Σιδηρές Κατασκευές Ι Άσκηση 7: Δικτύωμα πεζογέφυρας (εφελκυσμός, κάμψη και διάτμηση κάτω πέλματος) Δρ. Χάρης Γαντές, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Περιεχόμενα 1. ΦΟΡΤΙΑ... 5. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΣΕΩΝ... 5 3. ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ... 5 4. EΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΤΟΜΗΣ... 6 a. Επιλογή διατομής... 6 5. ΠΛΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ... 6 a. Πλαστικός έλεγχος διάτμησης... 7 b. Έλεγχος απομείωσης των αντοχών λόγω παρουσίας διάτμησης... 7 c. Έλεγχος σε κάμψη και αξονική δύναμη... 7 6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... 8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α... 9 1. ΕΛΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ... 9 a. Τάσεις λόγω ροπής κάμψης... 9 b. Τάσεις λόγω αξονικής εφελκυστικής δύναμης... 9 c. Συνολικές τάσεις στη διατομή... 9 d. Τάσεις λόγω ροπής κάμψης... 9 e. Τάσεις λόγω αξονικής εφελκυστικής δύναμης... 9 f. Συνολικές τάσεις στη διατομή... 9 g. Ελαστικός έλεγχος διατμητικών τάσεων... 10 h. Ελαστικός έλεγχος σύνθετων τάσεων von Mises... 10 3
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές Ι Διδάσκοντες :Χ. Γαντές Δ.Βαμβάτσικος Ξ. Λιγνός Α. Σπηλιόπουλος Μ.Ε.Δασίου Κ. Κουλάτσου Δεκέμβριος 014 Άσκηση 7 Η πεζογέφυρα κάτω διαβάσεως του Σχήματος 1 αποτελείται από δύο δικτυωτές κύριες δοκούς, διαδοκίδες ανά 1,50m, οριζόντιους συνδέσμους δυσκαμψίας και πλάκα σκυροδέματος πάχους 0,18m. Ζητείται: α) να επιλεγεί, για το κάτω πέλμα των κύριων δικτυωτών δοκών, η ελάχιστη απαιτούμενη διατομή από τη σειρά ΗΕΑ σύμφωνα με την αντοχή της πλήρους διατομής σε διαρροή λόγω εφελκυσμού β) να γίνει έλεγχος της διατομής που επιλέχθηκε σε οριακή κατάσταση αστοχίας λόγω σύνθετης εντατικής κατάστασης. Ποιότητα χάλυβα S355. Σχήμα 1: Γεωμετρία πεζογέφυρας 4
ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 7 1. ΦΟΡΤΙΑ Τα φορτία που λαμβάνονται υπόψη είναι: Ι.Β. μεταλλικής κατασκευής g = 1,80kN/m Πλάκα σκυροδέματος πάχους 18cm g πλάκας = 0,18m 5kN/m 3 = 4,50kN/m Κινητό φορτίο πεζογέφυρας p = 5,00kN/m. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΣΕΩΝ 1,35(g+g πλάκας )+1,50p=>1,35 (1,80kN/m +4,50kN/m )+1,50 5,00 kn/m =16,0kN/m Σχήμα 1: Ζώνη επιρροής για επικόμβια φορτία Τα φορτία του καταστρώματος καταλήγουν στα δύο δικτυώματα μέσω εγκάρσιων διαδοκίδων με πλάτος ζώνης επιρροής 1,50m. Έτσι η κάθε διαδοκίδα μεταφέρει φορτίο στις κύριες δοκούς ίσο με: 16,0kN/m 1,50m 6,00m/ = 7kN/κόμβο. Στους ακραίους κόμβους το εύρος επιρροής είναι το μισό, επομένως εφαρμόζεται φορτίο ίσο με: P=7kN/=36kN/ακραίο κόμβο. 3. ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Σχήμα : Επικόμβια φορτία στο δικτύωμα 5
Σχήμα 3: Εντατικά μεγέθη στα μέλη του δικτυώματος Από την στατική επίλυση του δικτυώματος προκύπτει ότι η δοκός του κάτω πέλματος, στα δύο κεντρικά ανοίγματα του δικτυώματος, υπόκειται σε εφελκυστική δύναμη Ν Ed =1481kN (μέγιστη εφελκυστική δύναμη στο κάτω πέλμα του δικτυώματος), καμπτική ροπή Μ Ed =31,90kNm και τέμνουσα δύναμη V Ed =36,30kN. 4. EΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΤΟΜΗΣ a. Επιλογή διατομής Η επιλογή της διατομής του κάτω πέλματος του δικτυώματος της πεζογέφυρας γίνεται με βάση το κριτήριο αντοχής της πλήρους διατομής σε διαρροή λόγω εφελκυσμού: Afy NEdγ M0 1481 1,00 NEd Npl,Rd A A 41,7cm γm 0 fy 35,5 Από τους πίνακες των προτύπων διατομών ΗΕΑ, βλέπουμε ότι η διατομή που έχει εμβαδόν λίγο μεγαλύτερο από το απαιτούμενο είναι η ΗΕΑ180 (A=45,30cm ), αλλά επιλέγουμε την αμέσως μεγαλύτερη έτσι ώστε να υπάρχει περιθώριο αντοχής για συνδυασμό αξονικής δύναμης και καμπτικής ροπής. Έτσι επιλέγεται η διατομή ΗΕΑ00. 5. ΠΛΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Θα γίνει πλαστικός έλεγχος της διατομής που επιλέχθηκε (ΗΕΑ00). Στην προς εξέταση δοκό, λόγω της μεγάλης εφελκυστικής δύναμης και της μικρής καμπτικής ροπής, δεν αναπτύσσονται θλιπτικές τάσεις σε κανένα σημείο της διατομής και συνεπώς δεν χρειάζεται να γίνει κατάταξη αυτής. 6
a. Πλαστικός έλεγχος διάτμησης Σύμφωνα με τον πλαστικό έλεγχο διάτμησης θα πρέπει να ισχύει: VEd V c,rd όπου V Ed =36,30kN fy Vc,Rd Vpl,Rd A v 3 γ και από πίνακες προτύπων διατομών: Α v =18,08cm Μ0 Επομένως θα έχουμε: fy Vc,Rd Vpl,Rd A v 3 γ Μ0 18,08cm 35,5kN / cm 3 1,00 Ο έλεγχος της διατομής σε διάτμηση ικανοποιείται. 370,57kN V Ed 36,30kN b. Έλεγχος απομείωσης των αντοχών λόγω παρουσίας διάτμησης Παρατηρούμε ότι V Εd <0,5V pl,rd επομένως δεν χρειάζεται απομείωση της αντοχής σε ροπή κάμψης και σε αξονική δύναμη λόγω παρουσίας διάτμησης. c. Έλεγχος σε κάμψη και αξονική δύναμη Πρέπει να ικανοποιείται το παρακάτω κριτήριο: M Ed M N,Rd όπου M N,Rd είναι η πλαστική ροπή αντοχής μειωμένη λόγω της αξονικής δύναμης N Ed. Για διατομές διπλής συμμετρίας Ι δεν χρειάζεται να γίνει πρόβλεψη για την επίδραση της αξονικής δύναμης στην πλαστική ροπή αντοχής περί τον άξονα y-y, όταν ικανοποιούνται και τα δύο παρακάτω κριτήρια: α) NEd 0,5 N pl, Rd όπου N pl,rd =Αf y =53,83cm 35,50kN/cm =1910,97kN 0,5Ν pl,rd =0,5 1910,97kN=477,74kN και 0,5h t f w w y 0,5 (19cm 1,0cm) 0,65cm 35,5kN / cm β) NEd 196,14kN γm0 1,00 όπου Ν Ed =1481kN. Κανένα από τα δύο κριτήρια δεν ικανοποιείται, επομένως χρειάζεται απομείωση της πλαστικής ροπής αντοχής λόγω αξονικής δύναμης. Για διατομές όπου οι οπές κοχλιών δεν λαμβάνονται υπόψη, οι παρακάτω προσεγγίσεις μπορούν να χρησιμοποιούνται για ελατές διατομές Ι ή Η. M N,y,Rd = M pl,y,rd (1-n)/(1-0,5a) αλλά M N,y,Rd M pl,y,rd όπου M pl,y,rd =W pl,y f y /γ Μ0 =49,5cm 3 35,5kN/cm /1,00=1547,5kNcm n = N Ed / N pl,rd = 1481kN/1910,97kN=0,77 a = (A-bt f )/A=(53,83cm - 0,0cm 1,0cm)/53,83cm =0,6<0,50 Θα πρέπει πάντα να ισχύει a 0,5 που στην προκειμένη περίπτωση ισχύει. Επομένως βάσει των προηγούμενων σχέσεων θα έχουμε: M N,y,Rd = M pl,y,rd (1-0,77)/(1-0,5 0,6)= 1547,5kNcm 0,6=4030,88kNcm Ισχύει: M Ed =3190kNcm<M N,y,Rd =4030,88kNcm Επομένως η διατομή ΗΕΑ00 επαρκεί σε πλαστικό έλεγχο διατομής. 7
6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Η επάρκεια της διατομής εναλλακτικά θα μπορούσε να ελεγχθεί μέσω ελαστικού ελέγχου του οποίου ο αναλυτικός υπολογισμός παρουσιάζεται στο παράρτημα Α. ) Η διατομή του κάτω πέλματος του δικτυώματος θα μπορούσε να είναι μεταβλητή, συνήθως όμως τηρείται ενιαία σε όλο το μήκος του δικτυώματος. 3) Για την κοχλιωτή αποκατάσταση συνέχειας της διατομής του κάτω πέλματος του δικτυώματος θα επιλέγαμε να απομακρύνουμε τις θέσεις αποκατάστασης από τη θέση μέγιστης αξονικής δύναμης. Γι αυτό θα επιλέγαμε π.χ. δύο ακραία τεμάχια των 7,00m και ένα τεμάχιο στη μέση των 10,00m (Σχήμα 4α), ή ακόμα καλύτερα, δύο ακραία τεμάχια των 5,00m και ένα τεμάχιο στη μέση των 14,00m (Σχήμα 4β). Σχήμα 4: Προτεινόμενες θέσεις αποκατάστασης συνέχειας Έτσι ο έλεγχος της απομειωμένης διατομής σε θραύση θα γινόταν για μία πολύ μικρότερη εφελκυστική δύναμη, και η σύνδεση αποκατάστασης δεν θα βρισκόταν στην ίδια θέση με τις συνδέσεις των ορθοστατών. Στην δεύτερη περίπτωση (Σχήμα 4β) η αξονική δύναμη είναι ακόμα μικρότερη από αυτή της πρώτης περίπτωσης (Σχήμα 4α), όπως βλέπουμε και από το διάγραμμα των αξονικών δυνάμεων στο Σχήμα 3. 8
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 1. ΕΛΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ a. Τάσεις λόγω ροπής κάμψης Σύμφωνα με τον ελαστικό έλεγχο η τάση στην ακραία ίνα της διατομής λόγω ροπής κάμψης θα είναι: ΜEd 3190kNcm σ 8,0kN / cm W 3 388,6cm b. Τάσεις λόγω αξονικής εφελκυστικής δύναμης el Η τάση λόγω αξονικής εφελκυστικής δύναμης θα είναι ομοιόμορφη σε όλη τη διατομή: NEd 1481kN σ 7,51kN / cm A 53,83cm c. Συνολικές τάσεις στη διατομή Τάση στην κάτω ίνα της διατομής σ + =8,0+7,51=35,71kN/cm Τάση στην άνω ίνα της διατομής σ - = -8,0+7,51= 19,31kN/cm Σχήμα 5: Διάγραμμα τάσεων για ΗΕΑ00 Παρατηρείται ότι η τάση στην κάτω ακραία ίνα είναι μεγαλύτερη από το όριο διαρροής (σ + =35,71kN/cm >f y =35,50kN/cm ), που σημαίνει ότι δεν επαρκεί η διατομή σε ελαστικό έλεγχο και απαιτείται μεγαλύτερη διατομή. Επιλέγεται έτσι η αμέσως επόμενη διατομή ΗΕΑ0. d. Τάσεις λόγω ροπής κάμψης Σύμφωνα με τον ελαστικό έλεγχο η τάση στην ακραία ίνα της διατομής λόγω ροπής κάμψης θα είναι: ΜEd 3190kNcm σ 6,19kN / cm W 3 515,0cm e. Τάσεις λόγω αξονικής εφελκυστικής δύναμης el Η τάση λόγο αξονικής εφελκυστικής δύναμης θα είναι ομοιόμορφη σε όλη τη διατομή: NEd 1481kN σ 3,0kN / cm A 64,34cm f. Συνολικές τάσεις στη διατομή Τάση στην κάτω ίνα της διατομής σ + =6,17+3,0=9,19kN/cm Τάση στην άνω ίνα της διατομής σ - = -6,17+3,0= 16,85kN/cm 9
Σχήμα 6: Διάγραμμα τάσεων για ΗΕΑ0 Παρατηρούμε ότι οι τάσεις στη διατομή είναι μικρότερες από το όριο διαρροής και μάλιστα η διατομή βρίσκεται όλη υπό εφελκυσμό επομένως δεν χρειάζεται κατάταξη. g. Ελαστικός έλεγχος διατμητικών τάσεων Το εμβαδόν του κορμού είναι: A w =h w t w =(1,00cm- 1,10cm) 0,7cm=13,16cm Σύμφωνα με τον ελαστικό έλεγχο διατμητικών τάσεων θα πρέπει να ισχύει: V f Ed y τ Ed A w 3 γ Μ0 Έλεγχος διατμητικών τάσεων κατά τον τοπικό άξονα z: VEd,z 36,30kN f y 35,5kN / cm τ Ed,xz,76kN / cm A 13,16cm 3 γ 3 1,00 w Μ0 0,50kN / cm h. Ελαστικός έλεγχος σύνθετων τάσεων von Mises Σύμφωνα με τον σύνθετο έλεγχο κατά Von Mises θα πρέπει να ισχύει σε κάθε σημείο της διατομής: f y σ VM σ x 3τ Ed, xy 3τ Ed, xz γ M0 α) β) Σχήμα 7: α) Ορθές τάσεις σ x και β) διατμητικές τάσεις τ xz κάτω πέλματος δικτυώματος Εξετάζεται η διατομή στο μέσον των κεντρικών ανοιγμάτων του δικτυώματος όπου παρουσιάζεται η μέγιστη εφελκυστική δύναμη και πιο συγκεκριμένα το σημείο 1 όπου παρουσιάζεται η μέγιστη ορθή τάση και η μέγιστη διατμητική τάση στη διατομή. Στο σημείο 1 η ισοδύναμη τάση Von Mises θα είναι: 10
σ VM σ x 3τ xz 9,19 3,76 9,58kN / cm f γ y M0 35,5kN / cm Επομένως ο σύνθετος έλεγχος κατά Von Mises της διατομής του κάτω πέλματος του δικτυώματος της πεζογέφυρας ικανοποιείται. 11