Ράβδος σε σκαλοάτι Ράβδος μήκους ύψους ακουμά σε σκαλοάτι όως φαίνεται στο σχήμα. Το κάτω άκρο της είναι σε εαφή με λείο κατακόρυφο εμόδιο το οοίο μορεί να κρατείται σταερό σε οοιαδήοτε έση. Μεταξύ ράβδου σκαλοατιού και ράβδου - εδάφους δεν υάρχει τριβή. Α. Για οιες τιμές του λόγου ισορροεί, για οοιαδήοτε γωνία ; η ράβδος Β*. Αν μεταξύ ράβδου εδάφους ο συντελεστής οριακής τριβής είναι μ και δεν υάρχει το σταερό εμόδιο, για οιες τιμές της γωνίας η ράβδος ισορροεί; Λύση: Α) Οι δυνάμεις ου ασκούνται στη ράβδο είναι, το βάρος w, η δύναμη F αό το σκαλοάτι, η δύναμη N αό το έδαφος και η δύναμη N αό το λείο εμόδιο, όως φαίνονται στο σχήμα. Αναλύοντας την F σε κατακόρυφη και οριζόντια συνιστώσα έχουμε, F = Fημ και Fy Η συνήκη ισορροίας της ράβδου ειβάλει, = Fσυν F y F F w A N N και Σ F = 0 Fημ = N () Σ F = 0 Fσυν + N = w () y Είσης,
τ = 0 w συν F 0 ημ = Αό τις () και () βρίσκουμε, N w ημσυν = Για να μην ανατρέεται η ράβδος ρέει N 0 ή ημσυν () (4) Στη σχέση (4) μορούμε να καταλήξουμε και διαφορετικά ως εξής: Οι δυνάμεις N και N ασκούνται στο ίδιο σημείο της ράβδου και εομένως μορούν να αντικατασταούν αό την συνισταμένη τους A ου φαίνεται στο σχήμα. Για να ισορροεί εομένως η ράβδος α ρέει οι φορείς των δυνάμεων w, F και A να διέρχονται αό το ίδιο σημείο. Εειδή η N μορεί να έχει φορά μόνο ρος τα άνω, α ρέει το σημείο τομής των φορέων της F και του w να βρίσκεται ψηλότερα αό το άκρο όως φαίνεται στο σχήμα. Άρα, Αλλά, Αντικαιστώντας, ου είναι η σχέση (4). ημ ημ = = ημ ημ ημ ημσυν Για να ισχύει η (4) για κάε τιμή της γωνίας αρκεί να ισχύει για την μέγιστη τιμή, της f = ημσυν για, 0 την ρίζα της, f = Άρα τοξημ < <. Το ακρότατο της f βρίσκεται υολογίζοντας, στο αραάνω διάστημα το οοίο είναι ροφανώς μέγιστο. 0 0 f = συν ημ συν = ημ ημ =
Εομένως η ζητούμενη σχέση είναι, f = ma 9 9 0,9 Β) Στην ερίτωση αυτή η ράβδος ισορροεί αν για την ααιτούμενη στατική τριβή ισχύει, T μn σφϕ μ F y F F w A Αλλά, συν συν συνημ σφϕ = σφϕ = σφϕ = ημ ημ + ημσυν ημ ημ Άρα, ϕ T N ή συνημ ημσυν μ μ συνημ + μ ημσυν 0 (5) Η (5) μορεί να γραφεί ως, συνημ μ + ημσυν 0
η οοία για μ οδηγεί όως α έρεε στην σχέση (4), αφού η ερίτωση αυτή είναι ισοδύναμη με το (α) ερώτημα. Ο μόνος τρόος να μην ισορροεί η ράβδος είναι να χάσει την εαφή με το έδαφος. Η ακριβής αλγεβρική λύση της (5) για κάε τιμή των μ και λ είναι αδύνατη. Μορούμε όμως μελετώντας την να βγάλουμε κάοια συμεράσματα. Υάρχει σίγουρα εριοχή τιμών της γωνίας με άνω όριο τις 90 μοίρες (κατακόρυφη έση της ράβδου) στην οοία ισχύει η συνήκη (5). Το άροισμα, συνημ + μ ημσυν, μηδενίζεται για = και εομένως, αφού είναι μια συνεχής συνάρτηση της, γίνεται σίγουρα μικρότερο αό οοιαδήοτε τιμή του όρου μ για κάοια εριοχή τιμών της γωνίας ( < < ). Όως μορεί κάοιος να καταλάβει και διαισητικά αλλά και ειραματικά υάρχουν τιμές των αραμέτρων μ και λ = για τις οοίες η ράβδος ισορροεί σε δύο εριοχές τιμών της γωνίας. Ας δούμε σε οιες εριτώσεις η ράβδος ισορροεί στην οριακή έση ου φαίνεται στο σχήμα, 0 Στη έση αυτή ημ = λ, συν = λ, οότε η συνήκη (5) γίνεται, ή και μετά τις ράξεις, λ λ + μλ λ μλ 0 λ λ + μ λ μ 0 λ λ μ + λ
Το δεύτερο μέλος της τελευταίας μεγιστοοιείται για ίση με λ = και η μέγιστη τιμή του είναι 4. Άρα για μ > υάρχει, για κάε τιμή του λόγου λ, μια εριοχή γωνιών με 4 κάτω όριο την τιμή, τοξημ ( λ ) Συμερασματικά έχουμε τις εριτώσεις:. Ισορροία της ράβδου σε κάε έση 0 = στις οοίες η ράβδος ισορροεί ( 0 < < ).. Ισορροία της ράβδου μόνο για < <. Ισορροία της ράβδου για τοξημ ( λ ) < < και < < ( < ) Στα αρακάτω διαγράμματα φαίνονται οι τιμές του ρώτου μέλους της (5) σαν συνάρτηση της γωνίας ( τοξημ ( λ ) < < ), για διάφορες τιμές των μ και λ. Οι εριοχές γωνιών όου η τιμή της αράστασης είναι αρνητική αντιστοιχούν σε ισορροία. λ = 0, 8 λ = 0, 6 μ = 0, 0, 4 0, 6 0, 8 μ = 0, 0, 4 0, 6 0, 8 λ = 0, 4 λ = 0, μ = 0, 0, 4 0, 6 0, 8 μ = 0, 0, 4 0, 6 0, 8 Σύρος Χόρτης scortis@otenet.gr