ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Γ. ΤΖΑΒΕΛΑΣ
. Εαγωγή.. Σκοός Ο κοός του Μαήατος αυτού είνα να εάγε τον αναγνώτη ε ία τάξη ταττκών οντέλων ου είνα φυκή γενίκευη των κλακών γρακών οντέλων. Τα Γενκευένα Γρακά Μοντέλα Geeralzed ear Models ερλαάνουν αν εδκή ερίτωη, την γρακή αλνδρόηη, την ανάλυη δαοράς, τα logt κα prot οντέλα, τα λογαρογρακά κα τα ολυωνκά οντέλα, καώς κα κάοα οντέλα της ανάλυης είωης. Αοδεκνύετα ότ αυτά τα οντέλα οράζοντα κάοες κονές δότητες, καώς κα ότ έχουν κονή έοδο εκτίηης αραέτρων. Αυτές ο κονές δότητες ας ετρέουν να ελετήουε έω των Γενκευένων Γρακών Μοντέλων Γ.Γ.Μ. ία ευρεία οάδα ταττκών οντέλων αρά το καένα αό αυτά χωρτά, Βακή ροϋόεη είνα ο αναγνώτης να είνα εξοκεωένος ε τς ακές ταττκές έννοες κα εοδολογίες όως, κατανοές δεγατοληψίας, έλεγχος υοέεων κα αλή γρακή αλνδρόηη. Ελέον κάοες γνώες γρακής άλγερας κα αεροτκού λογού εωρούντα ααραίτητες.. Ορολογία Ο ταττκές έοδο ου ανατύοντα το Μάηα αυτό έχουν κοό την ανίχνευη κα ελέτη χέεων εταξύ ετρήεων ου έγναν ε δάφορες οάδες ανρώων ή αντκεένων. Γα αράδεγα ο ετρήες ορεί να είνα το ύψος ή το άρος αγορών κα κορτών, ή το ύψος της οδάς κάοων καλλεργεών κάτω αό δάφορες υνήκες καλλέργεας. Χρηοοούε τον όρο εξαρτηένη εταλητή γα τς ετρήες ου εωρούε αν τυχαίες εταλητές. Ο εταλητές αυτές εωρούντα ότ εταάλλοντα ελεύερα εν αντέε ε τς ανεξάρτητες εταλητές ο οοίες εωρούντα αν η τυχαίες
3 εταλητές δηλαδή αίρνουν υγκεκρένες τές ανάλογα ε τον χεδαό του εράατος. Ο εταλητές ορεί να ταξνοηούν αν κατηγορκές ή οοτκές.χ. χρώα ατών, φύλο, τύος αίατος, κ.λ.. εδκότερα γα τς δυαδκές εταλητές υάρχουν όνο δυο κατηγορίες. δάταξης γα τς οοίες υάρχε κάοα φυκή δάταξη εταξύ των κατηγορών :.χ. όταν η ηλκία καταγράφετα αν νέος, εήλκας, γέρος; η όταν η αρτηρακή ίεη καταγράφετα αν 7, 7-9, 9-, mm Hg. Συνεχής εταλητές όου ο αρατηρήες ορούν να άρουν οοαδήοτε τή ε κάοο δάτηα. Μα οοτκή ανεξάρτητη εταλητή καλείτα αράγοντας factor κα ο κατηγορίες λέγοντα είεδα level του αράγοντα. Ο υνεχείς ανεξάρτητες εταλητές λέγοντα covarates..3 Το γρακό οντέλο Το γρακό οντέλο X e εργράφετα ε τη οήεα νάκων ως εξής M x x x x x x x p x p M xp p e e M e όου,,..., είνα η τήλη των αρατηρήεων της εξαρτηένης εταλητής, ο ίνακας Χ δάταης p είνα ο ίνακας των τών των ανεξάρτητων εταλητών X,..., X X p. Κάε γραή αναφέρετα ε α δαφορετκή ταττκή ονάδα ή αρατήρηη κα κάε τήλη ε δαφορετκή
4 ανεξάρτητη εταλητή. Η τήλη των αραέτρων,,..., p ερλαάνε τους υντελετές των ανεξάρτητων εταλητών ο οοίο εωρούντα άγνωτο κα ρέε να εκτηούν. Η τήλη των υολοίων resduals e e, e,..., e είνα η τήλη των τυχαίων φαλάτων radom error terms. Η υόεη ου υοετούε το αραάνω γρακό οντέλο είνα ότ τα e, e,..., e είνα ανεξάρτητα ε την ίδα κατανοή Ν,. Το οντέλο αυτό ορεί να γενκευεί ε ολλούς τρόους. Θα αχοληούε ε τς εξής δύο: Ο ανεξάρτητες αρατηρήες ακολουούν κατανοή δαφορετκή της κανονκής. Θα ορούε να είνα ακόα κα δακρτή. Η χέη εταξύ εξαρτηένων κα ανεξάρτητων εταλητών να ην είνα γρακή. Η ρώτη γενίκευη αίζετα το γεγονός ότ ολλές αό τς ``καλές`` δότητες της κανονκής κατανοής ααντώντα ε α εγαλύτερη κλάη κατανοών την Εκετκή Οκογένεα κατανοών. Η δεύτερη γενίκευη αναφέρετα τη χέη ΕΥ Χ η οοία ορεί να αντκαταταεί αό την χέη gx. Να ηεωεί εδώ ότ η γρακή έκφραη δεν εξαλείφετα λήρως αλλά ρίκετα έα ε κάοα άλλη υνάρτηη. Ορός.:Λέε ότ η κατανοή ας τ.. Υ ανήκε την Εκετκή Οκογένεα κατανοών όταν ορεί να γραφτεί τη ορφή f ; exp[ Τ c h ] όου.,, c h εωρούντα γνωτές υναρτήες.,
5 Η λέγετα φυκή αράετρος. Στη υνέχεα α γίνε φανερό ότ η αραετρκοοίηη της. ε τη οήεα της φυκής αραέτρου είνα ολύ ολκή. Τς ερότερες φορές η ορφή η οοία α ας ααχολήε εδώ είνα η αλούτερη ορφή f ; exp[ a c h ].. Η ορφή f ; exp[ c h ] λέγετα κανονκή ορφή. Αν ελέον η. ορεί να γραφεί τη ορφή f ; exp k d τότε λέε ότ η Υ είνα γραένη την τυκή της ορφή. Το ύνολο Θ { : f ; d< } λέγετα αραετρκός χώρος της f. Πολλές γνωτές κατανοές ανήκουν την εκετκή οκογένεα κατανοών. Γα αράδεγα η Posso η υωνυκή, η Κανονκή κατανοή ορούν να γραφτούν την κανονκή της ορφή. Πράγατ Γα την Posso λ λ e f ; λ exp[ lλλ l!]! όου a, λ l λ, c λ λ, h! Προφανώς η αραάνω κατανοή είνα την κανονκή της ορφή. Αν α την αραετρκοοήουε ε χέη ε τη φυκή αράετρο l λ, η Posso κατανοή ορεί να γραφτεί τη τυκή ορφή ε αραετρκό χώρο ΘR Γα την κανονκή κατανοή f ; λ exp[ exp log!] f ; exp[ /
6 Αν η είνα άγνωτη κα η δακύανη εωρείτα γνωτή, τότε η κανονκή κατανοή ορεί να γραφτεί τη ορφή ] log exp[ ; f. Αυτή είνα η κανονκή της ορφή ε φυκή αράετρο. Ελέον log c κα h. Παραετρκοοώντας την, ε χέη ε την φυκή αράετρο έχουε την τυκή της ορφή ] log exp[ ; f Ελέον ΘR. Γα την ερίτωη όου κα τo κα το είνα άγνωτα τότε ] log exp[ exp[, ; / f Στην ερίτωη αυτή ] log[,,,,,,, c d d Γα την ωνυκή κατανοή ] l l exp[log ] l l l exp[l ; f
7 Εχουε a, c l, d l. Παραετρκοοώντας την αραάνω κατανοή ε τη φυκή αράετρο l έχουε την ορφή f ; exp[ l e l ] εν είνα όλες ο κατανοές εκετκής ορφής. Γα αράδεγα η οοόορφη κατανοή ε δάτηα, ε < δεν ορεί να γραφεί τη ορφή *. Ένα άλλο αράδεγα η εκετκής οκογένεας κατανοής είνα η Cauch κατανοή. Ακηη Να υληρωεί ο ακόλουος ίνακας Κατανοή.. c. h. Θ ΝΒr,, rγνωτό Gα, αγνωτό Gα, γνωτό IG, Στη υνέχεα γα να αράγουε κάοες δότητες της εκετκής οκογένεας κατανοών α χρεατούε την ακόλουη ρόταη. Πρόταη.. Αν fx, είνα ία οκογένεα κατανοών όχ κατ ανάγκη εκετκής ορφής γα την οοία ετρέετα η αραγώγηη ως ρος κάτω αό το ολοκλήρωα ως ρος x τότε χύουν τα ακόλουα.. Elog f x, ' E. varlog f ' x, f x; f x, ' E[log f x, ''].3.4
8 Εδώ η αραγώγη λαάνετα ως ρος την εταλητή. Αόδεξη f ' x,. E[log f x, ]' E ', [, ]' ; f x dv x f x dv x f x. Παραγωγίζοντας την τελευταία χέη ακόα α φορά ως ρος, έχουε f ' x, f ' x, f ' x, f x, ' dx ', ; f x dx f x f x; f x; Τελκά έχουε E [log f x, ]'' E[log f x, ]' Αό την. τελκά έχουε varlog f x, ' E[log f x, ]' ' f x, dx. Πρόταη. Αν κατανοή τ.. Υ είνα εκετκής ορφής τότε χύουν τα εξής c' Ε[ α Υ] ' ' ' c' c' ' '. var[ a Y ] 3 [ ' ].5.6 Αόδεξη. Αν η f, είνα εκετκής ορφής τότε log f, a c h κα αραγωγίζοντας έχουε [log f x, ]' a ' c'..7 Μορεί να αοδεχεί ότ α οκογένεα κατανοών κανοοεί τς υνήκες της Πρόταης.. Ετ αό.3 έχουε E [log f x, ]' ' E[ a ] c'. Λύνοντας ως ρος E [ a ] Έχουε c ' Ε [ α Υ ]. '
9. Παροοίως [log f x, ]'' a '' c''. Αό την.7 έχουε var [log, ]' κα αό την.5 var [ ] f x a, E[log f x, ]'' E[ a ] '' c'' Αό την.6 έχουε ' c' '' c''. ' var a [ ' ] c' '' c''. ' Λύνοντας ως ρος vara τελκά έρνουε ' ' c' c' ' ' var[ a Y]. 3 [ ' ] Όταν η εκετκή οκογένεα είνα την τυκή της ορφή τότε ο αραάνω δυο χέες γράφοντα ως Ε[ Υ] c'.var[ Y] c'' Ακηη Μορεί ελέον να αοδεχεί ότ γα κάε τάξης cumulat κ r της τ.. Υ έχουε ότ k r r c. Αν, Y Y είνα ανεξάρτητες τυχαίες εταλητές ου ακολουούν την Y,..., ίδα κατανοή. τότε η αό κονού κατανοή είνα f,,..., exp[ exp[ a c d ] a c d ]
Ο όρος a είνα η εαρκής ταττκή υνάρτηη γα την οότητα. Αυτό ηαίνε ότ το άροα a υγκεντρώνε όλη την ληροφορία γα την αράετρο. Σηαντκές δότητες των κατανοών εκετκής ορφής. Ο αραετρκός χώρος Θ γα τς κατανοές τυκής εκετκής ορφής είνα κυρτό. Ακηη 3 Γα τς ροές f x exp[ x] d x η αράγωγος ως ρος ορεί να εράε κάτω αό το ύολο της ολοκλήρωης. 3 Γα τς κατανοές της ορφής. αραετρκοοηένη ε τη φυκή αράετρο, χύε ότ c Cov x, x άκηη 4 4 Γα τς κατανοές τυκής εκετκής ορφής η δακύανη είνα α αυτηρώς ονότονη υνάρτηη της έης τής. άκηη 5 Μορούν να γίνουν δάφορο χαρακτηροί ε άη τη υνάρτηη δακύανης, όως γα αράδεγα ότ η όνη τυκή εκετκή οκογένεα κατανοών ε ταερά υνάρτηη δακύανης είνα η κανονκή κατανοή. 5 Ο εκτητής έγτης ανοφάνεας γα την φυκή αράετρο υάρχε άντα κα είνα ερολητκός εκτός αό την κανονκή κατανοή. 6 Η κανονκή οκογένεα κατανοών έχε την δότητα του ονότονου λόγου ανοφάνεας, α δότητα ολύ ηαντκή γα τον έλεγχο υοέεων..4 Τα τοχεία του Γενκευένου γρακού οντέλου. Το Γ.Γ.Μ ορίζετα ε χέη ε ένα ύνολο αό ανεξάρτητες τυχαίες εταλητές
Y, Y..., Y όου κάε ία αό αυτές ακολουεί κατανοή εκετκής ορφής ε τς εξής δότητες:. Η κατανοή κάε ας αό τς Y είνα κανονκής ορφής κα εξαρτάτα αό α όνο αράετρο f exp[ c d ], έτ Η αό κονού υκνότητα ανότητας είνα,,..., ;,..., exp[ c d ] f. Ο αράετρο ου ας ενδαφέρουν δεν είνα ο αφού ορεί να είνα ένα γα κάε αρατήρηη. Γα τα Γ.Γ.Μ. εωρούε ένα κρότερο ύνολο Τ αραέτρων,..., p όου φυκά p<. Ενώ το κλακό γρακό οντέλο εωρούε ότ χύε η χέη Ε Υ όου x x, x,... x το δάνυα των ανεξάρτητων x p εταλητών, το Γ.Γ.Μ. εωρούε ότ υάρχε α ονότονη κα δαφορίηη υνάρτηη g, τέτοα ώτε g x.8 Η υνάρτηη αυτή λέγετα υνάρτηη ύνδεης lk fucto..5 Λίγα ερότερα γα την υνάρτηη ύνδεης Όως έχουε ε η lk υνάρτηη χετίζε το γρακό κοάτ x ε τη αηατκή ελίδα Ε Υ έω της χέης.8. Αυτός ο εταχηατός είνα ία αναγκαότητα γατί ε ολλές εφαρογές ο δυο αυτές υναρτήες δεν έχουν το ίδο εδίο τών. Γα αράδεγα όταν αχολούατε ε ααρήες couts η ακολουεί την κατανοή Posso κα την ερίτωη αυτή Ε Υ >. Ετ δεν ορούε να έχουε x αφού το αρτερό έρος έχουε τον ερορό > κα το δεξί ο ερορός αυτός δεν υάρχε. Στην
ερίτωη αυτή η g ρέε να αεκονίζε το δάτηα R R. Μία τέτοα υνάρτηη είνα η l g. ε όλο την ευεία Το κλακό γρακό οντέλο X e είνα ροφανώς α αλή ερίτωη του Γ.Γ.Μ. αφού όλα τα του δανύατος ακολουούν την κατανοή Ν, κα Τ x Προφανώς g. Γα την υωνυκή κατανοή, ροφανώς δεν ορούε να γράψουε p Τ x. Χρεαζόατε α υνάρτηη g αό το R το,. Ποα;.5. Εκτητκή υο αό τς υνηέτερες εόδους εκτίηης είνα η εκτίηη ε τη έοδο της έγτης ανοφάνεας ΕΜΠ κα η έοδο των ελαχίτων τετραγώνων.μ.ε.τ. Μέοδος έγτης ανοφάνεας Σύφωνα ε τη έοδο αυτή, ο εκτητής έγτης ανοφάνεας ΕΜΠ της αραέτρου είνα εκείνες ο τές ο οοίες εγτοοούν την υνάρτηη ανοφάνεας ;,,..., f ; ή οδύναα την λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας l f ;. l ;,,..., Συνήως ο εκτητής ρίκετα αραγωγίζοντας την υνάρτηη l ;,,..., ε χέη ε κάε τοχείο του κα λύνοντας το ύτηα εξώεων l ; γα,,..., p Είνα άντα αναγκαίο να ελέγξουε ότ ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων της l ;,..., είνα αρνητκά ορένος.,
3 Ο εκτητής αυτός έχε δότητες ου τον κάνουν να υερέχε έναντ των άλλων εκτητών. Μερκές αό αυτές.είνα ο εξής. Αν g είνα ία υνάρτηη του τότε ο εκτητής έγτης ανοφάνεας του g είνα g ˆ.. Συνέεα cosstec 3. Εάρκεα Suffcec 4. Αυτωτκή αοτελεατκότητα Asmptotc effcec Μέοδος των ελαχίτων τετραγώνων Ετω Y, Y,... Y είνα τυχαίες εταλητές τέτοες ώτε E Y γα,,, κα τα είνα υναρτήες των αραέτρων Τ,...,. Τότε γα το γρακό οντέλο p Y e,,, η έοδος των ελαχίτων τετραγώνων ορίζετα αν την τεχνκή ε την οοία εχερείτα να εκτηεί η αράετρος ελαχτοοώντας την οότητα e Y S..9 Με τη οήεα των νάκων η αραάνω χέη γράφετα τη ορφή S Τ όου M κα M. Συνήως ο εκτητής ρίκετα αραγωγίζοντας τη υνάρτηη S ε χέη ε κάε τοχείο κα τη υνέχεα λύνοντας το ύτηα των εξώεων S,..., p Φυκά ρέε να ελέγξουε ότ η λύη ανττοχεί ε ελάχτο ηλαδή ότ ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων είνα ετκά ορένος. Στην ράξη.
4 ορεί να υάρχε ελέον ληροφορία γα τς τές του Υ γα αράδεγα ότ κάοες αρατηρήες είνα λγότερο αξότες αό κάοες άλλες. Στην ερίτωη αυτή ίως να χρεαεί να ταίουε τους όρους το άροα.9 κα αντί αυτού του αροίατος να ελαχτοοήουε το άροα S W w Y όου τα w αοτελούν άρη. Θα ορούαν γα αράδεγα να είνα w [Var Y ] Στη γενκότερη ερίτωη τα Υ ορεί να είνα υχετένα. Αν V είνα ο ίνακας υνδακύανης των Y, τότε ο εκτητής ταένων ελαχίτων τετραγώνων ΣΤΕΕΤ είνα το δάνυα το οοίο ελαχτοοεί τη υνάρτηη Αν Τ S W V. Χ γα κάοον ίνακα Χ δατάεων Νxp τότε S W Τ X V Χ Το δάνυα των αραγώγων της S w ως ρος το δάνυα είνα το S W X Τ V Χ Ακηη 6 Ετ ο ΣΕΕΤ είνα η λύη της κανονκής εξίωης X Τ V Τ Χ X Μορεί εύκολα να αοδεχεί ότ ο Hessa ίνακας είνα ετκά ορένος Ακηη 7. Το λεονέκτηα του ΣΤΕΕΤ είνα ότ υάρχε άντα κα ανττοχεί ε τοκό ελάχτο. Ελέον η εύρεή του αατεί τη γνώη όνο των δυο ρώτων ροών του δανύατος Υ, κα καά άλλη υόεη γα την κατανοή του. Τουναντίον ο ΕΜΠ αατεί τη γνώη της κατανοής της Υ κα ερκές φορές η εύρεή του είνα αδύνατη γατί αατεί τη λύη ενός ολύλοκου η γρακού υτήατος εξώεων. Ο ΕΜΠ λεονεκτεί έναντ του ΣΤΕΕΤ το ότ είνα αυτωτκά αοτελεατκός. Στη υνέχεα αοδεκνύοε ότ γα τα ΓΓΜ ο δυο αυτοί εκτητές ταυτίζοντα. Θα χρηοοήουε τους εξής υολούς V
5 p p p x x x x x x x x x X, Y M M, k Y Var Y Var Y Var V κα D η η η Ελέον αν l l U ; τότε η score υνάρτηη γράφετα αν p U U U U M M Λήα. Η score γα την εκτίηη των αραέτρων p,..., είνα η Y XVD U Ο ληροφορακός ίνακας του Fsher I είνα VX VD I Χ Αόδεξη Αν Y Y Y,..., είνα αρατηρήες των ανεξαρτήτων εταλητών τότε η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας είνα
6 ; d c l όου αό την Πρόταη. έχουε ότ ' / ' c Y E. είης αό την υόεη του οντέλου p x x g η. όου g είνα ία ονότονη κα δαφορήη υνάρτηη. Η score υνάρτηη ε χέη ε το ορίζετα αν l l U ; όου d c l. Γα την εύρεη της U χρηοοούε τη χέη l l. Στη υνέχεα α ρούε κάε έναν αό τους τρες όρους του γνοένου το δεξί έλος. Παραγωγίζοντας την l υνάρτηη ως ρος, ρίκουε ' ' ' c l. Στη υνέχεα γα την αράγωγο αρκεί να αραγωγίουε την υνάρτηη ως ρος. Ετ var ' ] ' [ ' ' ' ' ' ' Y c c. Παραγωγίζοντας την υνάρτηη. έχουε x η η η Αντκατώντας το δεξί έλος της. τς αντίτοχες αραγώγους έχουε
7 l l x / var Y η κα τελκά U var Y x η,,..p. Τελκά το ύτηα των εκτητρών υναρτήεων γράφετα υό ορφή ίνακα U XDV Y Γα την εύρεη του Πληροφορακού ίνακα του Fsher χρηοοούε την χέη I E UU XDVD XDV X Ο εξώες E Y Υ Τ VD X. U είνα η γρακές κα γ αυτό το λόγο ελύοντα ε αρητκές εόδους. Η υνηέτερη έοδος είνα η ewto-rapsho της οοίας το εαναλητκό χήα είνα το εξής m m l k m U m όου l k m m είνα ο ίνακας των δευτέρων αραγώγων της l την τή κα m U είνα το δάνυα των ρώτων αραγώγων U, U,..., U p m την τή υολογένο Μα έκδοη της αραάνω εόδου ερκές φορές αλούτερη είνα η έοδος scorg την οοία ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων αντκαίτατα αό τον ληροφορακό ίνακα του Fsher I E[ UU l l l ε τοχεία I k E[ U k ] E[ ] E[ ] δηλαδή ο αλγόρος της εόδου scorg είνα k k ]
8 m m [ I ] U m m Αν ολλαλαάουε κα τς δυο λευρές της τελευταίας εξίωης ε Έχουε m m m m m I I U. Γα τα γενκευένα γρακά οντέλα χύε ότ m I Ετ ο ίνακας Ι ορεί να γραφεί τη ορφή ΙΧ Τ WX Όου W είνα ο Νx δαγώνος ίνακας ε τοχεία var Y η Ετ η εξίωη της score υνάρτηης γίνετα Όου z είνα τήλη ε τοχεία m z x k k k η X WX m X Wz Η τελευταία ορφή είνα των ταένων ελαχίτων τετραγώνων. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΜΠ Υοέτουε ότ η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας έχε οναδκό έγτο το κα ότ αυτός ο εκτητής είνα κοντά την αράετρο. o ανάτυγα alor ρώτης τάξης του δανύατος U το ηείο είνα U U H
9 Όου Η είνα ο ίνακας των δευτέρων αραγώγων της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας το ηείο. Αυτωτκά ο ίνακας Η ούτα ε τον ληροφορακό ίνακα I E[ UU ] E[ H ] Γα τον λόγο αυτό γα εγάλα δείγατα έχουε U U I Αλλά U γατί εγτοοεί την λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας άρα ηδενίζε την αράγωγό της. Προεγγτκά λοόν Ι U Υό την ρουόεη ότ ο ίνακας Ι είνα η-ηδενκός, υεραίνουε ότ αυτωτκά E Ι Ε U, καώς κα E Ι Ε UU I I Ετ γα εγάλα, Ι Καώς κα I χ p Η ταττκή I καλείτα ταττκή του Wald. Η εάρκεα του οντέλου Ας υοέουε ότ έλουε να ελέγξουε την εάρκεα της ροαρογής ενός οντέλου ε ένα ύνολο δεδοένων. Αυτό ορεί να γίνε υγκρίνοντας την υνάρτηη ανοφάνεας αυτού του οντέλου αυτού ε τη υνάρτηη ανοφάνεας του έγτου οντέλου το οοίο εργράφετα ως εξής. Το έγτο οντέλο είνα ένα γενκευένο γρακό οντέλο ε την ίδα κατανοή όως το οντέλο ου ας ενδαφέρε.. Το έγτο οντέλο έχε την ίδα υνάρτηη ύνδεης ε το οντέλο ου ας ενδαφέρε.
3. Ο αρός των αραέτρων το έγτο οντέλο ούτα ε τον αρό των αρατηρήεων. Λόγω της 3 ορεί να εωρηεί ότ λήρως τα δεδοένα. Ο υναρτήες ανοφάνεας υολογίζοντα ανοφάνεας max το έγτο οντέλο εργράφε τον εκτητή έγτης κα αντίτοχα κα λαάνουε max ; κα ; αντίτοχα. Αν το οντέλο ου ας ενδαφέρε εργράφε τα δεδοένα κανοοητκά, τότε ; ρέε να είνα κοντά το max ;. Τουναντίον αν το οντέλο δεν είνα κανοοητκό τότε το ; ρέε να είνα κρότερο αό το max ;. Αυτό ας οδηγεί την χρήη του Γενκευένου λόγου ανοφάνεας λ max ; ; ή οδύναα τον λογάρο αυτής logλ log max ; log max ; l max ; l αν ένα έτρο καλής ροαρογής του οντέλου. Μεγάλες τές του logλ είνα ένδεξη η καλής ροαρογής του οντέλου. Γα να ρούε την κρτκή εροχή του logλ ρέε να ρούε τη δεγατκή κατανοή του. max ; εγατκή κατανοή της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας Η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας ορίζετα ως D [ l max; l ; Ο elder κα Wedderur 97 κάλεαν την υνάρτηη αυτή devace. Η υνάρτηη αυτή ορεί να γραφτεί τη ορφή D {[ l [ l ; l ; ] [ l max max ; l max ; l ; ]} ; ] Ο ρώτος όρος τς αγκύλες ακολουεί την X κα ο δεύτερος την X p κατανοή. Ο τρίτος όρος είνα ία ετκή ταερά ου είνα κοντά το ηδέν όταν
το οντέλο ε p αραέτρους εργράφε το οντέλο όως το έγτο οντέλο. Σε γενκές γραές ορούε να ούε ότ όταν ο δυο ρώτο όρο είνα ανεξάρτητο κα ο τρίτος όρος είνα κοντά το ηδέν τότε ~ X p D. Όταν το οντέλο δεν είνα κανοοητκό τότε η Devace ακολουεί ροεγγτκά τη η κεντρκή Χ κατανοή. Παράδεγα Υοέτουε ότ ο εταλητές, Y Y είνα ανεξάρτητες κα ακολουούν Y,..., την κανονκή κατανοή ε έο κα κονή τυκή αόκλη. H λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας είνα l ; Ν Ν log Γα το έγτο οντέλο ΕΥ όου,, Ν. Παραγωγίζοντας κα ακολουώντας την υνήη δαδκαία ρίκουε ότ. Γα το λόγο αυτό l max ; log. Θεωρούε τώρα το οντέλο το οοίο όλα τα κα Y έχουν τον ίδο έο. Τότε l ; Τελκά log. D [ l max ; l ; Η ταττκή υνάρτηη D χετίζετα ε τη δεγατκή δαορά S. Αν το οντέλο το οοίο τα Υ ακολουούν την Ν, είνα το ωτό τότε η D S ακολουεί την X κατανοή.
Παράδεγα. Αν Y,...,, Y Y είνα ανεξάρτητες κα ακολουούν την κατανοή Posso ε αράετρο λ. Η Devace γα το ονοαραετρκό οντέλο είνα D log / Ακηη 8 Ελεγχος υοέεων Ο έλεγχος υοέεων γα την αράετρο ορεί να γίνε ε την οήεα της αυτωτκής δεγατκής κατανοής των εκτητών γα την οοία έχουε δε ότ ~,Ι - η οδυνάως ε τη ταττκή υνάρτηη του Wald Ι η οοία έχε την X p κατανοή. Μα δαφορετκή ροέγγη του ρολήατος είνα ε τη οήεα της υνάρτηης Devace. Ετω ότ η ηδενκή υόεη Η κα Εναλλακτκή Η α είνα ο H : M κα H a : a M q όου q<p<. p Μορούε να ελέγξουε την Η έναντ της Η α χρηοοώντας την δαφορά τς ταττκές Devace. ηλαδή D D - D [ l ; l α [ l ; ] max ; l ; ] [ l max ; l ; ] Αν κα τα δυο οντέλα εργράφουν τα δεδοένα καλά τότε D ~ κα χ Ν-q D ~ Ετ ώτε κάτω αό κάοες υνήκες ανεξαρτηίας χ Ν-p χ p-q D ~ Αν η τή της D είνα υνεής ε την είνα το αλούτερο ε τς λγότερες εταλητές. χ p-q κατανοή ελέγουε το οντέλο Η γατί
3. ΥΑ ΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στο κεφάλαο αυτό ελετάε ΓΓΜ τα οοία τα αοτελέατα ετρώντα ε δυαδκή κλίακα. Τέτοα δεδοένα εφανίζοντα ε ατρκά εράατα όου το τέλος κάε εράατος ο αενής είτε ανένηψε Υ είτε κατέληξε Υ. Μορούε λοόν να γράψουε P Y ; P Y γα τς ανότητες της Αοτυχίας κα Ετυχίας αντίτοχα. Γα αράδεγα τα αοτελέατα ου ας ενδαφέρουν ορεί να είνα ``ζωντανός ή νεκρός `` κα γενκότερα ετυχία ή αοτυχία. Στην ερίτωη αυτή γα να υχετίουε την ανότητα ε τη γρακή έκφραη η p x Πρέε να χρηοοήουε ένα γρακό εταχηατό g ο οοίος αεκονίζε το δάτηα, ε όλη την ευεία -,. Υάρχε α εγάλη οκλία αό τέτοες υναρτήες ύνδεης. Τρες όως είνα αυτές ου χρηοοούντα την ράξη. Η λογτκή υνάρτηη g log,
4 η prot ή αντίτροφη κανονκή υνάρτηη g Φ, κα η υληρωατκή log-log υνάρτηη g log{ log }. 3 Η υνάρτηη g log{ log 4 } εν χρηοοείτα υχνά γατί δεν υερφέρετα καλά γα </. Κα ο τέερες υναρτήες είνα αντίτροφες υναρτήες γνωτών αροτκών υναρτήεων κατανοών οών;. Σχήα Αό το αραάνω χήα αρατηρούε τα εξής Η logt κα η Prot χετίζοντα χεδόν γρακά γα τές του το δάτηα,,9. Γα τον λόγο αυτό είνα δύκολη η δάκρη εταξύ των δυο αυτών υναρτήεων όταν ρόκετα γα ζητήατα καλής ροαρογής. Γα κρές τές του, η υληρωατκή log-log υνάρτηη είνα κοντά την λογτκή υνάρτηη.
5 Όταν τείνε το τότε η υληρωατκή log-log υνάρτηη τείνε το άερο ολύ ο αργά ε ύγκρη ε τς άλλες τρες υναρτήες. Παροοίως η ο αργή υνάρτηη την εροχή του είνα η log-log. Όλα τα αυτωτκά αοτελέατα ου α αρουατούν εδώ χύουν ανεξαρτήτως της ελογής της υνάρτηης ύνδεης. Θα εκεντρωούε κυρίως τη λογτκή υνάρτηη γα δυο κυρίως λόγους. Τα αοτελέατα της ανάλυης ερηνεύοντα εύκολα. Μορούε να ενωατώουε την ανάλυή ας κα τοχεία ου ελέγοντα retrospectvel... Παραετρκή εκτίηη Υοετώντας το λογτκό οντέλο ε δυο covarates έχουε τη χέη log x x. Ο λόγος των ανοτήτων της ετυχίας ρος την ανότητα της αοτυχίας -, δηλαδή ο odds. Αν είνα ηαντκός την λογτκή ανάλυη κα λέγετα είνα η ανότητα ετυχίας τότε ο λόγος είνα ο λόγος των ανοτήτων ετυχίας ρος αοτυχίας. ηλαδή όταν λέε ότ τα odds είνα εννοούε ότ η ανότητα ετυχίας είνα δλάα της ανότητας αοτυχίας. Ελέον ο λόγος αυτός αίζε ηαντκό ρόλο την ερηνεία των υντελετών της λογτκής αλνδρόηης. Η ερηνεία των υντελετών είνα η εξής : Κρατώντας τη εταλητή x ταερή τότε ία εταολή της x κατά ία ονάδα αυξάνε τον λογάρο του odd κατά α οότητα. Πράγατ αν την αραάνω εξίωη. αυξηεί η εταλητή x κατά ία ονάδα έχουε log x x. Αφαρώντας την. αό την. έχουε ότ
6 ' ' log log log ηλαδή κρατώντας τς υόλοες εταλητές ταερές κα αυξάνοντας την x κατά ία ονάδα ο λογάρος των odds αυξάνε κατά Όταν η εταλητή x είνα ψευδοεταλητή τότε η ερηνεία του υντελετή είνα αρεφερής ε αυτή γα τα γρακά οντέλα. ηλαδή η ετάαη αό την κατάταη x την κατάταη x ε όλες ο άλλες εταλητές ταερές, αυξάνε τον λογάρο των odds κατά ονάδες. Η ερηνεία ε χέη ε την ανότητα δεν είνα εξίου εύκολη. Λύνοντας ως ρος έχουε exp x x exp x x Παρατηρούε ότ τα αοτελέατα το ας οναδαίας εταολής του x εξαρτάτα τόο αό το x όο κα αό το x. Η αράγωγος όως της ως ρος x δίνε. Αό εδώ λέουε ότ α κρή εταολή τη x έχε τη εγαλύτερη x εταολή τη γα τές της κοντά το.5 κα τη κρότερη εταολή κοντά τα άκρα κα. Εδκές ερτώες Όταν υάρχε ία ανεξάρτητη dumm εταλητή τότε το οντέλο ορεί να εργραφεί ε τον εόενο ίνακα υνάφεας X X Y Y e e e e e e Σύνολο.. Ο λόγος των odds είνα g log{ /[ ]}
7 κα g log{ /[ ]} Ο λόγος των odds ορίζετα ως /[ ] ψ /[ ] Κα ο λογάρος αυτών είνα /[ ] log ψ log[ /[ ] Χρηοοώντας τς εκφράες του ίνακα υνάφεας έχουε e ψ e e e e e e e e Ετ γα τη λογτκή αλνδρόη ε α δχότοη ανεξάρτητη εταλητή έχουε ψ e Ή οδύναα log ψ Με άλλα λόγα όταν η ανάλυη αλνδρόηης έχε αν ανεξάρτητη εταλητή ία όνο κατηγορκή εταλητή, τότε η λογτκή αλνδρόηη την ουία οδυναεί ε ανάλυη ίνακα κατηγορών. Η ουδαότητα της αράταης ψ είνα εφανής. Αν η τή του Ψ είνα κοντά το ή οδύναα η τή λογψ κοντά το τότε η εταλητή Χ δεν έχε εγάλη ρολετκή κανότητα αφού τς δυο οάδες Χ κα Χ η λόγος ανότητας ετυχίας ρος αοτυχία είνα ο ίδος. Τα ακά αοτελέατα τα οοία αράγοντα αό όλα τα ταττκά ακέτα αρουάζοντα το εόενο αράδεγα. Γα τη ελέτη της είδραης της ηλκίας Χ την αρτηρακή ίεη Υ ελετώντα άτοα. Ο ίνακας υνάφεας είνα ο εξής
8 Ηλκία έτη Πίεη 55> 55< Σύνολο Yαρουία 43 Yαουία 6 5 57 Σύνολο 7 73 Τα αοτελέατα της ροαρογής της Λογτκής αλνδρόης τα δεδοένα είνα τα εξής Μεταλητές Εκτητές Τυκή Εκτητές /τυκή Ψ υντελετών αόκλη αόκλη Ηλκία.94.59 3.96 8. Σταερά -.84.55-3.3 Η οότητα τη τήλη Ψ είνα το εκτητής έγτης ανοφάνεας του Λόγου odd Ψ e.94 8.. O λόγος Ψ είνα ένας ηαντκός αράγοντας τη λογτκή αλνδρόη. Η δεγατκή κατανοή της Ψ όως είνα λοξή εεδή είνα φραγένη ακρά αό το. Αό εωρητκής λευράς, γα εγάλα η κατανοή της Ψ ροεγγίζε την κανονκή κατανοή. υτυχώς όως το δείγα ου αατείτα γα α τέτοα ροέγγη είνα ολύ εγάλο. Γα τον λόγο αυτό οτδήοτε υεράατα εξάγοντα γα την Ψ είνα έω της lψ η οοία είνα κοντά τη κανονκή κατανοή γα ολύ κρότερα δείγατα. Γα το 95% δάτηα ετούνης της Ψ ρίκουε ρώτα το δάτηα ετούνης ± z a SE της αό το οοίο αίρνουε το δάτηα / ετούνης exp[ ± z a / SE ] της Ψ exp. Ετ γα το αράδεγα το 95% δάτηα ετούνης της Ψ είνα exp[,94±,96,59],9,,9. Ο έλεγχος της υόεης Η vs H : είνα οδύναος ε το αν το : δάτηα ετούνης ερέχε το. Αναφορκά ε το Ψ ας ενδαφέρε η υόεη Η Ψ vs H : Ψ ο οοίος είνα οδύναος ε το αν το δάτηα : ετούνης ερέχε το.
9.3. Μέοδο καλής ροαρογής γα την λογτκή αλνδρόηη Όως έχουε ε κα το γενκό έρος ένα έτρο καλής ροαρογής γα το οντέλο είνα η Devace ] ; ; [ max l l D όου max ο ΕΜΠ γα το έγτο οντέλο κα ο ΕΜΠ γα το οντέλο ου ας ενδαφέρε. Στην ερίτωη αυτή ορεί να αοδεχεί ότ D ] log log [ Ακηη Ετ η D γράφετα e o o D log όου ο είνα ο αρατηρούενες υχνότητες κα - ο αναενόενες υχνότητες κα κα η υόεη ορεί να ελεγχεί έω της ροέγγης D ~ p Ν χ όου p ο αρός των αραέτρων. Αντί να χρηοοήουε τον ΕΜΠ ορούε να εκτήουε τς αραέτρους ελαχτοοώντας το ταένο άροα τετραγώνων w S. Αυτό είνα οδύναο ε την ελαχτοοίηη της Χ ταττκής του Pearso e e X. Πράγατ Οταν η X υολογίζετα τς αναενόενες υχνότητες τότε η ταττκή είνα η X. ] [ w S X
3 η οοία είνα αυτωτκά οδύναα ε την ταττκή D. Πράγατ χρηοοώντας την ταυτότητα og s... t t s t s t s έχουε X D... ] [ ] [ [ [ ] log log [ ηλαδή η αυτωτκή κατανοή της D κάτω αό την υόεη ότ το οντέλο είνα ωτό είνα D~ p x δηλαδή ροεγγτκά p X. Υάρχουν ενδείξες ότ η X είνα υχνά καλύτερη αό την αό την D γατί η D εξαρτάτα αό κρές υχνότητες. Κα ο δυο ροεγγίες δεν εωρούντα κανοοητκές όταν ο αναενόενες υχνότητες είνα ολύ κρές.χ. κρότερες της ονάδας..4 Ο χερός των κατηγορκών εταλητών αν ανεξάρτητες εταλητές Στην ερίτωη κατά την οοία ρέε να χρηοοηεί α κατηγορκή εταλητή Χ ε ν είεδα Χ,,,,ν αν ανεξάρτητη εταλητή τότε ρέε ρέε αντί αυτής να εάγουε το οντέλο της λογτκής αλνδρόης ν- το λήος δυωνυκές εταλητές. Παράδεγα Ετω ότ έλουε να εάγουε τη εταλητή Χ Οκογενεακή κατάταη,η οοία ορεί να άρε τς τές Χήρος/α 3 αζευγένος/η Παντρεένος/η Αγαος/η X Αντί της αραάνω εταλητής υεέρχοντα το οντέλο ο τρες εταλητές Αλλο Παντρεένος X
3 X αζευγένος Αλλο X 3 Χήρος Αλλο Προφανώς α τέταρτη εταλητή ε τή γα την ελογή Αγαος κα αλλού δεν ορεί να εί το οντέλο γατί α είχαε ολυυγρακότητα. Το ύνολο το οοίο αγνοείτα λαάνετα αν άη αναφοράς. Γα το αραάνω αράδεγα, ο λογάρος του λόγου των odds των αντρεένων, των δαζευγένων, κα των χήρων λαάνετα ως ρος την οάδα Αγαος ου είνα η άη αναφοράς. Στην ράξη αυτή η ετατροή ολύτοων κατηγορκών ανεξάρτητων εταλητών ε ένα ύνολο δυαδκών γίνετα αυτόατα αό όλα τα ταττκά ακέτα..5 Κατακευή του οντέλου Εως τώρα έχουε αχοληεί ε τη εκτίηη, τον έλεγχο κα την ερηνεία των υντελετών των οντέλων. Σε ολλές ερτώες, αό ένα εγάλο ύνολο ανεξάρτητων εταλητών ευούε να ελέξουε εκείνες τς εταλητές ο οοίες οδηγούν ε ένα έλττο ε κάοα έννοα οντέλο. Γα να ετύχουε αυτόν τον τόχο, ρέε να έχουε α α ακή έοδο ελογής των εταλητών κα εόδων. ένα ύνολο εόδων γα να ελέγχουε την εάρκεα των Η αλούτερη κα υνηέτερη δαδκαία είνα η eter όου όλες ο εταλητές εέρχοντα αν ία οάδα. Άλλες δαδκαίες είνα ο Forward : όου η δαδκαία ξεκνά ε την καλύτερη εταλητή, τη υνέχεα ροέτε την καλύτερη αό τς υόλοες κ.λ.. έχρς ότου ροέτοντας ία νέα εταλητή η αύξηη της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας δεν είνα ταττκώς ηαντκή. Backwards: Ξεκνά ε όλο το ύνολο των εταλητών κα αορρίτε δαδοχκά τη χερότερη αό τς εναοείναντες. Stepwse: Είνα ανάλογη της Forward ε τη δαφορά ότ κάε φορά ου α εταλητή εέρχετα το οντέλο, ελέγχε αν το νέο ύνολο όλες ο εταλητές είνα ταττκώς ηαντκές. Η stepwse δεν είνα δαέη το SPSS..5 Η λογτκή αλνδρόηη το SPSS
3 Θα αναλύουε το αρχείο logstc.sav το οοίο καταγράφοντα αρατηρήες 4 αδών λυκείου. Ο κοός της ελέτης είνα να ρεούν ο αράγοντες ου εηρεάζουν την εφάνη άατος. Ο εταλητές ου κατεγράφηαν είνα asdag95 γα αρουία άατος, γα η αρουία άατος fvc95 χωρητκότητα των νευόνων. mef595ίεη εξόδου του αέρα αό τα νευόνα whz95αν υάρχε υργός κατά την έξοδο του αέρα. couev95αν υάρχε ήχας hefev95 αρουία εαρνής ρνοεεφυκίτδας. areagroup γα ατκή εροχή, γα εαρχία smokgαν κανίζε το ίδο το αδί mosmpregαν κάνζε η ητέρα του κατά την δάρκεα της εγκυούνης petsύαρξη κατοκίδων catpetsεαφή ε γάτες outaskεξωτερκές αλητκές δρατηρότητες. Γα να χρηοοήουε το SPSS τη λογτκή αλνδρόη κάνουε τα εξής ήατα. Aalze- Regresso- Bar ogstc
33 Στη υνέχεα την ελογή Bar ogstc έτουε τη έη depedet εξαρτηένη εταλητή asdag95. Στη έη covarates έτουε τς ανεξάρτητες εταλητές. Σαν έοδο ελέγουε την eter. την
34 Στη υνέχεα ρέε να ορίουε τς κατηγορκές εταλητές. Ελέγουε λοόν την έη categorcal κα ύρουε έα τς κατηγορκές εταλητές. Η ελογή referece categor έχε νόηα κυρίως όταν κατηγορκή εταλητή έχε άνω αό δύο είεδα όου όλα τα άλλα είεδα υγκρίνοντα ως ρος την referece categor ου ελέγουε. Στη υνέχεα, την ελογή opto ο ο ηαντκές ελογές είνα το Hosmer ad emeshov goodess-of-ft test, το δάτηα ετούνης του exp Η ελογή proalt for stepwse αναφέρετα την ερίτωη όου η έοδος δεν είνα η
35 eter αλλά κάοα αό τς forward ή ackward όου ο εταλητές εέρχοντα ή εξέρχοντα το οντέλο ε κάοες ροκαορένες ανότητες. εν ρέε να ξεχνάε ότ η εξαρτηένη εταλητή είνα δυαδκή ε τές ή. Η αντίτοχη ρόλεψη είνα η PΥ. Με το classfcato cutoff.5 ορίζουε ότ γα <.5 η ρολεόενη τή του οντέλου είνα κα γα.5 είνα. Τα αοτελέατα είνα τα εξής ogstc Regresso
36 Uweghted Cases a Selected Cases Uselected Cases otal Case Processg Summar Icluded Aalss Mssg Cases otal Percet 8,, 8,, 8, a. If weght s effect, see classfcato tale for the total umer of cases. Στον αραάνω ίνακα έχουε τον αρό των αρατηρήεων καώς κα των ερτώεων ε mssg values Depedet Varale Ecodg Orgal Value,, Iteral Value Ο αραάνω ίνακας ας ενηερώνε το ως αντλαάνετα το SPSS κωδκοοίηη της εξαρτηένης εταλητής. Categorcal Varales Codgs outaske couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg catpet95 pets95 whz95,,,,,,,,,,,,,,,,,, Paramete Frequec r codg 673, 47, 765, 55, 77, 3, 478, 34, 33, 49, 77, 3, 497, 33, 375, 445, 76, 58, Ο αραάνω ίνακας είνα ληροφορακός το ως κωδκοοεί το SPPP τς κατηγορκές εταλητές
37 Στη υνέχεα το Block ελετάτα το τετρένο οντέλο log. Block : Begg Block Classfcato ale a, Predcted Step Oserved asdag95 Overall Percetage,, a. Costat s cluded the model.. he cut value s,5 asdag95 Percetage,, Correct 74, 96, 88,3 Varales the Equato Step Costat B S.E. Wald df Sg. ExpB -,,9 346,,,33 Ο αραάνω ίνακας δείχνε ο ταερός όρος δεν είνα. Ο εόενος ίνακας δείχνε οία αό τς εταλητές είνα η ο ηαντκή κα η οοία α ε ρώτη το οντέλο. Είνα χρήος όταν έχουε ελέξε κάοας ορφής stepwse δαδκαία. Varales ot the Equato Step Varales Overall Statstcs fvc95 mef595 whz95 couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg pets95 catpet95 outaske Score df Sg.,384,535,66,4 75,954, 34,673, 67,96,,3,67,556,456,5,36,7,678,63,687,84,75 378,4,
38 Στη υνέχεα λόγω της εόδου ου έχουε ελέξε εάγε όλες τς εταλητές αν ένα ύνολο lock Block : Method Eter Στον αρακάτω ίνακα ελέγχετα η υόεη ότ το οντέλο ε όλες τς εταλητές είνα το ίδο ε το τετρένο οντέλο. Η υόεη αυτή αορρίτετα. Omus ests of Model Coeffcets Step Step Block Model Ch-square df Sg. 56.9. 56.9. 56.9. Στον αρακάτω ίνακα δίνοντα κάοα ταττκά χαρακτηρτκά του οντέλου. Step Model Summar - og Cox & Sell agelkerke lkelhood R Square R Square 335.7 a.69.53 a. Estmato termated at terato umer 6 ecause parameter estmates chaged less tha.. Classfcato ale a Predcted Oserved Step asdag95 Overall Percetage a. he cut value s.5.. asdag95 Percetage.. Correct 7 98.3 5 46 47.9 9.4 Στον αρακάτω ίνακα δίνε οες εταλητές είνα ταττκώς ηαντκές γα το οντέλο.
39 Step a fvc95 mef595 whz95 couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg pets95 catpet95 outaske Costat Varales the Equato B S.E. Wald df Sg. ExpB.5..5.8.5.4.6.63.8.4-3.7.4 53.6..46 -.59.45 7.89.5.84 -.939.33 79.66..53 -.393.377.83.98.675.37.3.4.96.37 -.37.463.64.43.69 -.585.453.664.97.557.35.46.53.474.357 -.78.49.89.664.837 3.77.8 3.8.7 43.49 a. Varales etered o step : fvc95, mef595, whz95, couev95, hafev95, areagrou, smokg, mosmpreg, pets95, catpet95, outaske. Σαν αοτέλεα έχουε ότ ο αράγοντες ου χετίζοντα ε την εφάνη άατος είνα η αρουία ήχα, το ύργα κατά την εκνοή, κα η αρουία εαρνής ρνοεεφυκίτδας. Βλογραφία. Doso A.J. 99 A Itroducto to Geeralzed ear.models d Ed.Uverst of ewcastle Chapma ad Hall. McCullagh P. ad elder J.A. 989 Geeralzed ear Models. d Ed. odo Chapma ad Hall.