Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Η ανεργία αυξήθηκε το 2012 κατά 10% Ο ΦΠΑ στα τρόφιμα αυξήθηκε κατά 2% Οι ετήσιες γεννήσεις στην Ελλάδα μειώθηκαν το 2012 κατά % Όλοι γνωρίζουμε ότι ο ακέραιος ή δεκαδικός αριθμός α με το σύμβολο %, δηλαδή α% ονομάζεται ποσοστό και διαβάζεται α επί τοις εκατό. Eίναι μια αναγωγή αριθμητικού μεγέθους α ως προς α. Ας δούμε τι είναι όμως τα ποσοστά με δύο αναλυτικά παραδείγματα. Παράδειγμα 1 Σε ένα σχολείο φοιτούν 20 αγόρια και κορίτσια. Τα κορίτσια είναι 0. Το μέρος των κοριτσιών ως προς το σύνολο των μαθητών του σχολείου(αγόρια και Κορίτσια), εκφράζεται με το κλάσμα 0.Θα πρέπει να βρούμε ένα κλάσμα ισοδύναμο του. 20 0 20 που θα έχει παρονομαστή το., δηλαδή 0 α 0 ή χιαστή 0 =20 α ή α= 20 20,Επομένως για να βρούμε το α που είναι το ποσοστό του 0 ως προς το 20 παίρνουμε το μαθηματικό τύπο 0 000 0 20 α 20 ή. Τον αριθμό 20 τον συμβολίζουμε με 20% 20 20 20 και το διαβάζουμε 20 επί τοις εκατό. Με απλά λόγια για να βρούμε το ποσοστό ενός αριθμητικού μεγέθους ως προ ένα άλλο 0 προς 20 ή 0 20 πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με το και ταυτόχρονα το διαιρούμε με ώστε να μην αλλάξει η τιμή του 0 000 20 20 20 ή 20% Παράδειγμα 2 Έχουμε δύο δοχεία χωρητικότητας m και 10m αντίστοιχα, που περιέχουν λάδι. 3 Το Α δοχείο περιέχει m λαδιού ανα 1m χωρητικότητας δοχείου, ενώ το Β
4 2 m λαδιού ανά 1m χωρητικότητας δοχείου 10 περιέχει. Αν βρούμε πόσο λάδι περιέχει κάθε δοχείο όχι ανά m αλλά ανά m, θα έχουμε. Το Α περιέχει 00 60 % και το δοχείο Β περιέχει 2 200 40 %. Άρα μπορούμε να πούμε ότι το δοχείο Α είναι κατά 60% πλήρες και το δοχείο Β κατά 40% πλήρες. Από τα παραπάνω παραδείγματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όταν γράφουμε α% που το διαβάζουμε ποσοστό α επί τοις εκατό εννοούμε το κλάσμα κλάσμα μπορεί να γραφεί σαν ποσοστό, όπως το κλάσμα 4 4 20 80 είναι ισοδύναμο με το κλάσμα 20 ή 80%. α. Κάθε Θα δούμε πως μπορούμε δύο κλάσματα να τα μετατρέψουμε με απλό τρόπο σε ποσοστά. α) 3 και β) 2 2 α) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το 3 2 με το,έτσι δεν αλλάζει η 3 10 αριθμητική του τιμή. 2 ή 10%. Σε αυτή τη περίπτωση ένας άλλος τρόπος μετατροπής του κλάσματος σε ποσοστό είναι να βρούμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 3 0 10 που να έχει παρονομαστή το, δηλαδή που 2 2 2 0 είναι ίσο σε ποσοστά 10%. β) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το 2 με το,έτσι δεν αλλάζει η αριθμητική του τιμή 2 40 ή 40% Λυμένα Προβλήματα Πρόβλημα 1 Ένα μπουφάν πωλείται αντί 246. Ο ΦΠΑ περιέχεται στη τελική τιμή και είναι 23%.Ένας αλλοδαπός που δεν πληρώνει ΦΠΑ,ρωτάει πόσο πρέπει να πληρώσει για να αγοράσει το μπουφάν;
Λύση Προβλήματος 1 Γνωρίζουμε ότι Τελική τιμή = Αξία +ΦΠΑ. Ο ΦΠΑ υπολογίζεται επί της αξίας. Σε αξία η τελική τιμή θα είναι 123, Το μπουφάν έχει τελική τιμή 246. Πόση είναι η αξία του μπουφάν. Με τη απλή μέθοδο των τριών* και δεδομένου τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε *Θεωρούμε ότι η απλή μέθοδος των τριών σας είναι γνωστή, ακόμη και από το Δημοτικό Σχολείο. 123 τελικής τιμής αντιστοιχούν αξίας μέθοδο έχουμε; 246 τελικής τιμής Μπουφάν x; αξίας Με τη χιαστή 24600 123 x 246 ή x= 200 123 Πρόβλημα 2 Ένα Tablet έχει τελική τιμή πώλησης 200 Ο Κώστας θέλει να το αγοράσει, αλλά κρατάει μαζί του 160. Πόση έκπτωση πρέπει να κάνει ο πωλητής, ώστε να μπορέσει ο Κώστας να αγοράσει τοtablet; Λύση Προβλήματος 2 Η έκπτωση που πρέπει να δώσει ο Πωλητής είναι 40. Χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών και έχουμε. Σε αρχική αξία 200 αντιστοιχεί έκπτωση 40 Σε αρχική αξία x; x 40 40 20 200 x 40 ή = ή = 200 200 ή x=20% Πρόβλημα 3 Ένας έμπορος αγόρασε προϊόντα αξίας 3000. Τα 4 των προϊόντων τα πούλησε με κέρδος 1%, τα δε υπόλοιπα με ζημιά %. Πόσα τελικά κέρδισε ο έμπορος. Λύση Προβλήματος 3 4 30 2400. Τα 4 των προϊόντων έχουν αξία 12000 00 Προϊόντα αξίας 2400 τα πούλησε μα κέρδος 1%, άρα εισέπραξε 11 276000 x 2400 2760 (1).Από τα υπόλοιπα προϊόντα αξίας 600 που τα πούλησε με ζημία % εισέπραξε 600 9 7000 x 70 (2),Ο έμπορος
συνολικά εισέπραξε 2760 +70 =3330. Επομένως κέρδισε από την αγοροπωλησία 3330 3000 330. Η (1) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά Σε αξία και κέρδος 1 η τιμή πωλήσεως είναι 11 Σε αξία 2400 η τιμή πωλήσεως είναι x; 2400 11 x 2400 11 ή x= 2760 Η (2) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά Σε αξία και ζημιά η τιμή πωλήσεως είναι 9 Σε αξία 600 η τιμή πωλήσεως είναι x; 600 9 x 600 9 ή x= =70 Πρόβλημα 4 Ένα Κατάστημα ηλεκτρικών συσκευών πουλάει μια τηλεόραση αντί τελικής τιμής 60 και από τη πώληση αυτή έχει ένα κέρδος 20%.Πόσο πρέπει να πουλήσει τη τηλεόραση για να κερδίσει 30%. Λύση Προβλήματος 4 Η τιμή πωλήσεως της τηλεόρασης περιλαμβάνει τη τιμή αγοράς και το κέρδος 20% επί της τιμής αγοράς. Με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών για ανάλογα ποσά έχουμε; Τελική τιμή τιμή αγοράς 36000 120 x 360 ή x= 300 120 120 360 x;. Το κατάστημα θέλει να κερδίσει 30% επί της τιμής αγοράς. Με την απλή μέθοδο των τριών έχουμε Τελική τιμή τιμή αγοράς 39000 x 300 130 ή x= 390 130 x; 300;. Συμπέρασμα για να κερδίσει το κατάστημα 30%, πρέπει να πουλήσει τη τηλεόραση 390
Προτεινόμενα Προβλήματα. 1. Μια μετοχή στο χρηματιστήριο της Αθήνας στη συνεδρίαση της 20-ης Ιουνίου έκλεισε με τιμή 30. Στη συνεδρίαση της 21-ης Ιουνίου έκλεισε με κέρδος 10% και στη συνεδρίαση της 22-ας Ιουνίου έκλεισε με κέρδος 12%. Στη συνεδρίαση της 23-ης Ιουνίου έκλεισε με απώλεια 8%. Ποια τιμή διαμόρφωσε η μετοχή κατά το κλείσιμο της 23-ης Ιουνίου. 2. Σε ένα αγώνα Μπάσκετ του 4-ου Γυμνασίου Ν. Ιωνίας παρακολούθησαν 00 θεατές. Από αυτούς το 30% δεν ήταν μαθητές του σχολείου, ενώ το υπόλοιπο 70% ήταν μαθητές του σχολείου.. Από τους μαθητές το 30% φοιτούσαν στην Α τάξη του Γυμνασίου. Το 60% των μαθητών της Α τάξης του Γυμνασίου ήταν αγόρια. Πόσα κορίτσια της Α τάξης παρακολούθησαν τον αγώνα Μπάσκετ; 3. Σε μια δημοσκόπηση απάντησαν 640 μαθητές, ότι χρησιμοποιούν καθημερινά το διαδίκτυο. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το 32% του συνόλου των μαθητών που συμμετείχαν στη δημοσκόπηση. Να βρείτε ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των μαθητών που έλαβαν μέρος στη δημοσκόπηση. 4. Να βρείτε τι ποσοστό επί τοις εκατό αντιπροσωπεύει το πλήθος των κόκκινων μικρών ορθογώνιων ως προς το πλήθος όλων των μικρών ορθογώνιων κόκκινων και λευκών.