ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

Transcript

1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ. ν > β κι γ > 0τότε γ > βγ. ν > β κι γ < 0 τότε γ < βγ. Ιδιότητες Ριζών ιάτξη κι πράξεις Τυτότητες ( + β) 2 = 2+ 2β + β 2 ( β) 2 = 2 2β + β 2 2 β 2= + ( β)( β) ( + β) 3 = β+ 3β 2+ β3 ( β) 3 = 3 3 2β+ 3β 2 β3 3 β 3 = β 2 + β+ β 2 ( )

2 3 + β 3 = + β 2 β+ β 2 ( ) Επίλυση της x 2 +βx+γ=0 (Ι) µε =β 2-4γ β± ν > 0 η (1) έχει ρίζες τις x1,2 =. 2 β ν = 0η (1) έχει διπλή ρίζ την x0 =. 2 ν < 0η (1) δεν έχει πργµτικές ρίζες. Ειδικές περιπτώσεις 1) Αν λείπει το β (δηλ. β=0) τότε: χωρίζω γνωστούς πό γνώστους, διιρώ µε τον συντελεστή του γνώστου κι έχω την µορφή: x 2 = µ x=± µ 2) Αν λείπει το γ (δηλ. γ=0) τότε: βγάζω κοινό πράγοντ το χ κι έχω την µορφή: ( β) 0 0 x x+ = x= ή ax+ β = 0 (κι λύνω ως προς x). Πργοντοποίηση της x 2 +βx+γ (ΙΙ) Αν η (ΙΙ)=0 έχει: ρίζες τις x1, x 2 τότε x2+ β x+ γ = ( x x1)( x x2). διπλή ρίζ την x 0 τότε x2+ β x+ γ = 2 ( x x ). 0 Η συνάρτηση ψ=x Η γρφική πράστση της συνάρτησης υτής είνι ευθεί που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. Αν γνωρίζω έν σηµείο Μ (x, ψ) το οποίο νήκει στην ευθεί, µπορώ ν υπολογίσω ψ το πό τον τύπο: =. x Η συνάρτηση ψ=x±β Η γρφική πράστση της συνάρτησης υτής είνι ευθεί πράλληλη προς την ευθεί ψ = x. Ειδικές περιπτώσεις Α) Η ευθεί y= a η οποί είνι πράλληλη προς τον άξον χ χ.

3 Β) Η ευθεί x= β η οποί είνι πράλληλη προς τον άξον ψ ψ. π.χ. y= 3 π.χ. x= 2 Η συνάρτηση υτή πριστάνει πρβολή. Η συνάρτηση ψ=x 2 Α) Αν 0τότε: Β) Αν 0 τότε: Βρίσκετι πάνω πό τον άξον χ χ. Βρίσκετι κάτω πό τον άξον χ χ Έχει ελάχιστο το σηµείο Ο(0,0). Έχει µέγιστο το σηµείο 0(0,0). Έχει άξον συµµετρίς τον ψ ψ. Έχει άξον συµµετρίς τον ψ ψ. Η συνάρτηση ψ=x 2 +βx+γ Η συνάρτηση υτή πριστάνει πρβολή µε κορυφή (µέγιστο ν < 0κι ελάχιστο β β ν > 0 ) το σηµείο Κ(, ) κι άξον συµµετρίς την ευθεί x=

4 π.χ. < 0 π.χ. > 0 ˆ πενντι κθετη ˆ ΑΓ ηµ Β= ηµ Β= υποτεινουσ ΒΓ ˆ προσκειµενη κθετη ˆ ΑΒ συνβ= συνβ= υποτεινουσ ΒΓ ˆ πενντι κθετη ˆ ΑΓ εφβ= εφβ= προσκειµενη κθετη ΑΒ Τριγωνοµετρί Γ Α Β Έστω ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων xο y σηµείο Μ ( x, y) κι ω η γωνί που σχηµτίζετι ότν περιστρέφετι ο άξονς Ο x κτά τη θετική φορά µέχρι ν συµπέσει στην ευθεί ΟΜ. Τότε: y x ηµω=, συνω=, y εφω= όπου ρ= x2+ y2 ρ ρ x 1 ηµω 1 1 συνω 1 ν 0ο < ω< 90ο τότε ηµω> 0, συνω> 0, εφω> 0. ν 90ο < ω< 180ο τότε ηµω> 0, συνω< 0, εφω< 0. ν 180ο < ω< 270ο τότε ηµω< 0, συνω < 0 εφω> 0. ο ο ν 270 < ω< 360 τότε ηµω< 0, συνω> 0, εφω< 0. Συµπληρωµτικές κι πρπληρωµτικές γωνίες ( 90 ο ) = συν( 90 ο ) = ( 180 ο ) = ( 180 ο ) ( 180 ο ) = ηµ ω συνω ηµ ω ηµω εφ ω εφω ω ηµω συν ω = συνω

5 ηµω εφω=, ηµ 2ω+ συν 2ω= 1 συνω Τριγωνοµετρικές τυτότητες Νόµος Ηµιτόνων β γ = = ηµ Α ηµ Β ηµ Γ Νόµος Συνηµιτόνων 2= β2+ γ 2 2 β γ συνα ˆ β2= 2+ γ 2 2 γ συνβ ˆ γ 2= 2+ β 2 2 β συνγ ˆ Κριτήρι ισότητς τριγώνων ότν οι πλευρές ενός τριγώνου είνι ίσες µι προς µι µε τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου. ότν δύο πλευρές ενός τριγώνου είνι ίσες µι προς µι µε δύο πλευρές ενός άλλου τριγώνου κι οι περιεχόµενες στις πλευρές υτές γωνίες είνι ίσες. ότν µι πλευρά ενός τριγώνου είνι ίση µε µι πλευρά ενός άλλου τριγώνου κι οι προσκείµενες γωνίες των πλευρών υτών είνι µι προς µι ίσες. Ίσ τµήµτ µετξύ πρλλήλων ότν πράλληλες ευθείες ορίζουν ίσ τµήµτ σε µι ευθεί, τότε θ ορίζουν ίσ τµήµτ κι σε κάθε άλλη ευθεί που τις τέµνει. ν πό το µέσο µις πλευράς τριγώνου φέρουµε την πράλληλη προς µι πλευρά του, τότε υτή διέρχετι πό το µέσο της τρίτης πλευράς. το ευθύγρµµο τµήµ που συνδέει τ µέσ δύο πλευρών τριγώνου είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά κι ίσο µε το µισό της. Κριτήρι ισότητς ορθογωνίων ότν µι πλευρά κι µι οξεί γωνί ενός ορθογωνίου τριγώνου είνι ίσες µε µι ντίστοιχη πλευρά κι γωνί ενός άλλου. ότν οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είνι ίσες µε τις ντίστοιχες πλευρές ενός άλλου. Θεώρηµ του Θλή ότν πράλληλες ευθείες τέµνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τµήµτ που ορίζοντι στη µι είνι νάλογ προς τ ντίστοιχ τµήµτ της άλλης.

6 Όµοι τρίγων ότν δύο τρίγων έχουν τις γωνίες τους ίσες τότε έχουν κι τις ντίστοιχες πλευρές τους νάλογες δηλδή είνι όµοι. ότν δύο τρίγων έχουν τις πλευρές τους νάλογες, τότε έχουν κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες, δηλδή είνι όµοι. Εµβδά οµοίων σχηµάτων ο λόγος των εµβδών δυο οµοίων σχηµάτων είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς. Όγκοι οµοίων σχηµάτων ο λόγος των όγκων δύο οµοίων στερεών είνι ίσος µε τον κύβο του λόγου οµοιότητς.

7 Μθηµτικά Προετοιµσί γι τις προγωγικές εξετάσεις: Η µελέτη των µθηµτικών πιτεί ρχικά ουσιστική γνώση της θεωρίς κι στη συνέχει τη σωστή εφρµογή της στην επίλυση των προβληµάτων. Η ουσιστική γνώση της θεωρίς επιτυγχάνετι µε την κτνόηση: των ορισµών, των θεωρηµάτων (προσοχή στις γεωµετρικές ερµηνείες κι τις εξιρέσεις), των σχετικών σχολίων. Γι ν οργνώσουµε σωστά την επνάληψη της θεωρίς, χρήσιµο είνι ν έχουµε έν τετράδιο στο οποίο θ γράφουµε τους ορισµούς κι τις ποδείξεις των θεωρηµάτων. Οι σκήσεις φορούν: την πλή εφρµογή των ορισµών κι των θεωρηµάτων, τη συνδυσµένη εφρµογή τους. Γι ν θεωρηθεί ολοκληρωµένη η επνάληψη λλά κι γι ν ελέγξουµε τις γνώσεις µς, µπορούµε ν λύσουµε ντιπροσωπευτικές σκήσεις πό κάθε ενότητ. Κτά τη διάρκει τωv εξετάσεωv: ιβάζουµε µι φορά όλ τ θέµτ, ώστε ν σχηµτίσουµε µι γενική εικόν. Ξεκινάµε τις πντήσεις µς πό τ θέµτ εκείν γι τ οποί είµστε σίγουροι γι τον τρόπο ντιµετώπισής τους. Συνήθως ξεκινάµε πό τη θεωρί. Αντιµετώπιση ενός θέµτος: ιβάζουµε προσεκτικά τ δεδοµέν του θέµτος. Εντοπίζουµε τη διδκτική ενότητ όπου νφέρετι. Το ερµηνεύουµε µε βάση τη θεωρί της ντίστοιχης διδκτικής ενότητς. Προχωράµε στη λύση του θέµτος νφέροντς τ θεωρήµτ που θ χρησιµοποιήσουµε κι προσέχοντς εάν πληρούντι οι προϋποθέσεις τους.εάν δεν δίνοντι στην εκφώνηση, τις ποδεικνύουµε. Επιπλέον θ πρέπει ν έχουµε υπόψη µς ότι τ υποερωτήµτ ενός ερωτήµτος συνδέοντι µετξύ τους. Ακόµη κι εάν γνοούµε τη λύση του 1 ου υποερωτήµτος, µπορούµε ν το θεωρήσουµε ως δεδοµένο γι την επίλυση του 2 ου κ.ο.κ.