1 48. ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ. Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου K1N/m και ότι η µάζα του σώµατος Σ είναι m4kg.η τροχαλία θεωρείται αβαρής. Το χέρι µας ασκεί περιοδική δύναµη, και το σώµα Σ εκτελεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση συχνότητας f 1 4 Hz και πλάτους 4,4cm χωρίς αρχική φάση. Το K π σώµα κινούµενο δέχεται δύναµη αντίστασης αντ -b υ µε σταθερά απόσβεσης b,4kg s -1. α) Να γράψετε τις σχέσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση µε το χρόνο. β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης του διεγέρτη σε συνάρτηση µε το χρόνο. γ) Να υπολογίσετε τη δύναµη του διεγέρτη τη χρονική στιγµή t π s, καθώς και το ρυθµό προσφερόµενης 1 ενέργειας εκείνη τη στιγµή. δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης του διεγέρτη σε συνάρτηση µε το χρόνο όταν έχουµε συντονισµό και να υπολογίσετε το ρυθµό προσφερόµενης ενέργειας τη στιγµή t π 15 s. Συνοπτική λύση: α) Ισχύει xaηµωt µε ωπ f 1 4rad/s, τότε έχουµε x4,4 1 - ηµ4t. κόµη είναι υ17,6 1 - συν4t. β) Ισχύει ότι Σm α + αντ + επ m α -b υ-k x -mω x b υ+k x-mω x A συνωt+(k-mω ) A ηµωt Κ-mω Κ-mω A (συνωt+ ηµωt) θέτουµε εφθ (ω ) και έχουµε, A (συνωt+εφθ ηµωt) A (συνωt+ ηµθ b ω συνθ συνθ ηµωt) (συνωt συνθ+ ηµθ ηµωt) συν(ωt-θ) µε b ω. συνθ κόµη, εφ 1 θ συνθ -1 1 συνθ 1+εφθ, άρα A 1+εφθ Κ-mω A 1+ A b ω + ( Κ-mω ) A. Για ω είναι. Άρα η γραφική παράσταση δεν b ω + Κ-mω Κ περνάει από το.
Έτσι από τη σχέση A b ω ( Κ-mω ) 4,4 1 - + έχουµε (,4 4) + 1-4 16 1,6N ακόµη εφθ 1-4 16 εφθ 36,4 4 1,6,5 ή θ87,45. Τελικά είναι συν(ωt-θ) 1,6 συν(4t-θ). Κ-mω Η γραφική παράσταση του (ω) είναι η παρακάτω. /K ω mω κόµη για σταθερά απόσβεσης b κατά το συντονισµό είναι A m ω Κ διπλάσιο του αρχικού (ω ).. ηλαδή κατά το συντονισµό το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται το γ) Τη χρονική στιγµή t π π s, είναι 1,6 συν(4 1 1 -θ) 1,6 συν(π 3 -θ) 1,6 συν(6-87,45) 1,4Ν. Βέβαια τη δύναµη µπορούµε να την υπολογίσουµε και από τη σχέση b υ+k x-mω x µε υ17,6 1 - συν4t υ17,6 1 - συν(4 π 1 ) υ17,6 1 - συν( π 3 ) υ8,8 1- m/s και x4,4 1 - ηµ( π 3 ), 3 1- m. Τότε έχουµε b υ+k x-mω x,4 8,8 1 - +(1-64), 3 1 -,4 8,8 1 - +(1-64), 3 1 -,3+1,37 1,4N. Ο ρυθµός προσφερόµενης ενέργειας από τη δύναµη του διεγέρτη (χεριού) τη στιγµή t π 1 s, είναι W W υ 1,4 8,8 1 - W,13J/s.
3 δ) Κατά το συντονισµό είναι Κm ω ω 5rad/s. Τότε για το συντονισµό ισχύει ότι Σm α + αντ + επ m α -b υ-k x -mω x b υ+k x-m ω x b υ+ (m ω -m ω ) x b υ A max συνω t. ηλαδή κατά το συντονισµό η εξωτερική δύναµη του διεγέρτη είναι ίση και αντίθετη της δύναµης αντίστασης ( αντ -b υ). Άρα - αντ b υ. πό τη σχέση που µας δίνει το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης προκύπτει A max A max A max 1,6 A max,8m. b ω + Κ-mω,4 5 Τελικά A max συνω t 1,6 συν5t. Τότε για t π π s είναι 1,6 συν(5 15 15 ) 1,6 συν(π 3 ),8N. κόµη είναι x,8ηµ5t και υ4 συν5t. Για π 15 s, είναι υ4 συν(π 3 ) υm/s. Ο ρυθµός προσφερόµενης ενέργειας από τη δύναµη τη στιγµή t π s, είναι 15 W W W υ,8 1,6J/s. κόµη για xaηµωt ισχύει και υωσυνωt, όπου τη µέγιστη ταχύτητα ισχύει υ max b ω ω + Κ-mω b ω + Κ-mω b ω + Κ-mω ω. Τότε για. Η γραφική παράσταση της µέγιστης Κ-mω Κ b + b + mω ω ω ταχύτητας υ max σε συνάρτηση µε το ω είναι αυτή που φαίνεται παρακάτω.
4 Για ω είναι υ max. Κ b + ω Παρατηρούµε ότι κατά το συντονισµό η ταχύτητα της ταλαντούµενης µάζας γίνεται µέγιστη. κόµη ο ρυθµός προσφερόµενης ενέργειας µέσω του έργου της εξωτερικής δύναµης είναι υ συν(ωt-θ) ω συνωt ω συν(ωt-θ) συνωt. Παραγωγίζοντας την παραπάνω συνάρτηση ως προς ω προκύπτει W ω [-ηµ(ωt-θ) ω συνωt- ηµωt συν(ωt-θ) ω] - ω W [ηµ(ωt-θ) συνωt+ηµωt συν(ωt-θ)]. Για, προκύπτει ηµ(ωt-θ) συνωt+ηµωt συν(ωt-θ) ηµωt συν(ωt-θ) -ηµ(ωt-θ) συνωt θ -κπ ηµωt συν(θ-ωt) ηµ(θ-ωt) συνωt εφ(θ-ωt)εφωt θ-ωtκπ+ωt ωt Άρα λοιπόν ο µέγιστος ρυθµός προσφερόµενης ενέργειας είναι max συν(ωt-θ) ω συνωt max ω συν( κπ +θ ) συν( Κ-mω κπ -θ ). Κατά το συντονισµό είναι εφθ µε Κmω άρα έχουµε εφθ θκπ. max ω max συν(κπ) max ω max. ηλαδή κατά το συντονισµό έχουµε max ω max µε A max Άρα )max maxb υ max. υτός όµως ακριβώς είναι τότε και ο ρυθµός έχουµε ( W µε τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώµα µέσω της δύναµης απόσβεσης αντ -b υ. Τελικά συµπεραίνουµε ότι κατά το συντονισµό µεταφέρεται µέγιστη ισχύς από την εξωτερική δύναµη που είναι ίσος µε το ρυθµό µε τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώµα µέσω της δύναµης απόσβεσης. Ο ρυθµός προσφοράς ενέργειας είναι.υ. Ο ρυθµός απώλειας ενέργειας είναι αντ.υ-b.υ.υ. Οι δύο ρυθµοί δεν ταυτίζονται παρά µόνο στον συντονισµό όµως η ενέργεια που προσφέρεται ανά περίοδο είναι ίση µε τις απώλειες σε κάθε περίπτωση είτε έχουµε είτε όχι συντονισµό. ρκεί να έχει σταθεροποιηθεί το πλάτος. κόµη για τη δυναµική ενέργεια ταλάντωσης ισχύει,. υναµική ενέργεια: U 1 D x κινητική ενέργεια έχουµε, µε DKmω 1Ν/m, άρα U5 x. Για την Κινητική ενέργεια: Κ 1 m υ 1 m ω ( -x )3(4,4 1-4 -x ) K,6-3x.
5 Τότε για την ενέργεια ταλάντωσης ισχύει: ΕΚ+U,6-3x +5 x E,6+18 x.άρα η ολική ενέργεια στην εξαναγκασµένη ταλάντωση δεν είναι σταθερή αλλά µεταβάλλεται µε το x. Οι γραφικές παραστάσεις των τριών ενεργειών είναι οι παρακάτω: U Ε K Κατά το συντονισµό: Κ 1 m υ 1 m ω ( -x ) 1 Κ - 1 Κ x. Άρα ΕΚ+U 1 Κ - 1 Κ x + 1 Κ x 1 Κ σταθερή. Προσέχουµε λοιπόν ότι η ενέργεια που αφαιρεί η δύναµη απόσβεσης δεν αναπληρώνεται κάθε στιγµή από το έργο της δύναµης του διεγέρτη. (υτό γίνεται µόνο στην περίπτωση του συντονισµού). Όµως όση ενέργεια αφαιρείται από τη δύναµη απόσβεσης στη διάρκεια µιας περιόδου τόση και προσφέρεται µέσω του έργου της εξωτερικής δύναµης. ηλαδή η ενέργεια Ε της εξαναγκασµένης ταλάντωσης µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια µιας περιόδου όµως στο τέλος παραµένει σταθερή. Μόνο η µέγιστη τιµή της ενέργειας ταλάντωσης η Ε max 1 Κ παραµένει σταθερή. Ισχύει εξ bυ+κx-mω x εξ bυ+(κ-mω ) x εξ bυ+m (ω -ω ) x. Οπότε το έργο της εξ για µετατόπιση της µάζας m από τη θέση ισορροπίας στη µέγιστη αποµάκρυνση είναι W εξ [b υ dx+m(ω -ω ) x dx] ενώ το έργο της δύναµης απόσβεσης απ, για το ίδιο διάστηµα [- ], είναι W απ - b υ dx συνολικό έργο από τις εξωτερικές δυνάµεις ίσο µε, m (ω -ω ) W ολ m(ω -ω ) x dx. Παρόµοια για το διάστηµα, οπότε έχουµε ένα [-- ], έχουµε ένα συνολικό προσφερόµενο έργο από τις εξωτερικές δυνάµεις ίσο µε
6 m (ω -ω ) W ολ -. Οπότε το συνολικό έργο από τις εξωτερικές δυνάµεις σε κάθε ηµιπερίοδο και τελικά σε κάθε περίοδο της ταλάντωσης είναι µηδέν. ηλαδή τελικά όσο έργο καταναλίσκεται από τη δύναµη απόσβεσης σε µια περίοδο τόσο και προσφέρεται από την εξ. Παρατηρούµε λοιπόν ότι κατά µέσο όρο η ενέργεια Ε, της εξαναγκασµένης ταλάντωσης παραµένει σταθερή, ενώ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργειά της µεταβάλλεται λόγω του έργου των εξωτερικών δυνάµεων. Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις και δεδοµένου των αντιστοιχιών: x q Q b R K 1/C m L V q (V C 1 K x Kx) και από τη σχέση A b ω + ( Κ-mω ) V συµπεραίνουµε ότι: Q ενώ από τη µέγιστη ταχύτητα 1 R ω + -Lω C V V υ max συµπεραίνουµε ότι: Ιi max Κ 1 b + mω R ω ω Cω L Z. + Παρατηρούµε τότε πως για τις καµπύλες συντονισµού αν ω τότε και Ι, άρα οι 1 καµπύλες θα «περνούν» από το σηµείο (,). κόµη για Lω η ένταση Ι γίνεται Cω V µέγιστη και ίση µε Ι R. Τότε είναι ωω 1 οπότε έχουµε συντονισµό µια και LC η συχνότητα ω γίνεται ίση µε τη φυσική (αµείωτη) συχνότητα ω του συστήµατος R-L-C.
7 Οπότε η γραφική παράσταση Ι(ω) είναι η παρακάτω: Ι ω ω Μιχαήλ Π. Μιχαήλ mix-mix@sch.gr