ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν δειχτεί ότι ισχύει: i) ΑΒ = ΒΓ Β (Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μις κάθετης πλευράς είνι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσς επί την προβολή της πλευράς υτής στην υποτείνουσ.θεώρημ Ι σ 183) ii) iii) ΑΓ = ΒΓ Γ ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ (Πυθγόρειο Θεώρημ) (Θεώρημ ΙΙ σ.183) i) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΒΑ είνι όμοι γιτί έχουν Α ˆ 90 ομοιότητς).επομένως θ έχουν τις πλευρές τους νάλογες : ΒΓ ΑΒ = ΑΒ Β ΑΓ = Α ˆ Ο = = κι Βˆ κοινή (1 ο κριτήριο Πίρνουμε τους δύο πρώτους όρους της πιο πάνω νλογίς κι κάνουμε «χιστί». ΒΓ ΑΒ = ΑΒ = ΒΓ Β ΑΒ Β (1) ii) Πρόμοι πό την ομοιότητ των τριγώνων ΑΒΓ κι ΔΑΓ (έχουν πίρνουμε: ΒΓ ΑΓ = ΑΓ = ΒΓ Γ ΑΓ Γ () iii) Με πρόσθεση των ισοτήτων (1) κι () κτά μέλη έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ Β + ΒΓ Γ = ΒΓ ( Β + Γ ) = ΒΓ ΒΓ = ΒΓ ˆ Ο = ˆ = κι Γˆ κοινή) Α 90
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ=90 ) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ. Tότε ισχύουν: Θεώρημ Ι (σ 183) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μις κάθετης πλευράς είνι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσς επί την προβολή της πλευράς υτής στην υποτείνουσ. ΑΒ = ΒΓ Β ΑΓ = ΒΓ Γ Θεώρημ ΙΙ (Πυθγόρειο) (σ.183) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμ των τετργώνων των κάθετων πλευρών του είνι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσς. ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ Θεώρημ ΙV (σ. 184) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ είνι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσ. Α = Β Γ
Θεώρημ Ι σ.189 Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκετι πένντι πό οξεί γωνί, είνι ίσο με το άθροισμ των τετργώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελττωμένο κτά το διπλάσιο γινόμενο της μίς πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. Aν δηλδή σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α< ˆ 90 κι ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β, τότε ισχύει: β γ β = + Α Απόδειξη: Φέρνουμε το ύψος ΒΔ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε πό το Πυθγόρειο θεώρημ: = Β + Γ (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ έχουμε πό το Πυθγόρειο θεώρημ: Β = γ Α () Η (1) λόγω της () γίνετι: = γ Α + Γ (3) Στο σχήμ μς (με Α< ˆ 90 κι Γ< ˆ 90 ) το Δ βρίσκετι μετξύ των Α κι Γ Γ = β Α Με ντικτάστση στην (3) πίρνουμε: ( ) = γ Α + β Α = γ Α + β βα +Α = β + γ β Α. Σημείωση γι την πόδειξη: Τι πιο λογικό ν ξεκινήσουμε πό μι σχέση που ν μς δίνει το Οπότε γράφουμε την = Β + Γ Τώρ έχοντς στο μυλό μς ότι πρέπει ν φτάσουμε ότι = β + γ β Α κτλβίνω ότι πρέπει το ΔΒ ν ντικτστθεί οπότε σκέφτομι ν εφρμόσω Πυθγόρειο στο ΔΒΑ κι επίσης ούτε το ΔΓ εμφνίζετι στον τελικό τύπο λλά εμφνίζετι το ΑΔ κι το β οπότε κτλβίνουμε ότι πρέπει ν ντικτστήσουμε κι το Γ = β Α
Θεώρημ ΙΙ (σ.190 σχολικού) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό μβλεί γωνί είνι ίσο με το άθροισμ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, υξημένο κτά το διπλάσιο γινόμενο της μίς πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. Απόδειξη: Φέρνουμε το ύψος ΒΔ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε πό το Πυθγόρειο θεώρημ: = Β + Γ (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ έχουμε πό το Πυθγόρειο θεώρημ: Β = γ Α () Η (1) λόγω της () γίνετι: = γ Α + Γ (3) Επειδή Α> ˆ 90, το Δ βρίσκετι στην προέκτση της ΓΑ προς το Α κι επομένως: Γ = β + Α Με ντικτάστση στην (3) πίρνουμε: ( ) = γ Α + β + Α = γ Α + β + βα +Α = β + γ + β Α.
Θεώρημ I (1ο Θεώρημ Διμέσων) Το άθροισμ των τετργώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούτι με το διπλάσιο του τετργώνου της διμέσου που περιέχετι μετξύ των πλευρών υτών, υξημένο κτά το μισό του τετργώνου της τρίτης πλευράς. Απόδειξη Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ>ΑΒ. Πίρνουμε το μέσο Μ του ΒΓ κι φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ. Επίσης φέρνουμε κι το ύψος ΑΔ. (το Δ είνι η προβολή του Α πάνω στην ΒΓ) Στο σχήμ μς η γωνί ˆΜ 1 είνι μβλεί, οπότε πό το θεώρημ μβλείς γωνίς (ΘΙΙ Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος) β = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ (1) (ΜΔ είνι η προβολή της ΑΜ πάνω στην ΜΓ) Στο σχήμ μς η γωνί ˆΜ είνι οξεί, οπότε πό το θεώρημ οξείς γωνίς (ΘΙ Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος) γ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ () (ΜΔ είνι η προβολή της ΑΜ πάνω στην ΜΒ) Προσθέτουμε κτά μέλη τις (1) κι () κι λμβάνοντς υπόψη ότι ΜΒ=ΜΓ (φού Μ μέσο ΒΓ) πίρνουμε: β + γ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ + ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ ΜΓ=ΜΒ β + γ = ΑΜ + ΜΒ ΒΓ β + γ = ΑΜ + ΒΓ β + γ = ΑΜ + 4 ΒΓ β + γ = ΑΜ + β + γ = µ +
Θεώρημ II (ο Θεώρημ Διμέσων) Η διφορά των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούτι με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της ντίστοιχης διμέσου πάνω στην πλευρά υτή. Απόδειξη: Εστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ>ΑΒ. Πίρνουμε το μέσο Μ του ΒΓ κι φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ. Επίσης φέρνουμε κι το ύψος ΑΔ. (το Δ είνι η προβολή του Α πάνω στην ΒΓ) Στο σχήμ μς η γωνί ˆΜ 1 είνι μβλεί, οπότε πό το θεώρημ μβλείς γωνίς (ΘΙΙ Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος) β = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ (1) (ΜΔ είνι η προβολή της ΑΜ πάνω στην ΜΓ) Στο σχήμ μς η γωνί ˆΜ είνι οξεί, οπότε πό το θεώρημ οξείς γωνίς (ΘΙ Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος) γ = ΑΜ + ΜΒ ΜΒ Μ () (ΜΔ είνι η προβολή της ΑΜ πάνω στην ΜΒ) Αφιρούμε κτά μέλη τις (1) κι () κι λμβάνοντς υπόψη ότι ΜΒ=ΜΓ (φού Μ μέσο ΒΓ) πίρνουμε β γ = ΑΜ + ΜΓ + ΜΓ Μ ΑΜ ΜΓ=ΜΒ ΜΒ + ΜΒ Μ β γ = 4ΜΒ Μ ΒΓ β γ = 4 Μ β γ = ΒΓ Μ β γ = Μ