Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι δυνάμεις στα σημεία στήριξης Β, C και D, ώστε η συνολική δύναμη και η συνολική ροπή στο σημείο Ο να είναι μηδέν. (Οι διαστάσεις είναι σε m) F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 8

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Οριζόντια συνιστώσα συνισταμένης στο Ο: o o F x = F sin 30 F sin 30 = 0 F = F D C D C F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 9

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Κατακόρυφη συνιστώσα συνισταμένης στο Ο: F y = W h + F A W m + F B W F t + C cos30 o F o + Dcos30 = 0 F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 10

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Κατακόρυφη συνιστώσα συνισταμένης στο Ο F B + 3F = 110 C F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 11

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Συνολική ροπή στο Ο: 0,5W + 0, 7F 1,35W + 2F 2,5W + h A m B t o o o o (2,9 rcos60 ) F cos30 + (2,9 + rcos 60 ) F cos30 = 0 c D F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 12

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Συνολική ροπή στο Ο o 0,5W + 0,7F 1,35W + 2F 2,5W + 2 2,9 F cos30 = 0 h A m B t c F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 13

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Συνολική ροπή στο Ο 2F + 3 2,9F = 230 B C F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 14

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα Οι δυνάμεις βρίσκονται επιλύοντας το σύστημα: F D = F C F B + 3F = 110 C 2F + 3 2,9F = 230 B C F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 15

Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών Σύνθεση δυνάμεων Παράδειγμα F = F = 6, 42N D C FB = 98,9N F A = 50N W h = 10N W m = 100N W t = 50N 1/12/2009 16

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Μηχανικό σύστημα: ένα σώμα ή ομάδα σωμάτων που μπορούν εννοιολογικά να θεωρηθούν ότι αποτελούν ένα ενιαίο σώμα Αφού οριστεί το μηχανικό σύστημα, θεωρείται πλέον απομονωμένο από το περιβάλλον Η απομόνωση επιτυγχάνεται με χρήση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος 1/12/2009 17

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος είναι μια διαγραμματική αναπαράσταση του απομονωμένου συστήματος, το οποίο θεωρείται ως ενιαίο σώμα Το διάγραμμα δείχνει όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα λόγω της μηχανικής επαφής με άλλα σώματα, τα οποία αφαιρούνται στη συνέχεια Στο διάγραμμα πρέπει να συμπεριλαμβάνονται και οι δυνάμεις βαρύτητας ή μαγνητικής έλξης 1/12/2009 18

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικά δυνάμεων: οι δυνάμεις εφαρμόζονται με απευθείας φυσική επαφή ή με απομακρυσμένη δράση οι δυνάμεις είναι εσωτερικές ή εξωτερικές στο σύστημα για κάθε δύναμη υπάρχει μία ίση και αντίθετη ισχύει η αρχή ολίσθησης της δύναμης (για στερεά σώματα) 1/12/2009 19

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Εύκαμπτο καλώδιο, σχοινί, αλυσίδα αμελητέου βάρους ασκεί δύναμη εφελκυσμού με κατεύθυνση απομάκρυνσης από το σώμα 1/12/2009 20

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Εύκαμπτο καλώδιο, σχοινί, αλυσίδα με βάρος ασκεί δύναμη εφελκυσμού με κατεύθυνση απομάκρυνσης από το σώμα αλλά με διαφορετική γωνία και πλάτος σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση 1/12/2009 21

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Ομαλή επιφάνεια δύναμη κάθετη στην εφαπτομένη των επιφανειών επαφής 1/12/2009 22

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Τραχεία επιφάνεια συνδυασμός τριβής (παράλληλη με την εφαπτομένη) και δύναμης κάθετης στην εφαπτομένη 1/12/2009 23

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις κύλιση ή απλή έδραση κάθετη δύναμη, δεν υπάρχει τριβή 1/12/2009 24

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις μετακινούμενος οδηγός δύναμη κάθετη στον οδηγό, δεν υπάρχει αντίσταση παράλληλη στον οδηγό 1/12/2009 25

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις άρθρωση (με δυνατότητα περιστροφής) ησυνολικήδύναμηείναισυνδυασμός δύο ορθογωνίων δυνάμεων η φορά λαμβάνεται αυθαίρετα και αν προκύψει αρνητική τιμή αντιστρέφεται ηφορά 1/12/2009 26

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις άρθρωση (χωρίς περιστροφή) δύο ορθογώνιες δυνάμεις και ροπή στρέψης 1/12/2009 27

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Πάκτωση 2 δυνάμεις αντίδρασης και ροπή κάμψης 1/12/2009 28

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Χαρακτηριστικές περιπτώσεις Βαρυτική έλξη κατανεμημένη δύναμη που αναπαριστάται από μία συνολική δύναμη που περνά από το κέντρο μάζας 1/12/2009 29

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Βήματα σχεδιασμού διαγράμματος ελευθέρου σώματος: Καθορισμός του υπό μελέτη συστήματος. Το σύστημα περιλαμβάνει μία ή περισσότερες από τις άγνωστες ποσότητες Σχεδιασμός του εξωτερικού περιγράμματος του συστήματος Καθορισμός όλων των ελκτικών δυνάμεων και δυνάμεων επαφής και σχεδιασμός τους στις σωστές θέσεις στο διάγραμμα Επιλογή του συστήματος συντεταγμένων 1/12/2009 30

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Παραδείγματα Το βάρος του δικτυώματος είναι μικρό σε σχέση με την P Πρέπει να είναι προς τα αριστερά για να αποτρέψει μετατόπιση προς τα δεξιά λόγω της οριζόντιας συνιστώσας της P Πρέπει να είναι προς τα κάτω για να αποτρέψει δεξιόστροφη περιστροφή ως προς το Β 1/12/2009 31

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Παραδείγματα Εξισορροπεί τα 3 κατακόρυφα φορτία Εξισορροπεί την οριζόντια συνιστώσα της F 3 Εμποδίζει τη δεξιόστροφή περιστροφή περί το Α 1/12/2009 32

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Παραδείγματα Ομαλή επιφάνεια επαφής στο Α. μάζα m Κάθετη δύναμη στην επιφάνεια. Δεν υπάρχει τριβή Οι φορές τους λαμβάνονται αυθαίρετα Βάρος στο κέντρο μάζας 1/12/2009 33

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Παραδείγματα Το βάρος του μηχανισμού είναι αμελητέο 1/12/2009 34

Συνθήκες ισορροπίας Ένα σώμα βρίσκεται σε πλήρη ισορροπία αν και μόνο αν: F x = 0 F = y 0 M = 0 Για τη σωστή εφαρμογή των παραπάνω σχέσεων είναι απαραίτητο: να οριστεί σαφώς το υπό ανάλυση μηχανικό σύστημα να συμπεριληφθούν στην ανάλυση όλες οι δυνάμεις που δρουν 1/12/2009 35

Κατηγορίες ισορροπίας Κατηγορία 1 (Συνευθειακές δυνάμεις) F x = 0 1/12/2009 36

Κατηγορίες ισορροπίας Κατηγορία 2(Συντρέχουσες δυνάμεις) F x = F y = 0 0 1/12/2009 37

Κατηγορίες ισορροπίας Κατηγορία 3(Παράλληλες δυνάμεις) F x = 0 M = 0 1/12/2009 38

Κατηγορίες ισορροπίας Κατηγορία 4(Γενικό σύστημα δυνάμεων) F x = F y = 0 0 M = 0 1/12/2009 39

Κατηγορίες ισορροπίας Ειδική περίπτωση 1 (2 δυνάμεις) Για να υπάρχει ισορροπία οι δυνάμεις πρέπει να είναι ίσες, αντίθετες και συνευθειακές 1/12/2009 40

Κατηγορίες ισορροπίας Ειδική περίπτωση 2 (3 δυνάμεις) Για να υπάρχει ισορροπία οι δυνάμεις πρέπει να είναι συντρέχουσες. Διαφορετικά, η μη συντρέχουσα δύναμη προκαλεί ροπή στο σημείο τομής των άλλων δύο δυνάμεων. Η μόνη εξαίρεση είναι όταν οι 3 δυνάμεις είναι παράλληλες 1/12/2009 41

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Έστω ένα σημείο Α, τέτοιο ώστε Μ Α = 0. Αν υπάρχει η συνισταμένη δύναμη, R, τότε ο φορέας της πρέπει να διέρχεται από το Α. 1/12/2009 42

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Αν ισχύει F x = 0, όπου η κατεύθυνση x είναι αυθαίρετη, τότε η συνισταμένη δύναμη, R, (αν υπάρχει) θα πρέπει να είναι κάθετη στην κατεύθυνση x. 1/12/2009 43

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Αν Μ Β = 0, όπου Β είναι ένα οποιοδήποτε σημείο, τέτοιο ώστε η ευθεία ΑΒ δεν είναι κάθετη στην κατεύθυνση χ, τότε R = 0 και το σώμα είναι σε ισορροπία. Άρα: F = M = M = x A B 0 1/12/2009 44

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Έστω ένα σημείο Α, τέτοιο ώστε Μ Α = 0. Αν υπάρχει η συνισταμένη δύναμη, R, τότε ο φορέας της πρέπει να διέρχεται από το Α. 1/12/2009 45

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Αν Μ Β = 0, τότε η συνισταμένη δύναμη, R, (αν υπάρχει) πρέπει τότε ο φορέας της πρέπει να διέρχεται και από το Β. 1/12/2009 46

Εναλλακτικές εξισώσεις ισορροπίας Αν Μ C = 0, όπου το σημείο C δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ, τότε η R, πρέπει να είναι μηδέν. Άρα οι εξισώσεις ισορροπίας είναι: M = M = M = A B C 0 1/12/2009 47

Παράδειγμα Να υπολογιστεί το πλάτος των δυνάμεων C και Τ, ώστε να υπάρχει ισορροπία στην άρθρωση του σχήματος 1/12/2009 48

Παράδειγμα Οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες, οπότε ησυνολικήροπήστο σημείο τομής των φορέων τους είναι μηδέν Για να υπάρχει ισορροπία: F x = 0 F y = 0 1/12/2009 49

Παράδειγμα F x = 0 8 + T cos40 +C sin20-16 =0 0,766T + 0,342C = 0 F y = 0 T sin40 - C cos20-3 = 0 0,643T-0,940C = 0 1/12/2009 50

Παράδειγμα Επιλύοντας το σύστημα των 2 εξισώσεων προκύπτει: T = 9,09kN C = 3,03kN 1/12/2009 51

Παράδειγμα Για το σύστημα τροχαλιών του σχήματος, να υπολογιστούν: 1.η δύναμη εφελκυσμού, T, στο καλώδιο 2.το πλάτος της συνολικής δύναμης στον άξονα της τροχαλίας C ώστε να υπάρχει ισορροπία. Τα βάρη όλων των τμημάτων είναι αμελητέα ως προς το φορτίο. Οι τροχαλίες περιστρέφονται ελεύθερα ως προς τους άξονες τους 1/12/2009 52

Παράδειγμα Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για την τροχαλία Α, οι συνθήκες ισορροπίας είναι: M O = 0 Tr 1 + Tr 2 = 0 T T 1 = 2 F = y 0 T + 1 T 2 1000 = 0 Από τις εξισώσεις προκύπτει ότι: T1 = T2 = 500N r 1/12/2009 53

Παράδειγμα Για την τροχαλία Β, οι συνθήκες ισορροπίας είναι: M = 0 Tr 3 + Tr 4 = 0 T3 = T4 F = y 0 T3+ T4 T2 = 0 Από τις εξισώσεις προκύπτει ότι: T T 2 2 3 = T4 = = 250N r 1/12/2009 54

Παράδειγμα Για την τροχαλία C, η γωνία των 30 δεν επηρεάζει τον υπολογισμό της ροπής της Τ. Συνεπώς, οι συνθήκες ισορροπίας είναι: M = 0 Tr 3 Tr= 0 F = o x 0 Tcos 30 F x = 0 F x = 217N F = y 0 F T T o y 3 + sin 30 = 0 F = 125N 1/12/2009 x T = T 3 = 250N r 55

Παράδειγμα Η συνολική δύναμη τον άξονα της τροχαλίας C είναι: F = F + F = 217 + 125 = 250N 2 2 2 2 x y r 1/12/2009 56