Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Transcript

1 Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό µς πρόβληµ, το ντίστροφο της άσκησης Αποδεικτική 1 σελ. 48 του σχολικού ϐιβλίου κι συνεχίζουµε µε έν κλσσικό πρόβληµ µεγίστου-ελχίστου, συνεχίζοντς την πράδοση του Τόγκ στο Βρβάκειο. Το δεύτερο υτό πρόβληµ έχει προυσισθεί στο περιοδικό Απολλώνιος του πρρτήµτος της Ε.Μ.Ε. του Ν. Ηµθίς τχ. 3ο σελ Τ προβλήµτ o Πρόβληµ Steiner-Lehmus Αν σε έν τρίγωνο οι δύο εσωτερικές διχοτόµοι είνι ίσες, τότε το τρίγωνο είνι ισοσκελές. 1. o Πρόβληµ Ελχίστου Εστω τρίγωνο ABΓ κι σηµείο που κινείτι στο εσωτερικό του BΓ. Θεωρείστε δύο σηµεί M κι N στις AB κι AΓ ντίστοιχ, έτσι ώστε οι γωνίες BM = NΓ = ω, όπου ω στθερή γωνί γι οποιδήποτε ϑέση του. Σε ποιά ϑέση του πάνω στην BΓ το µήκος MN γίνετι ελάχιστο ; c:\education\ B LYC \geniki\ geometry\9\generalizationpt.tex 1

2 1 o Πρόβληµ Steiner-Lehmus Το πρόβληµ έχει πολλές λύσεις, δες γι πράδειγµ στο [Η]. Μι λύση που δεν χρησιµοποιεί την µετρική γεωµετρί δίνει ο Π. Πάµφιλος στο [Π], σελ. 37. Στο ίδιο κείµενο ο Π. Πάµφιλος δίνει µι επίκιρη πόδειξη στην ύλη της Γεωµετρίς της Β Λυκείου, που ϐρισκόµστε, η οποί χρησιµοποιεί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου, δες [Π], σελ. 14. Στην δεύτερη πόδειξη ϑ νζητήσουµε τον υπολογισµό της διχοτόµου τριγώνου ΑΒΓ συνρτήσει των πλευρών του. Γι τον λόγο υτό ϑ χρειστούµε το ϑεώρηµ του Stewart το οποίο όπως ϑ δείτε είνι γενίκευση του ϑεωρήµτος της διµέσου ότν η διάµεσος είνι τυχί ευθεί στο εσωτερικό του τριγώνου. Εδώ ϑ ντρέξουµε είτε στο ϐιβλίο του Π. Πάµφιλου είτε στο κλσσικό ϐιβλίο του Σ. Κνέλλου. Θεώρηµ.1 Θεώρηµ Stewart: Εστω τρίγωνο ΑΒΓ κι σηµείο στο εσωτερικό της ΒΓ. Τότε ισχύει : AB Γ + AΓ B = A ΓB + Γ ΓB B ισοδύνµ, κι γι τις δύο περιπτώσεις εσωτερικό - εξωτερικό µπορούµε ν γράψουµε : AB Γ + A ΓB + AΓ B + Γ ΓB B = 0 Απόδειξη : Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε γ > β. Σχήµ 1: Θεώρηµ Stewart. Αν E η προβολή της A πάνω στην πλευρά, τότε έχουµε ω > 90 o κι φ < 90 o : AB = A + B B A συνω 1

3 AΓ = A + Γ A Γ συνφ Πολλπλσιάζοντς την 1 επί Γ κι την επί B ϑ έχω : AB Γ = A Γ + B Γ B A συνω Γ 3 AΓ B = A B + Γ B A Γ συνφ B 4 Τώρ, προσθέτωντς κτά µέλη εύκολ ϑ πάρουµε την σχέση που ϑέλουµε : AB Γ + AΓ B = A ΓB + Γ ΓB B Πόρισµ. Αν Γ B = µ, τότε η σχέση στο ϑεώρηµ Stewart γράφετι : ν AB µ + AΓ ν = A µ + ν + ΓB Απόδειξη : Αφού Γ B = µ ν B = ν µ + ν Γ = µ µ + ν µν µ + ν Αντικθιστώντς τ B κι Γ στον τύπο του ϑεωρήµτος Stewart, ϑ πά- ϱουµε το Ϲητούµενο. Πόρισµ.3 Αν A διάµεσος του τριγώνου ABΓ, τότε ο τύπος του Stewart ϑ µς δώσει το γνωστό σν 1 o ϑεώρηµ των διµέσων : 4µ = β + γ Απόδειξη : Αφού Γ B = 1, εύκολ κτλήγουµε στο Ϲητούµενο. 1 Πόρισµ.4 Αν A διχοτόµος, τότε δ = βγ άλλες διχοτόµοι. 1 β + γ. Οµοίως κι οι Απόδειξη : Απο το ϑεώρηµ της εσωτερικής διχοτόµου έχουµε ότι : B = γ B Γ = β β + γ γ Γ = β β + γ 3

4 Αν ντικτστήσουµε στον τύπο του ϑεωρήµτος Stewart, ϑ πάρουµε : γ β β + γ + γ β β + γ = δ + βγ β + γ δ βγβ + γ = βγ β + γ β + γ δ = βγ 1 β + γ Θεώρηµ.5 Steiner-Lehmus Αν δύο εσωτερικοί διχοτόµοι σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ίσες, τότε το τρίγωνο είνι ισοσκελές. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι δ β = δ γ δ β = δ γ, ή : γ γβ + γ = β βγ γ γ β + βγ + β + β β + γ... = 0 γ + βγ + γ + γ + β + γ β + βγγ β + β + γ [ ] = 0 γ β 1 + βγ γ + βγ + γ + γ + β + + β + γ = 0 γ = β 3 o Πρόβληµ Ελχίστου Μί προσεκτική µτιά στην κτσκευή του προβλήµτος στο Geogebra ϑ µς υπγορεύσει κτ κάποιον τρόπο την λύση. Αρχίστε µε την κτσκευή της ευθείς MN στο λογισµικό. Θέτουµε το B O0, 0 κι BΓ = πάνω στον οριζόντιο άξον. Τ σηµεί M κι N είνι οι τοµές των πλευρών AB κι AΓ µε τ τόξ των κύκλων των οποίων τ σηµεί ϐλέπουν τ B κι Γ µε στθερή γωνί, δες ϐιβλίο Γεωµετρίς, το Πρόβληµ στην σελίδ 17. Ανζητώντς την ϑέση του η οποί ελχιστοποιεί την πόστση M N ϑ χρεισθούµε την ϐοήθει της νπράστσης του σηµείου Ξ = x, MN, την συνάρτηση δηλδή του µήκους της MN ως προς µετβλητή x τη ϑέση του σηµείου στο εσωτερικό του BΓ. Η κµπύλη που διγράφει το ίχνος του σηµείου Ξ, όπως ϕίνετι στο πεδίο σχεδίσης του λογισµικού, έχει έν ελάχιστο. Άρ, ϑ µπορούσµε ν νζητήσουµε µι συνάρτηση δευτέρου ϐθµού, έτσι τουλάχιστον φήνει ν εικάσουµε το Geogebra, µε µετβλητή την τετµηµένη του σηµείου. Προς υτήν την κτεύθυνση ϑ στρφούν οι έρευνές µς. 4

5 Στο τρίγωνο MN ή πλευρά MN είνι ίση µε : MN = M + N M N συν M N 5 Προφνώς ν MN γίνει ελάχιστο τότε κι MN είνι ελάχιστο κι ντιστρό- ϕως. Άρ, ψάχνουµε ν δούµε πότε το δεύτερο µέλος της 5 γίνετι ελάχιστο. Κτ ρχάς η γωνί M N είνι ίση µε 180 o ω B + Γ. Εποµένως έχει στθερό µέτρο. Σχήµ : Η ϑέση ελχίστης πόστσης MN. Επίσης, τ πρκάτω µεγέθη είνι στθερά : Αν ϕέρω την πράλληλο ɛ πο το B προς την N τότε η ɛ είνι στθερή κι εποµένως κι η BΓ 1. Επίσης, ν ɛ 1 πράλληλος πο το Γ προς την M, τότε είνι κι υτή στθερή κι το ΓB 1 οµοίως στθερό. Ετσι τ πρκάτω µεγέθη είνι στθερά στο σχήµ, η µετβλητότητά τους εξρτάτι µόνο πο το µέτρο της γωνίς ω: συν M N = c ΓB 1 = β BΓ 1 = γ Αν B = x τότε : M B = ΓB 1 N Γ = BB 1 Με υτές τις στθερές, η 5 γράφετι : M = x γ N = x β 5

6 MN = γ + β + γ β c x β + γ β c x + β Το τριώνυµο έχει όµως συντελεστή µεγιστοβθµίου όρου ϑετικό ριθµό, φου µιλάµε γι µήκη ευθ. τµηµάτων, άρ έχει ελάχιστο y min = β γ β c + β β + γ c γ + β + γ β c γι x = β β + γ c γ + β + cγ β Πρέπει όµως 0 < x < a ή εκτελώντς τις σηµειουµένες πράξεις, ϑ πάρουµε c = συν M N > γ β. 6

7 4 Βιβλιογρφί [ΑΗΚ]: AbuArqob O., Rabadi H., Khitan J., A New Prrof for the Steiner- Lehmus Theorem, International Mathematical Forum, 3, 008, no [Η]: Hajja M., Other Versions of the Steiner-Lehmus Theorem, The Mathematical Association of America, 108, 001. [Κ]: Κνέλλος Σ., Ευκλείδειος Γεωµετρί, Εκδ. Ππδηµητροπούλου, [Π]: Πάµφιλος Π., Ελσσον Γεωµετρικόν,, ηλεκτρονική έκδοση,