HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ===== ===== SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A2) (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A) (Dùg cho sih viê hệ đào tạo đại học từ ) Lưu hàh ội bộ HÀ NỘI -

Giới thiệu ô học GIỚI THIỆU MÔN HỌC GIỚI THIỆU CHUNG: Toá co cấp A A A là chươg trìh toá đại cươg dàh cho sih viê các hó gàh toá và hó gàh thuộc khối kỹ thuật Nội dug củ toá co cấp A A chủ ếu là phép tíh vi tích phâ củ hà ột hoặc hiều biế cò toá co cấp A là các cấu trúc đại số và đại số tuế tíh Có khá hiều sách giáo kho và tài liệu th khảo viết về các chủ đề à Tu hiê với phươg thức đào tạo từ có hữg đặc thù riêg đòi hỏi học viê là việc độc lập hiều hơ do đó cầ phải có tài liệu hướg dẫ học tập thích hợp cho từg ô học Tập tài liệu hướg dẫ học ô toá co cấp A à được biê soạ cũg hằ ục đích trê Tập tài liệu à được biê soạ theo chươg trìh qui địh ă củ Học việ Côg ghệ Bưu Chíh Viễ Thôg Nội dug củ cuố sách bá sát các giáo trìh củ các trườg đại học kỹ thuật giáo trìh dàh cho hệ chíh qui củ Học việ Côg ghệ Bưu Chíh Viễ Thôg biê soạ ă và theo kih ghiệ giảg dạ hiều ă củ tác giả Chíh vì thế giáo trìh à cũg có thể dùg là tài liệu học tậptài liệu th khảo cho sih viê củ các trườg các gàh đại học và co đẳg Giáo trìh được trìh bà theo cách thích hợp đối với gười tự học đặc biệt phục vụ đắc lực cho côg tác đào tạo từ Trước khi ghiê cứu các ội dug chi tiết gười đọc ê e phầ giới thiệu củ ỗi chươg để thấ được ục đích ý ghĩ êu cầu chíh củ chươg đó Trog ỗi chươg ỗi ội dug gười đọc có thể tự đọc và hiểu được cặ kẽ thôg qu cách diễ đạt và chứg ih rõ ràg Đặc biệt bạ đọc ê chú ý đế các hậ ét bìh luậ để hiểu sâu hơ hoặc ở rộg tổg quát hơ các kết quả Hầu hết các bài toá được â dựg theo lược đồ: đặt bài toá chứg ih sự tồ tại lời giải bằg lý thuết và cuối cùg êu thuật toá giải quết bài toá à Các ví dụ là để ih hoạ trực tiếp khái iệ địh lý hoặc các thuật toá vì vậ sẽ giúp gười đọc dễ dàg hơ khi tiếp thu bài học Su các chươg có phầ tó tắt các ội dug chíh và cuối cùg là các câu hỏi luệ tập Có khoảg từ đế bài tập cho ỗi chươg tươg ứg vói - câu hỏi cho ỗi tiết lý thuết Hệ thốg câu hỏi à bo trù toà bộ ội dug vừ được học Có hữg câu kiể tr trực tiếp các kiế thức vừ được học hưg cũg có hữg câu đòi hỏi học viê phải vậ dụg ột cách tổg hợp và ság tạo các kiế

Giới thiệu ô học thức để giải quết Vì vậ việc giải các bài tập à giúp học viê ắ chắc hơ lý thuết và kiể tr được ức độ tiếp thu lý thuết củ ìh Các bài tập được cho dưới dạg trắc ghiệ khách qu đâ là ột phươg pháp rất phù hợp với hìh thức đào tạo từ Học viê có thể tự kiể tr và đối chiếu với đáp á ở cuối sách Tu hiê phươg pháp trắc ghiệ cũg có hữg ặt hạ chế củ ó chẳg hạ phươg pháp à khôg thể hiệ được khả ăg trìh bà kết quả khả ăg lập luậ à đâ là ột trog hữg êu cầu chíh củ việc học toá Một bài toá có thể giải cho đúg kết quả hưg cách giải si thậ chí si cả về bả chất Hi lầ si dấu trừ biế thàh dấu cộg và cho kết quả đúg hưg thực chất là si Mặt khác có thể giải bài toá trắc ghiệ bằg cách thử các trườg hợp và loại trừ hưg cách là à khá tiêu cực Để khắc phục hữg hạ chế củ phươg pháp kiể tr trắc ghiệ chúg tôi khuê gười đọc ê tự giải quết các bài toá theo phươg pháp tự luậ su đó ới đối chiếu với các trườg hợp b c d để chọ phươg á đúg Giáo trìh gồ chươg tươg ứg với đơ vị học trìh ( tiết): Chươg I: Lô gích toá học lý thuết tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số Chươg II: Khôg gi véc tơ Chươg III: M trậ Chươg IV: Địh thức Chươg V: Hệ phươg trìh tuế tíh Chươg VI: Áh ạ tuế tíh Chươg VII: Khôg gi véc tơ Euclide và dạg toà phươg Ngoài vi trò là côg cụ cho các gàh kho học khác toá học cò được e là ột gàh kho học có phươg pháp tư du lập luậ chíh ác chặt chẽ Vì vậ việc học toá cũg giúp t rè luệ phươg pháp tư du Các phươg pháp à đã được giảg dạ và cug cấp từg bước trog quá trìh học tập ở phổ thôg hưg trog chươg I các vấ đề à được hệ thốg hoá lại Nội dug củ chươg I được e là cơ sở gô gữ củ toá học hiệ đại Một vài ội dug trog chươg à đã được học ở phổ thôg hưg chỉ với ức độ đơ giả Các cấu trúc đại số thì hoà toà ới và khá trừu tượg vì vậ đòi hỏi học viê phải đọc lại hiều lầ ới tiếp thu được Các chươg cò lại củ giáo trìh là đại số tuế tíh Kiế thức củ các chươg liê hệ chặt chẽ với hu kết quả củ chươg à là côg cụ củ chươg khác Vì vậ học viê cầ thấ được ối liê hệ à Đặc điể củ ô học à

Giới thiệu ô học là tíh khái quát hoá và trừu tượg co Các khái iệ thườg được khái quát hoá từ hữg kết quả củ hìh học giải tích ở phổ thôg Khi học t ê liê hệ đế các kết quả đó MỤC ĐÍCH MÔN HỌC Cug cấp cho sih viê các kiế thức cơ bả về đại số : Mệh đề tập hợp áh ạ cấu trúc đại số và đại số tuế tíh bo gồ các khái iệ về khôg gi vecto trậ địh thức áh ạ tuế tíh dạg sog tuế tíh dạg toà phươg là cơ sở để tiếp thu các ô kỹ thuật điệ và điệ tử PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC Để học tốt ô học à sih viê cầ lưu ý hữg vấ đề su : - Thu thập đầ đủ các tài liệu : Bài giảg: Toá co cấp A Lê Bá Log Nguễ Phi Ng Học việ Côg ghệ BCVT Sách hướg dẫ học tập và bài tập: Toá co cấp A Lê Bá Log Nguễ Phi Ng Học việ Côg ghệ BCVT Nếu có điều kiệ sih viê ê th khảo thê: Các tài liệu th khảo trog ục Tài liệu th khảo ở cuối cuố sách à - Đặt r ục tiêu thời hạ cho bả thâ: Đặt r ục các ục tiêu tạ thời và thời hạ cho bả thâ và cố gắg thực hiệ chúg Cùg với lịch học lịch hướg dẫ củ Học việ củ ô học cũg hư các ô học khác sih viê ê tự đặt r cho ìh ột kế hoạch học tập cho riêg ìh Lịch học à ô tả về các tuầ học (tự học) trog ột kỳ học và đáh dấu số lượg côg việc cầ là Đáh dấu các gà khi sih viê phải thi sát hạch ộp các bài luậ bài kiể tr liê hệ với giảg viê Xâ dựg các ục tiêu trog chươg trìh ghiê cứu Biết rõ thời gi ghiê cứu khi ới bắt đầu ghiê cứu và thử thực hiệ cố địh hữg thời gi đó hàg tuầ Su ghĩ về thời lượg thời gi ghiê cứu để Tiết kiệ thời gi Nếu bạ ất quá hiều thì giờ ghiê cứu bạ ê e lại kế hoạch thời gi củ ìh - Nghiê cứu và ắ hữg kiế thức đề cốt lõi:

Giới thiệu ô học Sih viê ê đọc qu sách hướg dẫ học tập trước khi ghiê cứu bài giảg ô học và các tài liệu th khảo khác Nê hớ rằg việc học thôg qu đọc tài liệu là ột việc đơ giả hất so với việc tru cập ạg Iteret h sử dụg các hìh thức học tập khác Hã sử dụg thói que sử dụg bút đáh dấu dòg (highlie ker) để đáh dấu các đề ục và hữg ội dug côg thức qu trọg trog tài liệu - Th gi đầ đủ các buổi hướg dẫ học tập: Thôg qu các buổi hướg dẫ học tập à giảg viê sẽ giúp sih viê ắ được hữg ội dug tổg thể củ ô học và giải đáp thắc ắc; đồg thời sih viê cũg có thể tro đổi thảo luậ củ hữg sih viê khác cùg lớp Thời gi bố trí cho các buổi hướg dẫ khôg hiều do đó đừg bỏ qu hữg buổi hướg dẫ đã được lê kế hoạch - Chủ độg liê hệ với bạ học và giảg viê: Cách đơ giả hất là th dự các diễ đà học tập trê ạg Iteret Hệ thốg quả lý học tập (LMS) cug cấp ôi trườg học tập trog suốt giờ/gà và gà/tuầ Nếu khôg có điều kiệ tru hập Iteret sih viê cầ chủ độg sử dụg hã sử dụg dịch vụ bưu chíh và các phươg thức truề thôg khác (điệ thoại f) để tro đổi thôg ti học tập - Tự ghi chép lại hữg ý chíh: Nếu chỉ đọc khôg thì rất khó cho việc ghi hớ Việc ghi chép lại chíh là ột hoạt độg tái hiệ kiế thức kih ghiệ cho thấ ó giúp ích rất hiều cho việc hìh thàh thói que tự học và tư du ghiê cứu -Trả lời các câu hỏi ô tập su ỗi chươg bài Cuối ỗi chươg sih viê cầ tự trả lời tất cả các câu hỏi Hã cố gắg vạch r hữg ý trả lời chíh từg bước phát triể thàh câu trả lời hoà thiệ Đối với các bài tập sih viê ê tự giải trước khi th khảo hướg dẫ đáp á Đừg gại gầ trog việc liê hệ với các bạ học và giảg viê để hậ được sự trợ giúp Nê hớ thói que đọc và ghi chép là chì khoá cho sự thàh côg củ việc tự học! 8

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số CHƯƠNG : MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍCH MỆNH ĐỀ TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ MỤC TIÊU YÊU CẦU Ý NGHĨA Đâ là chươg ở đầu là cơ sở là gô gữ và côg cụ khôg hữg cho toá học à cò cho các gàh kho học khác T biết rằg toá học là ột gàh kho học lý thuết được phát triể trê cơ sở tuâ thủ ghiê gặt các qui luật lập luậ củ tư du lôgich hìh thức Các qui luật cơ bả củ lôgich hìh thức đã được phát triể từ thời Aristote (Arít-tốt ) (thế kỷ thứ trước côg guê) cùg với sự phát triể rực rỡ củ vă ih cổ H Lạp Tu hiê ãi đế thế kỷ với hữg côg trìh củ De Morg (Đờ Mocg) Boole thì lôgích hìh thức ới có ột cấu trúc đại số đẹp đẽ và cùg với lý thuết tập hợp giúp là chíh ác hoá các khái iệ toá học và thúc đẩ toá học phát triể ạh ẽ Việc ắ vữg lôgich hìh thức giúp học viê khôg hữg học tốt ô toá à cò có thể vậ dụg trog thực tế và biết lập luậ chíh ác Học tốt ô lôgich là cơ sở để học tốt đại số Boole vậ dụg để giải các bài toá về sơ đồ côg tắc rơle các sơ đồ điệ và côg ghệ thôg ti Yêu cầu củ phầ à là phải ắ vữg khái iệ ệh đề toá học các phép toá liê kết ệh đề và các tíh chất củ chúg Khái iệ tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số là các khái iệ cơ bả: vừ là côg cụ vừ gô gữ củ toá học hiệ đại Vì vi trò ề tảg củ ó ê khái iệ tập hợp được đư rất sớ vào chươg trìh toá phổ thôg (lớp ) Khái iệ tập hợp được Ctor đư r vào cuối thế kỷ 9 Su đó được chíh ác hoá bằg hệ tiê đề về tập hợp Có thể tiếp thu lý thuết tập hợp theo hiều ức độ khác hu Chúg t chỉ tiếp cậ lý thuết tập hợp ở ức độ trực qu kết hợp với các phép toá lôgich hìh thức hư "và" "hoặc" phép kéo theo phép tươg đươg lượg từ phổ biế lượg từ tồ tại Với các phép toá lôgích à t có tươg ứg các phép toá gio hợp hiệu các tập hợp co củ các tập hợp Trê cơ sở tích Descrtes (Đề-các) củ hi tập hợp t có khái iệ qu hệ hi gôi à hi trườg hợp đặc biệt là qu hệ tươg đươg và qu hệ thứ tự Qu hệ tươg đươg được dùg để phâ ột tập ào đó thàh các lớp khôg gio hu gọi là phâ hoạch củ tập đó Qu hệ đồg dư ôđulô p (odulo) là ột qu hệ tươg đươg trog tập các số guê Tập thươg củ ó là tập p các 9

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số số guê ôđulô p Tập p có hiều ứg dụg trog lý thuết ật ã toà ạg Qu hệ thứ tự được dùg để sắp ếp các đối tượg cầ ét theo ột thứ tự dự trê tiêu chuẩ ào đó Qu hệ trog các tập hợp số là các qu hệ thứ tự Khái iệ áh ạ là sự ở rộg khái iệ hà số đã được biết Khái iệ à giúp t ô tả các phép tươg ứg từ ột tập à đế tập ki thoả ã điều kiệ rằg ỗi phầ tử củ tập guồ chỉ cho ứg với ột phầ tử du hất củ tập đích và ọi phầ tử củ tập guồ đều được cho ứg với phầ tử củ tập đích Ở đâu có tươg ứg thì t có thể ô tả được dưới gô gữ áh ạ Sử dụg khái iệ áh ạ và tập hợp t khảo sát các vấ đề củ giải tích tổ hợp đó là các phươg pháp đế số phầ tử Giải tích tổ hợp được sử dụg để giải quết các bài toá ác suất thốg kê và toá học rời rạc T có thể thực hiệ các phép toá cộg các số hà số đ thức véc tơ hoặc hâ các số hà số đ thức Như vậ t có thể thực hiệ các phép toá à trê các đối tượg khác hu Cái chug cho ỗi phép toá cộg h hâ ở trê là các tíh chất gio hoá kết hợp phâ bố Một tập hợp có phép toá thoả ã điều kiệ ào đó được gọi là có cấu trúc đại số tươg ứg Các cấu trúc đại số qu trọg thườg gặp là hó vàh trườg khôg gi véc tơ Đại số học là ột gàh củ toá học ghiê cứu các cấu trúc đại số Lý thuết Nhó được Evrist Glois (Glo) đư r vào đầu thế kỉ 9 trog côg trìh "Trog hữg điều kiệ ào thì ột phươg trìh đại số có thể giải được?" trog đó Glo vậ dụg lý thuết hó để giải quết Trê cơ sở lý thuết hó gười t phát triể các cấu trúc đại số khác Việc ghiê cứu các cấu trúc đại số giúp t tách r khỏi các đối tượg cụ thể à thấ được cái chug củ từg cấu trúc để khảo sát các tíh chất các đặc trưg củ chúg Chẳg hạ tập các trậ vuôg cùg cấp các tự đồg cấu tuế tíh các đ thức có cấu trúc vàh khôg guê ê có hữg tíh chất chug ào đó Các cấu trúc đại số có tíh khái quát hoá và trừu tượg co vì vậ gười t ghĩ rằg khó áp dụg vào thực tiễ Tu hiê thực tế cho thấ đại số Boole được ứg dụg rất hiệu quả trog việc giải quết các bài toá về sơ đồ ạch điệ vào á tíh Lý thuết hó được ứg dụg vào cơ học lượg tử Lý thuết vị hó và vàh được ứg dụg trog lý thuết ật ã lý thuết Ôtôát TÓM TẮT NỘI DUNG Lôgíc ệh đề Mệh đề

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số b Liê kết ệh đề: Phép phủ địh: p đọc khôg p Phép hội: Phép tuể: Phép kéo theo: p q đọc p và q Phép tươg đươg: p q đọc p hoặc q p q đọc p kéo theo q p su r q p q đọc p tươg đươg q Lượg từ phổ biế: đọc với ọi Lượg từ tồ tại: đọc tồ tại Tập hợp và phầ tử Tập hợp là phầ tử củ A ký hiệu A đọc thuộc A khôg phải là phầ tử củ A ký hiệu Tập rỗg φ Tập co: A B ( A B) Tập bằg hu A B (( A B) ( B A) ) b Các phép toá trê tập hợp Hợp A B ( A B) Gio A B ( A B) Hiệu A \ B ( A B) Phầ bù A X A X \ P ( X ) { A A X } Tập tất cả các tập co củ X : A B {( b) A b B} Tích đề các c Qu hệ A {( b c) A b B c C} A B C Qu hệ hi gôi R trê X là tập co o phả ạ ếu R A đọc khôg thuộc A R X X gọi là có tíh: X

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số Áh ạ o đối ứg ếu o bắc cầu ếu o phả đối ứg ếu R R R R R R z R Qu hệ hi gôi R trê X được gọi là qu hệ tươg đươg ếu ó có tíh phả ạ đối ứg bắc cầu ký hiệu ~ { X ~ } Lớp tươg đươg củ ký hiệu Qu hệ hi gôi R trê X được gọi là qu hệ thứ tự ếu ó có tíh phả ạ phả đối ứg và bắc cầu ký hiệu Qu hệ thứ tự trê X được gọi là qu hệ thứ tự toà phầ ếu hi phầ tử bất kỳ củ X đều có thể so sáh được với hu ghĩ là hoặc Qu hệ thứ tự khôg toà phầ được gọi là qu hệ thứ tự bộ phậ Áh ạ: Áh ạ từ tập X vào tập Y là ột qu luật cho ứg ỗi X với ột và chỉ ột Y ký hiệu f : X Y b Phâ loại: ảh f () hoặc f () được gọi là côg thức ác địh f là ột đơ áh ếu f ( ) f ( ) z f là ột toà áh ếu f là ột sog áh ếu f ( X ) Y f vừ đơ áh vừ toà áh Nếu f là ột sog áh thì có áh ạ gược bởi: f ( ) f ( ) cũg là ột sog áh f : Y X ác địh c Các phép toá Hợp củ hi áh ạ f : X Y và g : Y Z là áh ạ g o f : X Z ác địh bởi g o f ( ) g( f ( ) ) Lực lượg củ tập hợp : Hi tập hợp gọi là cùg lực lượg ếu có ột sog áh từ tập à lê tập ki Tập có cùg lực lượg với { }

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số được gọi là tập hữu hạ có phầ tử Tập rỗg là tập hữu hạ có phầ tử Tập khôg hữu h được gọi là tập vô hạ Tập cùg lực lượg với tập số tự hiê được gọi là tập vô hạ đế được Tập số thực khôg đế được Giải tích tổ hợp Số các hoá vị phầ tử là P! Số các chỉh hợp lặp chập p củ phầ tử là Số các chỉh hợp khôg lặp chập p củ phầ tử là! A p ( )( p ) ( p)! Số các tổ hợp chập p củ phầ tử là p p A! C p! ( p)! p! Nhị thức Niu-tơ p p p ( b) C C b Cb C b p Sơ lược về phép đế p o Côg thức cộg: o Côg thức hâ: A B A B A B A Ak A Ak o Chỉh hợp có lặp: { } B f : A B A o Nếu f : A B sog áh thì A B A P ( A) Các cấu trúc đại số Luật hợp thàh trog h cò gọi là phép toá hi gôi trê tập X là ột áh ạ từ X X vào X ký hiệu *: X X X ( ) * Luật hợp thàh trog * củ tập X được gọi là: Có tíh kết hợp ếu z X : ( z) ( ) z Có tíh gio hoá ếu X :

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số Có phầ tử trug hoà (h có phầ tử đơ vị) là X : e e e X ếu Giả sử * có phầ tử trug hoà e X Phầ tử ' X được gọi là phầ tử đối ứg củ X ếu ' ' e Tập khác trốg G với luật hợp thàh * được gọi là ột vị hó ếu * có tíh kết hợp và có phầ tử trug hoà Vị hó là ột hó ếu ọi phầ tử củ G đều có phầ tử đối Nếu * có tíh gio hoá thì hó (G*) được gọi là hó gio hoá h hó Abel Vàh ( A ) trog đó " " là hi luật hợp thàh trog củ A φ thoả ã: ( A ) là ột hó Abel Luật hâ có tíh kết hợp Luật hâ có tíh phâ phối hi phí đối với luật cộg ghĩ là: z A : ( z) z phâ phối bê trái z A : ( ) z z z phâ phối bê phải Nếu thoả ã thê điều kiệ: Luật hâ có tíh gio hoá thì ( A ) là vàh gio hoá Luật hâ có phầ tử đơ vị là thì ( A ) là vàh có đơ vị Vàh khôg có ước củ được gọi là vàh guê Trườg là ột vàh gio hoá có đơ vị ( K ) so cho ọi phầ tử củ K đều khả ghịch (có phầ tử đối củ luật hâ) ( ) Đại số Bool: ( ) ( ) là trườg ( ) là trườg khi và chỉ khi là số guê tố Đại số Boole ( B ' ) là ột tập khác trốg B với hi phép toá hi gôi : B B B và phép toá ột gôi ': B B thoả ã các tiê đề su: B: có tíh kết hợp ghĩ là với ọi b c B ( b c) ( b) c ( b c) ( b) c

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số B: có tíh gio hoá ghĩ là với ọi b B b b b b B: Tồ tại các phầ tử khôg và phầ tử đơ vị và với ọi B B so cho B: Với ọi B thì ' B là phầ tử đối theo ghĩ là: ' ' B: Luật phâ phối đối với luật và luật phâ phối đối với luật ghĩ là với ọi b c B ( b c) ( b) ( c) ( b c) ( b) ( c) Hi côg thức Boole trog đại số Boole ( B ' ) được gọi là đối gẫu ếu trog ột côg thức t th bằg thì t được côg thức hi Nguê lý đối gẫu: Nếu ột côg thức củ đại số Boole được chứg ih là đúg dự trê cơ sở hệ tiê đề B-B thì côg thức đối gẫu củ chúg cũg đúg Có thể áp dụg đại số Boole để giải quết các bài toá về ạch điệ thiết kế ột ạg thoả ã hữg êu cầu ào đó rút gọ ạg điệ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu : Hã chọ câu trả lời đúg hất; ) "Mọi số guê tố đều là số lẻ có phải khôg?" là ột ệh đề lôgich toá học b) "Trái đất qu ug quh ặt trời" khôg phải là ột ệh đề lôgich toá học c) Mệh đề p p luô đúg d) Tất cả các ý trê đều si Câu : Hã chọ câu trả lời đúg hất ) ( p p q) ) q ( b) p q) ( p q ) c) ( p q) ( q r) ) ( p r) ( ( d) Tất cả các ý trê đều đúg Câu : Cho tập A và phầ tử củ A Điều ào su đâ si ) A b) A c) φ P ( A) d) P ( A) φ

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số si: Câu : Giả sử A B C D là tập co củ E Trườg hợp ào su đâ là ) A \ B φ khi và chỉ khi A B b) Nếu A B C D thì A C B D A C B D c) A A A d) Nếu A C A B A C A B thì C B Câu : Cho A B là hi tập co củ E Hã chọ câu trả lời đúg hất: ) A B B A b) A B A B B A B E c) A B A B A B A φ d) Tất cả các ý trê đều đúg Câu : Cho A B là hi tập co củ E Hã chọ câu trả lời đúg hất: ) A \ ( A \ B) A B b) A ( B \ C) ( A B) \ ( A C) c) A ( B \ A) A B si: d) Tất cả các ý trê đều đúg Câu : Giả sử A B C D là tập co củ E Trườg hợp ào su đâ là ) A B φ ( A B) ( B A) φ b) ( A C) ( B D) ( A B) ( C D) c) ( A C) ( B D) ( A B) ( C D) d) Nếu A B C D thì A C B D Câu 8: Trog các trườg hợp su đâ trườg hợp ào thì hi tập hợp A và B khôg bằg hu ) { > } A { > } B b) A là tập ọi số thực B là tập ọi số thực trị tuệt đối củ chíh ó

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số c) A ; B { } d) A là tập các số tự hiê guê tố hỏ hơ { } B Câu 9: Qu hệ ào trog các trườg hợp su đâ là qu hệ tươg đươg trog tập các số guê ) R b chi hết cho b b) R b khôg guê tố với b R c) b ( b) ( và b guê tố cùg hu) d) R b bm trog đó là ột số tự hiê cho trước Câu : Trog ét qu hệ tươg đươg R ác địh bởi: R b b b Tì lớp tươg đươg củ trog các trườg hợp su: ) Trị tuệt đối củ thoả ã: > b) Trị tuệt đối củ thoả ã: c) Trị tuệt đối củ thoả ã: < vµ d) Trị tuệt đối củ thoả ã: Câu : Qu hệ R ào trog các trườg hợp su đâ là qu hệ thứ tự trog tập tươg ứg ) R b b b b) R b bm b * R P c) A B A B A B ( X ) * là tập các số guê dươg trog đó X φ là ột tập cho trước d) Tất cả các trườg hợp trê đều là qu hệ thứ tự Câu : Tì các ví dụ về tập được sắp ( E ) và hi tập co A B E thoả ã: ) Tồ tại sup A hưg khôg tồ tại sup B b) Tồ tại sup B hưg khôg tồ tại sup A c) Tồ tại sup A Ahưg tồ tại B

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số d) Tồ tại if A hưg khôg tồ tại sup A Câu : Các áh ạ f : ào su đâ là đơ áh: ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) b c; b c Câu : Cho hi áh ạ f g : ác địh bởi: Hã ác địh: f ( ) Õu g( ) ( ) Õu ch½ ) f o g b) g o f c) f o f d) f o g o f lî Câu : Giả sử A B C D là tập co củ X Õu A Đặt I A ( ) và gọi là hà đặc trưg củ tập A Õu A Hã chọ câu trả lời đúg hất: ) I A I A I A ; I X \ A I A b) I A B I A IB ; I A B I A I B I A IB c) A B I A I B d) Tất cả các ý trê đều đúg Câu : Cho áh ạ f đúg: : X Y và A B X Điều ào su đâ luô luô ) A B f ( A) f ( B) b) f ( A B) f ( A) f ( B) c) f ( A B) f ( A) f ( B) d) f ( B \ A) f ( B) \ f ( A) Câu : Cho áh ạ f luô đúg: ) f ( C D) f ( C) f ( D) b) C D f ( C) f ( D) c) f ( C D) f ( C) f ( D) : X Y và C D Y Điều ào su đâ khôg luô 8

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số d) f ( C \ D) f ( C) \ f ( D) Câu 8: Ký hiệu h g o f là hợp củ hi áh ạ f : X Y g : Y Z Điều ào su đâ khôg luô luô đúg: ) f g đơ áh thì h đơ áh b) f g toà áh thì h toà áh c) h đơ áh thì g đơ áh d) h toà áh thì g toà áh Câu 9: Ký hiệu h g o f là hợp củ hi áh ạ f : X Y g : Y Z Điều ào su đâ khôg luô luô đúg: ) h đơ áh thì f đơ áh b) h toà áh thì f toà áh c) h đơ áh và f toà áh thì g đơ áh d) h toà áh và g đơ áh thì f toà áh Câu : Cho hi phép thế củ tập { }: σ μ Tì: ) σ o μ b) μ o σ c) σ d) μ Câu : Với các chữ số có thể lập được bo hiêu số: ) Gồ chữ số khác hu b) Số chẵ gồ chữ số khác hu c) Số lẻ gồ chữ số khác hu d) Số chẵ gồ chữ số bất kỳ Câu : Tíh giá trị ) A b)!! A! 8!!! A c) 9!!! A d) A Câu : Tì tất cả các số tự hiê dươg thoả ã! ( )! ( )! ) b) c) d) 9

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số Câu : Mười gười bạ đi e phi cùg gồi ột hàg ghế chơi trò đổi chỗ cho hu Cho rằg ột lầ đổi chỗ ất hết ột phút hỏi thời gi họ đổi chỗ cho hu là bo hiêu? ) Hết gà đê b) Hết gà đê c) Hết gà đê d) Hết gà đê Câu : Một hợp tác ã có ã viê Họ uố bầu ột gười là chủ hiệ ột thư ký ột thủ quỹ à khôg kiê hiệ Giả sử ọi ã viê đều có khả ăg được chọ hư hu hỏi có bo hiêu cách chọ? ) Có cách b) Có 8 cách c) Có 8 cách d) Có 8 cách Câu : Một hợp tác ã có ã viê Họ uố bầu ột hội đồg quả trị gồ ột chủ hiệ ột thư ký ột thủ quỹ à khôg kiê hiệ Giả sử ọi ã viê đều có khả ăg được chọ hư hu hỏi có bo hiêu cách chọ? ) Có cách b) Có cách c) Có 8 cách d) Có 8 cách Câu : Một cái hộp đựg quả cầu trog đó có quả cầu trắg và quả cầu đỏ Hỏi có bo hiêu cách: ) Lấ r quả cầu từ hộp b) Lấ r quả cầu trog đó có đúg quả cầu đỏ c) Lấ r quả cầu trog đó có hiều hất quả cầu đỏ d) Lấ r quả cầu trog đó có ít hất quả cầu đỏ Câu 8: Hã chọ câu trả lời đúg hất: ) b) c) k k k C C C C C C C C C C C C C C C d) Tất cả các ý trê đều đúg Câu 9: Tì số hạg lớ hất trog khi triể củ hị thức ( 9) ) 9 C c) 9 C 9

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số b) 9 C d) 9 C 9 Câu : Phép toá ào su đâ khôg phải là ột luật hợp thàh trog: ) Phép cộg hi véc tơ b) Tích vô hướg hi véc tơ c) Phép cộg hi đ thức d) Phép hâ hi hà số Câu : Phép hợp thàh trog ào su đâ khôg có tíh gio hoá: ) Phép cộg các số thực b) Phép hâ các số tự hiê c) Phép hợp các áh ạ từ tập E φ vào chíh tập E d) Phép cộg các hà số Câu : Trườg hợp ào su đâ khôg có cấu trúc hó ) Tập các số tự hiê với phép cộg b) Tập các số tự hiê với phép cộg c) Tập các số hữu tỉ khác khôg d) Tập các số hữu tỉ dươg khác khôg * với phép hâ * với phép hâ Câu : Giả sử ( G *) là ột hó Điều ào su đâ khôg đúg: ) Phầ tử trug hoà e là du hất b) Với ỗi phầ tử phầ tử đối ' củ ó là du hất c) Phầ tử trug hoà e khôg có phầ tử đối d) Thoả ã luật giả ước ghĩ là ếu * * z thì z Câu : Trog ỗi tập số su đâ với phép cộg số và phép hâ số trườg hợp ào khôg phải là ột vàh: ) Tập các số guê chẵ b) Tập các số hữu tỉ dươg c) Tập các số có dạg b và b guê d) Tập các số guê ôđulô p Câu : Cho A là ột vàh Phầ tử A được gọi là luỹ lih ếu tồ tại ột số tự hiê so cho Điều ào su đâ khôg đúg:

Chươg : Mở đầu về logic ệh đề tập hợp áh ạ và các cấu trúc đại số ) Nếu luỹ lih và thì cũg lũ lih b) Nếu luỹ lih và thì cũg lũ lih c) Nếu A luỹ lih thì tồ tại d) Nếu A luỹ lih thì tồ tại ( ) Câu : Hã ác địh các côg thức đại số Boole ào su đâ là tươg đươg: ) ( z) ( ' ) b) ( ) z ' c) ( ) ( ' z) ( z) d) [ ( z) ] [ z ( ) ] Câu : Côg thức [ ( ' z) ( z' )] ( z) côg thức ào su đâ: ' có côg thức rút gọ là ) z c) ( ' ) z b) z d) ( z' ) Câu 8: Trườg hợp ào su đâ là côg thức rút gọ củ ạg ) ( z) b) ( z) c) z ( ) d) ( z)

Chươg : Khôg gi véc tơ CHƯƠNG : KHÔNG GIAN VÉC TƠ MỤC TIÊU YÊU CẦU Ý NGHĨA Khái iệ khôg gi véc tơ có guồ gốc từ vật lý B đầu các véc tơ là hữg đoạ thẳg có địh hướg với khái iệ à gười t đã sử dụg để biểu diễ các đại lượg vật lý hư: véc tơ vậ tốc lực tác độg lực điệ từ Các hà vật lý cò sử dụg phươg pháp véc tơ Fresel để tổg hợp các do độg điều hoà Cuối thế kỷ Descrtes đã đề uất phươg pháp toạ độ để giải quết các bài toá hìh học Với phươg pháp à ỗi véc tơ trog ặt phẳg được đồg hất với ột cặp số là hoàh độ và tug độ cò véc tơ trog khôg gi được đồg hất với bộ b số Các phép toá củ véc tơ (cộg véc tơ hâ số với véc tơ) có thể chuể tươg ứg bằg phép toá trê các bộ số và thoả ã ột số tíh chất ào đó Trog hiều lĩh vực khác chúg t cũg thấ hữg đối tượg khác hư các đ thức hà số vv có các phép toá thoả ã các tíh chất tươg tự các véc tơ Điều à dẫ đế việc khái quát hoá khái iệ véc tơ Trog các côg trìh về số quterio từ ă 8 củ hà toá học Ah Hilto gười t có thể tì thấ ột dạg thô sơ củ khái iệ khôg gi vec tơ và chiều Hilto dùg các số quterio để ghiê cứu các vấ đề toá lý Su đó các hà vật lý hư Mwell và Gibbs đã phát triể dầ lý thuết khôg gi véc tơ chiều Khái iệ khôg gi véc tơ chiều được Eistei (Ah-th) sử dụg trog thuết tươg đối Ngà lý thuết khôg gi véc tơ hiều chiều được sử dụg rộg rãi trog hiều lĩh vực khác hu củ toá học và các gàh kho học khác Chúg t thấ khái iệ khôg gi véc tơ được hìh thàh qu ột quá trìh lâu dài trê cơ sở các thàh tựu về lý thuết cũg hư ứg dụg thực tế và khái quát hoá co Vì vậ để học tốt chươg à đồi hỏi gười học phải ắ vữg khái iệ khôg gi véc tơ vói ức độ trừu tượg co cò các ô hìh cụ thể là các khôg gi chiều chiều t đã biết Đối tượg củ t ở đâ là các khôg gi véc tơ hữu hạ chiều Đó là các khôg gi có hệ sih hữu hạ Trog khôg gi à ọi véc tơ đều có thể biểu diễ thàh tổ hợp tuế tíh củ các véc tơ củ hệ sih Muố cho biểu diễ à là du hất thì hệ sih phải độc lập tuế tíh lúc đó t gọi là ột cơ sở củ khôg gi véc tơ Các hệ số trog biểu diễ ở trê được gọi là toạ độ củ véc tơ

Chươg : Khôg gi véc tơ Học viê cầ luệ tập tì toạ độ củ ột véc tơ trog các cơ sở khác hu Tì hệ co độc lập tuế tíh tối đại củ ột hệ véc tơ cho trước Tì hạg củ ột hệ véc tơ tì chiều củ khôg gi co Côg thức chiều củ tổg hi khôg gi véc tơ co chiều củ gio củ hi khôg gi véc tơ co Thấ được ối liê hệ giữ hệ co độc lập tuế tíh tối đại củ hệ sih và cơ sở liê hệ giữ hạg củ hệ sih và chiều củ khôg gi sih bởi hệ sih à (địh lý ) Liê hệ với hữg phép toá và tíh chất véc tơ đã biết ở phổ thôg TÓM TẮT NỘI DUNG Khái iệ khôg gi vectơ Khôg gi véc tơ trê trườg K là tập V khác φ với hi phép toá: * Phép toá trog * Phép toá goài V V V K V V ( u v) u ( α u) αu thoả ã các tiê đề su với ọi u v w V và α β K ( u v) w u ( v w) Có V so cho u u u Với ỗi u V có u V so cho u ( u) ( u) u u v v u ( α β ) u αu βu α ( u v) αu αv ( αβ ) u α( βu) u u trog đó là phầ tử đơ vị củ K Khi Khi K thì V được gọi là khôg gi véc tơ thực K thì V thì được gọi là khôg gi véc tơ phức Các phầ tử củ V được gọi là các véc tơ các phầ tử củ K được gọi là các phầ tử vô hướg Vì ( V ) là ột hó Abel ê véc tơ và véc tơ đối u củ u là du hất với ọi u V Có luật giả ước: u v u w v w Với ọi u V u ( ) u u

Chươg : Khôg gi véc tơ Với ọi α K α Nếu α u thì α hoặc u T địh ghĩ u v : u ( v) khi đó u v w u w v Với các véc tơ u u u V và với ọi α α α K do tíh kết hợp củ phép cộg ê t có thể địh ghĩ theo qui ạp: α kuk αu αu ( αu αu ) αu V k biểu thức à được gọi là ột tổ hợp tuế tíh củ các véc tơ Trog giáo trìh à t chỉ ét thực Khôg gi vectơ co Khôg gi véc tơ co: Tập co u u K ghĩ là chỉ ét các khôg gi véc tơ W φ củ V so cho hi phép toá từ V thu hẹp vào W trở thàh khôg gi véc tơ (thoả ã các tiê đề V-V8) thì W được gọi là khôg gi véc tơ co củ V (h ói tắt: khôg gi co củ V ) b Khôg gi co W bé hất chứ hệ véc tơ S được gọi là khôg gi sih bởi hệ S ký hiệu W sp S và S được gọi là hệ sih củ W W sp S bằg tập hợp tất cả các tổ hợp tuế tíh củ S Nếu V sp S S { v v } hữu hạ thì V được gọi là khôg gi hữu hạ sih Lúc đó với ọi u V ; u v v c Tổg củ ột họ khôg gi véc tơ co: Giả sử W W là khôg gi co củ V T ký hiệu W W là tổg củ các khôg gi co W W và địh ghĩ hư su: u W W u u u ui Wi ; i Tu hiê ói chug cách viết trê khôg du hất u W W Khi với ỗi cách viết trê du hất thì tổg các khôg gi co à được gọi là tổg trực tiếp Lúc đó t ký hiệu: W W Tổg W W là tổg trực tiếp khi và chỉ khi W W {} T có thể chứg ih được W W sp( W ) W

Chươg : Khôg gi véc tơ Một cách tổg quát t địh ghĩ và ký hiệu tổg củ ột họ các khôg gi W véc tơ co ( i ) i I là Wi sp U Wi i I i I Vậ Wi { ui ui ui Wi i j I j k; k } i I Độc lập tuế tíh Hệ véc tơ S { u } k j j u củ V được gọi là độc lập tuế tíh ếu: α u αu α α thì α α Hệ khôg độc lập tuế tíh được gọi là phụ thuộc tuế tíh Hệ co { v v } củ hệ S được gọi là độc lập tuế tíh tối đại củ S ếu ó là hệ độc lập tuế tíh và ếu thê bất kỳ véc tơ ào củ S thì t có hệ phụ thuộc tuế tíh Mọi hệ véc tơ S đều có hệ co độc lập tuế tíh tối đại số véc tơ củ các hệ co độc lập tuế tíh tối đại củ S đều bằg hu và t gọi là hạg củ S ký hiệu r (S) hất Mỗi hệ sih độc lập tuế tíh củ V được gọi là ột cơ sở củ V Nếu B { e e } là ột cơ sở củ V Lúc đó với ọi u V ; tồ tại du so cho u v v [] u B ( ) được gọi là toạ độ củ véc tơ u trog cơ sở B Mọi khôg gi hữu hạ sih V đều tồ tại cơ sở Số phầ tử củ ọi cơ sở củ V đều bằg hu và được gọi là số chiều củ V ký hiệu di V ( sps ) r( S ) di CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu : Trườg hợp ào su đâ tập ghĩ là khôg gi véc tơ ) ( z) ( ' ' z') ( ' ' z z) α ( z) ( α z) ; α b) ( z) ( ' ' z') ( ' ' z z') α ( z) (α α α z ) ; α với các phép toá được địh

Chươg : Khôg gi véc tơ c) ( z) ( ' ' z') ( ' α ( z) () ; α ' z z' ) d) ( z) ( ' ' z') ( ' ' z z') α ( z) ( α α α z) ; α Câu : Với các phép cộg hi hà số và phép hâ hà số với số thực tập các hà số ào su đâ là khôg gi véc tơ ) Tập các hà số khôg â trê [ b] b) Tập các hà số bị chặ trê [ b] c) Tập các hà số khả vi trê [ b] ( có đạo hà tại ọi điể) d) Tập các hà số trê [ b] so cho f ( b) Câu : Tập hợp các véc tơ có dạg ào su đâ khôg là khôg gi co củ ) Các véc tơ có dạg ( z) b) Các véc tơ có dạg ( ) c) Các véc tơ có dạg ( z) thoả ã z d) Các véc tơ có dạg ( z) z z Câu : Tập hợp các véc tơ có dạg ào su đâ khôg là khôg gi co củ ) Các véc tơ ( z) thoả ã z b) Các véc tơ ( z) thoả ã c) Các véc tơ ( z) thoả ã z d) Các véc tơ ( z) thoả ã Câu : Tì véc tơ u su củ khôg gi ( v u) ( v u) ( v ) u trog đó v ); v (); v ( ) ( ) u (8) b) u ( ) c) u ( ) d) u () thoả ã phươg trìh:

Chươg : Khôg gi véc tơ Câu : Hã biểu diễ véc tơ u thàh tổ hợp tuế tíh củ v v v : ) u ( ) ; v () v (8) v ( ) b) u ( ) ; v ( ) v ( ) v (9 ) c) u (9) ; v ( ) v ( ) v ( ) d) u ( ) ; v ( ) v ( ) v ( ) Câu : Hã ác địh λ so cho là tổ hợp tuế tíh củ ( λ) ; u () v (8) w ( ) u v w : ) λ c) λ b) λ d) λ Câu 8: Hệ véc tơ ào su đâ sih r 8 ) u ( ) v ( ) w ( ) b) u ( ) v ( ) w ( 8 8 ) c) u ( ) v ( ) w ( 9) s ( ) d) u () v () w ( ) Câu 9: Hệ véc tơ ào su đâ củ ) u ( ) v ( ) w ( ) là độc lập tuế tíh b) u ( ) v (8) w ( 8 8 ) ( 9) c) u ( ) v ( ) w ( ) d) u ( ) v () w ( ) Câu : Hệ véc tơ ào dưới đâ là độc lập tuế tíh ) u ( ) v ( 9) trog b) u ( ) v ( ) w ( ) trog c) u () v () (8 ) w trog d) u ( ) v ( ) w ( 9 ) s ( ) trog Câu : Tì λ để hệ véc tơ su phụ thuộc tuế tíh:

Chươg : Khôg gi véc tơ u ( λ ) v ( λ ) w ( λ) ) λ c) λ λ / b) λ λ / d) λ Câu : Xác địh hệ véc tơ ào su đâ là ột cơ sở củ khôg gi ) u ( ) v ( ) b) u ( ) v (8) w ( 8 8 ) ( 9) c) u ( ) v ( ) w ( ) d) u ( ) v ( ) w () Câu : Xác địh toạ độ củ véc tơ v ( ) viết trog cơ sở B {()()() } củ khôg gi 9 ) [ v ] 8) b) [ ] ) B ( v ( c) [ v ] ( 8) d) [ ] ( 8) B B v Câu : Tì chiều củ các khôg gi co củ ) Các véc tơ có dạg ( t) B b) Các véc tơ có dạg ( z t) với z và t c) Các véc tơ có dạg ( z t) với z t d) Các véc tơ có dạg ( z t) với z t Câu : Tì hạg r củ hệ véc tơ su củ khôg gi : v () ; v ( ); v ( ) ; ( ) ) r c) r b) r d) r v Câu : Tì chiều củ khôg gi co sih bởi hệ các véc tơ su: ) v ( ) v ( ) v ( ) b) v ( ) v ( ) v ( ) c) v ( ) v ( ) v ( ) v ( )

Chươg : Khôg gi véc tơ v () d) v ( ) v ( ) v ( ) Câu : Trog khôg gi v () v ( ) ét các véc tơ: v ( ) ; v ( ) ; v ( ) ; u (8 ) ; u ( ) ; u (8 8) Đặt V sp{ v v v } V sp{ u u u } Hã tì số chiều củ các khôg gi co V V V V V V ) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di b) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di c) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di d) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di Câu 8: Trog khôg gi ét các véc tơ: v () ; v ( ); v ( ); u ( ) ; u ( ) ; u () Đặt V sp{ v v v } V sp{ u u u } Hã tì số chiều củ các khôg gi co V V V V V V ) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di b) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di c) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di d) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di Câu 9: Cho hi hệ véc tơ: v ) v ( ) v () và ( u ( ) u () u () Đặt V sp{ v v v } V sp{ u u u }

Chươg : Khôg gi véc tơ Hã tì số chiều củ các khôg gi co V V V V V V ) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di b) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di c) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di d) ( V ) di( V ) di( V V ) di( V V ) di Câu : Cho véc tơ v v v củ khôg gi véc tơ V Khẳg địh ào su đâ là si: lập ) Nếu { v v } độc lập thì { v v v v} b) Nếu { v v v } độc lập thì { v v v v v v } c) Nếu { v v v } độc lập thì cũg độc lập { v v v v v v v v v } cũg độc lập cũg độc lập d) Nếu { v v v } độc lập thì { v v v v v v v } cũg độc Câu : Giả sử W W là hi khôg gi co củ khôg gi véc tơ V Phát biểu ào su đâ khôg đúg: ) W W là hi khôg gi co củ W W b) W W là khôg gi co củ W W c) W W là khôg gi véc tơ hỏ hất chứ W W d) Tổg W W là tổg trực tiếp W W khi và chỉ khi W W φ Câu : Phát biểu ào su đâ khôg đúg: ) Nếu W W là hi khôg gi co củ diw diw thì W W { } b) diw W diw diw c) Tồ tại W W là hi khôg gi co củ khôg gi véc tơ V thoả ã diw diw di V và diw W d) Nếu W W là hi khôg gi co củ diw diw và W W thì W W

Chươg : Khôg gi véc tơ Câu : Cho u ( ) và v ( ) là hi véc tơ củ k ào thì k ) sp{ u v} ( ) k 9 c) k b) k d) k 8 Câu : Cho u ( ) và v ( ) là hi véc tơ củ su đâ thuộc khôg gi sp { uv} ) ( ) c) ( ) b) ( ) d) ( 8) sp{ ();( ) } Câu : Cho W {( ) } khôg gi véc tơ co củ W W Với giá trị Véc tơ ào W là hi Véc tơ ào su đâ thuộc vào khôg gi co ) ( ) c) ( ) b) ( ) d) ( ) Câu : Cho W W W là b khôg gi véc tơ co củ ác địh W ( z) z W {( z) z} W {( z) z } hư su: { } Hã tì câu trả lời đúg hất ) W W b) W W c) W W d) Tất cả các trườg hợp trê đều dúg

Chươg : M trậ CHƯƠNG : MA TRẬN MỤC TIÊU YÊU CẦU Ý NGHĨA Lý thuết trậ có ặt khắp ơi trog toá học cũg hư trog các gàh kho học khác Vì vậ chúg t dễ lầ tưởg rằg lý thuết trậ r đời đã lâu lắ hưg thực tế lý thuết à ới r đời từ đầu thế kỷ 9 ặc dù hiều loại bảg số có tíh chất đặc biệt đã được biết đế từ hàg tră ă Các trậ vuôg uất hiệ đầu tiê ở đầu thế kỷ 9 trog các côg trìh về dạg toà phươg h về các phép thế tuế tíh Phép hâ hi trậ vuôg cấp được Guss (Gu-ơ) đư r vào ă 8 Tê gọi trậ được hà toá học Ah Slvester (Svét) đư r ă 8 Cle (Kê-li) là gười đầu tiê ô tả ột cách tổg quát các phép tíh với các trậ bất kỳ và trậ ghịch đảo (88) Peo là gười đầu tiê đư r cách biểu diễ ột áh ạ tuế tíh qu các trậ Cò Guss là gười đầu tiê sử dụg trậ để ghiê cứu các dạg toà phươg Ký hiệu trậ cô đọg rất có ích và thuậ tiệ trog khi thực hiệ các phép biế đổi tuế tíh (chươg ) và cho phép t phát triể ột phươg pháp hoà chỉh để giải các hệ phươg trìh vi phâ tuế tíh Sự qu tâ củ các hà vật lý đối với lý thuết trậ đặc biệt tăg lê su khi Heiseberg Bor Jord vào ă 9 đã dùg ó trog các bài toá củ cơ học lượg tử Sự phát triể củ á tíh hiệ đại thực hiệ dễ dàg hữg phép tíh trậ cơ bả càg thúc đẩ thê sự ứg dụg rộg rãi trậ vào hữg lĩh vực khác Có gười ví trậ hư là số học củ toá co cấp Cách ví vo à hoà toà hợp lý vì trậ được sử dụg rộg rãi trog các chuê gàh khác hu củ toá học Với tư cách là sự biểu diễ củ các phép biế đổi tuế tíh trậ được sử dụg trog các bài toá cực trị củ hà hiều biế đạo hà hà hợp trậ Jcobi trog phép đổi biế số giải các hệ phươg trìh vi phâ tuế tích Các trậ dươg dùg để ô tả các đặc trưg củ véc tơ gẫu hiê ô tả ác suất chuể củ chuỗi Mrkov trog lý thuết ác suất Giải các bài toá qu hoạch tuế tíh Phâ loại các đườg ặt bậc Chươg trìh phầ ề MATLAB (Mtri lbortor) hỗ trợ cho việc tíh toá đồ hoạ và ô phỏg cũg được thực hiệ trog ôi trườg trậ Nắ vữg khái iệ trậ giúp học viê học tốt các chươg Trog chươg à t chỉ ét khái iệ trậ cùg với các phép toá cộg trậ hâ ột số với trậ hâ hi trậ và trậ chuể vị

Chươg : M trậ Cộg hi trậ cùg cỡ được thực hiệ bằg cách cộg các phầ tử ằ trê các hàg các cột tươg ứg với hu Nhâ ột số với trậ là hâ số à với ọi phầ tử củ trậ Hi phép toá à được thực hiệ ột cách dễ dàg Phép hâ hi trậ chỉ thực hiệ được khi số cột củ trậ trước bằg số hàg củ trậ su Khi đó phầ tử ở hàg i cột j củ trậ tích có được bằg cách lấ các phầ tử trê hàg thứ i củ trậ trước hâ tươg ứg với các phầ tử trê cột thứ j củ trậ su rồi cộg lại Như vậ phép hâ trậ được thực hiệ khó hơ hiều Học viê cầ luệ tập hiều về phép hâ trậ Tập hợp các trậ cùg cỡ với phép cộg trậ và phép hâ ột số với trậ là ột khôg gi véc tơ Tập hợp các trậ vuôg cùg cấp với phép cộg trậ và phép hâ trậ với trậ là ột vàh có đơ vị khôg gio hoá và khôg guê M trậ củ ột hệ véc tơ trog ột cơ sở B ào đó là trậ có các cột là toạ độ củ hệ véc tơ à trog cơ sở B M trậ chuể từ cơ sở B sg cơ sở B' là trậ củ hệ véc tơ B' viết trog cơ sở B Hạg củ trậ là hạg củ hệ véc tơ cột M trậ ghịch đảo được ét trog chươg khi t đã học địh thức củ trậ Bài toá chéo hoá trậ được ét trog chươg cùg với bài toá chéo hoá tự đồg cấu tuế tíh M trậ trực gio và bài toá chéo hoá trực gio củ ột trậ được ét trog chươg bằg cách sử dụg tích vô hướg TÓM TẮT NỘI DUNG Khái iệ trậ Một bảg số có hàg cột A M được gọi là ột trậ cỡ M O M ij là phầ tử ở hàg thứ i và cột j i Viết tắt dạg A [ ij ] h A [ ] j ij Tuỳ theo các phầ tử ij là số guê thực h phức à t ói A là trậ guê thực h là trậ phức Khi t ói A là trậ vuôg cấp

Chươg : M trậ Tập hợp tất cả các trậ cỡ được ký hiệu M Tập hợp tất cả các trậ vuôg cấp được ký hiệu M trậ khôg [] o (các phầ tử đều bằg ) Hi trậ cùg cỡ bằg hu M A [ ij ] B [ b ] ij Các phép toá trậ ij bij với ọi i ; j Cộg hi trậ cùg cỡ: [ ij ] [ bij ] [ ij bij ] b Nhâ trậ với ột số: k[ ] [ ij ] ij k Nhâ trậ với trậ: Tích hi trậ A [ ij ] và B [ b ] p ij p trậ cỡ AB [ c ij ] trog đó cij p ik k b kj với ọi là i ; j c M trậ đơ vị cấp : M trậ I vuôg cấp có các phầ tử trê đườg chéo bằg và các phầ tử ở vị trí khác đều bằg Với ọi trậ A cỡ t có I A A AI d M trậ chuể vị: M trậ chuể vị củ trậ A [ ij ] t A [ c ] ; c i j ij ij ji là M trậ củ ột hệ véc tơ trog ột cơ sở ào đó Giả sử V là khôg gi chiều với ột cơ sở B { e e } { v v } là ột hệ véc tơ củ V có toạ độ trog cơ sở B : Nếu véc tơ { } v j ijei i v v trog cơ sở B M trậ chuể cơ sở : M trậ củ hệ véc tơ trậ chuể từ cơ sở B sg cơ sở B ' j thì A [ ij ] được gọi là trậ củ hệ B ' trog cơ sở B được gọi là

Chươg : M trậ Giả sử B { } ' { e ' ' } Nếu ij i e e e' t e j j i B là hi cơ sở củ V e thì P [ t ij ] là trậ chuể từ cơ sở B sg ' Nếu u V ; u iei ' i i i e' [ i ] [ tij ] [ ' ] j A A' lầ lượt là trậ củ { v v } Hạg củ trậ i B côg thức đổi tọ độ trog cơ sở B ' B thì A PA' T gọi hạg củ trậ A ký hiệu r (A) là hạg củ các véc tơ cột củ A CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu : Phép toá ào su đâ khôg thực hiệ được ) b) 9 8 9 c) d) 9 8 Câu : Cho A B C Tì A B C ) b) 9 c) d) 9 Câu : Tì z w ếu z w w z w ) z w b) z w

Chươg : M trậ c) z w d) z w Câu : Cho luô đúg A B C là trậ vuôg cấp Điều ào su đâ khôg ) A ( BC) ( AB)C b) A ( B C) AB AC c) A ( kb) ( ka) B k( AB) d) AB BA Câu : Cho A B Phép toá ào su đâ thực hiệ được ) A B b) AB c) A t B d) Câu : Cho ) c) 9 Câu : Cho ) 9 t AB A B Tíh AB 8 8 9 b) 9 d) 8 A Tíh A t A 8 b) c) d) Câu 8: Cho 9 8 9 8 A Tì A B I

Chươg : M trậ 9 ) b) 8 c) d) Câu 9: Tì ếu ) b) c) d) Các trườg hợp trê đều đúg Câu : Tì z w thoả ã z w z w ) z w b) w z ; tuỳ ý c) z w; z tuỳ ý d) z w ; tuỳ ý Câu : Cho A Tì A ) b) c) Câu : Tíh d) ) b) c) d) Câu : Cho trậ A [ ij ] vuôg cấp T gọi TrA (tổg các phầ tử trê đườg chéo chíh) là vết củ A Khẳg địh ào su đâ khôg đúg: ) Tr ( A B) TrA TrB 8

Chươg : M trậ b) Tr AB TrBA (ặc dù AB BA) c) Tồ tại trậ A B so cho AB BA I d) Nếu B P AP thì Tr A TrB Câu : Tì tất cả các trậ hiê > ào đó A z so cho A I với số tự ) A có dạg ; với tuỳ ý b) A có dạg ; với tuỳ ý c) A có dạg d) A có dạg ; với tuỳ ý Câu : Tập co W ào su đâ là khôg gi véc tơ co củ khôg gi véc tơ M các trậ vuôg cấp b ) W tập các trậ A thoả ã d bc c d b b) W tập các trậ A b d b c) W tập các trậ A thoả ã A A c d b d) W tập các trậ A b c tuỳ ý c Câu : Tì z so cho z (biểu diễ ột trậ thàh tổ hợp tuế tíh củ trậ khác) ) z b) z c) z d) z 9

Chươg : M trậ Câu : Viết trậ A củ hệ véc tơ { v v v } v v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) trog cơ sở chíh tắc củ khôg gi véc tơ ) c) A b) A d) A A Câu 8: Giả sử T là trậ chuể từ cơ sở B sg B ' củ khôg gi Cho B {( ) ( )( ) } tì B ' ) B ' {(8 )( 9)(9) } b) B ' {(9)( )(8) } c) B ' {()( )( ) } d) B ' {( 8)( 8 )( ) } Câu 9: Trog khôg gi Cho hi cơ sở B {() ()() } B ' {() ()( ) } liê hệ giữ toạ độ củ ột véc tơ trog hi cơ sở trê [ u ] ( z) [] u ( ' ' z' ) B ' ) ' ' z' 9' ' 9z' z ' ' 8z' b) 9' ' z' 9' ' z' z ' ' 8z' c) 9' ' z' 9' ' z' z ' ' 8z' d) 9' ' z' 9' ' z' z ' ' 8z' Tì côg thức B và

Chươg : M trậ Câu : Tì hạg củ trậ A ) r ( A) b) r ( A) c) r ( A) d) r ( A)

Chươg : Địh thức CHƯƠNG : ĐỊNH THỨC MỤC TIÊU YÊU CẦU Ý NGHĨA M trậ và địh thức gà luô đi liề với hu và i cũg ghĩ là khái iệ địh thức phải r đời su khái iệ trậ hưg sự thực gược lại Địh thức hìh thàh là hằ để giải các hệ phươg trìh tuế tíh à việc là à đã có ột lịch sử lâu đời trước đó Khái iệ địh thức lầ đầu tiê được Leibiz (Lépít) đư r vào ă 9 khi bà đế việc giải hệ phươg trìh tuế tíh Địh thức được tiếp tục phát triể và ghiê cứu qu các côg trìh củ Crer (Cờre) (Thụ sĩ) Vderode (Văđécôg) (Hà L) Lplce (Pháp) Jcobi (i-cô-bi) (Đức) Người đầu tiê ghiê cứu khái iệ địh thức ột cách hệ thốg là Cuch (Cô-si) (Pháp) Ngoài ứg dụg để giải hệ phươg trìh tuế tíh địh thức cò được sử dụg để ghiê cứu hữg vấ đề củ trậ hư: trậ ghịch đảo hạg củ trậ tì giá trị riêg Khảo sát tíh chất độc lập củ ột hệ véc tơ Địh thức Jcobi được sử dụg trog phép đổi biế số củ tích phâ hiều lớp Địh thức Wrosk (vrôg-ki) dùg để kiể tr tíh chất độc lập tuế tíh củ các ghiệ củ phươg trìh vi phâ tuế tíh thuầ hất Địh thức củ ột trậ vuôg được địh ghĩ bằg tổg củ các số hạg gồ tích củ các phầ tử trê tất cả các hàg ằ trê các cột khác hu và dấu củ hoá vị tươg ứg Tu hiê khi tíh địh thức t thườg sử dụg các tíh chất củ ó và phươg pháp khi triể theo hàg theo cột hoặc hiều hàg hiều cột (Địh lý Lplce) Để địh ghĩ địh thức t sử dụg khái iệ phép thế đó là ột sog áh từ ột tập có phầ tử vào chíh ó ảh củ phép thế là hoá vị Khái iệ phép thế hoá vị t đã gặp trog chươg trog ục giải tích tổ hợp Trog chươg à t ét đế hi ứg dụg củ địh thức là tì trậ ghịch đảo và tì hạg củ trậ Trog chươg t sẽ ứg dụg địh thức để giải hệ phươg trìh tuế tíh Trog chươg t sẽ ứg dụg địh thức để tì giá trị riêg củ trậ hoặc tự đồg cấu tuế tíh

Chươg : Địh thức Trog chươg t đã chỉ r rằg tập các trậ vuôg cùg cấp với phép cộg trậ và phép hâ trậ là ột vàh có đơ vị hưg khôg guê do đó ó khôg phải là ột trườg Vì vậ tồ tại hữg trậ vuôg khác trậ khôg và khôg khả ghịch Sử dụg tíh chất địh thức củ tích hi trậ bằg tích hi địh thức củ hi trậ à t chứg ih được điều kiệ cầ và đủ để ột trậ khả ghịch là địh thức củ ó khác Đồg thời t có côg thức tíh trậ ghịch đảo bằg ghịch đảo củ địh thức hâ với chuể vị củ trậ phụ hợp Hạg củ ột trậ bằg cấp co hất củ địh thức co khác chứ trog trậ Vì vậ êu cầu củ chươg à là phải ắ vữg được địh ghĩ địh thức củ ột trậ vuôg các tíh chất củ địh thức các phươg pháp tíh địh thức Từ đó có thể tíh toá thàh thạo địh thức củ các trậ thôg thườg vậ dụg để giải các bài toá về trậ ghịch đảo và hạg củ trậ và là côg cụ để học tiếp các chươg su Ngoài phươg pháp sử dụg địh thức t có thể sử dụg phươg pháp Guss- Jord để tì trậ ghịch đảo thực chất củ phươg pháp à là sử dụg phép biế đổi sơ cấp lê các hàg củ trậ TÓM TẮT NỘI DUNG Hoá vị và phép thế Mỗi sog áh :{ } { } σ được gọi là ột phép thế bậc Ảh củ ột phép thế được gọi là hoá vị Nếu có cặp i < j à σ ( i) > σ ( j) thì t ói có ột ghịch thế củ σ Giả sử k là số các ghịch thế củ σ t địh ghĩ và ký hiệu dấu củ phép thế σ : k sgσ ( ) Tập các phép thế bậc ký hiệu S Tập S có đúg! phầ tử Địh thức củ trậ vuôg Địh thức củ trậ vuôg A [ ij ] địh ghĩ bởi biểu thức: được ký hiệu là det A h A và

Tíh chất det A Chươg : Địh thức σ S sg σ σ () σ ( ) Nếu đổi chỗ hi hàg củ trậ thì địh thức đổi dấu () Địh thức có tíh chất tuế tíh đối với ỗi hàg () Từ ) và ) su r rằg trog ột trậ có hi hàg tỷ lệ thì địh thức bằg () Nếu t cộg vào ột hàg ột tổ hợp tuế tíh các hàg khác thì địh thức khôg th đổi () Địh thức củ trậ chuể vị bằg địh thức củ trậ đó: det A t det A () Từ ) su r rằg các tíh chất củ địh thức đúg với hàg thì cũg đúg với cột và gược lại Vì vậ t chỉ cầ chứg ih các địh lý về địh thức đúg với hàg Chẳg hạ từ ) su r ếu t cộg vào ột cột ột tổ hợp tuế tíh các cột khác thì địh thức khôg th đổi Địh thức củ ọi hệ véc tơ phụ thuộc tuế tíh đều bằg Với ọi trậ cùg cấp A B luô có det AB det Adet B det( A)(od p) sgσ σ () σ ( ) M O M σ S Các cách tíh địh thức Khi triể theo cột det A j A j j Aj gọi là côg thức khi triể củ A theo cột thứ j Trog đó i j A ij ) Mij ( M ij là địh thức củ trậ cấp - có được bằg cách oá hàg i cột j củ trậ A A ij được gọi là phầ bù đại số củ ij b Khi triể theo hàg

det i Ai Chươg : Địh thức A gọi là côg thức khi triể củ A theo hàg thứ i Khi triể k cột det A i < < i trog đó tử trê k hàg: k M j j i i j i jk (Địh lý Lplce) j j M i ik k k k j j A i i k k A i là địh thức củ trậ có được bằg cách lấ các phầ i ik và k cột: j jk là địh thức củ trậ t oá đi k hàg [ ij ] j j i ik A ij cò củ trậ [ ] i i M j jk i ik i ik và k cột j jk củ trậ j j j j i ik k A và A k k k ( ) M được gọi là phầ bù đại số củ M j j i i k k c Khi triể k hàg i ik (Địh lý Lplce) det A j < < j M trậ ghịch đảo k j j M i ik k j j A i i M trậ vuôg A được gọi là khả ghịch ếu tồ tại trậ vuôg cùg cấp B so cho AB BA I Vì phép hâ trậ có tíh kết hợp ê B ếu tồ tại thì du hất và t gọi là trậ ghịch đảo củ A ký hiệu A trog đó k k A khả ghịch khi và chỉ khi det A và A ij là phầ bù đại số củ phầ tử ij là trậ phụ hợp củ A A t B det A củ trậ [ ] với B [ A ij ] ij A được gọi Tì trậ ghịch đảo theo phươg pháp Guss-Jord: Để tì trậ A t thực hiệ các bước su: Viết trậ đơ vị I bê phải trậ A: A I

Chươg : Địh thức Thực hiệ các phép biế đổi sơ cấp đồg thời lê các hàg củ đư trậ A ở vế trái về trậ đơ vị Khi vế trái trở thàh trậ đơ vị thì vế phải là trậ A I I A b Tì hạg củ trậ bằg địh thức Giả sử [ ] ij A A I để A là ột trậ cỡ Nếu có địh thức co cấp p khác và ọi địh thức co cấp p bo quh ó đều bằg thì r ( A) p CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu : Trườg hợp ào su đâ đúg b ) b) b b Câu : Cho luô đúg k k c) d) k k k k k A B là hi trậ vuôg cấp Trườg hợp ào su đâ ) det( ka ) k det( A) b) det( A B) det( A) det( B) c) det( AB ) det( A)det( B) d) det( A) det( A) Câu : Trườg hợp ào su đâ khôg đúg ) b) Nếu A là trậ vuôg cấp có det( ) 9 c) ( ) ( A ) det A det( ) A là trậ vuôg cấp A thì det ( ) 8 t AA

Chươg : Địh thức d) 9 8 Câu : Tì tất cả các giá trị củ k so cho k k k ) k b) k k c) k k d) k k Câu : Trườg hợp ào su đâ khôg đúg ) Địh thức củ trậ vuôg có ột hàg là các số thì bằg khôg b) Địh thức củ trậ vuôg có hi hàg tỉ lệ thì bằg khôg c) Địh thức củ trậ vuôg có ột hàg tỉ lệ với ột cột thì bằg khôg d) Nếu th đổi vị trí hi hàg củ địh thức thì địh thứcđổi dấu Câu : Trườg hợp ào su đâ khôg đúg ) c b c b c b c b b c b b c b b b) c b c b c b c b b c b b c b b c) c c b b b c c b bc d) b c c b c b

Câu : Tíh địh thức Chươg : Địh thức D 9 ) D 9 b) D 8 c) D 8 d) D 8 Câu 8: Tíh địh thức D 9 ) D ( )( 9) b) D ( )( ) c) D ( )( 9) d) D ( )( ) Câu 9: Tíh địh thức D 9 ) D 8 b) D c) D 9 d) D 9 Câu : Tíh địh thức D ) D 8( )( )( ) b) D ( )( )( ) c) D ( )( )( ) d) D 8( ) ( ) 8 8

Câu : Tíh địh thức Chươg : Địh thức D ) D b) D c) D d) D Câu : Tíh địh thức b D c ) D b c b bc c b) D ( b c) b c c) D ( b c) d) D b c bc Câu : Cho trậ ào củ thì tồ tại trậ ghịch đảo A ; Với giá trị 9 A ) b) c) d) Câu : Cho trậ thì tồ tại trậ ghịch đảo A ; Với giá trị ào củ A ) b) c) d)

Chươg : Địh thức Câu : Tì trậ phụ hợp B củ trậ A ) 8 B b) B c) 8 B d) 9 8 B Câu : Cho trậ A Tì trậ ghịch đảo A ) A b) A c) A d) A Câu : Cho trậ A Tì trậ ghịch đảo A ) 9 8 A c) 9 8 A b) A d) A

Câu 8: Cho trậ ) b) Câu 9: Cho khôg đúg Chươg : Địh thức A Tì trậ ghịch đảo A 9 c) 9 A 9 d) 9 ) Nếu A A 8 9 9 A 8 A B C là hi trâ vuôg cùg cấp Điều ào su đâ A thì tồ tại ( A) I A A I b) Nếu A A I thì tồ tại A I A c) Nếu AB thì khôg tồ tại A d) Nếu det A và BA CA thì B C Câu : Tì hạg r (A) củ trậ ) c) khi r ( A) b) khi khi r ( A) d) khi A 9 8 khi r ( A) khi khi r ( A) khi Câu : Tì hạg r (A) củ trậ A

) b) c) d) Chươg : Địh thức khi r ( A) khi khi r ( A) khi khi r ( A) khi khi r ( A) khi Câu : Tì hạg r (A) củ trậ ) c) khi r ( A) khi b) khi khi r ( A) khi d) khi Câu : Tíh địh thức cấp A r ( A) khi khi khi khi r ( A) khi khi D M M M O M ) c) D b) D ( ) d) D ( ) D Câu : Giải phươg trìh 9

Chươg : Địh thức ) b) c) d) Câu : Giải phươg trìh 8 ) b) c) d)

Chươg : Hệ phươg trìh tuế tíh CHƯƠNG : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỤC TIÊU YÊU CẦU Ý NGHĨA Khi khảo sát các hệ tuế tíh thườg dẫ đế bài toá giải hệ phươg trìh tuế tíh Đối với hệ phi tuế gười t thườg giải quết bằg cách ấp ỉ tuế tíh Vì vậ hệ phươg trìh tuế tíh có rất hiều ứg dụg trog thực tế Cùg với sự phát triể củ côg ghệ thôg ti hiều bài toá ứg dụg giải tích toá học gà càg được ở rộg Nhiều bài toá trog các lĩh vực khác hu có thể đư về cùg ột vấ đề là giải hệ phươg trìh tuế tíh Có thể chỉ r đâ ột vài bài toá dạg à: - Sự phâ phối dòg điệ trog hữg sơ đồ có hiều ghép ối - Giải gầ đúg hữg bài toá củ lý thuết thế vị - Giải gầ đúg ột vài bài toá trog các vấ đề bức ạ điệ từ - Sự phâ phối vậ tốc các dòg ước trog các hệ thuỷ lực học phức tạp - Ứg dụg giải tích thốg kê vào tâ lý học ã hội học và kih tế học Hệ phươg trìh tuế tíh đã được biết đế rất sớ Ở Trug Quốc gười t tì thấ ột cuố sách có khoảg từ ă trước côg guê trog đó có hữg chỉ dẫ về việc dùg ột bà tíh để giải các hệ phươg trìh tuế tíh qu các ví dụ cụ thể Phươg pháp giải à chíh là thuật toá khử Guss Ở châu Âu thuật toá à đã được ô tả trog côg trìh củ Buteo (Pháp) ă trước Guss hơ hi thế kỷ Một phươg pháp khác để giải hệ phươg trìh tuế tíh là sử dụg địh thức củ Crer Thoạt tiê t có thể thấ rằg hìh hư vấ đề giải hệ phươg trìh tuế tíh đã cũ rồi và có thể giải quết bằg hữg phươg tiệ tíh toá sơ cấp que biết Tu hiê để giải các bài toá êu r ở trê t thườg phải khảo sát khoảg từ đế phươg trìh đồg thời Tìh trạg ấ trog thực hàh đã gâ r hiều khó khă lớ đế ổi hầu hư khôg thể giải quết ổi ếu chỉ dùg phươg pháp sơ cấp Với sự hỗ trợ củ á tíh và các thuật toá ới đã khiế cho hệ phươg trìh tuế tíh được ứg dụg hiệu quả để giải quết các bài toá thực tế

Chươg : Hệ phươg trìh tuế tíh Một hệ phươg trìh tuế tíh có thể viết dưới dạg trậ dưới dạg ột véc tơ là ột tổ hợp tuế tíh củ ột hệ các véc tơ khác hoặc biểu thức toạ độ củ ột áh ạ tuế tíh (chươg ) Nếu t ký hiệu các hệ số củ hệ phươg trìh có ẩ thàh ột trậ cỡ các ẩ thàh trậ cột các hệ số vế su thàh trậ cột thì hệ phươg trìh đã cho có thể biểu diễ dưới dạg trậ Với cách biểu diễ à t thấ ếu trậ các hệ số khả ghịch thì hệ phươg trìh có du hất ghiệ (hệ Crer) Nếu t ét véc tơ có thàh phầ trog đó véc tơ đầu là các hệ số ứg với các ẩ cò véc tơ thứ là hệ số củ vế su củ hệ phươg trìh Khi đó hệ phươg trìh được biểu diễ dưới dạg véc tơ vế su là ột tổ hợp tuế tíh củ véc tơ các hệ số Với cách biểu diễ à thì hệ phươg trìh có ghiệ khi và chỉ khi véc tơ vế su thuộc vào khôg gi co sih bởi véc tơ củ các hệ số Điều à cho thấ t có thể giải quết ột bài toá hệ phươg trìh tuế tíh bằg trậ tổ hợp tuế tíh hạg củ hệ véc tơ áh ạ tuế tíh và gược lại Vì vậ khi học chươg à đòi hỏi học viê thấ được ối liê hệ giữ các khái iệ trê để giải quết bài toá ột cách lih hoạt Học viê cầ ắ vữg và vậ dụg thàh thạo hi phươg pháp: Crer và phép khử Guss để giải hệ phươg trìh tuế tíh Phươg pháp Crer là sử dụg địh thức để giải hệ phươg trìh khi Crer đư r qu tắc à thì ó trở thàh "ốt" trog các côg trìh về toá ứg dụg trog ột thời gi dài Tu hiê phươg pháp khử củ Guss đôi khi tỏ r đơ giả hơ Giải bài toá theo phươg pháp khử củ Guss là sử dụg các phép biế đổi tươg đươg lê các phươg trìh củ hệ để đư hệ phươg trìh cầ giải về hệ tươg đươg đơ giả hơ à t dễ dàg tì được ghiệ Thực chất củ phươg pháp à là sử dụg các phép biế đổi sơ cấp lê các hàg củ trậ hệ số củ hệ phươg trìh Hệ phươg trìh tuế tíh thuầ hất liê qu đế hâ củ áh ạ tuế tíh được khảo sát trog chươg TÓM TẮT NỘI DUNG Dạg tổg quát củ hệ phươg trìh tuế tíh Hệ phươg trìh tuế tíh ẩ có dạg tổg quát: