Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon. Konstrueerid süsteemi logritmiline mlituudi sgedustunnusjoon (Bode digrmm). Leid sgedus, mille juures süsteemi õimendustegur lngeb ll. U s () U () + + Joonis. Süsteemi summrne ülendefuntsioon leitse he erioodilise lüli ülendefuntsiooni orrutisen. Tegemist on teist järu erioodilise lülig. ( )( ) ( + ) () Teist järu erioodilise lüli ülendefuntsiooni sb teisendd õnelüli ülendefuntsiooni ujul, ui + χ j Seeg + () Arestdes, et 0,58 0,58 χ χ,45 >, 0 () 0, 0,4 Sme + χ (4) Lihtsusttud logritmilise mlituudi sgedustunnusjoone sb älj joonistd s õrrndi () õi (4) järgi. Esimesel juhul leitse murdesgedused: ω m j ω m Ülesndes esittud räärtusi restdes, leime (t joonis ):
L(ω) 60 db -0 db/de 40 db -40 db/de 0 db ω m 0 ω m,5 00 Võnelüli uhul on eilentne jonstnt 0, Joonis. Sel juhu on joonisel üs murdesgedus ω m 5 j lihtsusttud logritmiline mlituudi sgedustunnusjoon ujuneb järgmises (/joonis ). L(ω) 60 db 40 db -40 db/de 0 db ω m 5 0 00 Joonis. Mõlem joonise elt sb leid sgeduse, mille juures õimendustegur lngeb ll eh ll (0 db).
Viimse sb älj rutd nlüütiliselt, õttes luses logritmilese mlituudi sgedustunnusjoone lihtsusttud mtemtilise ldise (t rmtust l 57 lem.9). L ( ) log K 40log( ω) ω 0 Kui õrdsustd see ldis 0-g, sb selt leid otsit sgeduse ω. Ülesnne Sm süsteem (t ülesnne ) on hrtud negtiise tgsisideg läbi õimenduslüli. Kui suur es olem õimenduslüli õimendustegur, et suletud süsteem oles õnuuse iiril? Kui suur on sel juhul ogu süsteemi õimendustegur? U s () U () (-) + + Joonis 4. Suletud süsteemi ülendefuntsioon leitse õrrndig s + ( )( ) + + + Viimsest ldisest sb leid õimendusteguri tingimusel, et sumbuustegur () χ, s.t süsteem on õnuuse iiril. + 000 χ eh + 000 0,58 0,04 + 000 + 000 0,58 0,4 + 000 j,05 + 000, millest,05/000 0,0005.
Ülesnne. Sm süsteem (t ülesnne ) on hrtud negtiise tgsisideg läbi erioodilise lüli, mille jonstnt on 0,. Kui suur es olem tgsisidehelsse lülittud erioodilise lüli õimendustegur, et süsteem oles stbiilsuse iiril, s.t õimendusteguri suurenemisel hb õnumiste mlituud idurdmtult sm. U s () U () (-) + + Joonis 5. + Kirjeldtud süsteemi ülendefuntsioon tud tgsisidehel uhul on järgmine: + ( + + ) + ( + + ) Süsteemi tunnusõrrndi ordjd on järgmised: ; 0 0,008 ( + + ); 0,04+ 0,06+ 0, 0, 56 ( + + ); 0, 78 Huritzi stbiilsusriteeriumi järgi ed õi tunnusõrrndi ordjd olem ositiised ning liss eb ositiine olem süsteemi determinnt 0 0 eh 0 0 Millest järeldub, et tud süsteem on stbiilne. Suletud süsteemi uurimises tuleb leid suletud süsteemi tunnusõrrnd j selle ordjd, mis on õimendusteguri funtsioonid. 4
+ ( ) ( )( )( ) s + Sellest ldisest järeldub, et tunnusõrrndi ordjd 0, j on smd mis tud süsteemi uhul. Kordj ruttse järgmiselt + Renddes sm tingimust, mis eesool, leime 0 0 j 0 0 Kordjte äärtused ; 0 0,008 ( + + ); 0,04+ 0,06+ 0, 0, 56 ( + + ); 0, 78 + + 000 Stbiilsuse tingimus 0 mille õhjl 0 ( + 000 ) 0 0,56 0,78 0,008 0,/0,008 (5, - ) / 000. Stbiilsuse tingimused 0,04 > 0 5
Ülesnne 4. Eletrihels on jdmisi s indutiisust 0,08 j 0,5 mh ning tistus 00 oomi. Tuletge eletrihel ülendefuntsioon, ui sisendsignl ntse terele helle j äljundsignl õetse tistuselt. Leide ülendetegur j jonstnt. L L U s R U Joonis 6 Kun indutiisused on jdmisi sb nende äärtused ou liit. Ahel oht sb älj irjutd diferentsilõrrndid: di U s + dt U Ri Millest ( L + L ) Ri U U s Ri ( L + L ) i+ Ri ( L + L ) + Siit järeldub, et j 0,000/00, µs. R 6
Ülesnne 5 Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Missugune lüli tules lisd süsteemile jdmisi, et sd olmndt järu otimeeritud siirderotsessig süsteem (t õi l 5). s ( )( ) X Y K +,9 +, Kolme jdmisi erioodilise lüli orrl sme tunnusõrrndi ordjte j jonstntide hel järgmised seosed: o o o 0 ( + sum) ; ( o o + o o + o o) ( + ) sum ( + + ) o o o ;, + sum ;,9 Võrrndsüsteemist sb rutd olme sobi jonstndi j summrse õimendusteguri äärtused. Khjus on õrrndsüsteemi lhendmine ruti bit äg tülis. Tunnusõrrndi lhendis on olünoomi juured, mille suoht omlestsndil iseloomustb süsteemi stbiilsust j dünmilisi omdusi. Stbiilse süsteemi juurte relosd on negtiised. Ksomlesjuurte olemsolu näitb, et süsteemis on õnelüli. Polünoomi juuri sb leid Mthcd rogrmmi bil. Antud juhul on tunnusõrrndi lhendites:, 0,747 0,577± i Sellest järeldub, et otimlne süsteem on erioodilise lüli j õnelüli jdühendus. Aerioodiline lüli, millest 0,747 0,747 Võnelüli ülendefuntsiooni sb leid otimlse tunnusõrrndi olünoomi jgmiseg erioodilise lüli tunnusõrrndig, eh: 7
+,9 +, 0,747 +,5,4 Võnelüli tunnusõrrndi lhendmiseg sb leid õnelüli juured,5,5 4,4, ± 0,577± i -0,577+i Im -0,747 Re,0-0,577-i Joonis Süsteemi juured omlestsndil Kolmndt järu olünoomi juurte rutmises sb sutd eebis leidut lultorit: Cubic Eqution Clcultor - rd Order Polynomil - Clcultor Sou Online clcultor to sole cubic equtions. Sole cubic (rd order) olynomils. Uses the cubic formul to sole thirdorder olynomil eqution for rel nd comlex solutions 8
Ülesnne 6 Ks jdmisi integrtorit j õimenduslüli on hrtud roortsionlse negtiise tgsisideg. Süsteem genereerib sumbumtuid õnumisi. Leid lemid õnumiste sgeduse j erioodi rutmises sõltult õimenduslüli ülendetegurist. Arutd õimendusteguri äärtus, mille uhul süsteem genereerib siinuselisi õnumisi sgeduseg 5 Hz. U s () (-) U () Leime suletud süsteemi ülendefuntsiooni Joonis s + + + + Tegemist on õnelülig, mille sumbumistegur õrdub nullig. Võnumiste nursgedus õrdub jonstndi öördäärtuseg, eh ω Võnumiste sgedus f ω / π. π f, millest ( π f ) Kui f 5 Hz, siis (5 x 6,8) 986. 9
Ülesnne 7 Lüli ülendefuntsioon on (s) 000/(0,0s + ). Arutge j joonistge lüli sgedusrteristiud. (Bode digrmm, Nyquisti digrmm) L(ω) 60 db -0 db/de 40 db 0 db ω m 00 0 00 000 Joonis Bode digrmm ω 000 φ 45º ω 0 Re Im ω / 00 Nyquisti digrmm 0
Ülesnne 8 Kolm jdmisi erioodilist lüli (s) /(0,s+); (s) 4/(0,s+); (s) 7/(0,s+), on hrtud roortsionlse negtiise tgsisideg. Kontrollige s süsteem on stbiilne ui tgsisidehel õimendustegur on. Kui suur õis oll stbiilse süsteemi orrl tgsisidehel õimendusteguri iiräärtus? Kirjeldtud süsteemi ülendefuntsioon tud tgsisidehel uhul on järgmine: + s + Süsteemi tunnusõrrndi ordjd on järgmised: ; 0 0,006 ( + + ); 0,0+ 0,0+ 0,06 0, ( + + ); 0, 6 + 57 ( )( )( ) Huritzi stbiilsusriteeriumi järgi ed õi tunnusõrrndi ordjd olem ositiised ning liss eb ositiine olem süsteemi determinnt 0 0 eh 0 0 0, x 0,6-0,006 x 57 0,066-0,4 < 0 Millest järeldub, et süsteem on mittestbiilne.
Ülesnne 9 Dünmilises süsteemis on ühtlse llug teel mäe sõite uto, mille mootori eojõud on onstntne. Liiumise tistusjõud on õrdeline (tegur ) iiruseg. Auto mss on m j tee ldenur on α. Koostd dünmilise süsteemi oht diferentsilõrrnd j leid ülendefuntsioon, ui sisendsuuruses on uto eojõud F j äljundsuuruses on iirus. F P α Joonis Auto liiumist irjeldb diferentsilõrrnd: F d m + + m g sinα dt Võrrnd oertorujul F m + + m g sinα F mg sinα F mg sinα m + F ' m Tegemist on erioodilise lülig.
Ülesnne 0 Süsteem oosneb erioodilise j õnelüli jdühendusest. Aerioodilise lüli jonstnt on 0,05. Võnelüli jonstndid on 0,08 j 0,. Leid Süsteemi juurte suoht omlestsndil j näidt see joonisel. Kuids muudb juurte suoht süsteemi hr roortsionlne negtiine tgsiside? Ülesnne. Kolmndt järu süsteemi juured on järgmised: 0,5, 0,4± 0,5i Missugustest lülidest oosneb süsteem j ui suured on nende lülide jonstndid? Ülesnne