ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
|
|
- Κλήμεντος Σαμαράς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις Α = 4 4, Β = κι Α Β (Μονάδες 6,5) Θέμ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ) y + yω 5 = ( 4y + ω 5) β) ( + ) β( + ) + ( + ) = ( + )( β + ) γ) 49 6 = (7 + 4)(7 4) δ) 8 = ( ) (4 + + ) ε) = ( + ) = ( + ) ( ) στ) 4 + y = ( ) ζ) = (4 + ) η) + (5 + ) + 5 = ( + 5) ( + ) θ) (5 + ) + 5 = ( 5) ( ) ι) + (5 ) 5 = ( + 5) ( ) Θέμ ο ) 5 0 = 5( 4) = 5( ) = 5( )( + ) β) 7 = 0 + ή 7 0 = 0 ή 5 0 = 0 ή 5( )( + ) = 0, άρ = 0 ή = ή = Θέμ ο Α = 4 4 = ( ) = ( + )( ) Β = = ( ) 4( ) = ( )( )( + )
2 Α Β = ( + )( ) ( )( )( + ) = = ( + )( ) [ ( )] = ( + )( )( + ) = = ( + )( )( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους
3 Α..9 «Ρητές λγεβρικές πρστάσεις» ΘΕΩΡΙΑ. Ορισμός ρητής πράστσης Μι λγεβρική πράστση [ όπως π.χ. οι +, y +, 0y ω + y, y ] που είνι κλάσμ κι οι όροι του είνι πολυώνυμ, λέγετι ρητή λγεβρική πράστση ή πλά ρητή πράστση.. Περιορισμοί Στην πράστση 4, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή, φού γι = ο πρνομστής γίνετι ίσος με 0. Γενικά, σε μι (ρητή) πράστση οι μετβλητές της δεν μπορούν ν πάρουν τις τιμές εκείνες γι τις οποίες ο πρνομστής γίνετι ίσος με το 0 (φού δεν ορίζετι κλάσμ με πρνομστή το 0). Πρδείγμτ: Στην πράστση 6, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση 0, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση, το y δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 5. y 0 Στην πράστση t 0, το t δεν μπορεί ν πάρει την τιμή. + Σχόλιο Στη συνέχει, ότν γράφουμε μι ρητή πράστση, θ εννοούμε ότι οι μετβλητές της δεν πίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον πρνομστή της.. Απλοποίηση Αν σε έν κλάσμ κι οι δύο όροι του (ριθμητής κι πρνομστής) είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά υπάρχει κοινός πράγοντς, τότε ο πράγοντς υτός μπορεί ν πλοποιηθεί (πρληφθεί) κι το κλάσμ ν πάρει πλούστερη μορφή. 4
4 Αυτό εξηγείτι ως εξής: β γ = β γ = β γ = β γ. Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους... Πρδείγμτ: y 5 = y 5 5 y = 5y ( + ) ( = + ) 4( ) 4( ) = ( + ) ( + ) = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 4 β + δ) + ε) ( )( 5). Λ Υ Σ Η ) Το κλάσμ δεν ορίζετι ότν ο πρνομστής είνι ίσος με 0, δηλδή ότν = 0. β) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν y = 0, δηλδή ότν y =. γ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν β + = 0, δηλδή ότν β =. δ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν + = 0, δηλδή ότν =, δηλδή =. ε) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν ( )( 5) = 0. Η σχέση ( )( 5) = 0 ισχύει ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. Επομένως, το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν =, = Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 6 y 0 β) y γ) ( + ) δ) ( ) ε) y. Λ Υ Σ Η Η πράστση που έχουμε κάθε φορά ορίζετι ν: 5
5 ) 6 0, δηλδή 6 β) y 0, δηλδή y γ) ( + ) 0, δηλδή + 0, δηλδή δ) ( ) 0, δηλδή 0 κι 0, δηλδή 0 κι. ε) y 0, δηλδή y. 06 Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες δεν ορίζετι η ριθμητική τιμή, σε κθεμί πό τις πρστάσεις: ) + 5 β) 4 γ) ( 4) : ( ) Λ Υ Σ Η ) Στην πράστσή μς, υπάρχουν πρνομστές οι κι 5. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. β) Στην πράστσή μς, υπάρχουν οι πρνομστές, οι κι κι. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή = 0, δηλδή ότν = 0 ή =, δηλδή ότν = 0 ή =. γ) Η πράστση ( 4) : ( ) είνι ένς άλλος τρόπος γρφής της πράστσης 4 Επομένως, ισχύουν όσ κριβώς είπμε στο β,. κι έτσι η πράστση υτή δεν ορίζετι ότν = 0, κθώς κι ότν =. 07 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 86 5 β) 0 γ) 0 y ( δ) 6 + )5 5y 8( + ) ) 86 = = 4 Λ Υ Σ Η β) 5 0 = = 4 4 6
6 γ) 0 y 5y = 5 y 5 y y = y Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ( δ) + )5 = ( + ) ( + ) ( = + ). 8( + ) 4 ( + ) 4 08 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β + β + β y y β) 5y 5( ) + ( )y γ) y 5 δ) y + στ) y y στ) 4 y 4 4 y + y 4 Λ Υ Σ Η ) β ( + β)( β) = + β + β ( + β) = β + β β) y y y( = ) 5y 5y = 5y 5( ) + ( )y ( )(5 + y) ( )(5 + y) γ) = = y 5 y 5 (y + 5)(y 5) = y 5 δ) = = ( 4) ( + 4)( 4) = y + ε) y 5( y) + ( y) ( y)(5 + = = ) = 5 + y ( y) ( y) στ) 4 y 4 4 y + y = ( ) (y ) 4 ( ) y + ( ) = = ( + y )( y ) ( y ) = + y y 09 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) + y y β) y y y γ) y Λ Υ Σ Η ) + y y = + y ( + y) = ( + y) ( + y) = = β) y y = y ( y) =. 7
7 y ( y) ( y) γ) = = y (y ) ( y) = = Σχόλιο: Θυμίζουμε ότι μι διφορά β μπορεί ν γρφεί κι ως β = + β = ( β). ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 0. Ότν σε μι λγεβρική πράστση εμφνίζοντι έν ή περισσότερ κλάσμτ, τότε, γι ν ορίζετι η πράστση υτή, πρέπει όλοι οι πρνομστές που εμφνίζοντι σε υτή ν είνι 0. Γι πράδειγμ, γι ν ορίζετι η πράστση πρέπει: 5 0 κι 0 κι 6 = 0.. Τονίζουμε ότι, γι ν γίνει πλοποίηση σ' έν κλάσμ, πρέπει κι ο ριθμητής κι ο πρνομστής ν είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά ν υπάρχει κοινός ( = ο ίδιος) πράγοντς, ο οποίος κι πλοποιείτι (πρλείπετι). Αν ο ένς (τουλάχιστον) πό τους όρους του κλάσμτος δεν είνι γινόμενο, τότε στο κλάσμ υτό δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση. Έτσι: στο κλάσμ β + γ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο ριθμητής δ δεν είνι γινόμενο το είνι πράγοντς του όρου β, λλά δεν είνι πράγοντς σε όλο τον ριθμητή). β στο κλάσμ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο πρνομστής δεν είνι γ + δ γινόμενο). β + γ το κλάσμ δεν είνι ίσο με β + γ, ούτε με β + γ. δ δ δ β + γ (β + γ) Ισχύει όμως = = β + γ δ δ δ. Γενικά, γι ν πλοποιήσουμε έν κλάσμ, πρέπει τώρ ν πργοντοποιήσουμε κι τους δύο όρους του. ( + β) Στο κλάσμ μπορεί ν γίνει πλοποίηση του + β, φού κι ο + β ριθμητής κι ο πρνομστής μπορούν ν γρφούν σε μορφή γινομένου, έτσι ώστε το + β ν ποτελεί πράγοντ κι των δύο όρων. 8
8 Συγκεκριμέν, έχουμε: ( + β) ( + β) = + β ( + β) = =. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες ορίζετι. Στήλη Α. 4 β. + γ. + ( )( + ) ( δ. ) Στήλη Β.. κι Οποιοσδήποτε ριθμός β γ δ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες δεν ορίζετι. Στήλη Α. β. + γ. 5( δ. ) Στήλη Β. = 0. =. = 4. = 5. = 6. = 5 7. = ή = β γ δ 9
9 4. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες, ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). ) + = Σ Λ ( β) + ) = + Σ Λ ( + )( γ) + 5) = + 5 ( + ) Σ Λ δ) ( β ) + β = β Σ Λ + ( ε) ) = + 5( ) 5 Σ Λ ( β) στ) ( β) = Σ Λ ( β) ζ) = ( + β) Σ Λ ( β) 5. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις ισότητες: ) 5 (...) = 5 ( + β) (...) β) ( β) (...) = ( γ) + )... = + δ) 4... = + ε) (...) 4( β) = 4( β) στ) ( β ) ( β) = (...) ( + β) ( ζ) + )... = (...) η) + ( + ) = + Ασκήσεις κι προβλήμτ γι λύση 6. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y + 5 y 7 γ) ω (ω ) δ) β ( + ) ε) 7 + ( ) στ) ( )( + ) 40
10 7. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 5 + β) + 7 γ) δ) 8 ( + 4) ε) + 4 ( )( + ) στ) + y y 8. Ν βρείτε τις τιμές μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 5β δ) + ε) β 5 στ) ( )( + 4) ζ) 9. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) γ) + δ) y ε) + y ( ) στ) ( )( 4) ζ) 0. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 y β) γ) 4 4 δ) ε) 5 ( )( + 7) στ) / ζ). Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 β) 7ω 8ω 0β γ) 40β δ) 5 5( ε) + ) (β + ) 5 στ) 6 0( + ) 6(β + ). Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) β) 6β β γ γ) 45 y 0 5 y 4 4
11 4 4β δ) β ε) 8 y 4y y στ) 4 +. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 6 β) 4 γ) δ) ε) y 6 8y + y στ) 4 y 4 + y + y 4. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β) ( + β) ( β) β + β γ) β + β β + β 5. Ν γίνουν οι πλοποιήσεις: _ ) 5 β γ 6 β γ 4 β γ 4 4 β γ β) + 5 _ 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ( ) + 4( ) ) 9 μ γ) 8ν μ + μν + 8ν β + β) β β β δ) 4 4β + 4γ β β + βγ ε) στ) Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β β β β + β β) β γ) + y + ω y + y + y ω ( + ) + ( δ) + ) ε) + στ) Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) 9 ( β) y) y) y 4 γ) β + β 6 β 6 β 6β δ) + + ε) ( + β) β 4 β στ) 4 γ β 4 γ β + β β 4
12 9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( ) ( + ) β) y + y y + y + y γ) β + β β + β 0. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 + _ 0 _ β) + _. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 6y + 6 y + y, β) 4 β 4 y y + β + β + β. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) y β)
13 A..0.A. Πολλπλσισμός Διίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πολλπλσισμός Ο πολλπλσισμός μετξύ δύο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι ο πολλπλσισμός κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β γ δ = γ β δ... Πράδειγμ + ( = + ) 4 ( 4) = Επίσης, ο πολλπλσισμός μις πολυωνυμικής με μι ρητή πράστση γίνετι σύμφων με τους τύπους λ β = λ β κι β μ = μ β... Πρδείγμτ 4 0 = 4 0 = 0 = = 6 0 Διίρεση Η διίρεση δυο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι η διίρεση κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β : γ δ = β δ γ = δ β γ... Πρδείγμτ : 4y 5β = 5β 5β = 4y 4y = 5β 8y : = (5 = + 0) = ( ) Επίσης, ισχύουν: β : λ = β : λ = β λ = β λ = βλ μ : β = μ : β = μ β = μ β = μβ Πρδείγμτ y : 5 β 4 = y : 5 β 4 = y 5 β = y 4 5 β = y 4 5 β 4
14 + y : 5 = + y : 5 = + y 5 = + y ( ) + y 5 = 5 0 y : β 5 = y 5 β = y 5 β = 55 y β Σχόλιο: Συνήθως, μετά τον πολλπλσισμό ή τη διίρεση δύο ρητών πρστάσεων γράφουμε το ποτέλεσμ σε όσο γίνετι πλούστερη μορφή, κάνοντς όλες τις δυντές πλοποιήσεις. 0 Σύνθετ κλάσμτ Έν κλάσμ του οποίου ο ένς τουλάχιστον όρος είνι επίσης κλάσμ, λέγετι σύνθετο κλάσμ. β Έν σύνθετο κλάσμ έχει τη μορφή γ δ ή β γ ή γ δ Έν σύνθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό ως εξής: β γ δ = δ = γινόμενο των «άκρων» όρων,δ β γ γινόμενο των «μέσων» όρων β,γ β Αυτό ισχύει διότι γ δ = β : γ δ = β δ γ = δ β γ Επομένως, έχουμε: β γ = β γ = β γ = βγ κι γ δ = γ δ = δ γ = δ γ = δ γ... Πρδείγμτ 5 5 7β 5β y = y = 7β 6y 5 β = 5 β = 5 β = 5 6β 5 β = 5 β = 5 β = 0β 45
15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν κάνετε τις πράξεις: ) 0 ( 0 5 ) β) 4y + y + y + y Λ Υ Σ Η ) 0 ( 0 5 ) = 0 0 = 0 5 = = 8 β) 4y + y + y + y = (y) ( + y) ( + y)( y)( + y) = = ( + y) + y ( + y)( + y) ( = y) = 4y 05 Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 6 y : 4 + y β) y 6 y + Λ Υ Σ Η ) 6 y : + y = 6 y + y 6( + y) = ( y ) = ( + y) ( + y)( y) = = ( y) = y 4 β) y ( = 4) ( y + ) 6 y + y ) ( 6) = ( 4) (y + ) ( y )( 6) = = ( 4) (y + ) ( + y)( y)( + 4)( 4) = ( y)( + 4) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. Γι κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ(σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). 46
16 ) y = y Σ Λ β) y = y Σ Λ γ) 4 : y = 5 y Σ Λ δ) 5 : y = 5 y Σ Λ ε) γ β δ β = γ δ Σ Λ στ) = Σ Λ ζ) + β ( + β) = Σ Λ η) y + ω : y + ω = Σ Λ 7. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ) 5... y = 5 y β)... β δ = β δ γ) 5 β :... δ = δ β δ) + y ω = ε) y + ω : = στ) β : + β... = β + β 8. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς κάθε πράστση της στήλης Α στο ποτέλεσμά της πό τη στήλη Β. Στήλη Α. y y β. 6 5y 4 γ. 0 y : δ. y : y Στήλη Β. 4 5y. y. y 4. y 5. 6y y β γ δ 47
17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) 4 5y 5 y γ) 0 5 δ) 4 5 ( ) ε) 5 ( β ) στ) 5 7 ( 4 5 ) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 βγ 6β γ 6y β) y 4 γ) 8y β 9β 5γ δ βγδ 4 δ) ( + 5) β 5 ε) β β β 4 στ) + + β β + β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5y 45 y β) γ) + β 5 δ) ( β) [ ( β) ] ε) + y y 4y + y + y στ) 4β ( + β) 6β ( + β). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) y β) ( β ) β γ) y y y δ) y + yω + ω 6y ω 4y ω (y + ω) ε) στ) β γ + γ β 48
18 . Ν κάνετε τις πράξεις: ) β + 6β + 9β + β 4β β) 5 y 5 4y 5y 0 7y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ν ν ν ν β) β γ γ βγ γ) + y 7γ 5 β + 5y βy 5. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 8 8 : β) 40 : 8 γ) y : y 6 δ) β : β ε) (4 β ) : 4 στ) (56 64y + y ):( 8y) 6. Ν κάνετε τις διιρέσεις ) 00 : 0 β) 50 : γ) : Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) y : 9 4y 4 β) 9y : 9y γ) 4 4β : 5β 6 δ) ( 4y y : 6 5y ) : 5y 4 ε) (β + β β):( β ) στ) ( 7 6β + 4 9β ) : 7 8. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) β 4 : β 6 β) + y : y + y γ) β : 4 β δ) β β : β β ε) :
19 9. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) + β γ : + β γ β) β : 4β β γ) + : ( 4) δ) ( β ) : + β + β ε) + β ( 4 : ) : Ν κάνετε τις πράξεις: ) y y β + β y y β) y y + 6y : 4y + 6y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) : 6 + β) 6y + y ( y) + y : y. Ν κάνετε τις πράξεις: β ) + β β + β yω β) ω γ) 4 ( 5 yω y β ) : ( 5 8β 5 : 60β 75 ). Ν κάνετε τις πράξεις: 8( + y) ( + y) ) [ : 5( y) ( y) ] 8( + ( y y) ( + y) ) β) [ : 5( y) ( y) ] ( y )] 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + y + y y + y : + y y + y y γ) 4 β 4 4 y + y y 4 β + y y β) + y y : y y y 50
20 A.0.B Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο προνομστή Η πρόσθεση κι η φίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο πρνομστή γίνοντι όπως κι η πρόσθεση κι η φίρεση ομώνυμων κλσμάτων, σύμφων με τους τύπους:... Πρδείγμτ β + γ β = + γ β κι β γ β = γ β = = + 4 = β 5 β = ( = + ) = + 4 = + 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που δεν έχουν τον ίδιο προνομστή Στην περίπτωση υτή, μεττρέπουμε πρώτ τ κλάσμτ σε ομώνυμ: β + γ δ = δ β + γ β δ = δ β δ + γ β δ β = δ βδ + γδ δβ = δ + γβ βδ... Πρδείγμτ = = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = 4 ( + ) = 4 4 = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = = 5 = 5 + = 5 + 5
21 Γενικά, μπορούμε ν εργστούμε ως εξής: Γενικός τρόπος. Πργοντοποιούμε τους πρνομστές.. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των πρνομστών. Βρίσκουμε τ πηλίκ του ΕΚΠ υτού με κάθε πρνομστή. 4. Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε κλάσμτος με το ντίστοιχο πηλίκο κι εκτελούμε τις τελικές πράξεις: Πράδειγμ Ν υπολογιστεί το άθροισμ: = ( + ) + = + + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + + ) ( + ) ( + ) = = = + ( + ) + + ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) = = ( + ) + ( + ) ( + ) (+) +) = = ( + ) = + ( + ) Έστω κόμη, γι πράδειγμ, ότι θέλουμε ν υπολογίσουμε το άθροισμ Τότε: 8( ). Οι πρνομστές είνι 4 = κι 8( ) ( ).. Το ΕΚΠ των πρνομστών είνι ( ).. Τ πηλίκ υτού του ΕΚΠ με κάθε πρνομστή είνι: ( ) = ( ) κι ( ) ( ) = 4. Έχουμε: ( ) = + 5 ( ) = 5
22 ( ) = ( ) + 5 ( ) = 9( ) = 7 ( ) ( ) = 9( ) + 0 = 7 ( ) = ( ) = ( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Θυμίζουμε ότι, γι ν πολλπλσιάσουμε ή ν διιρέσουμε δύο κλάσμτ, δε χρειάζετι υτά ν είνι ομώνυμ. Γι ν προσθέσουμε ή ν φιρέσουμε όμως δύο κλάσμτ, είνι πρίτητο ν τ κάνουμε πρώτ ομώνυμ (ν δεν είνι ήδη) κι μετά ν εκτελέσουμε την πράξη (πρόσθεση ή φίρεση) που έχουμε. 4. Αν θέλουμε ν προσθέσουμε έν κλάσμ με μι πράστση που δεν είνι κλάσμ, θεωρούμε την πράστση υτή ως κλάσμ με πρνομστή τη μονάδ. Γι πράδειγμ: + = + = + = + 4 = 4 = ( ) ( ) 4 = = 4 = 4 5. Γι ν εκτελέσουμε την πρόσθεση ή την φίρεση δύο κλσμάτων που δεν είνι ομώνυμοι, μπορούμε, ντί γι το ΕΚΠ των πρoνομστών ν χρησιμοποιήσουμε έν οποιοδήποτε κοινό πολλπλάσιο των πρoνομστών, π.χ. το γινόμενό τους. Μόνο που τότε, ενδεχομένως, ν χρειστούν ρκετά περισσότερες πράξεις. 6. Προσοχή στο συνηθισμένο λάθος β κ + λ β = κ + λ β [ το σωστό είνι β κ + λ β = κ λ β ]. 5
23 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 7. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη). ) = Σ Λ β) + y = 5 + y Σ Λ γ) + β + β β + β = Σ Λ δ) 5 y + 5 y = 0 Σ Λ ε) + β = + + β Σ Λ στ) = Σ Λ ζ) β + β β = Σ Λ 8. Το ποτέλεσμ της πράξης 4 + είνι: ) + 5, β), γ) δ) Το ποτέλεσμ της πράξης γ β + βγ β είνι: ( + β)γ β ) γ β) γ) γ δ) β + β 0. Αν + β = β κι β = 6 τότε το άθροισμ + είνι ίσο με: β ) 4 β) 4 γ) 4 δ). Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: )... = 0 β) = 54
24 γ) = + δ) = ε) +... = στ) = Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β) + / γ) 4 β δ) 7 + ε) ω στ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) 4β + β β) y 7 ω γ) 5 y β δ) β y ε) β στ) κ κ 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) R ρ R γ) 8y 4y δ) 5 y ε) β 6y ω + 4yω στ) βγ 4γ 5β γ 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) 5 + γ) + δ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) + 7 β) 7 + γ) δ) 4y 6y 7. Ν κάνετε τις πράξεις: 55
25 ) 5 + β) + γ) + 8. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + β) ( + ) γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) β + β ( + β) γ) y 4y y δ) + β ( β) + β ( + β) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: y + y + y + y 5 + 5y y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) β γ βγ + γ β γ) β β + β + 4β 4β. Αν A = + β + β + β + β β κι Β = β + β, ν βρείτε το πηλίκο Α : Β. β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β + β + y β) y y + y + y + y γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y ) y 6 β) δ) ( + ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: β) ( y + ω ) yω γ) ( ) 9 56
26 ) ( + + ) ( + ) β) ( /β ) ( β) γ) ( + β ) ( β 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + β β + ) ( β ) δ) ( β ) : ( β) γ) β β β ) ] Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ) : ( + β ) 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) μ β μ y y + + γ μ β) + y γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( + y ) : y y β) ( + γ) ( y ) ( y + ) ( δ) ( 5 + y 9 + 8y 5 4β 4 4 y ) ) : ( 9 4β 0 + β 8y 0 ) ) ) ( + ) 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( : ) β) ( + y γ) [( + y( y)] : + y y y ) : ( + y ) y ) 57
27 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) β + β + β + β γ) β + + β β + β δ) β. Ν κάνετε τις πράξεις: y ) ( y ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) β) [ ( β + y β) 4 y ( y 5 ) γ) β ) ( β + ) ] : ( β + β ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + ) : ( + ) ] β) + γ) y y y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( β)(β γ) + (β γ)(γ ) + (γ )( β) βγ β) ( β)(γ ) + γ (β γ)( β) + β (β γ)(γ ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) ( + y ) + ( y) ( y ) β) + + : 58
28 + y + y γ) y y ( y ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β ( β + β + ) β) 4 β 4 4 y + y : β 4 y γ) ( + β + β ) 9β 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) : ( β) [ β ( + β) + + β ( β) ] : [ + ) ( + β) β + ( β) ] 8. Ν κάνετε τις πράξεις: + y + y + ω ω + + β β + ) + y + ω β) + β + β + β β β γ β γ γ) β β γ β γ β 9. Ν ποδείξετε ότι: + y y = ( y ) 40. ) Ν ποδείξετε ότι: + y + y y = ( y) β) Ν υπολογίσετε την πράστση ) Αν Α = κι Β = 4 + 4, ν ποδείξετε ότι Α + Β =. 59
29 β) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί:, 400, 9996 ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 4. ) Ν ποδείξετε ότι ν(ν + ) = ν ν + β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ S = ) Ν ποδείξετε ότι ν ν + = ν(ν + ) + (ν + )(ν + ) β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ: S =
30 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Γι ν είνι η πράστση ν μονώνυμο του, ρκεί το ν ν είνι: Α. κέριος Β. θετικός πργμτικός Γ. θετικός ρητός Δ. θετικός κέριος. Αν ( + β) = + 4β + 4, τότε οι ριθμοί,β είνι: Α. ντίθετοι Β. ντίστροφοι Γ. ετερόσημοι Δ. Μεγλύτεροι του. Αν ισχύει ( + y) = ( y) = ( y), τότε: Α. + y = y Β. = y = 0 Γ. = 0 ή y = 0 Δ. =, =, y = 0 4. Αν ισχύει ( + y) = 8, τότε: Α. y = Β. y + = Γ. = y Δ. + = y 5. Το γινόμενο ( β)( β )( β )( β 4 4 ) είνι ίσο με: Α. 8 β 4 Β. β 6 6 Γ. β 8 8 Δ. 6 β 6 6. Αν,β 0 κι β = β, τότε η διφορά είνι ίση με: β Α. Β. Γ. 0 Δ. + β 7. Αν + /y = 0, τότε το πηλίκο y/4 + y είνι ίσο με: Α. Β. 5 Γ. 5 Δ. 8. Αν το εμβδόν ενός πρλληλογράμμου είνι κι μί διάστσή του είνι, τότε η άλλη είνι: Α. + Β. Γ. + Δ. 9. Στο πρώτο σχήμ φίνετι έν ορθογώνιο με διστάσεις +, με >. 6
31 Στο δεύτερο σχήμ φίνοντι δύο τετράγων με πλευρές, ντίστοι- χ. Αν τ γρμμοσκισμέν χωρί είνι ισεμβδικά, τότε το ισούτι με: Α. + Β. Γ. Δ. + (ΣΧΗΜΑ) (ΣΧΗΜΑ) 0. Η τιμή της λγεβρικής πράστσης + 4 γι =,5 είνι: Α. 0, Β. 0, Γ. 0,6 Δ.,. Αν + β = 9 00 (με,β 0) κι β = 0, τότε ( + β) είνι: Α. 0 Β. 9 Γ. 0 Δ. 4. Αν = 4, >0, τότε το + είνι ίσο με: Α. _ Β. _ Γ. _ Δ. 4 _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν θ είνι ένς θετικός κι ένς ρνητικός ριθμός, ν βρείτε το πρόσημο των ριθμών: ) θ β) 4θ γ) δ) 0 ε) θ θ + στ) θ + ζ) ( )( ) η) θ θ + θ) ι) + ι) θ Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων: ) Α = 006 [( ) ( ) 006 ] [( ) + 64
32 β) Β = ( ) : ( ) + ( ) ( ) 4 ( 4) 5. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: Α = ( + ) + 4 ( β + ) + [ ( β 006 ) Ν πλοποιήσετε την πράστση (β ) ] 0 ( ) : { (β ) (β ) [ (β ) κι ν υπολογίσετε την ριθμητική της τιμή γι = _ κι β = ( _ ). γι = κι β =. (β ) ] } 7. Ν βρείτε την τιμή της πράστσης Α = [ y 4 ) ( 4 y ) ] / y 4 ) y 5, ν οι ριθμοί,υ είνι ντίστροφοι. 8. Αν ισχύει _ β β = 5. 0,5 + β =, ν υπολογίσετε την τιμή του 5 0,005 γι = 0 κι 9. Αν ν είνι ένς θετικός κέριος, ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης. Α = ( + 8 ) [ ( ) ν + ( ) ν + ] 0. Ν ποδείξετε ότι: ( _ 5 _ + _ 60 5 ) : 6 _ 5 5 =. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: 0 _ A = _ _ 5 + _ 0 0 _ 0, _ 7 _ _ 9 + _ _ 9 40 _ 0,0 5. Ν μεττρέψετε το κλάσμ _ που έχει άρρητο πρνομστή σε ισοδύνμο με ρητό 5 πρνομστή.. Αν = _, ν ποδείξετε ότι = + _. 4. Δίνοντι οι ριθμοί Α = y κι Β = y (όπου,y 0). 6
33 ) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί Α κι Β είνι ντίστροφοι β) Ν εξετάσετε ν είνι δυντόν οι Α κι Β ν είνι ντίθετοι. 5. Έν ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6 m κι περίμετρο 6 m. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του. 6. Ν βρείτε τις τιμές των λ κι μ γι τις οποίες η λγεβρική πράστση 5 μ + y + 7y λ + είνι μονώνυμο. 7. Ν βρείτε τ γινόμεν: ) ( β)( + β)( + β )( 4 + β 4 ) β) ( β + β )( + β)( β )( 6 + β 6 ) 8. Αν = y κι β = y, ν ποδείξετε ότι β + β β = + y + y + y 9. Αν + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = (γ β) 0. Αν Α = ( _ 6 _ ) _ + _, ν βρείτε τον ριθμό Α κι στη συνέχει ν ποδείξετε ότι Α =. Αν ισχύει + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = βγ.. Αν = + z, β = y + z, γ = y + z κι ( + y)( y) = z, ν ποδείξετε ότι ( + β)( β) = γ.. ) Ν ποδείξετε ότι [ ( + ) ] ( [ ) ] =. β) Ν γράψετε τον ριθμό 000 ως διφορά τετργώνων δύο κερίων. 4. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 y + 4 y y 4 β) y ω y ω + ω 4 γ) ( ) δ)
34 5. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 4 4β + β 9 β β) + + yω y ω 6. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( y)( + y) ( y) ( 9y ) β) 4β + 4β 5γ γ) β + 4β 4 δ) Ν κάνετε γινόμενο τις πρστάσεις: ) ( + 8) ( ) β) 9 8 β + 4β β 8. Ν πλοποιήσετε το κλάσμ Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) κ λ 4 κ λ + κ 4 λ ( + β) β) y βy + y κ λ 4 κ 4 λ ( + β)( y ) y Ν πλοποιήσετε την πράστση Αν = + β, ν πλοποιήσετε την πράστση, β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β + β + β β β) γ) δ) 4 + 4β β β + β + β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: β + β β ) β + β : + + β β) β + γ + β + γ β + + γ β + γ 65
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότερα1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]
Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το
Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε
Διαβάστε περισσότεραΤ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή
Διαβάστε περισσότερα1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες
Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα μαθηματικά της
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
Διαβάστε περισσότεραf (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
Διαβάστε περισσότεραγια την εισαγωγή στο Λύκειο
Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ
0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.
367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΚΟΛΛΕΓΙΟ. Έτσι για να διευκολυνθούµε στις πράξεις µας εισάγουµε τους κλασµατικούς αριθµούς. ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ν
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ. ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ. Ορισµοί Όπως έχουµε ήη µάθει το σύνολο των φυσικών ριθµών είνι το εξής: ΙΝ {...} Ακόµη ξέρουµε ότι πολλές φορές το πηλίκο ύο φυσικών ριθµών εν είνι πάντ φυσικός. Πράειµ: Το πηλίκο
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ
ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότεραΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ
Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότεραπου έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.
. Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών
Διαβάστε περισσότεραΓιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ
Διαβάστε περισσότεραΣελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί
Διαβάστε περισσότερα1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ
1 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πργοντοποίηση : Είνι η διδικσί µε την οποί µί πράστση που είνι άθροισµ µεττρέπετι σε γινόµενο πργόντων 2. Χρησιµότητ : Απλοποιήσεις Εύρεση Ε.Κ.Π κι
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. μ χ χ, μ, ν, ν 0 ν χ χ 0 ή χ 0 ή χ 0
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Αριθμοσύνολ Σύνολ Αριθμών * ) Φυσικοί ριθμοί Ν 0,,,,..., ν, ν, ν, ν, ν,... Ν Ν 0 ) Ακέριοι ριθμοί Ζ..., ν, ν, ν,...,,,,0,,,,..., ν, ν, ν,... + * Ζ Ν,,,..., ν, ν,
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότεραΜ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη
255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ
78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Έννοιες
Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.
Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ 1.1. Κάθε πρότση της μορφής f(x) = φ(x), όπου f κι φ είνι λγερικές πρστάσεις της μετλητής
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια του διανύσματος
Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραΕκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:
Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε
Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότερα= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου
Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,
Διαβάστε περισσότεραΕπομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.
Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό
Διαβάστε περισσότεραΆτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN
Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ
«Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Διαβάστε περισσότερα2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε κλσμτική εξίσση κάθε εξίσση που έχει άγνστο στον προνομστή. 7 6 Γι πράδειγμ οι εξισώσεις + 5, + είνι κλσμτικές ενώ οι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραάλγεβρα α λυκείου 1
άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους:
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.
Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,
Διαβάστε περισσότεραΓιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις
Διαβάστε περισσότερα1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πνεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότερα2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διγώνισμ 08-9 Ύλη: Συνρτήσεις Θέμ Α Α Θεωρήστε τον πρκάτω ισχυρισμό: «Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι ) Ν χρκτηρίσετε τον
Διαβάστε περισσότερατετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =
3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ
ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη
Διαβάστε περισσότερα