,millest avaldub 21) 23)

Transcript

1 II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne. Lihtsustage avaldis. ) sin 5x+ s 5x ) s ( x + ) + sin ( x+ ) ) s x tan x ) s 4x tan 4x sin 6x sin(x+ 50 ) ) ) s6x s(x+ 50 ) 4) + tan x 4) s α 5) sin α 5) s α : 6) s α (+ tan α) 6) : : sα 7) sin α (+ tan α) 7) sα tan α 8) 8) + s α sin α + tan α s α 9) 9) + sin α sin α + tan α 0) sα 0) tan α s α + s α ) sin β tanβ + sβ ) ( sin α ) tan α ( sin β ) tan β ) + tan β ) s β sin β ) (+ tan β )s β + s 60 ) + sβ tanβ 4) 4) sα sin γ tan γ 5) + tan α s γ sin γ 5) sin α tan α 4 6) sin γ + sin γ s γ + s γ 6) sin α tan α + sin α + tan α s α 7) + tan α 7) sα

2 α s 8) tan α sin α tan α + sin α + s α 8) 9) ( sin α)( + tan α) sin α 9) tan α sin α tan α sin α 0) s α+ 40) sin α sin β + sin α s β Vastused: ) ) sin x ) tan 6x 4) 5) s x 6) 7) tan α 8) sin α 9) 0) 0 ) s x ) 0 ) 4) 5) 6) 7) s α 8) 9) α sβ s 0) s α ) ) sin 4x ) tan(x+ 50 ) 4) sin α 5 ) tan α 6) tan α 7) + s α 8) s α 9) 0) sin α ) s α ) ) sβ 4) sin α 5) 6) 7) tan α s α s α 8) 9) 0 40) s α s α Avaldiste lihtsustamiseks kasutatakse lisaks sestele erinevate trignmeetriliste funktsinide vahel ka algeraliste avaldiste lihtsustamise võtteid. Tuletame meelde krrutamise aivalemid: a+ a a Ruutude vahe ( )( ) Summa (vahe) ruut ( ) Ülesanne. Lihtsustage avaldis. a ± a ± a+ ( ) + ( + ) ) s α sin α s α ) sα s α ) 4) (+ ) + ( sα) sα ( + sβ )( sβ ) 5) tan β s α 6) ( + sα) 7) (+ ) tan β ( ) 8) ( + sβ ) sβ 9) ( + sα) ( ) + (sα ) sα 0) s α + sin α sin α + Vastused: ) ) sin α + sα ) + 4) 4 sα 5) s β 6) tanβ 7) sin α sin β 8) 9) 0)

3 TRIGONOMEETRILISED *TAANDAMISVALEMID Jnisel n ühikringjn (keskpunkt n nullpunktis ja raadius n ). Nurga siinuseks ühikringis n nurga lõpphaara ja ühikringi lõikepunkti rdinaat (y-krdinaat). Nurga ksinuseks ühikringis n nurga lõpphaara ja ühikringi lõikepunkti astsiss (x-krdinaat). Jnisel n nurkade siinuslõigud märgitud katkendliku jnega. Näeme, et I ja II veerandi nurkade siinuslõigud AA ja BB asuvad ülalpl x-telge ja seega n nende nurkade siinused psitiivsed. III ja IV veerandi nurkade siinuslõigud CC ja DD n allpl x-telge ja nende nurkade siinused n negatiivsed. Jnisel n nurkade ksinuslõigud punktiirjnega. Näeme, et I ja IV veerandi nurkade ksinuslõigud OA ja OD asuvad x-telje psitiivsel plteljel ja seega n neis veerandites ksinus psitiivne. II ja III veerandi nurkade ksinuslõigud OC ja OB n x-telje negatiivsel plteljel ja nende nurkade ksinused n negatiivsed. Kuna tangens n siinuse ja ksinuse jagatis ja ktangens ksinuse ja siinuse jagatis, siis nende funktsinide märgid tulenevad siinuse ja ksinuse märkidest. Neis veerandites, kus siinus ja ksinus n samamärgilised (I ja III), n tangens ja ktangens psitiivsed. Neis veerandites, kus siinus ja ksinus n erimärgilised (II ja IV), n tangensi ja ktangensi väärtused negatiivsed. Kkkuvõtvalt: I VEERANDI nurkade trignmeetrilised trignmeetrilised funktsinid n kõik psitiivsed. TÄIENDUSNURKADE (summa n täisnurk) funktsinid: sin(90 - ) s nurga siinus võrdu täiendusnurga ksinusega ja vastupidi s(90 - ) sin nurga tangens võrdu täiendusnurga ktangensiga ja vastupidi tan(90 - ) t, tan( 90 α) Ülesanne. Lihtsustage avaldis. tan α s (90 α) ) [ ] ) + s α sin α sin(90 α) ) + sin(90 α) 4) + sin (90 α) + s (90 α) sin(90 α) tan(90 α)

4 sin α 5) + sin(90 α) tan(90 α) sin(90 α) sin( 90 α) tan(90 α) + s(90 α) sin 6) [ ] α sin α 7) s(90 α) + sin (90 α) 8) ( + tan α) tan (90 α) 9) + sin( x 90 ) s x tan x tan(90 x) Vastused: ) s α ) s α ) 4) s α α + s Ülesanne 4. Lihtsustage avaldis. ) ) ) 5) 6) 7) tan α 8) sin α 9) sin α sin + sin 78 9) sin 0 + s 70 sin 7 tan9 0) tan6 tan 74 sin 4 s 48 ) tan 66 + tan 4 + sin7 ( ) sin50 4) tan 40 sin0 s80 ) tan 0 : tan80 + sin 40 s 4 sin5 5) sin 4 ) + tan80 tan0 sin 66 s75 tan8 6) + sin 5 + sin 8 4) (s ) : s tan 78 tan8 sin5 s55 7) sin 5 tan 65 s5 + sin 5 s5 sin 55 tan5 tan55 5) 8) sin 46 + sin 44 + tan 46 6) tan 40 (tan 50 + ) Vastused: ) ) ) s 66 4) s 0 5) sin 4 6) 7) tan 5 8) s 8 s 46 9) 0) ) 0 ) ) 4) - 5) 6) s 40 s 0 *II VEERANDI taandamisvalemid: sin(80 - ) + sin s(80 - ) - s tan(80 - ) - tan *III VEERANDI taandamisvalemid: sin(80 + ) - sin s(80 + ) - s tan(80 + ) + tan *IV VEERANDI taandamisvalemid: sin(60 - ) - sin s(60 - ) + s tan(60 - ) - tan sin(90 + ) + s s(90 + ) - sin tan(90 + ) - t sin(70 - ) - s s(70 - ) - sin tan(70 - ) + t sin(70 + ) - s s(70 + ) + sin tan(70 + ) - t

5 *Pane tähele: taandades80 või 60 juures, jää funktsin samaks, 90 ja 70 juures taandades muutu siinus ksinuseks, tangens ktangensiks ja vastupidi. Knkreetse suurusega nurkade taandamisel I veerandi nurkadeks tule kõigepealt määrata veerand siis märk ning seejärel tsustada, kas tule muuta nimetust või ei. NEGATIIVSE NURGA funksinide märgid sõltuvad samuti sellest, millisesse veerandisse satu nurga lõpphaar, mis pöörle sedapuhku päripäeva (vt. jnist): sin(-) - sin s(-) s tan(-) - tan Trignmeetria ülesannete lahendamisel n tstarekas teada mõningate nurkade 0 trignmeetriliste funktsinide täpseid väärtusi: Pea meeles, et rad 80 rad/ deg/ 0 0º 0 s α tan α 0 6 0º 4 45º 60º *Näide. Arvuta. ) s40 s( ) - s60 - Sama vastuse leks saanud, kui taandaksime 70 kaudu: 80 90º s40 s(70-0 ) - sin0 - ) sin 50 sin(80-0 ) sin0 ) tan5 tan(60-45 ) - tan45 - Võrrelge vastuseid taskuarvuti ail leitutega! *Näide. Lihtsusta avaldis tan(80 + ) tan(90 + ) - sin(80 - ) sin(60 - ) Kasutame taandamisvalemeid: tan(80 + ) tan tan(90 + ) - t sin(80 - ) sin sin(60 - ) - sin (III veerand, märk +, nimetus sama) (II veerand, märk -, nimetus muutu) (II veerand, märk +, nimetus sama) (IV veerand, märk -, nimetus sama) Asendame tulemused algavaldisse:

6 tan(80 + ) tan(90 + ) - sin(80 - ) sin(60 - ) tan (-t ) - sin (-sin ) - + sin - ( sin ) - s LIITMISVALEMID: sin( α ± β ) sβ ± sα s ( α ± β) sα sβ m ± tanβ tan( α ± β ) m tanβ *SUMMA TEISENDAMINE KORRUTISEKS: α + β α β + sin s α+ β α β s sin *KAHEKORDSE NURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID: sin α sα sα s α sin α tan α tan α α + β α β sα+ sβ s s α+ β α β sα sβ sin sin Näide. Arvuta avaldise täpne väärtus. ) s s - sin sin s( + ) s45 ) (s5 ) - (s75 ) (s5 ) [s(90-5 )] (s5 ) (sin5 ) s*5 s0 ) sin5 sin75 sin5 s5 ½* sin5 s5 sin*5 sin0 4) 0 45 Võrrelge vastuseid taskuarvuti ail leitutega! Ülesanne 5. Lihtsustage avaldis. ) sin5 s45 tan0 s50 0) sin 90 s0 tan 45 sin 45 s45 ) sin 60 tan60 + s80 sin50 sin0 s 0 ) sin50 sin 0 s80 tan 0 + sin 45 s45 tan0 + 5tan 60 4) ) sin 45 + s45 5 : tan0 + : tan 60 tan 60 sin 60 sin 60 5) + s 0 tan 60 ) tan 60 6) sin( ) tan s( ) + tan 60 s0 + sin ) 7) sin 60 s60 tan 45 4) sin 90 s90 + tan 60 sin 0 s0 8) sin 0 sin 60 tan0 + s0 s60 tan 60 5) + + s60 s60 tan 45 sin0 s0 9) + s 60 s60 tan 45

7 Vastused: ) - ) -,5 ),75 4) 5) 0,75 6) 0 7) 0,5 8) 4+ ),5 ) 4) 5) + 9 9) 0) ) Näide 4. Leidke ) sα, kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α Kasutame sest sin α + s α, millest sα ± sin α. Märgi valime ksinusele II veerandi järgi. Seega sα sin α 0,8 0,6 0, 6 ), kui sα ja α. 5 Esmalt leiame sarnaselt eelmise ülesandega, arvestades, et 0, 6 ja et IV veerandis n 5 siinus negatiivne: s α 0,6 0,64 0, 8 Kasutame sest tan α. s α 0,8 8 4 sα 0,6 6 II võimalus leidmiseks n kasutada sest α + tan, millest s α tan α s α 0,6 0, Arvestades, et IV veerandis n tangens negatiivne saame *) sα, kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α. Kasutame ära esimeses ülesandes leitud sα - 0,6 ja kahekrdse nurga valemit sα s α sin α : sα s α sin α (-0,6) - 0,8 0,6 0,6 4-0,8 *4), kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α. Kasutame ära esimeses ülesandes leitud sα - 0,6 ja kahekrdse nurga valemit sin α sα : sin α sα *0,8*(-0,6) - 0,96 *Ülesanne 6. Lihtsustage avaldis. ) s( 80 α) tan(80 α) ) sin (80 α) + s (80 α) + tan α ) : tan(80 α) + tan(80 α) tan(90 α) 4) : s(80 α) : tan(90 α) + sin(90 α) 5) sin( x+ )sin( x) s( x+ 8 )s( x) 6) sin xsin(90 x) tan(70 x)

8 Vastused: ) 0 ) ) 0 4) (sα ) 5) - 6) sin x s α II kursus NÄIDISTÖÖ nr. Trignmeetria. Arvutada avaldise täpne väärtus. ) sin(-90 ) sin50 + s570 s80 + tan600 tan0 ; ) sin7 s7 - s7 sin7 ; ) s 75 sin05 ; tan 75 4), tan 75. Arvutada sα,,* s α, kui ning α 5. Lihtsustada. + sα + sin α sα) ) ( ) ( *) sin (60 α) + s *4. Tõestada samasus sin α s α sα 5. RE ülesanne (80 + α) + tan (80 α) Ül.86-9 Ül Ül. 7-9 Vastused:. ) 0,75 ) -0,5 ) 0,5 4). 0,8; -0,75; 0,8. ) ) RINGJOONE PIKKUS: Cr SEKTORI KAARE PIKKUS: SEKTORI PINDALA JA KAARE PIKKUS RINGI PINDALA: Sr SEKTORI PINDALA: r r - raadius r x l l kaare pikkus x s l rx x nurk radiaanides r x rl s 60 0 r 60 0 r α l s sektri pindala α s rα r α l α nurk kraadides s s α Näide 5. Arvuta sektri kaare pikkus ja sektri pindala, kui ) r 6m, α r 60 0 r 0 l 0 s l ( m),4 ( m ) s ( m ) 9,4( m ) r m, x rad ) t α )

9 r r l s.... l ( m),4( (m) s ( m ) 4,7( m ) Näide 6. Arvuta sektri nurk radiaanides, kui r dm ja sektri kaare pikkus n dm. r x * x 0, 5rad * TÄISNURKSE KOLMNURGA LAHENDAMINEE Täisnurkse klmnurga elementideks nimetatakse tema kaateteid a ja, hüptenuusi ja teravnurki α, β ning täisnurka γ 90. Klmnurga lahendamiseks nimetatakse klmnurga puuduvate elementide leidmist antud kahe, millest vähemalt üks n külg, elemendi kaudu. TÄISNURKSE KOLMNURGA teravnurga vastaskaatet siinus hüptenuus lähiskaatet ksinus hüptenuus vastaskaatet tan gens lähiskaatet sα a a a sβ tanβ a α +β 90 Pythagrase tereem: a + Pindala Näide 7. Lahendame täisnurkse klmnurga, kui teravnurk α 6 5`6,55 ja kaatet 5,4 m. ) teravnurk β ` ` 8, ` a a ) kaatet a valemist tan α. tan 6,5 a 5,4 * tan 6, 5 9,84( m) 5,4 5,4 5,4 ) hüptenuus valemist s α. s6,5,( ) s 6.5 m Hüptenuusi leks saanud leida ka Phythagrase tereemi ail, kuid siis ei leks saanud kasutada üksnes lähteandmeid. Kntrlliks võiksimegi kasutada nimetatud tereemi: 9,84 + 5,4, nagu pidigi lema. Vastus: a 9,84 m,, m ja β 8 45`. a S

10 KOLMNURGA PINDALA Klmnurga pindala võrdu aluse ja sellele jnestatud kõrguse ple krrutisega. Tuletame veel ühe valemi klmnurga pindala arvutamiseks kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu. Olgu antud klnurk ABC (vt. Jnist). Jnestame küljele kõrguse h. h Täisnurksest klmnurgast ADC h. Klmnurga pindala S h. Saa näidata,et samasugune ses kehti ka nürinurkse klmnurga puhul. S Klmnurga pindala võrdu kahe külje ja nendevahelise nurga ple krrutisega. Sellest valemist n kerge tuletada rööpküliku pindala valem rööpküliku lähisküljed ja α n lähiskülgedevaheline nurk. S a, kus a ja n KOLMNURGA LAHENDAMINE Siinustereem: klmnurga küljed n võrdelised vastasnurkade siinustega. Ksinustereem: klmnurga ühe külje ruut n võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest n lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga ksinuse kahekrdne krrutis. SIINUSTEOREEM: a sinγ KOLMNURGA PINDALA: ah S S pr Hern KOOSINUSTEOREEM: * sα a *sβ a * sγ p ( a+ + ) / S p( p a)( p )( p ) a a a α + β + γ 80 S a *sinγ S * S a * Näide 8. Lahendame klmnurga ja arvutame selle pindala, kui a 5 m, 0 m ja β 80. ) leiame siinustereemi ail nurga α. a 5 0 5*sin80 0,807 α 55, ` sin80 0 ) γ 80 ` ( α + β ) γ 80 (55, ) 44, ) leiame siinustereemi ail külje. 0 0 *sin 44,85,5( m ) sinγ sin80 sin 44,85 sin80

11 4) leiame klmnurga pindala S. S asinγ * 5*0 *sin 44,85 64( m ) Vastus:,5 m, α 55 09`, γ 44 5` ja S 64 m. Märkus: Kui n antud klmnurga kaks külge ja neist väiksema külje vastasnurk, või leiduda kaks klmnurka, mils rahuldavad antud tingimusi. Näide 9. Lahendame klmnurga ja arvutame selle pindala, kui 0 m, 8 m ja α 7. ) leiame ksinustereemi ail külje a. a + sα * 0 *8* s7 74 a 7,( m) ) leiame siinustereemi ail väiksema nurga β, kuna see vasta lühemale küljele. a 7, 0 0*sin 7 0,57 β 0, ` sin 7 7, ) γ 80 ( α + β ) γ 80 (7 + 0,84 ) 77,6 4) S * 0*8*sin 7 6( m ) Vastus: a 7, m, β 0 50`, γ 77 0` ja S 6 m ` Märkus: Kui klmnurga lahendamisel n tarvis leida kaks nurka, tuleks esmalt arvutada väiksem nurk (asetse lühema külje vastas) ning seejärel 80 -st lahutamise teel suurem nurk, sest viimane või lla nürinurk ja selle leidmine n kõige lihtsam just nii. Näide 0. Lahendame klmnurga, kui a 4 m, 5 m ja 8 m. ) leiame ksinustereemi ail esmalt väikseima nurga α. + a a + sα * sα + a sα ` sα 0,95 α 4, *5*8 ) leiame siinustereemi ail teise väiksema nurga β. a 4 5 5*sin 4,5 0,54 β 0,76 sin 4, ` ) γ 80 ( α + β ) γ 80 (4,5 + 0,76 Vastus: α 4 09`, β 0 45` ja γ 5 06`. ) 5, ` Näide. Arvutame rööpküliku pikema diagnaali ja pindala, kui rööpküliku küljed n 6 m ja 0 m ning üks nurk n 6 6`. Kuna rööpküliku lähisnurkade summa n 80 ja kui üks nurkadest α 6 6`6,4, siis nürinurk β 80 6,4 6,57. Rööpküliku pikem diagnaal d ngi nürinurga β vastaskülg klmnurgas ABC. Ksinustereemi järgi d *0*6*s6,57 89,67 d,8( m) Rööpküliku pindala S a 0*6*sin 6,4 5,7( m ) Sama hästi leksime võinud pindala valemis kasutada ka nurka β 6,57, kuna sin 6,57 sin 6,4 vastavalt II veerandi taandamisvalemile. Vastus: d,8 m ja S 5,7 m.

12 II kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Klmnurga lahendamine. Sektr. Ülesannete numrid n võetud ülesannete kgust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel. Arvuta sektri kaare pikkus ja sektri pindala, kui raadius n 9 m ning nurk ) 0 ) radiaani. Lahenda täisnurkne klmnurk ja leia klmnurga pindala. Ül Lahenda klmnurk ( siinustereemi ail) ja leia klmnurga pindala. Ül Lahenda klmnurk (siinus- ja ksinustereemi ail) ja leia klmnurga pindala. Ül RE ülesanne