ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

Στην διάταξη του σχήµατος () το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ασκείται στο δοκάρι σταθερή δύναµη, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το δοκάρι και το µετακινεί προς τα πάνω, ενώ αφήνεται πάνω στο δοκάρι µια οµογε νής σφαίρα µάζας m. i) Nα βρεθεί το µέτρο της δύναµης, ώστε το κέντρο της σφαίρας να παραµένει ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και το δοκάρι να µετακινείται προς τα πάνω. ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. iii) Nα δείξετε ότι κατά την κίνηση του συστήµατος το έργο των τρι βών που εµπλέκονται µεταξύ σφαίρας και δοκαριού είναι µηδενικό. Να δεχθείτε ότι υπάρχει επαρκής τριβή µεταξύ σφαίρας και δοκα ριού, έτσι ώστε η σφαίρα να µη γλυστράει σε σχέση µε το δοκάρι. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C είναι Ι C =mr /5, όπου R η ακτίνα της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι µε την έναρξη της κίνησης του συστήµατος, το κέντρο µάζας C της σφαίρας ακινητεί στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και ότι το δοκάρι ανέρχεται. Αυτό σηµαίνει ότι η η παράλληλη προς το δοκάρι συνι στώσα w του βάρους w της σφαίρας εξουδετερώνετα από την τριβή T που απαραίτητα πρέπει να υπάρχει µεταξύ σφαίρας και δοκαριού. Όµως η ροπή της τριβής περί το κέντρο C της σφαίρας προκαλεί περιστροφή αυτής και σύµφω να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: TR = I C ' w R = mr '/ 5 mgµ" = mr#'/ 5 '= 5g"µ# /R () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους. Εξάλλου οι δυνάµεις που δέχεται το δοκάρι κατά την διεύθυνση της κίνη σής του είναι η δύναµη F, η παράλληλη προς το δοκάρι συνιστώσα W του βά ρους του W και η αντίδραση - T της τριβής από την σφαίρα. Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

F - T - W = Ma F - mgµ" - Mgµ" = Ma # F = (m + M)gµ" + Ma # () όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Eξάλ λου η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου επαφής της σφαίρας µε το δοκάρι είναι ίση µε a, διότι δεχθήκαµε ότι η σφαίρα δεν γλυστράει πάνω στο δοκάρι, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση a Δ = ω R, οπότε η () γράφεται: Σχήµα () F = (m + M)gµ" + M#'R F = (m + M)gµ" + 5Mgµ" / F = (m + 7M)gµ" / (3) ii) Eαν είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S, τότε η αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ Σ της σφαίρας θα είναι: K = I C " = 5m R " (4) Όµως η σχέση () µας πείθει ότι η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι σταθε ρή, δηλαδή η στροφική της κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη και εποµένως ισχύει ω=ω t, όπου t ο χρόνος µετατόπισης του δοκαριού κατά S. Έτσι θα έχου µε την σχέση: = 't R = 'Rt = a " t και η (4) γράφεται: K = m 5 a " t = ma # 5 a # t K = ma " 5 S = m#'r 5 () S K = m 5 5g"µ# S = mgs"µ# (5)

iii) Το έργο της τριβής - T που δέχεται το δοκάρι, σε χρόνο t, είναι: W - = -TS = -mgsµ" (6) T To αντίστοιχο έργο της τριβής T που δέχεται η σφαίρα είναι: W T = TR = mg"µ#(r) (7) Όµως η γωνία στροφής θ της σφαίρας σε χρόνο t δίνεται από την σχέση: = "'t / R = "'Rt / = a # t / = S οπότε η (7) γράφεται: W - = TR = mgs"µ# (8) T Από τις (6) και (8) προκύπτει ότι το συνολικό έργο των τριβών που εµπλέκον ται στο σύστηµα είναι µηδενικό. P.M. fysikos Οµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R, συν δέται κατάλληλα µέσω αβαρούς λεπτής ράβδου µε οµογενή κύβο, µάζας m/ και ακµής R/ µε τρόπο που επιτρέπει στον κύλινδρο να περιστρέφεται ελευθερα περί τον γεωµετρικό του άξονα. Αρχικά ο κύ βος συγκρατείται εφαπτόµενος µε µια έδρα του σε κεκλιµένο επίπε δο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Τότε o κύλινδρος ισορρο πεί µε την παράπλευρη επιφάνειά του να εφάπτεται του κεκλιµένου επιπέδου, η δέ ράβδος είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, ενώ η προέκτασή της διέρχεται από τα κέντρα µάζας του κυλίνδρου και του κύβου. Κάποια στιγµή ο κύβος αφήνεται ελεύθερος και το σύστηµα τίθεται σε κίνηση. i) Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σε όλες τις επαφές έχει την ίδια τιµή n, να δείξετε ότι οι αναγκαίες συνθήκες ώστε ο µεν κύλιν δρος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου και ο κύβος να ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, είναι οι σχέσεις: "# $ 3n και n ii) Τι συµβαίνει όταν εφφ>3n και n ; Nα εκφράσετε στην περί πτωση αυτή την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδρά νειας I=mR / του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχτούµε ότι µεν κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαινει επί του κεκλιµένου επιπέδου, ο δε κύβος ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται. Ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w,

την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T και τέλος την δύναµη επαφής F από την ράβδο. Εξάλλου ο κύβος δέχεται το βάρός του w ' που αναλύεται στις συνιστώσες w ' και w ', την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που Σχήµα αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N ' και την τριβή ολισθήσεως T ' και τέλος την δύναµη επαφής F ' από την ράβδο. Εξετάζοντας την ράβδο παρατηρούµε ότι αυτή εκτελεί µεταφορική κίνηση µένοντας παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, υπό την επίδραση των δυνάµεων - F και - F ' που είναι οι αντιδράσεις των δυνάµεων F και F '. Επειδή η ράβδος θεωρήθηκε µε αµελητέα µάζα, οι δυνάµεις - F και - F ' σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα είναι αντίθετες και επειδή η ράβδος δεν περιστέφεται οι δυνάµεις αυτές δεν συνιστούν ζεύγος, που σηµαίνει ότι έχουν φορέα την ράβδο, οπότε το ίδιο συµβαίνει και για τις δυνάµεις F και F ' (σχ. ). Εφαρµόζοντας για την µεταφο ρική κίνηση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: w - T - F = ma C mgµ" - T - F = ma C () όπου a C η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου. Για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου περί τον άξονά του, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης ισχύει η σχέση: TR = mr '/ T = mr'/ T = ma C / () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου, της οποίας το µέτρο λόγω της κυλίσεως του κυλίνδρου ικανοποιεί την σχέση a C =ω R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: mgµ" - ma C / - F = ma C F = mgµ" - 3ma C / (3) Εξάλλου ο κύλινδρος εκτελεί µεταφορική κίνηση µε επιτάχυνση a C και σύµ φωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: w' - T'+F'= ma C / mgµ" / - nn'+f = ma C /

mg nmg µ" - #$%" + F = ma C F = m (a C + ng"#$ - g%µ$) (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: mgµ" - 3m a = m C (a C + ng#$%" - gµ") 3gµ" - ng#$%" = 4a C a C = g 4 ( 3µ" - n#$%" ) (5) ενώ από τις () και (5) παίρνουµε την σχέση: T = mg 8 ( 3µ" - n#$%" ) (6) Επειδή η τριβή είναι στατική ισχύει: (6) T nn mg 8 ( 3µ" - n#$%" ) & nmg#$%" 3µ" - n#$%" & 8n#$%" µ" # 3n$%&" "# $ 3n (7) Όµως ο κύβος δεν περιστρέφεται, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη ροπή των δυνάµεων που δέχεται, περί το κέντρο µάζας του Κ, είναι µηδενική, δηλαδή µπορουµε να γράψουµε την σχέση: " (K) = 0 T'R/ - N'x = 0 nn'r/ - N'x = 0 x = nr/ όπου x η απόσταση του φορέα της από το κέντρο µάζας του κύβου. Επειδή πρεπει x R/, θα έχουµε: nr/ R/ n (8) ii) Όταν ισχύει εφφ>3n, τότε η τριβή T είναι τριβή ολισθήσεως και ο κύλιν δρος δεν έχει γνήσια κύλιση, αλλά εκτελεί επίπεδη κίνηση που αναλύεται σε µια µεταφορική ολίσθηση και µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του. Στην περίπτωση αυτή η σχέση () παίρνει την µορφή: mgµ" - nmg#$%" - F = ma C (9) ενώ η γωνιακή επιτάχυνση ' του κυλίνδρου, συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, ικανοποιεί την σχέση: TR = mr '/ nm"#$ = mr%'/ '= ng"#$% / R (0) Εξάλλου για τον κύβο εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις:

F = m(a C + ng"#$ - g%µ$)/ και n αφού αυτός ολισθαίνει µε επιτάχυνση ίση µε a C, χωρίς να ανατρέπεται. Συν δυάζοντας τις σχέσεις (9) και () παίρνουµε: mgµ" - nmg#$%" - m(a C + ng#$%" - gµ")/ = ma C 3gµ" / - 3ng#$%" / = 3a C / a C = g(µ" - n#$%") () Oι σχέσεις (0) και () εγγυώνται ότι, τόσο η µεταφορική όσο και η περισ τροφική κίνηση του κυλίνδρου είναι οµαλά επιταχυνόµενες. Έτσι εάν v, είναι η ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου και η γωνιάκη του ταχύτητα αντι στοίχως ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστηµα αφέθηκε ελεύθερο να κινηθεί, θα έχουµε τις σχέσεις: v = a C t " # = 't $ (0),() v = gt(µ" - n#$%") & = ngt#$%" / R ' ( ) (3) H κινητική ενέργεια K του κυλίνδρου, την χρονική στιγµή t είναι: K = mv + mr 4 (3) K = mg t (µ" - n#$%") + mr (ngt#$%") 4R K = mg t ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: [(µ" - n#$%") + n #$%" ] (4) Στην περίπτωση που ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και ο κύβος ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, τότε ο συνδυασµος των (3) και (5) δίνει: F = mgµ" - 3mg(3µ" - n#$%")/ 8 F = mg(3n"#$ - %µ$)/ 8 F = mg(3n - "#)/ 8 > 0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή οι δυνάµεις F και F ' έχουν την φορά που αρ χικά θεωρήθηκε και αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος καταπονείται εφελκυστικά. Στην περίπτωση που ο κύλινδρος ολίσθαίνει περιστρεφόµενος και ο κύβος ολισ θαίνει χωρίς να ανατρέπεται, τότε ο συνδυασµος των (9) και () δίνει: mgµ" - nmg#$%" - F = mg(µ" - n#$%") F = 0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή η ράβδος βρίσκεται στην φυσική της κατάσταση και ουσιαστικά δεν επηρεάζει την κίνηση των δύο σωµάτων. Ενδιαφέρον παρου σιάζει να εξετασθεί η περίπτωση που οι συντελεστές τριβής ολίσθησης µεταξύ κυλίνδρου-κεκλιµένου επιπέδου και µεταξύ κύβου-κεκλιµένου επιπέδου είναι

διαφορετικοί. P.M. fysikos Δύο τροχαλίες τ και τ της ίδιας ακτίνας και της ίδιας µάζας Μ, που θεωρείται συνγκεντρωµένη στην περιφέρειά τους, συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, το οποίο έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της τροχαλίας τ, περιβάλλει το αυλακι της τ και το ελευθερο άκρο του συνδέται µε µικρό σώµα Σ µάζας m, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). H τροχαλία τ µπορεί να στρέφεται χω ρίς τριβή περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος είναι οριζόντιος και ακλόνητος, ενώ η τροχαλία τ µπορεί να στρέφεται επίσης περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος όµως είναι ελεύθερος να µετατο πίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του σε κατακόρυφο επίπεδο. i) Nα δείξετε ότι, αν το σύστηµα αφήνεται ελευθερο από την ηρεµία είναι αδύνατον το κέντρο µάζας της τροχαλίας τ να ανέρχεται, ενώ το σώµα Σ µπορεί ή να ανέρχεται ή να κατέρχεται. ii) Eίναι δυνατόν το σώµα Σ να ακινητεί και ποια θα είναι τότε η επι τάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τ ; Nα εκφράσετε στην πε ρίπτωση αυτή την κινητική ενέργεια της τροχαλίας τ σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Ας δεχθούµε ότι το σώµα Σ ανέρχεται µε επιτάχυνση a και το κέν τρο µάζας C της τροχαλίας τ κατέρχεται µε επιτάχυνση a. Στο σώµα Σ ενερ γεί το βάρος του m g και η τάση T του νήµατος που το συγκρατεί και συµ φωνα µε τον δεύτερο νόµο κινήσης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: T - mg = ma T = mg + ma () Eπί της τροχαλίας τ ενεργεί το βάρος της M g, η αντίδραση A του σταθερού άξονα περιστροφής της και οι τάσεις T, T του νήµατος που περιβάλλει το αυ λάκι της. Η τροχαλία αυτή εκτελεί γνήσια περιστροφή και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: T R - T R = MR ' T - T = MR' () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνσή της της τροχαλίας. Eξάλλου επί της ελεύθερης τροχαλίας τ ενεργεί το βάρος της M g και η τάση T ' του νήµατος που την περιβάλλει. H τροχαλία αυτή εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από µια κατακόρυφη µεταφορική κίνηση και από µια στροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό της άξονα. Eφαρµόζοντας για την στροφική κίνηση της τροχαλίας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε την σχέση: T'R = MR ' T'= MR' (3) Aκόµη εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, έχουµε:

(3) Mg - T'= Ma Mg - MR' = Ma R' = g - a (4) Σχήµα 3 Aν τώρα αναφερθούµε στα σηµεία Ν και Ν του νήµατος παρατηρούµε ότι έ χουν την ίδια επιτάχυνση που εκφράζει και την εφαπτοµενική επιτάχυνση των αντίστοιχων σηµείων των δύο τροχαλιών, δηλαδή ισχύει: (4) a N = a N R' = a - R' R' = a - g + a R' = a - g (5) Ακόµη η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Ν της τροχαλίας τ είναι ίση µε την επιτάχυνση του σώµατος Σ, δηλαδή ισχύει: (5) R' = a a = a - g (6) Eπειδή το νήµα είναι αβαρές ισχύει Τ=Τ και Τ =Τ, οπότε η σχέση () γράφεται: (),(3) T'-T = MR' T'-T = Ma (4) MR' - mg - ma = Ma M(g - a ) - mg - ma = Ma (M - m)g = (M + m)a + Ma (7) Oι σχέσεις (6) και (7) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού µε αγνώστους τα a και a από την λύση του οποίου παίρνουµε: και a = a = Mg 3M + m (M - m)g 3M + m (8) (9)

Από την (8) προκύπτει a >0 και από την (9) a>0 αν M>m και a<0 αν M<m, που σηµαίνει ότι όποιες και αν είναι οι µάζες Μ και m η τροχαλία τ κατέρ χεται, ενώ για Μ>m το σώµα Σ ανέρχεται, ενώ για Μ<m το σώµα Σ κατέρ χεται. ii) Eάν θέλουµε το σώµα Σ να ακινητεί τότε θα πρέπει: (9) a = 0 (M - m)g 3M + m = 0 M = m Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση καθόδου του κέντρου µάζας της τροχαλίας τ θα είναι: a = 4mg 6m + m = g (0) Η κινητική ενέργεια Κ της τροχαλίας τ ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστη µα αφήνεται ελευθερο δίνεται από την σχέση: K = Mv + MR () Όµως και η µεταφορική και η στροφική κίνηση της τροχαλίας τ είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε το µέτρο της µεταφορικής της ταχύτητάς v την χρονική στιγµή t είναι a t, το δε µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής της ταχύτητας είναι ω t, οπότε η () γράφεται: K = Ma t + MR ' t = Ma t + Ma t (0) K = Mg t 4 P.M. fysikos Ένα ελαστικό και οµογενές σώµα σχήµατος ορθο γωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους h και µάζας m, προσκρούει σε τρα χύ οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα v 0 και υπό γωνία προσπτώσεως φ. Την στιγµή της κρούσεως η επαφή του σώµατος µε το έδαφος γίνεται µέσω της ευρύτερης έδρας του, που έχει µήκος α. i) Να βρείτε κάτω από ποιές συνθήκες θα αναστραφεί η ταχύτητα του σώµατος, αµέσως µετά την κρούση. ii) Πόση είναι η ώθηση της δύναµης που δέχεται το σώµα από το έδα φος κατά τον χρόνο επαφής του µε αυτό και πόση η κατακόρυφη ανύψωση του κέντρου µάζας του; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας και ο συντελεστής οριακής τριβής n s µεταξύ του σώµατος και του οριζόντιου επιπέδου.

ΛΥΣΗ: i) Yποθέτουµε ότι το σώµα κατά τον χρόνο συµπίεσής του και αποσυµπίεσής του ούτε ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος αλλά ούτε και ανατρέπεται. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του w και η πλάγια αντίδραση του εδάφους, που αναλύεται στην τριβή T, αντίρροπη της οριζόν τιας συνιστώσας v x της ταχύτητας πρόσπτωσης v 0 και την κάθετη αντίδραση N. Η τριβή T είναι στατική και ενεργεί ως παραµορφωτική δύναµη επί του σώµατος µε αποτέλεσµα η ελαστική του παραµόρφωση να µεταβάλλει το µέτρο της, το ίδιο δε ισχύει και για το µέτρο της N. Επειδή κατά τον χρόνο Δt της επαφής του σώµατος µε το έδαφος αυτό δεν έχει περιστροφή περί το κέντρο µάζας του, ισχύει η σχέση: T h / - N x = 0 x = T h / N () Σχήµα 4 Σχήµα 5 όπου T, N οι µέσες τιµές των µέτρων των δυνάµεων T και N αντιστοίχως για το χρονικό διάστηµα Δt. Αλλά η απόσταση x οφείλει να ικανοποιεί την σχέση x α/, η οποία µε βάση την () γράφεται: T h / N " / T / N " / h () Αν απαιτήσουµε να αναστραφεί η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την κρούση του, πρέπει η ταχύτητα ανάκλασης του να είναι - v 0 µε οριζόντια συ νιστώσα - v 0x και κατακόρυφη συνιστώσα - v 0y. Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση και για τον χρόνο επαφής του Δt, παίρνουµε τις σχέσεις: mv 0x - (-mv 0x ) = T t" # mv 0y - (-v 0y ) = N t $ mv 0x = T t " # mv 0y = N t $ (:) T N = v 0x v 0y = v 0 µ" v 0 #$%" T N = "# (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: "# $ % / h (4) Εξάλλου για τον συντελεστή οριακής τριβής n s µεταξύ σώµατος και οριζοντίου επιπέδου ισχύει:

T n s N T N n s (3) "# $ n s (5) Οι σχέσεις (4) και (5) αποτελούν τις ζητούµενες συνθήκες. ii) Εάν είναι η ώθηση της δύναµης επαφής µεταξύ σώµατος και οριζόντιου εδάφους κατά τον χρόνο Δt θα ισχύει συµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής η διανυσµατική σχέση: -m v 0 - m v 0 = = -m v 0 Σχήµα 6 δηλαδή η είναι αντιρροπή της v 0 και έχει µέτρο mv 0. To σώµα από την στιγµή που θα χάσει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος θα εκτελέσει µέσα στο πεδίο βαρύτητας µεταφορική καµπυλόγραµµη κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας του C θα διαγράφει παραβολική τροχια και όταν βρεθεί στην ανώτατη θέση της τροχιάς αυτής θα έχει ταχύτητα - v 0x και σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση: mv 0 + 0 = mgh + mv 0x max v 0 = gh + v 0µ " max h max = v 0 - v 0 µ " g = v 0#$% " g όπου h max η ζητούµενη κατακόρυφη ανύψωση του κέντρου µάζας του σώµατος. P.M. fysikos Το δοκάρι του σχήµατος (7) έχει µάζα M και φέρει δύο κυλινδρικούς τροχούς µάζας m, οι οποίοι βρίσκονται σε συµµετ ρικές θέσεις ως προς το κέντρο του δοκαριού. Μια λεπτή πλάκα µά ζας m, πέφτει από ψηλά και συναντά το δοκάρι στο κέντρο του µε ταχύτητα V, της οποίας ο φορέας βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει τον επιµήκη άξονα του δοκαριού και σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ<π/. Εάν η κρούση της πλάκας µε το δοκάρι είναι πλαστική, να βρεθεί η τελική ταχύτητα που θα αποκτή

σει το δοκάρι. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ του εδάφους και τροχών και η ροπή αδράνειας Ι= m R / κάθε τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του. ΛΥΣΗ: Διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: A Oι τροχοί του δοκαριού στην διάρκεια της κρούσεως ολισθαίνουν επί του εδάφους. Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που διαρκεί η πλαστική κρούση της πλάκας µε το δοκάρι οι κάθετες αντιδράσεις N, N του εδάφους επί των τρο χών του δοκαριού αποτελούν κρουστικές δυνάµεις, µε αποτέλεσµα οι τριβές ολίσθησης T, T που δέχονται οι τροχοί να µην είναι πεπερασµένες, που σηµαί νει ότι οι ωθήσεις τους κατά τον χρόνο Δt δεν είναι αµελητέες. Έτσι η ορµή του συστήµατος δοκάρι-πλάκα κατά την οριζόντια διεύθυνση x µεταβάλλεται στην διάρκεια του χρόνου Δt και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα ισχύει: m " V # - mv x = -(T + T )$t m " V # - mv x = -(nn + nn )$t () Σχήµα 7 όπου m ολ η µάζα του συστήµατος (m ολ =Μ+m+m ρ ), V x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας προσπτώσεως V της πλάκας και V η κοινή ταχύτητα του συσ σωµατώµατος δοκάριι-πλάκα αµέσως µετά την κρούση. Εφαρµόζοντας το ίδιο θεώρηµα για το σύστηµα κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y παίρνουµε την σχέ ση: m " 0 - mv y = (-N - N + m " g)#t mv y (N + N )"t () όπου V y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας V, ενώ η ώθηση m " g #t του συνολικού βάρους του συστήµατος θεωρήθηκε αµελήτέα ως προς την ώθηση των κρουστικών δυνάµεων N, N. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχου

µε: m " V # - mv x = -nmv y m " V # = mv x - nmv y V = m(v x - nv y )/ m "# (3) Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt οι τροχοί του δοκαριού περιστρέφονται περί τους άξονές τους υπό την επίδραση των αντίστοιχων ροπών των τριβών και σύµφω να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύουν οι σχέσεις: T R = m R " ' / #% $ T R = m R " ' /&% T = m R" ' / # $ T = m R" ' /% (4) όπου ', ' οι γωνιακές επιταχύνσεις των δύο τροχών. Επειδή η θέση στην οποία συµβαίνει η κρούση είναι το κέντρο συµµετριας του συστήµατος µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κατά τον χρόνο Δt οι κάθετες αντιδράσεις N, N είναι ίσες µεταξύ τους, οπότε Τ =Τ και λόγω των (4) θα είναι και ω =ω =ω. Έτσι θα έχουµε: () T + T = m R" ' n(n + N ) = m R" ' nmv y / t = m " R# ' nmv y = m R" '#t nmv y = m R" # R " = nmv y /m # (5) όπου ' η µέση κοινή γωνιακή επιτάχυνση των τροχών για τον χρόνο Δt και " η κοινή γωνιακή ταχύτητά τους αµέσως µετά την κρούση. Διακρίνουµε τώρα τις παρακάτω υποπεριπτώσεις: A ) Aµέσως µετά την κρούση οι τροχοί κυλίονται χωρίς ολίσθηση Tότε θα ισχύει Rω κ =V κ, η οποία µε βάση τις (3) και (5) δίνει: nmv y /m = m(v x - nv y )/ m "# m " /m # = (V x - nv y )/ nv y m " m # = V$%&' nv(µ' - nv(µ' nv(µ' M + m + m m = "#$ n -

M + m = "#$ m n - 3 µε "# > 3n (6) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι σχέσεις (6) αποτελούν την αναγκαία συνθή κη, ώστε αµέσως µετά την κρούση οι τροχοί να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος. Τότε η ζητούµενη µεταφορική ταχύτητα του συστήµατος θα έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση (3), δηλαδή θα ισχύει: V = m ( V$%&' - nv(µ' ) V m = "# m ("#$% - n&µ% )V (7) M + m + m ' A ) Aµέσως µετά την κρούση οι τροχοί εξακολουθούν να ολισθαίνουν επί του εδάφους. Τότε θα είναι ω κ R>V κ ή ω κ R<V κ, οπότε θα παρέλθει ένα χρονικό διάστηµα t * (που µπορεί να υπολογιστεί) για να αρχίσει η κύλιση χωρίς ολίσθηση των τροχών. Κατά το χρονικό αυτό διάστηµα οι τριβές θα είναι τριβές ολισθήσεως µε µέτρα nn, nn, όπου N ', N ' οι νέες κάθετες αντιδράσεις των τροχών, που όµως τώρα δεν αποτελούν κρουστικές δυνάµεις, αλλά δυνάµεις που τα µέτρα τους ικανοποιούν την σχέση: Σχήµα 8 N' +N' = (M + m + m )g = m "# g (8) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής περί το κέντρο µάζας του και για τον χρόνο t * παίρνουµε την σχέση: # (T h + T h)t * + (N' - N' )t * = m "R & % $ ( ' ) # *- m "R & % $ ( ' ) *

n(n' +N' )ht * + (N' -N' )t * = m " R (# * - # $ ) * - " = t * [ m # R (N' + N' )nh + (N' -N' )$ ] * = " + t * [ m # R (N' + N' )nh + (N' -N' )$ ] (9) όπου * η τελική γωνιακή των τροχών, α η απόσταση των κέντρων των τρο χών από την κατακόρυφη που διέρχεται από το κέντρο µάζας του συστήµατος και h η απόσταση του κέντρου µάζας από το έδαφος. Όµως πάλι ισχύει ότι: (8) N' = N' N' = N' = m " g/ οπότε η σχέση (9) παίρνει την µορφή: * = " + m gt #$ * nh (5) m % R * = nmv y Rm " + m #$ gt * h m " R * R= nmv"µ# m $ + m %& gt * nh m $ R V * = n ( m R mvr"µ# + m gt $% * h ) (0) όπου V * η ζητούµενη τελική µεταφορική ταχύτητα των τροχών, δηλαδή η τελική ταχύτητα του δοκαριού. Β Oι τροχοί του δοκαριού στην διάρκεια της κρούσεως κυλίονται χωρίς ολίσθηση επί του εδάφους. Στην περίπτωση αυτή κατά τον χρόνο Δt οι τριβές T, T θα είναι στατικές οι δε κάθετες αντιδράσεις N, N θα αποτελούν πάλι κρουστικές δυνάµεις µε

αποτέλεσµα να µεταβάλλεται κατά την οριζόντια διεύθυνση x η ορµή του συ στήµατος δοκάρι-πλάκα και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα ισχύει: m " V # - mv x = -(T + T )$t () όπου V η κοινή ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Εφαρµόζοντας το ίδιο θεώρηµα για το σύστηµα κατά την κατακόρυφη διεύθυν ση y παίρνουµε την σχέση: m " 0 - mv y = (-N - N + m " g)#t mv y (N + N )"t () όπου η ώθηση m " g #t του συνολικού βάρους του συστήµατος θεωρήθηκε αµελήτέα ως προς την ώθηση των κρουστικών δυνάµεων N, N. Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt οι τροχοί του δοκαριού περιστρέφονται περί τους άξονές τους υπό την επίδραση των αντίστοιχων ροπών των τριβών και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύουν οι σχέσεις: T R = m R " ' / #% $ T R = m R " ' /&% T = m R" ' / # $ T = m R" ' /% (3) όπου ', ' οι γωνιακές επιταχύνσεις των δύο τροχών. Όµως λόγω της κύ λισης θα ισχύει ω =ω =a, όπου a η επιτάχυνση των αξόνων των δύο τροχών, οπότε οι σχέσεις (3) δίνουν: T = m a/" # T = m a/$ (+ ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: T + T = m a (4) m " V # - mv x = -m $ a%t m " V # - mv x = -m $ V # (m " + m # )V $ = mv x V = mv"#$% m &' + m (

V = mv"#$% M + m + 3m & (5) Εξάλλου επειδή οι τριβές είναι στατικές µπορούµε να γράψουµε την σχέση: (),(4) T + T n(n + N ) m a " nmv y / #t (5) m a"t # nmv$µ% m V " # nmv$µ% mm V"#$% M + m + 3m & nmv'µ% "#$ %µ$ & n(m + m + 3m ' ) m ' "# n $ M + m + 3m % m % M + m m " #$% n - 3 (6) H σχέση (6) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε αµέσως κατά την κρούση οι τροχοί να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος. Είναι προφανές ότι και µετά την κρούση οι τροχοί θα εξακολουθήσουν να κυλίωνται επί του εδά φους µε τις τριβές να έχουν µηδενιστεί. P.M. fysikos