Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

2 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων σε Αρμονικές Διεγέρσεις Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Διαγράμματα Bode

4 Επανάληψη Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων σε Αρμονικές Διεγέρσεις

5 Επανάληψη: Συνάρτηση Μεταφοράς Ένα δυναμικό σύστημα SISO περιγράφεται από την ΣΔΕ: d n y dt n + a n 1 dn 1 y dt n a 1 dy dt + a y = β m dm f dt m + + β 1 df dt + β f Ή ισοδύναμα από την συνάρτηση μεταφοράς Η s = y s f s = β m s m + + β 1 s + β s n + a n 1 s n a 1 s + a Η συνάρτηση μεταφοράς Η s είναι ένας μιγαδικός αριθμός: Η s = Η s e j Η s που δίνει την ειδική λύση του συστήματος σε εκθετική διέγερση e st f t = e st Η s y t = H(s) e st

6 Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων σε Αρμονική Διέγερση Δύο τιμές του μιγαδικού s στον εκθέτη της διέγερσης έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Όταν s = j τότε: f t = e jωt και y t = H(j) e jt f t = e jωt Η s y t = H(j) e jt Όταν s = j τότε: f t = e jωt και y t = H( j) e jt u t = e jωt Η s y t = H( j) e jt

7 Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων σε Αρμονική Διέγερση Επειδή cos t =.5(e jt + e jt ), λόγω επαλληλίας σε γραμμικά συστήματα, η απόκριση σε διέγερση f t = cos(t) θα είναι : y t =.5 H j e jt + H j e jt Επειδή H j = H j j Η j = Η j e η y t =.5 H j e jt + H j e jt = = Η j.5 e j t+ Η j + e j t+ Η j y t = Η j cos(t + Η j ) απόκριση γράφεται: Επομένως η απόκριση ενός γραμμικού συστήματος (περιγράφεται από Η s ) σε αρμονική διέγερση είναι αρμονική της ίδιας συχνότητας f t = cos(t + φ) Η s y t = Η j cos(t + φ + Η j )

8 Επανάληψη Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

9 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Σε ένα γραμμικό σύστημα που περιγράφεται από την συνάρτηση μεταφοράς Η s, ορίζεται ως συνάρτηση απόκρισης συχνότητας η μιγαδική συνάρτηση Η j = Η j ej Η j Η απόκριση του συστήματος σε διέγερση f t = cos(t + φ) είναι: y t = Η j cos(t + φ + Η j ) Περιγράφει την ειδική λύση και δεν περιέχει συνεισφορά από την ομογενή Ταυτίζεται με την απόκριση του συστήματος στην ημιτονοειδή απόκριση μόνιμης κατάστασης (ΗΑΜΚ), αφού δηλαδή η ομογενής τείνει στο μηδέν f t = cos(t + φ) Η s y t = Η j cos(t + φ + Η j )

10 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Η απόκριση του συστήματος σε διέγερση f t = cos(t + φ) είναι y t = Η j cos(t + φ + Η j ) Για την μιγαδική συνάρτηση απόκρισης συχνότητας Η j Το μέτρο της Η j περιγράφει κέρδος: πόσο θα αυξηθεί/μειωθεί το εύρος μεταβολής της απόκρισης σχετικά με εύρος μεταβολής της διέγερσης) Η γώνία της Η j περιγράφει διαφορά φάσης: πόσο θα προηγηθεί/καθυστερήσει η απόκριση σχετικά με την διέγερση

11 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Στην απόκριση του παρακάτω σχήματος Το κέρδος είναι Η j < 1 διότι το εύρος της απόκρισης είναι μικρότερο από το εύρος 1.5 της διέγερσης Η διαφορά φάσης Η j < διότι η απόκριση καθυστερεί σχετικά με την διέγερση 1.5 stimulation response time

12 Επανάληψη Διαγράμματα Bode

13 Η Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Εξαρτάται από την Κυκλική Συχνότητα Το μέτρο και η φάση της μιγαδικής συνάρτησης απόκρισης συχνότητας (ΣΑΣ) Η j εξαρτώνται από την κυκλική συχνότητα διέγερσης Ένα σύστημα ανταποκρίνεται διαφορετικά σε αρμονικές διεγέρσεις διαφορετικής κυκλικής συχνότητας! Η μιγαδική συνάρτηση Η j περιγράφεται από τα διαγράμματα Bode: To διάγραμμα κέρδους δείχνει πως το κέρδος (εκφρασμένο σε 2log 1 Η j, μονάδες db) εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα log 1 () Το διάγραμμα φάσης δείχνει πως η διαφορά φάσης Η j (σε μοίρες) εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα log 1 ()

14 Υπολογισμός Διαγράμματος Bode Υπολογισμός διαγραμμάτων Bode τηςσυνάρτησης μεταφοράς Η s = β m s m + + β 1 s + β s n + a n 1 s n a 1 s + a 1. Υπολογίζονται οι πόλοι p i και οι μηδενιστές z i της Η s 2 Πόλοι: είτε πραγματικοί p i είτε ζευγάρια μιγαδικών ζ pi ω pi ± jω pi 1 ζ pi 2 Mηδενιστές: είτε πραγματικοί z i είτε ζευγάρια μιγαδικών ζ zi ω zi ± jω zi 1 ζ zi 2. H Η s εκφράζεται ως γινόμενο απλών όρων: Η s = Κ s + z 1 z 1 p 1 s + p 1 2 ω p1 s 2 + 2ζ p1 ω p1 s + ω p1 2 s2 + 2ζ z1 ω z1 s + ω 2 z1 2 ω z1 3. Το διάγραμμα bode της Η s προκύπτει ως επαλληλία των διαγραμμάτων Bode των απλών συντελεστών

15 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για το σταθερό κέρδος Κ η ΣΑΣ του στοιχειώδη όρου είναι H j = K Το μέτρο και η γωνία της H j είναι: 2log 1 Η j ) =2log 1 K 2log 2 1 K Η j =

16 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα πραγματικό (αρνητικό) πόλο s = p i η ΣΑΣ του στοιχειώδη όρου είναι: p i H j = j + p i Το μέτρο και η γωνία της H j προσεγγίζονται: 2log 1 Η j ) = Η j =, p i 2log 1, > p p i i, <.1p i log 1,.1p i 1p i p i 2*log 1 ( H(j ) ) (H(j )) , > 1p i p i

17 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα πραγματικό (αρνητικό) μηδενιστή s = z i η ΣΑΣ του στοιχειώδη όρου είναι: H j = j + z i z i Το μέτρο και η γωνία της H j προσεγγίζονται ως, z i 2log 1 Η j ) = 2log 1, > z z i i Η j =, <.1z i log 1,.1z i 1z i p i 9, > 1z i 2*log 1 ( H(j ) ) (H(j )) z i

18 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα πόλο s = η ΣΑΣ του στοιχειώδη όρου είναι: H j = 1 j Το μέτρο και η γωνία της H j είναι: 2log 1 Η j ) = 2log 1 Η j = 9 2*log 1 ( H(j ) ) (H(j ))

19 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα μηδενιστή s = η ΣΑΣ του στοιχειώδη όρου είναι: H j = j Το μέτρο και η γωνία της H j είναι: 2log 1 Η j ) =2log 1 Η j = 9 2*log 1 ( H(j ) ) (H(j ))

20 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα ζεύγος μιγαδικών πόλων s = ζ pi ω pi ± jω pi όρου είναι H j = 2 ω pi ζ pi ω pi j + ω pi Το μέτρο και η γωνία της H j προσεγγίζονται: 2log 1 Η j ) = Η j =, ω pi 4log 1, > ω ω pi pi, <.1ω pi 9 9 log 1,.1ω pi 1ω pi ω pi 18, > 1ω pi Η μορφή των διαγραμμάτων εξαρτώνται από την τιμή του ζ pi -5 1 ζ 2 pi η ΣΑΣ του στοιχειώδη =.8 = ω pi =.1 =.2 =.1 =.2

21 Διαγράμματα Bode Στοιχειωδών Όρων Για ένα ζεύγος μιγαδικών μηδενιστών s = ζ zi ω zi ± jω zi στοιχειώδη όρου είναι: H j = ζ zi ω zi j + ω zi 2 ω zi Το μέτρο και η γωνία της H j προσεγγίζονται: 2log 1 Η j ) = Η j =, ω zi 4log 1, > ω ω zi zi, <.1ω zi log 1,.1ω pi 1ω zi ω pi 2 18, > 1ω zi 2*log 1 ( H(j ) ) (H(j )) ζ 2 zi η ΣΑΣ του =.8 =.2 =.1 = =.2 =.1 Η μορφή των διαγραμμάτων εξαρτώνται από την τιμή του ζ zi ω zi

22 Κατασκευή Διαγραμμάτων Bode για την Συνάρτηση Μεταφοράς Η s 1. Υπολογίζονται οι πόλοι και οι μηδενιστές της Η s 2. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής της Η s γράφονται σας μονώνυμα ή δυόνυμα του s με σταθερούς συντελεστές. Υπολογίζεται το κέρδος Κ Η s = Κ s + z 1 z 1 p 1 s + p 1 2 ω p1 2 2 s 2 + 2ζ p1 ω p1 s + ω 2 s2 + 2ζ z1 ω z1 s + ω z1 p1 ω z1 3. Υπολογίζονται οι συχνότητες θλάσεως για κάθε μονώνυμα ή δυόνυμο. 4. Σχεδιάζονται οι ασύμπτωτες για κάθε μονώνυμα ή δυόνυμο και για το Κ. 5. Προσθέτονται τα αποτελέσματα των στοιχειωδών όρων 6. Διορθώνονται οι καμπύλες στις συχνότητες θλάσεως Βλέπε Κεφάλαιο 9 στο βιβλίο «Εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα και συστήματα»

23 Κατασκευή Διαγραμμάτων Bode για την Συνάρτηση Μεταφοράς Η s Παρατηρήσεις για την μορφή των διαγραμμάτων Bode. Έστω μια συνάρτηση μεταφοράς Η s με n πόλους και m μηδενιστές 1. Στις χαμηλές συχνότητες (πριν την πρώτη συχνότητα θλάσης) 2log 1 Η j ) 2log 1 Η ) Η j 2. Στις υψηλές συχνότητες (μετά την τελευταία συχνότητα θλάσης) H κλίση της καμπύλης κέρδους 2log 1 Η j ) ισούται με 2(n m) db/dec Η j 9(n m) Βλέπε Κεφάλαιο 9 στο βιβλίο «Εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα και συστήματα»