9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση

Transcript

1 1 9.4 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 194 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ ν συµπληρώσετε τ κενά Ε i) = + +. ii) = + +.Ε. Ν βρεθεί το είδος των ωνιών του τριώνου ότν i) β = + ii) = β iii) β = i) β = + > + ˆ >90 ο, οπότε το τρίωνο είνι µβλυώνιο ii) = β = β + ˆ = 90 ο, οπότε το τρίωνο είνι ορθοώνιο iii) β = = β + > β + ˆ > 90 ο, οπότε το τρίωνο είνι µβλυώνιο. ν β η µελύτερη πλευρά µβλυωνίου τριώνου, τότε β > + (Ν συµπληρώσετε τ κενά )

2 4. ν στο πρκάτω σχήµ είνι = κι ˆ =10 ο, ν δικιολοήσετε ιτί = β 10 ο β πό τον νόµο των συνηµιτόνων έχουµε = β + βσυν ˆ = β + β β συν10 ο = β + β β 1 ( ) = β σκήσεις Εµπέδωσης 1. Ν εξετάσετε ν υπάρχει τρίωνο µε = 6µ, β = 5µ, = 4µ, όπου µ θετική πράµετρος. Ν εξετσθεί το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. ι ν υπάρχει τρίωνο µε πλευρές, β, πρέπει κι ρκεί β <<β+ 5µ 4µ < 6µ< 5µ+ 4µ µ < 6µ < 9µ, που ισχύει. Άρ υπάρχει τέτοιο τρίωνο. = 6µ = 5µ + 16µ = 41µ Άρ < ˆ οξεί. Η ωνί ˆ βρίσκετι πένντι πό τη µελύτερη πλευρά, άρ είνι η µελύτερη ωνί του τριώνου. Κι επειδή υτή είνι οξεί, θ είνι κι οι άλλες. Άρ το τρίωνο είνι οξυώνιο.

3 . Υπάρχει τρίωνο µε µήκη πλευρών = 6, β = 5, = 4; ν νι, ν υπολοισθούν τ ύψη του τριώνου. ι ν υπάρχει τρίωνο µε πλευρές, β, πρέπει κι ρκεί β <<β+ 5 4 < 6< < 6 < 9, που ισχύει. Άρ υπάρχει τέτοιο τρίωνο. υ = ( )( )( ) τ τ τ β τ = = Οµοίως 7 υ = κι β υ = = = = = ίνετι τρίωνο µε =, β= 1+, =. Ν υπολοισθεί η ωνί ˆ. = β συν ˆ = ( 1+ ) + ( 1+ ) συν ˆ = ( 1+ ) συν ˆ 6 = 4( 1+ ) συν ˆ + συν ˆ 6+ = 4( 1 ) ( + ) = 4( 1 ) ( 1+ ) = ( 1 ) ˆ συν = + συν ˆ + συν ˆ ˆ = 0 ο.

4 4 4. ίνετι οξυώνιο τρίωνο µε = 4, = 5 κι ύψος του. Ν υπολοισθεί η πλευρά του. 0 0 Στο τρίωνο θ έχουµε = β συνˆ 0 = συν 60 = ˆ = 0 ο, όπου το ˆ = 60 ο = 41 0 = 1 = 1 ποδεικτικές σκήσεις 1. Οι πλευρές ενός τριώνου έχουν µήκη = 9, = 7 κι = 1. Ν υπολοισθεί το µήκος της προβολής της πάνω στην. η προβολή της πάνω στην. = 1 = = = = 10 Άρ > + ˆ µβλεί. Άρ = = = 14 = = 7 9

5 5. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρπέζιο µε βάσεις, ισχύει ότι + = + +. Έστω ˆ, ˆ οξείες. Φέρουµε Κ κι Λ κάθετες στη. Κ Λ Προσθέτουµε κτά µέλη: + = Τρ.: Τρ.: + = = Κ Λ Κ Λ + = + = ΛΚ ορθοώνιο ΚΛ = (1) + = ( Κ Λ) + ΚΛ (1) +. ν, είνι ύψη ενός οξυωνίου τριώνου, ν ποδείξετε ότι = β +. β = β = + + β β Προσθέτουµε κτά µέλη = + ( β + ) = β + = ( β + )

6 6 4. ίνετι ορθοώνιο τρίωνο ( = ˆ 1 ). Προεκτείνουµε την πλευρά κτά =. Ν ποδείξετε ότι =.. Τρ.: = = = + = ( + ) = ( + ) = 5. Σε ισοσκελές τρίωνο ( = ) φέρουµε πράλληλη της, που τέµνει τις κι στ κι Ε ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι Ε = Ε + Ε. Ε Φέρουµε Κ, ΕΛ κάθετες στη. Στο τρίωνο Ε έχουµε Ε = Ε + Λ Ε = Ε + ( Λ) (1) K Λ τρ.κ = τρ.ελ Κ = Λ. Άρ Λ = Λ Κ = ΚΛ = Ε (1) Ε = Ε + Ε.

7 7 6. ίνετι ορθοώνιο τρίωνο ( = ˆ 1 ) µε πλευρές, β,. Υπάρχει τρίωνο µε πλευρές 5, 4β, ; Ορθοώνιο τρίωνο = Πρέπει ν ισχύει 5 < 4 ( 5 ) < ( 4β+ ) 5 < 16β + 4 β ( 5 ) < 16β + 4 β < 16β + 4 β + 9 9β β < 0 ( β 4 ) < 0 που είνι δύντο. Άρ δεν υπάρχει τέτοιο τρίωνο. Σύνθετ Θέµτ 1. ίνετι ισοσκελές τρίωνο µε = κι ˆ = 0 ο. Ν ποδείξετε ότι =β. = 0 βσυν0 = = β = β β β β ( ) =β

8 8. ίνετι κύκλος διµέτρου κι µί χορδή του. ν Μ είνι τυχίο σηµείο της, ν ποδείξετε ότι Κ Μ Λ Μ + Μ = Μ + Μ. Φέρουµε τις,, κι έστω Κ, Λ οι προβολές των, στην. Τότε ισοσκελές τρπέζιο, ΚΛ ορθοώνιο κι Κ = Λ Τρ.Μ: Τρ.Μ: Μ = Μ = Μ + Μ Κ Μ + Μ Λ Προσθέτουµε: Μ + Μ = Μ + Μ + Μ Κ Μ Λ. ρκεί ν ποδείξουµε ότι Μ Κ Μ Λ = 0, ή Μ Κ Μ Λ = 0. Όµως, πό το ορθοώνιο τρίωνο έχουµε = Κ, οπότε ρκεί ν ποδείξουµε ότι Κ Μ Κ Μ Κ = 0, ή Μ Μ= 0, που ισχύει.

9 9. ίνετι τρίωνο µε οξυώνιο. πό την υπόθεση (1) + () = β +. Ν ποδείξετε ότι το τρίωνο είνι = β + > ( ) > > > β κι > >β κι > β >ββ β > ˆ οξεί. κι β (1) κι > > () Επειδή όµως >β κι >, δηλδή η είνι η µελύτερη πλευρά, η ˆ θ είνι η µελύτερη ωνί. Άρ το τρίωνο οξυώνιο Ν µς επιτρπεί ν συµπληρώσουµε ότι είνι κι ˆ > 60 ο πόδειξη = β + = (β+) ( β β+ ) λλά άρ κι επειδή <β+, θ είνι = β συν ˆ, β συν ˆ > β β+ β συν ˆ > β > β β+ συν ˆ < 1 ˆ > 60 ο