) CV Β της ευθείας (η) θα πρέπει να ισχύει: s s y z y z > CV > A B s 6 + c > y = s = Για να είναι το δείγµα των νέων y 6 το δείγµα των τεταγµένων των 6 + c < 6 6 < 6 + c < 6 < c < Συνεπώς η µέγιστη τιµή του c Z είναι: c = ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙ ΕΣ