ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ. 3.1 Eισαγωγή

Κεφάλαιο 3 ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ 3.1 Eισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσαμε διάφορες τεχνικές αξιολόγησης επενδύσεων υποθέτοντας ότι γνωρίζουμε τις μελλοντικές ροές των επενδυτικών σχεδίων (ή τις αποδόσεις τους) με βεβαιότητα. Η υπόθεση όμως αυτή δεν αντανακλά την πραγματικότητα, καθώς σε κάθε μελλοντική χρονική στιγμή οι ροές ενός επενδυτικού σχεδίου εξαρτώνται από τις εκάστοτε συνθήκες που επικρατούν στην οικονομία ή την επιχείρηση και επομένως, θα πρέπει να θεωρούνται ως αβέβαιες. Ως παράδειγμα, αυτές μπορεί να καθορίζονται από τον κύκλο της οικονομίας, δηλαδή αν αυτή βρίσκεται σε κατάσταση ύφεσης ή ανάκαμψης (καθόδου ή ανόδου, όπως αναφέρεται διαφορετικά). Στην πρώτη περίπτωση οι μελλοντικές ροές μιας επένδυσης είναι πιθανότερο να μειώνονται, ενώ στη δεύτερη να αυξάνονται. Επίσης μπορεί να καθορίζονται από άλλους εγχώριους και διεθνείς παράγοντες, όπως κάποιος πόλεμος, ένας σεισμός, ξαφνικές μεταβολές στο κόστος του πετρελαίου ή στις διεθνείς τιμές παραγωγικών συντελεστών κ.ο.κ. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει κριτήρια επιλογής επενδυτικών σχεδίων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Ο τρόπος που λαμβάνεται υπόψη η αβεβαιότητα των μελλοντικών εισοδηματικών ροών (ή αποδόσεων) στην επιλογή ενός επενδυτικού σχεδίου θεωρεί ότι αυτές αποτελούν τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, που ακολουθεί κάποια κατανομή πιθανοτήτων. Αρχικά, θα υποθέσουμε ότι η μεταβλητή αυτή παίρνει διακριτές τιμές, αλλά στη συνέχεια για λόγους ευκολίας θα θεωρήσουμε ότι αποτελεί μια συνεχή τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κάποια συγκεκριμένη κατανομή πιθανοτήτων, όπως για παράδειγμα είναι η κανονική κατανομή. Με βάση τον ορισμό της διακριτής τυχαίας μεταβλητής, θα παρουσιάσουμε κάποια στατιστικά κριτήρια επιλογής επενδυτικών σχεδίων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας και θα αναλύσουμε τις ατέλειές τους. Όπως θα διαπιστωθεί στην ανάλυσή μας, η βασική αδυναμία των κριτηρίων αυτών έγγυται στο γεγονός ότι αυτά δεν μπορούν μόνο με βάση την κατανομή των ροών ενός επενδυτικού έργου να υπολογίσουν το βαθμό του κινδύνου (risk) του. Ο βαθμός αυτός παίζει καθοριστικό ρόλο στην επιλογή των επενδύσεων και εξαρτάται από τις προτιμήσεις των επενδυτών για την αποφυγή κινδύνου 81

απώλειας εισοδήματος από την ανάληψη επενδυτικών σχεδίων. Για να αξιολογήσουμε και να μετρήσουμε τον κίνδυνο αυτό, τον οποίον θα αναφέρουμε ως επενδυτικό κίνδυνο, θα εισαγάγουμε ένα οικονομικό κριτήριο επιλογής επενδυτικών σχεδίων το οποίο βασίζεται στη θεωρία χρησιμότητας κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας και θεωρεί ότι οι ροές των σχεδίων ή οι αποδόσεις του, αποτελούν τυχαίες μεταβλητές. 3. Στατιστικά κριτήρια επιλογής επενδύσεων Για την παρουσίαση στατιστικών κριτηρίων επιλογής ενός επενδυτικού σχεδίου κάτω συνθήκες αβεβαιότητας, θα στηριχθούμε στο παράδειγμα που παρουσιάζεται στον Πίνακα 3.1. Αυτός παρουσιάζει τις ταμειακές (εισοδηματικές) ροές τριών επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν στην οικονομία την περίοδο αυτή επικρατούν δύο διαφορετικές καταστάσεις φύσης (states of nature): "1" και "", με πιθανότητες π 1 και π, αντίστοιχα. Οι καταστάσεις αυτές μπορούν να θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν τις καταστάσεις ύφεσης και ανάπτυξης που πιθανά να βρίσκεται η οικονομία την επόμενη περίοδο. Συγκρίνοντας τις ροές τους σε κάθε μια από τις δύο καταστάσεις φύσης της οικονομίας μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι το σχέδιο Γ αποτελεί το προτιμότερο από τα τρία σχέδια του Πίνακα 3.1. Το σχέδιο αυτό δίνει μεγαλύτερες ή τουλάχιστον ίσες ροές σε σχέση με τα άλλα δύο σε κάθε κατάσταση φύσης της οικονομίας. Πιο συγκεκριμένα, αυτό δίνει μεγαλύτερες ροές από το σχέδιο Α στην κατάσταση "", ενώ στην "1" παρέχει τις ίδιες. Σε σχέση με το Β, δίνει μεγαλύτερες ροές στην κατάσταση "1", ενώ παρέχει τις ίδιες στην "". Ένα τέτοιο κριτήριο επιλογής μεταξύ διαφορετικών επενδυτικών σχεδίων, που συγκρίνει κατευθείαν τις εισοδηματικές ροές τους σε κάθε διαφορετική κατάσταση φύσης της οικονομίας, θα ήταν το ιδανικό καθώς λαμβάνει υπόψη του ολόκληρη την κατανομή των ροών των σχεδίων. Το κριτήριο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως το κριτήριο επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης (state-by-state dominance). Αυτό έχει ως μεγάλο πλεονέκτημα ότι καταλήγει με βεβαιότητα στην επιλογή του προτιμότερου σχεδίου. Όμως, η εφαρμογή του κριτηρίου αυτού είναι περιορισμένη στην πράξη, καθώς είναι δύσκολο να βρεθούν επενδυτικά σχέδια που σε κάθε κατάσταση φύσης έχουν μεγαλύτερες ή τουλάχιστον ίσες ροές σε σχέση με άλλα. Για να διαπιστωθεί αυτό καλύτερα, θεωρήστε ότι δεν υπάρχει το σχέδιο Γ και ότι θέλουμε να συγκρίνουμε τα 8

σχέδια Α και Β μεταξύ τους. Τότε, μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα ότι το κριτήριο επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης δεν μπορεί να κρίνει ποιο είναι το προτιμότερο σχέδιο από αυτά τα δύο. Το σχέδιο Α έχει μεγαλύτερη ροή στην κατάσταση "1", ενώ το σχέδιο Β στην "". ΠΙΝΑΚΑΣ 3.1 Ροές επενδυτικών σχεδίων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας Σχέδια Επένδυση (Ι 0 ) Μελλοντικές ροές των σχεδίων για μια χρονική περίοδο (τ=1) Κατάσταση φύσης "1", με πιθανότητα π 1 =0.5 Κατάσταση φύσης "", με πιθανότητα π =1-π 1 =0.5 Α -1000 1050 100 Β -1000 500 1600 Γ -1000 1050 1600 Για την επιλογή επενδυτικών σχεδίων όπως τα Α και Β, όπου το ένα δίνει μεγαλύτερες ροές στην μια κατάσταση φύσης της οικονομίας ενώ το άλλο στην άλλη, έχει προταθεί στη βιβλιογραφία το κριτήριο μέσου-διακύμανσης (mean-variance), ή μέσου-τυπικής απόκλισης (mean-standard deviation). Μεταξύ δύο αμοιβαία αποκλειόμενων σχεδίων, το κριτήριο αυτό συνιστά να επιλέγεται το σχέδιο εκείνο του οποίου οι ροές (ή οι αποδόσεις) έχουν τη μεγαλύτερη μέση τιμή και τη μικρότερη διακύμανση (ή τυπική απόκλιση). Αν τα δύο σχέδια έχουν την ίδια μέση τιμή (ή διακύμανση), τότε συνίσταται να επιλέγεται εκείνο που έχει τη μικρότερη διακύμανση (ή τη μεγαλύτερη μέση τιμή). Επειδή η διακύμανση των ροών ενός επενδυτικού σχεδίου μετρά κατά μέσο όρο το τετράγωνο των θετικών (προς τα δεξιά) και αρνητικών (προς τα αριστερά) αποκλίσεων από τη μέση τιμή τους, η ροπή αυτή συνήθως χρησιμοποιείται στη χρηματοοικονομική ως μέτρο του επενδυτικού κινδύνου, που ενέχει μια επένδυση κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Για το σχέδιο Β, ως παράδειγμα, ο κίνδυνος αυτός προέρχεται από την απώλεια εισοδήματος που ενέχει αυτό στην κατάσταση της οικονομίας "1", όπου χάνει το μισό της αξίας της επένδυσής του. Για την καλύτερη κατανόηση του κριτηρίου μέσου-διακύμανσης, στον Πίνακα 3. παρουσιάζουμε την κατανομή των αποδόσεων των τριών σχεδίων Α, Β και Γ του Πίνακα 83

3.1 και υπολογίζουμε τη μέση τιμή τους (μ) και την τυπική τους απόκλιση (σ) (που αποτελεί την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης σ ), καθώς και το λόγο των δύο αυτών ροπών μ. Ο λόγος αυτός μετρά τη μέση τιμή της απόδοσης του σχεδίου ανά μονάδα σ τυπικής απόκλισης αυτής. ΠΙΝΑΚΑΣ 3.: Mέση τιμή και τυπική απόκλιση των αποδόσεων των Α,Β και Γ σχεδίων Αποδόσεις σχεδίων Μέση απόδοση (μ) Τυπική απόκλιση (σ) μ σ Σχέδια "1", π 1 =0.5 "", π =0.5 Α 5% 0% 1.5% 7.5% 1.66 1050 1000 = 100 1000 Β -50% 60% 5% 55% 0.09 Γ 5% 60% 3.5% 7.5% 1.18 Σημειώσεις: Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή της απόδοσης ένος σχεδίου (έστω του Α) χρησιμοποιούμε τον τύπο του σταθμικού μέσου, δηλαδή 1.5% = 0.5 5% + 0.5 0%. Η τυπική απόκλιση του σχεδίου Α υπολογίζεται ως 7.5% = 0.5 (5 1.5) + 0.5 (0 1.5). Όμοια υπολογίστηκαν οι μέσες τιμές και οι τυπικές αποκλίσεις των αποδόσεων των άλλων δύο σχεδίων. Τα στοιχεία του Πίνακα 3. δείχνουν καθαρά ότι με βάση το κριτήριο μέσου-διακύμανσης (ή τυπικής απόκλισης), το σχέδιο Α είναι προτιμότερο του Β. Το σχέδιο αυτό έχει μεγαλύτερη μέση απόδοση και μικρότερη διακύμανση (ή τυπική απόκλιση) σε σχέση με το Β. Με βάση τα αποτελέσματα αυτά, κάποιος θα μπορούσε να οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι το κριτήριο μέσου-διακύμανσης καλύπτει την αδυναμία του κριτηρίου επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης, το οποίο δεν μπορεί να αποφανθεί αν το σχέδιο Α είναι προτιμότερο από το Β. Όμως, και το κριτήριο του μέσου-διακύμανσης παρουσιάζει την αδυναμία αυτή στην κατάταξη διαφορετικών επενδυτικών σχεδίων. Παρατηρήστε ότι το κριτήριο αυτό δεν μπορεί να αποφανθεί αν το σχέδιο Γ είναι 84

καλύτερο από το Α. Αυτό συμβαίνει γιατί και η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της κατανομής των αποδόσεων του σχεδίου Γ είναι μεγαλύτερες εκείνων του Α. Σημειώστε ότι, με βάση το κριτήριο επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης, που όπως είδαμε αποτελεί το πιο ισχυρό κριτήριο, το σχέδιο Γ αποτελεί καλύτερη επενδυτική επιλογή από το Α, καθώς σε κάθε κατάσταση φύσης της οικονομίας παρέχει μεγαλύτερες ή τουλάχιστον ίσες αποδόσεις από το Α. Η παραπάνω ασυνέπεια του κριτηρίου μέσου-διακύμανσης στην κατάταξη επενδυτικών σχεδίων σε σχέση με το κριτήριο επικράτησης σε κάθε κατάσταση φύσης της οικονομίας, μπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι, σε αντίθεση με το τελευταίο που συγκρίνει ολόκληρες τις κατανομές αποδόσεων (ή ροών) διαφορετικών σχεδίων μεταξύ τους, αυτό λαμβάνει υπόψη του μόνο τις δύο πρώτες ροπές τους, δηλαδή το μέσο και τη διακύμανση. Οι υψηλότερης τάξης κεντρικές ροπές των κατανομών των αποδόσεων των επενδυτικών σχεδίων, όπως είναι η ασυμμετρία και η κύρτωση που προσδιορίζουν τη μορφή μιας κατανομής, δε λαμβάνονται υπόψη από το κριτήριο μέσου-διακύμανσης. Αυτό σημαίνει ότι το κριτήριο αυτό δε χρησιμοποιεί όλες τις πληροφορίες για τη μορφή των κατανομών των αποδόσεων των σχεδίων αποτελεσματικά. Αυτό μπορεί να έχει ως συνέπεια, αυτό να απορρίπτει ή να είναι αδύνατο να επιλέξει επενδυτικά σχέδια των οποίων οι αποδόσεις να έχουν μεγάλη διακύμανση λόγω μη συμμετρικών αποκλίσεων προς τα δεξιά της μέσης τιμής τους. Οι αποκλίσεις αυτές δεν οδηγούν αναγκαστικά σε απώλειες εισοδήματος. Με βάση την παραπάνω συλλογιστική, μπορεί να εξηγηθεί και η αδυναμία του να κατατάξει τα σχέδια Α και Γ κατά σειρά προτίμησης. Συγκρίνοντας τις κατανομές των αποδόσεων των σχεδίων αυτών, φαίνεται καθαρά ότι η μεγαλύτερη διακύμανση του σχεδίου Γ σε σχέση με το Α οφείλεται στο γεγονός ότι η απόκλιση της απόδοσης του σχεδίου αυτού στην κατάσταση της οικονομίας "" είναι πολύ μεγαλύτερη εκείνης του σχεδίου Α και βρίσκεται προς τα δεξιά της μέσης τιμής της. Η παραπάνω ανάλυση δείχνει καθαρά ότι η μεγαλύτερη διακύμανση των αποδόσεων (ή ροών) ενός σχεδίου σε σχέση με κάποιο άλλο, δε θα πρέπει να σημαίνει αναγκαστικά και μεγαλύτερο κίνδυνο απώλειας εισοδήματος, αν αυτή οφείλεται σε πολύ μεγάλες, μη συμμετρικές προς τα δεξιά αποκλίσεις των αποδόσεων του από τη μέση τους τιμή. Επομένως, η διακύμανση από μόνη της ίσως δε θα πρέπει να θεωρείται ως το πιο ακριβές μέτρο επενδυτικού κινδύνου. Για τον καλύτερο προσδιορισμό αυτού, μαζί με τη διακύμανση ίσως θα πρέπει να συνυπολογίζεται και η κατεύθυνση ασυμμετρίας της 85

κατανομής των αποδόσεων των επενδυτικών σχεδίων. Αν δηλαδή αυτή είναι προς τα αριστερά ή τα δεξιά. Για να ξεπεραστεί το πρόβλημα της ταξινόμησης επενδυτικών σχεδίων όπως είναι τα Γ και Α με το κριτήριο μέσου-διακύμανσης, στη βιβλιογραφία έχει προταθεί η χρήση του λόγου μ, που είναι γνωστός ως λόγος (ή κριτήριο) του Sharpe. Όπως αναφέρθηκε σ προηγουμένως, ο λόγος αυτός δίνει τη μέση τιμή της απόδοσης ενός σχεδίου ανά μονάδα τυπικής απόκλισης αυτής. Με βάση το λόγο του Sharpe, θα πρέπει να επιλέγεται εκείνο το σχέδιο για το οποίο ο λόγος μ σ παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή. Αν θεωρήσουμε ότι η τυπική απόκλιση (ή η διακύμανση) αποτελεί ένα μέτρο επενδυτικού κινδύνου, τότε ο λόγος του Sharpe μπορεί να ερμηνευτεί ότι μετρά τη μέση απόδοση κάθε σχεδίου ανά μονάδα κινδύνου του. Όπως θα δούμε στη συνέχεια του κεφαλαίου, η μέση απόδοση θεωρείται ότι αποτελεί την ανταμοιβή που απαιτεί ο επενδυτής για κάθε μονάδα κινδύνου του επενδυτικού σχεδίου που αναλαμβάνει. Χρησιμοποιώντας το λόγο μ, τα σχέδια του Πίνακα 3.1 κατατάσσονται σε σειρά σ προτίμησης ως ακολούθως: Α, Γ και Β. Από την κατάταξη αυτή φαίνεται καθαρά ότι, σε αντίθεση με το κριτήριο μέσου-διακύμανσης, ο λόγος του Sharpe έχει τη δυνατότητα να ταξινομήσει δύο σχέδια μεταξύ τους, όπως τα σχέδια Α και Γ. Παρόλα όμως αυτά επιλέγει το σχέδιο Α έναντι του Γ, αν και το Γ είναι το προτιμότερο από τα τρία σχέδια με βάση το πιο ισχυρό κριτήριο επικράτησης των ροών σε κάθε κατάσταση φύσης. Όπως και για το κριτήριο μέσου-διακύμανσης, αυτό μπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι ο λόγος του Sharpe λαμβάνει υπόψη του μόνο τις δύο πρώτες ροπές της κατανομής των αποδόσεών των επενδυτικών σχεδίων και όχι ολόκληρη την κατανομή τους. Ο λόγος του Sharpe για το σχέδιο Γ είναι μικρότερος εκείνου για το Α γιατί η διακύμανση των αποδόσεων του σχεδίου αυτού είναι πολύ μεγαλύτερη σε σχέση με τη μέση τιμή τους συγκρινόμενη με εκείνη για το Α. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτό οφείλεται στις πολύ μεγαλύτερες αποκλίσεις των ροών του σχεδίου Γ προς τα δεξιά της μέσης τιμής τους στην κατάσταση "" της οικονομίας σε σχέση με το Α. Για το σχέδιο Γ, αυτό όμως δε σημαίνει απώλεια εισοδήματος. 86

Εκτός από τις ατέλειες που παρουσιάστηκαν προηγουμένως, τα στατιστικά κριτήρια επιλογής επενδύσεων έχουν ένα βασικό μειονέκτημα από πλευράς οικονομικής θεωρίας. Αυτά δε λαμβάνουν υπόψη τους τις προτιμήσεις του επενδυτή όσον αφορά την επιθυμητή ανταλλαγή (ή το λόγο υποκατάστασης) μεταξύ της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης ή της ασυμμετρίας της κατανομής των αποδόσεων (ή ροών) των επενδυτικών σχεδίων. Η ανταλλαγή αυτή καθορίζεται από τις προτιμήσεις του επενδυτή για μια πιθανή απώλεια εισοδήματος που ενέχει κάποιο επενδυτικό σχέδιο έναντι κάποιου άλλου. Αν ο επενδυτής αποστρέφεται τον επενδυτικό κίνδυνο, τότε αυτός είναι δυνατόν να επιλέξει κάποιο σχέδιο που δεν έχει μεγάλες απώλειες εισοδήματος, παρόλο που η διακύμανσή του τυχαίνει να είναι αρκετά μεγάλη. Έτσι, με βάση το κριτήριο αυτό θα προτιμούσε το σχέδιο Γ από το Α ή το Β, καθώς αυτό δεν ενέχει κάποια σημαντική απώλεια εισοδήματος σε σχέση με τα άλλα δύο. Επίσης, ανάμεσα στα σχέδια Α και Β θα προτιμούσε το Α, καθώς το σχέδιο Β είναι πιθανόν να επιφέρει μεγαλύτερη απώλεια εισοδήματος στην κατάσταση της οικονομίας "1". H παραπάνω ανάλυση θεωρεί ότι ο αντιπροσωπευτικός επενδυτής στην οικονομία αποστρέφεται τον κίνδυνο απώλειας του εισοδήματός του. Αν όμως οι προτιμήσεις του επενδυτή είναι ουδέτερες (risk neutral) ή επιρρεπείς (risk loving) στον επενδυτικό κίνδυνο, τότε μπορεί να προτιμήσει το σχέδιο Β έναντι του Α το οποίο παρέχει υψηλότερες αποδόσεις στην κατάσταση "". Βεβαίως, οι παραπάνω επιλογές του επενδυτή θα εξαρτηθούν και από το βαθμό που αυτός αποστρέφεται τον επενδυτικό κίνδυνο ή είναι επιρρεπής (risk lover) σε αυτόν. Για να λάβουμε υπόψη μας τις προτιμήσεις του επενδυτή για τον επενδυτικό κίνδυνο, στη συνέχεια του κεφαλαίου παρουσιάζουμε ένα οικονομικό κριτήριο επιλογής επενδυτικών σχεδίων που στηρίζεται στη θεωρία χρησιμότητας κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας. Το κριτήριο αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό του χρηματικού ποσού που απαιτείται από έναν αντιπροσωπευτικό επενδυτή σύμφωνα με τις προτιμήσεις του για να αποζημιωθεί για τον κίνδυνο ανάληψης μιας επένδυσης σε κάποιο σχέδιο με αβέβαιες αποδόσεις. Σημειώστε ότι στην ανάλυσή μας, ο επενδυτής και ο καταναλωτής θεωρούνται ως το ίδιο πρόσωπο. Επομένως, η απώλεια εισοδήματος από μια επένδυση θα σημαίνει αντίστοιχα και απώλεια κατανάλωσης (ή ευημερίας) του καταναλωτή. Η υπόθεση αυτή κάνει εφικτή στην ανάλυσή μας τη χρήση βασικών αξιωμάτων της θεωρίας χρησιμότητας του καταναλωτή. Στην περίπτωση που ο επενδυτής αποτελεί μια επιχείρηση, τότε μια πιθανή απώλεια 87

εισοδήματος από την επένδυση σε κάποιο σχέδιο μπορεί να ερμηνευτεί ως απώλεια μερίσματος και επομένως, κατανάλωσης για τους μετόχους της επιχείρησης. Προτιμήσεις του επενδυτή κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας Από τη θεωρία χρησιμότητας είναι γνωστό ότι κάποιος αντιπροσωπευτικός καταναλωτής (επενδυτής) συμπεριφέρεται έτσι ώστε με τα αγαθά που αγοράζει με το διαθέσιμο εισόδημά του να επιτυγχάνει το μεγαλύτερο δυνατό επίπεδο χρησιμότητάς του. Η σχέση μεταξύ της κατανάλωσης και της χρησιμότητας ενός καταναλωτή παρουσιάζεται με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας, η οποία πληρεί κάποιες γνωστές ιδιότητες στην οικονομική θεωρία. Η συνάρτηση αυτή συμβολίζεται ως U(C), όπου C αποτελεί το επίπεδο της κατανάλωσης και U της χρησιμότητας. Αν θεωρηθεί ότι ο αντιπροσωπευτικός επενδυτής καταναλώνει όλο το εισόδημα του, που θα συμβολίζεται στο εξής ως Υ, δηλαδή ισχύει η ταυτότητα C=Y, τότε η χρησιμότητα του μπορεί επίσης να γραφεί ως συνάρτηση του επιπέδου του εισοδήματος ως εξής: U(Υ). Για τους σκοπούς της ανάλυσής μας, το εισόδημα του επενδυτή Υ θεωρείται ότι προέρχεται αποκλειστικά από τις καθαρές ταμειακές ροές διαφόρων επενδυτικών σχεδίων που αναλαμβάνει. Εισοδήματα από μισθούς ή ενοίκια δεν θα ληφθούν υπόψη, καθώς δεν επηρεάζουν την ανάλυσή μας. Για να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του αντιπροσωπευτικού επενδυτή ως προς τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος που ενέχει μια επένδυση κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας, θεωρήστε ένα επενδυτικό σχέδιο το οποίο έχει σίγουρη απόδοση (έστω 10%) και κάποιο άλλο που έχει αβέβαιες αποδόσεις με μέση τιμή 10%. Η επιλογή του δεύτερου σχεδίου σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα ο επενδυτής να λάβει μικρότερη απόδοση του 10%. Μεταξύ των δύο αυτών σχεδίων, είναι προφανές ότι ο επενδυτής που αποστρέφεται τον επενδυτικό κίνδυνο θα επιλέξει το πρώτο, που του εξασφαλίζει τη σίγουρη απόδοση 10%. Αυτή η προτίμηση του επενδυτή μπορεί να χαρακτηρίσει τη μορφή που θα έχει η συνάρτηση χρησιμότητας του ως προς το εισόδημα, Υ. Για να προσδιορίσουμε τη μορφή της συνάρτησης αυτής, στη συνέχεια παραθέτουμε το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω κάποιος επενδυτής ο οποίος έχει αρχικό εισόδημα Υ, που αποτελεί το κεφάλαιό του. Αυτός σκέπτεται να το επενδύσει σε ένα σχέδιο που οι ροές του είναι διαφορετικές 88

στις δύο καταστάσεις φύσης της οικονομίας "1" και "", οι οποίες έχουν ίση πιθανότητα 1/ να συμβούν η καθεμία. Στην κατάσταση "1" το εισόδημα του επενδυτή θα αυξηθεί κατά το ποσό Ζ, δηλαδή αυτό θα ανέλθει στο επίπεδο Υ+Ζ. Αντίθετα, στη "" θα μειωθεί κατά το ίδιο σε απόλυτο μέγεθος ποσό, Ζ, δηλαδή αυτό θα γίνει Υ-Ζ. Η κατανομή αυτή των εισοδηματικών ροών του παραπάνω επενδυτικού σχεδίου σημαίνει ότι η μέση τιμή του εισοδήματος του επενδυτή στην περίπτωση που αναλάβει την επένδυση σε αυτό θα δίνεται ως εξής: 1 1 E( Y + Z ) = ( Y + Z) + ( Y Z) = Y, όπου Ε(.) συμβολίζει τη μέση (αναμενομένη) τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και Z αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τις μεταβολές στο αρχικό εισόδημα του επενδυτή Υ, δηλαδή τις εισοδηματικές ροές ± Z που προκύπτουν από την επένδυσή του στο σχέδιο. Η κατανομή των τιμών της μεταβλητής αυτής ορίζεται ως εξής: Z + Z με π = 1/, με 1/ 1 = Z π = Σημειώστε ότι, στο παράδειγμά μας η μέση τιμή EY ( + Z ) ισούται με το αρχικό εισόδημα του επενδυτή Υ, καθώς η θετική μεταβολή του εισοδήματός του από την επένδυση +Ζ ισούται σε απόλυτο μέγεθος με την αρνητική -Ζ και έχει την ίδια πιθανότητα να συμβεί με αυτή, που ισούται με 1/. Με βάση το παραπάνω παράδειγμα, είναι προφανές ότι κάποιος επενδυτής που αποστρέφεται τον επενδυτικό κίνδυνο θα προτιμήσει να κρατήσει το αρχικό του εισόδημα Υ, που του παρέχει επίπεδο χρησιμότητας U(Y) με βεβαιότητα, παρά να το επενδύσει λόγω του κινδύνου απώλειας εισοδήματος κατά -Ζ χρηματικές μονάδες. Τη συμπεριφορά αυτή του επενδυτή μπορούμε να την παρουσιάσουμε σε όρους της συνάρτησης χρησιμότητας U(.) με βάση την ακόλουθη ανισότητα: 1 1 UY ( ) > UY ( +Ζ ) + UY ( Ζ ) = EUY ( + Z ) (1α) 89

ή επειδή έχουμε θεωρήσει Y = E ( Y + Z ), ως 1 1 U E( Y + Z ) > U( Y +Ζ ) + U( Y Ζ ) = E U( Y + Z ), (1β) 1 1 όπου E UY ( Z) + = UY ( Z) + UY ( + Z) αποτελεί την αναμενόμενη (μέση) χρησιμότητα του επενδυτικού σχεδίου. Η ανισότητα (1α), ή (1β), δείχνει καθαρά ότι, κάτω από συμπεριφορά του επενδυτή αποστροφής στον κινδύνου, η χρησιμότητα στο μέσο επίπεδο του εισοδήματος του επενδυτικού σχεδίου Y = E( Y + Z ) θα είναι μεγαλύτερη από την αναμενόμενη χρησιμότητα αυτού E UY ( + Z ). Η συνάρτηση χρησιμότητας U(.) που έχει την ιδιότητα αυτή θα πρέπει να έχει αυστηρά κοίλη μορφή ως προς το εισόδημα Υ ή τη μεταβλητή των ροών. Η ανισότητα αυτή αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα των κοίλων συναρτήσεων, όπως είναι η συνάρτηση χρησιμότητας που παρουσιάζεται στο Διάγραμμα 3.1(Α). Y + Z Όπως φαίνεται από το διάγραμμα αυτό, μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας προβλέπει ότι το επίπεδο της χρησιμότητας U(Υ) θα αυξάνει με εκείνο του εισοδήματος Υ του επενδυτή, αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Αυτό σημαίνει ότι η οριακή χρησιμότητα μιας επιπλέον μονάδας εισοδήματος, η οποία μαθηματικά ορίζεται από την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης χρησιμότητας UY ( ) ως προς το εισόδημα Υ και συμβολίζεται ως du ( Y ) U ( Y), θα dy μειώνεται καθώς το επίπεδο του Υ θα αυξάνεται. Μαθηματικά, αυτό σημαίνει ότι η duy ( ) δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης U(Υ) ως προς Υ, που ορίζεται ως U ( Y), dy θα είναι αρνητική, δηλαδή U ( Y) < 0. Επειδή το αρνητικό πρόσημο της δεύτερης παραγώγου U ( Y) χαρακτηρίζει την κοιλότητα της συνάρτησης U(Υ), η συνθήκη U ( Y) < 0 αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για να χαρακτηρίσουμε προτιμήσεις ενός επενδυτή που αποστρέφεται τον επενδυτικό κίνδυνο. Η συνθήκη αυτή σημαίνει ότι μια μείωση του εισοδήματος κατά μια μονάδα θα επιφέρει μείωση στο επίπεδο χρησιμότητας του επενδυτή που θα είναι μεγαλύτερη σε απόλυτες τιμές από μια αντίστοιχη σε μέγεθος αύξηση στο εισόδημά του. 90

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.1(Α): Συνάρτηση χρησιμότητας αποφυγής του επενδυτικού κινδύνου Σε αντίθεση με τη συνάρτηση χρησιμότητας που δίνεται στο Διάγραμμα 3.1(Α), αυτές που παρουσιάζονται στα Διαγράμματα 3.1(Β) και 3.1(Γ) αντιπροσωπεύουν προτιμήσεις ενός επενδυτή o οποίος είναι επιρρεπής και ουδέτερος στον επενδυτικό κίνδυνο, αντίστοιχα. Στη μεν πρώτη περίπτωση (βλέπε Διάγραμμα 3.1(Β)) η συνάρτηση χρησιμότητας U(Y) είναι κυρτή, οπότε με βάση τα στοιχεία του παραδείγματος που αναλύσαμε προηγουμένως θα ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: 1 1 UEY ( + Z ) = UY ( ) < UY ( + Z) + UY ( Z) = EUY ( + Z ), Στη δε δεύτερη περίπτωση (βλέπε Διάγραμμα 3.1(Γ)) η συνάρτηση χρησιμότητας θα αποτελεί μια ευθεία γραμμή και επομένως, θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: 1 1 UEY ( + Z ) = UY ( ) = UY ( + Z) + UY ( Z) = EUY ( + Z ). Μια κυρτή συνάρτηση χρησιμότητας χαρακτηρίζει έναν επενδυτή που είναι επιρρεπής στον επενδυτικό κίνδυνο, καθώς αυτή συνεπάγεται ότι μια πιθανή αύξηση στο εισόδημα του επενδυτή θα επιφέρει μεγαλύτερη αύξηση στη χρησιμότητά του σε σχέση με τη μείωση αυτής που οφείλεται σε μια αντίστοιχη σε μέγεθος μείωση του εισοδήματός του. Μια συνάρτηση χρησιμότητας που είναι ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύει έναν επενδυτή 91

που είναι ουδέτερος στον επενδυτικό κίνδυνο, καθώς αυτή συνεπάγεται ότι μια ισόποση αύξηση ή η μείωση στο εισόδημά του επενδυτή θα προκαλέσει αντίστοιχες μεταβολές στο επίπεδο της χρησιμότητάς του. Στην περίπτωση αυτή, ο επενδυτής θα είναι αδιάφορος στο να αναλάβει ή όχι το επενδυτικό σχέδιο του παραδείγματός μας. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 3.1(Β)-3.1(Γ): Συναρτήσεις χρησιμότητας ενός επιρρεπή ή ουδέτερου στον κίνδυνο επενδυτή Επενδυτής επιρρεπής στον κίνδυνο Επενδυτής ουδέτερος στον κίνδυνο Επιλογή επένδυσης με βάση το κριτήριο αναμενόμενης χρησιμότητας Η δυνατότητα μιας κοίλης συνάρτησης χρησιμότητας να αποτυπώνει τη συμπεριφορά ενός επενδυτή που αποστρέφεται τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος του, μας επιτρέπει να εισαγάγουμε ένα κριτήριο επιλογής επενδυτικών σχεδίων που λαμβάνει υπόψη του τις προτιμήσεις του επενδυτή για τον κίνδυνο. Το κριτήριο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως το κριτήριο αναμενόμενης χρησιμότητας, καθώς αυτό ταξινομεί τα επενδυτικά σχέδια με βάση την αναμενόμενη χρησιμότητά τους. Μεταξύ δύο αμοιβαία αποκλειομένων επενδυτικών σχεδίων, το κριτήριο αυτό επιλέγει το σχέδιο εκείνο που έχει την μεγαλύτερη αναμενόμενη χρησιμότητα. Με βάση τα στοιχεία του παραδείγματος του Διαγράμματος 3.1Α, η αναμενόμενη χρησιμότητα υπολογίζεται ως ακολούθως: 9

1 1 E[ UY ( + Z )] = UY ( Z) + UY ( + Z) Από τον ορισμό της αναμενόμενης χρησιμότητας είναι προφανές ότι, το κριτήριο επιλογής επενδυτικών σχεδίων που στηρίζεται σε αυτή λαμβάνει υπόψη του τόσο τις προτιμήσεις του επενδυτή ως προς τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος του, όσο και την κατανομή πιθανοτήτων των εισοδηματικών ροών των σχεδίων. Αυτό συμβαίνει γιατί η αναμενόμενη χρησιμότητα σταθμίζει όλα τα διαφορετικά επίπεδα χρησιμότητας ( UY ( + Z) και UY ( Z), στο παράδειγμά μας) που αντιστοιχούν στα διαφορετικά πιθανά επίπεδα των εισοδηματικών ροών των επενδυτικών σχεδίων (δηλαδή Y Z, στο παράδειγμά μας). Y + Z Y + Z και Το κριτήριο της αναμενομένης χρησιμότητας μπορεί να ξεχωρίσει επενδυτικά σχέδια τα οποία έχουν διαφορετικό κίνδυνο απώλειας εισοδήματος, παρόλο που έχουν το ίδιο αναμενόμενο εισόδημα EY ( + Z ) και έτσι, η χρησιμότητά τους σε αυτό είναι ίδια, δηλαδή UEY [ ( + Z )]. Αυτό εξηγεί γιατί στην επιλογή επενδυτικών σχεδίων θα πρέπει να χρησιμοποιούμε την αναμενόμενη χρησιμότητα και όχι τη χρησιμότητα στο αναμενόμενο επίπεδο εισοδηματος EY ( + Z ). Για να γίνει καλύτερα κατανοητό το επιχείρημά αυτό, στο Διάγραμμα 3. συγκρίνουμε δύο επενδυτικά σχέδια, τα Α και Β, που έχουν το ίδιο αναμενόμενο επίπεδο εισοδήματος, που δίνεται ως 1 1 1 1 E( Y + Z A) = ( Y ZA) + ( Y + ZA) = E( Y + Z B) = ( Y ZB) + ( Y + ZB) = Y, αλλά διαφορετικές διακυμάνσεις. Το σχέδιο όμως Β παρουσιάζει μεγαλύτερες αποκλίσεις εισοδήματος από το Α. Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 3., η χρησιμότητα και των δύο σχεδίων Α και Β στο αναμενόμενο επίπεδο εισοδήματος τους είναι ίδια και για τα δύο. Αυτή δίνεται ως ακολούθως: UEY [ ( + Z )] = UEY [ ( + Z )] = UY ( ). Επομένως, με βάση τη χρησιμότητα αυτή A B ο επενδυτής δεν μπορεί να επιλέξει το σχέδιο Α από το Β, παρόλο που το Β ενέχει κίνδυνο μεγαλύτερης απώλειας εισοδήματος. Αντίθετα, με βάση το κριτήριο της αναμενόμενης χρησιμότητας ο επενδυτής μπορεί να επιλέξει το Α ως καλύτερο σχέδιο, καθώς αυτό έχει μεγαλύτερη αναμενόμενη χρησιμότητα από το Β, δηλαδή 93

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.: Σύγκριση δύο επενδυτικών σχεδίων με διαφορετικές διακυμάνσεις 1 1 1 1 E[ UY ( + Z A)] = UY ( ZA) + UY ( + ZA) > EUY [ ( + Z B)] = UY ( ZB) + UY ( + ZB). Μαθηματικά, η δυνατότητα του κριτηρίου της αναμενόμενης χρησιμότητας να ταξινομεί επενδυτικά σχέδια με διαφορετικό κίνδυνο παρόλο που έχουν το ίδιο αναμενόμενο επίπεδο εισοδήματος αποδίδεται στην κοιλότητα της καμπύλης χρησιμότητας ως προς το εισόδημα. Αυτό έχει ως συνέπεια η αναμενόμενη χρησιμότητα να παίρνει διαφορετικές τιμές, ακόμα και για δύο σχέδια που έχουν το ίδιο αναμενόμενο εισόδημα, όπως είναι τα σχέδια Α και Β. 1 Για μια κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας, η μεγαλύτερη αναμενόμενη χρησιμότητα του σχεδίου Α είναι συνεπής με την επενδυτική συμπεριφορά ενός επενδυτή που αποστρέφεται τον κίνδυνο. Αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι το σχέδιο αυτό ενέχει κίνδυνο μικρότερης απώλειας εισοδήματος σε σχέση με το Β, καθώς οι ροές αυτού έχουν μικρότερη διακύμανση. Για την καλύτερη κατανόηση της εφαρμογής του κριτηρίου 1 Σημειώστε ότι το κριτήριο αναμενόμενης χρησιμότητας μπορεί επίσης να ξεχωρίσει επενδυτικά σχέδια που έχουν τις ίδιες εισοδηματικές ροές και για την περίπτωση εκείνη όπου η καμπύλη χρησιμότητας είναι κυρτή, δηλαδή ισχύει U ( Y) > 0. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, μια τέτοια μορφή της καμπύλης χρησιμότητας αντιπροσωπεύει προτιμήσεις ενός επενδυτή που είναι επιρρεπής στον κίνδυνο, δηλαδή προτιμά σχέδια με μεγάλες διακυμάνσεις των ροών τους. Τέλος, παρατηρήστε ότι, αν η μορφή της καμπύλης είναι ευθεία γραμμή, δηλαδή ισχύει U ( Y) = 0, τότε η αναμενομένη χρησιμότητα και η χρησιμότητα στο αναμενόμενο (μέσο) επίπεδο ροών θα είναι ίδιες και επομένως, και οι δύο αυτές χρησιμότητες θα επιλέγουν τα ίδια ακριβώς σχέδια. 94

αναμενόμενης χρησιμότητας στη επιλογή επενδυτικών σχεδίων, στη συνέχεια παραθέτουμε το ακόλουθο παράδειγμα: ΠAΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1: Έστω δύο επενδυτικά σχέδια Α και Β των οποίων οι εισοδηματικές ροές σε δύο διαφορετικές καταστάσεις φύσης της οικονομίας "1" και "", που έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν (δηλαδή π 1 =π =0.5), δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Σχέδιο "1", με π 1=0.5 "", με π =0.5 Α 100 150 Β 90 160 Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι η λογαριθμική ως προς τη μεταβλητή των ροών, που συμβολίζεται ως Z, τότε η αναμενόμενη χρησιμότητα του σχεδίου Α υπολογίζεται ως εξής: EU [ ( Z A)] = 0.5ln(100) + 0.5ln(150) = 4.808, ενώ του Β υπολογίζεται ως EU [ ( Z B )] = 0.5ln(90) + 0.5ln(160) = 4.787. Συγκρίνοντας τις παραπάνω τιμές των αναμενόμενων επιπέδων χρησιμότητας EU [ ( Z )] και EU [ ( Z )] παρατηρούμε ότι ισχύει η ακόλουθη σχέση μεταξύ τους: A B EU [ ( Z )] > EU [ ( Z )]. Σύμφωνα με το κριτήριο της αναμενόμενης χρησιμότητας, αυτή A B σημαίνει ότι το σχέδιο Α είναι προτιμότερο του Β. Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στη μεγαλύτερη αποστροφή του επενδυτή στο σχέδιο Β καθώς αυτό ενέχει κίνδυνο μεγαλύτερης απώλειας εισοδήματος από το Α, δεδομένου ότι οι πιθανότητες των δύο καταστάσεων φύσης της οικονομίας είναι ίδιες (δηλ., π 1 =π =0.5). Σημειώστε ότι οι πιθανότητες π 1 και π παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο στην κατάταξη των δύο σχεδίων. Αν αυτές αλλάξουν τιμή, τότε και η κατάταξη των δύο σχεδίων μπορεί να αλλάξει, καθώς θα μεταβληθεί η πιθανότητα απώλειας εισοδήματος. Ως παράδειγμα, θεωρήστε την περίπτωση όπου η πιθανότητα της κατάστασης "" αυξηθεί σε π =0.80 (που 95

σημαίνει ότι π 1 =0.0). Τότε, το κριτήριο της αναμενόμενης χρησιμότητας θα επιλέξει το σχέδιο Β από το Α, καθώς θα ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: EU [ ( Z )] = 0.ln(100) + 0.8ln(150) = 4.995 < EU [ ( Z )] = 0.ln(90) + 0.8ln(160) = 4.9601. A B Στην περίπτωση αυτή, αν και το σχέδιο Β ενέχει κίνδυνο μεγαλύτερης απώλειας εισοδήματος στην κατάσταση "1", η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι πολύ μικρότερη (δηλ. π 1 =0.0) σε σχέση με εκείνη της προηγούμενης περίπτωσης, όπου π 1 =0.50 (50%). Αυτό οδηγεί τον επενδυτή στην επιλογή του σχεδίου Β από το Α. Γενίκευση του κριτηρίου αναμενομένης χρησιμότητας σε πολλές καταστάσεις φύσης Το κριτήριο της αναμενόμενης χρησιμότητας μπορεί να γενικευτεί εύκολα για Ν-αριθμό καταστάσεων φύσης της οικονομίας, οι οποίες ορίζονται ως s=1,,,n. Τότε, η αναμενόμενη χρησιμότητα ορίζεται ως η αναμενόμενη (μέση) τιμή των επιπέδων χρησιμότητας στις Ν-διαφορετικές καταστάσεις της οικονομίας UZ ( s ) ως εξής: V[ Z,Z,..., Z ; π, π,... π ] = πu ( Zs ), 1 N 1 Ν N s= 1 s όπου π s συμβολίζει τις πιθανότητες των Ν-καταστάσεων της οικονομίας και Z s αποτελούν τις εισοδηματικές ροές ενός επενδυτικού σχεδίου που αντιστοιχούν σε αυτές. Θα λέμε ότι το σχέδιο Α είναι προτιμότερο ( ) του Β και θα συμβολίζουμε Z A Z, B αν ισχύει η ακόλουθη ανισότητα V[ Z,Z,..., Z ; π, π,... π ] > V[ Z,Z,..., Z ; π, π,... π ]. 1, A, A N, A 1 Ν 1, B, B N, B 1 Ν Με βάση το θεώρημα των von Neumann και Morgenstern (VNM) αποδεικνύεται ότι η αναμενόμενη χρησιμότητα VZ,Z,...Z [ 1, N ; π1, π,..., π Ν ] αποτελεί και αυτή μια συνάρτηση 96

χρησιμότητας, που ικανοποιεί τις βασικές ιδιότητες των προτιμήσεων του καταναλωτή, όπως είναι ασυμμετρία, μεταβατικότητα και συνέχεια. Επομένως, αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην ιεράρχηση διαφορετικών επενδυτικών σχεδίων όπως γίνεται στη μικροοικονομική για την ταξινόμηση διαφορετικών συνδυασμών αγαθών. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.3: Καμπύλες αδιαφορίας της συνάρτησης αναμενόμενης χρησιμότητας Στο Διάγραμμα 3.3 παρουσιάζουμε τις καμπύλες αδιαφορίας της συνάρτησης αναμενομένης χρησιμότητας VZ,Z,...Z [ 1, N ; π1, π,..., π Ν ] για την απλή περίπτωση όπου οι φύσεις της οικονομίας είναι δύο, δηλαδή οι "1" και "". Πιο συγκεκριμένα, το διάγραμμα αυτό παρουσιάζει δύο επενδυτικά σχέδια, τα Α και Β, που οι ροές τους είναι ανάλογες σε μέγεθος αλλά αντίστροφες στις δύο καταστάσεις φύσης "1" και "". Το σχέδιο Α καθορίζεται από το ζεύγος των ροών (Ζ 1Α,Ζ,Α ), ενώ το Β από το (Ζ 1,Β,Ζ,Β ). Επειδή οι καταστάσεις αυτές έχουν ίσες πιθανότητες, τα σχέδια αυτά έχουν το ίδιο επίπεδο αναμενόμενης χρησιμότητας V1 E[ U( Z )] = E[ U( Z )]. Εκτός από τα σχέδια Α και Β, το A Διάγραμμα 3.3 παρουσιάζει και ένα τρίτο σχέδιο, το C του οποίου οι ροές αποτελούν τις μέσες τιμές των ροών των σχεδίων Α και Β, σε κάθε κατάσταση φύσης της οικονομίας. B Βλέπε Danthine και Donaldson (001). 97

Δηλαδή, αυτές δίνονται ως Ζ 1,C = (Ζ 1,Β +Ζ 1,Α )/ και Ζ,C = (Ζ,Β +Ζ,Α )/. Επομένως, το σημείο C θα βρίσκεται πάνω στη γραμμή που ενώνει τα σημεία Α και Β. Παρατηρήστε ότι οι καμπύλες αδιαφορίας της συνάρτησης αναμενόμενης χρησιμότητας που παρουσιάζονται στο Διάγραμμα 3.3 είναι κυρτές. Αυτό ισχύει κάτω από συμπεριφορά αποστροφής του επενδυτικού κινδύνου. Για να αποδείξουμε την κυρτότητά των καμπυλών αυτών, απλά παρατηρήστε ότι, για κάποιο επενδυτή που αποστρέφεται τον κίνδυνο, το σχέδιο C είναι καλύτερο από τα Α και Β. Αυτό συμβαίνει γιατί οι εισοδηματικές ροές του σχεδίου C παρουσιάζουν μικρότερη απώλεια εισοδήματος σε σχέση με εκείνες των σχεδίων Α και Β. Εφόσον το σχέδιο C προτιμάται λόγω μικρότερου επενδυτικού κινδύνου από τα Α και Β, αυτό θα πρέπει να βρίσκεται σε μια καμπύλη αδιαφορίας η οποία αντιστοιχεί σε υψηλότερο επίπεδο αναμενόμενης χρησιμότητας (έστω, V ) εκείνου των σχεδίων Α και Β. Δηλαδή, θα πρέπει να ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: V E[ U( Z )] > V. C 1 Η ανισότητα αυτή ισχύει μόνο για την περίπτωση όπου οι καμπύλες αδιαφορίες της συνάρτησης αναμενόμενης χρησιμότητας που περνούν από τα σημεία Α, Β και C είναι κυρτές. 3 Αυτή μπορεί να επιβεβαιωθεί επίσης με βάση το ακόλουθο αριθμητικό παράδειγμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.: Θεωρήστε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας ενός επενδυτή ως προς το εισόδημα είναι λογαριθμικής μορφής. Τότε, συγκρίνατε τις αναμενόμενες χρησιμότητες των τριών επενδυτικών σχεδίων Α, Β και C των οποίων οι ροές σε κάθε κατάσταση φύσης "1" και "" δίνoνται στον ακόλουθο πίνακα: Σχέδιο "1", με π 1=0.5 "", με π =0.5 Α 100 150 B 150 100 C 15 15 3 Ανάλογα, μπορεί να αποδειχτεί ότι οι καμπύλες αδιαφορίας της αναμενόμενης χρησιμότητας ενός επενδυτή που είναι επιρρεπής στον επενδυτικό κίνδυνο (risk lover) θα είναι κοίλες ως προς τις τιμές των εισοδηματικών ροών Z στις καταστάσεις φύσης της οικονομίας "1" και "". Για τον ουδέτερο στον κίνδυνο επενδυτή, οι καμπύλες αδιαφορίας αυτές θα είναι ευθείες γραμμές. 98

Σημειώστε ότι οι ροές του σχεδίου C αποτελούν το μέσο όρο εκείνων των σχεδίων Α και Β στις δύο καταστάσεις φύσεις "1" και "", αντίστοιχα, όπως θεωρήσαμε στο Διάγραμμα 3.. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα, πρώτα παρατηρήστε ότι οι αναμενόμενες χρησιμότητες των σχεδίων Α και Β είναι ίδιες και υπολογίζονται ως εξής: EU [ ( Z )] = 0.5ln(100) + 0.5ln(150) = 0.5ln(150) + 0.5ln(100) = EU [ ( Z )] = 4.80 A B Η δε αναμενόμενη χρησιμότητα του σχεδίου C υπολογίζεται ως εξής: EU [ ( Z C )] = 0.5ln(15) + 0.5ln(15) = ln(15) = 4.8 Συγκρίνοντας τις παραπάνω τιμές των αναμενόμενων χρησιμοτήτων έχουμε E [ U( Z )] > E[ U( Z )] = E[ U( Z )], που σημαίνει ότι το σχέδιο C αποτελεί προτιμότερη C A B επενδυτική επιλογή από τα Α και Β. 3.3 Μέτρα αποστροφής του επενδυτικού κινδύνου Εκτός του ότι μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε διάφορα επενδυτικά σχέδια μεταξύ τους κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας, το κριτήριο αναμενομένης χρησιμότητας μας παρέχει τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε το χρηματικό ποσό που απαιτείται ως αποζημίωση από κάποιον επενδυτή για να αναλάβει τον κίνδυνο μιας επένδυσης με αβέβαιες αποδόσεις. Το ποσό αυτό αποτελεί για τον επενδυτή ένα ασφάλιστρο κινδύνου. Αυτό θα πρέπει να εξαρτάται από την απόλυτη τιμή της δεύτερης παραγώγου U (Y ), που χαρακτηρίζει το βαθμό κοιλότητας της συνάρτησης χρησιμότητας ως προς το εισόδημα Υ. Όσο πιο μεγάλη είναι η απόλυτη τιμή της παραγώγου αυτής, τόσο πιο μεγάλη θα είναι η αποστροφή στον κίνδυνο του επενδυτή και το ποσό κινδύνου που απαιτείται ως αποζημίωση για να αναλάβει την επένδυση. Ωστόσο από μόνη της η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης U(Y) δεν μπορεί να αποτελέσει κάποιο μέτρο του βαθμού αποστροφής του επενδυτικού κινδύνου, καθώς αυτή 99

δεν παραμένει αμετάβλητη σε γραμμικούς μετασχηματισμούς, όπως απαιτεί η θεωρία χρησιμότητας. Για να διαπιστωθεί αυτό, θεωρήστε δύο διαφορετικούς επενδυτές με συναρτήσεις χρησιμότητας U i (Y) και U j (Y), αντίστοιχα. Έστω ότι και οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν αρνητική δεύτερη παράγωγο, αλλά σε απόλυτες τιμές υποθέστε ότι μεταξύ τους ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: U ( Y ) > U ( Y ), για όλα τα επίπεδα i j εισοδήματος Y. Όμως, όπως εύκολα μπορεί να αποδειχθεί η ανισότητα αυτή δε σημαίνει αναγκαστικά ότι ο επενδυτής i έχει μεγαλύτερη αποστροφή στο κίνδυνο απώλειας εισοδήματος από τον j. Αυτή μπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι οι συναρτήσεις χρησιμότητας Ui(Y) και U j (Y) συνδέονται γραμμικά μεταξύ τους, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη σχέση: U i (Y)=a+bU j (Y) όπου α>0 και b>0 και έτσι, συμβαίνει να έχουμε U ( Y ) > U ( Y ). Σε μια τέτοια περίπτωση, η θεωρία χρησιμότητας προβλέπει ότι οι i j προτιμήσεις και των δύο επενδυτών i και j ως προς τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος θα πρέπει να είναι ίδιες. Έτσι, η απόλυτη τιμή της δεύτερης παραγώγου U ( Y) δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο αποστροφής στον επενδυτικό κίνδυνο που ενέχει κάποιο σχέδιο από μόνη της. Όπως γίνεται κατανοητό από τη μέχρι τώρα ανάλυση, για τον καθορισμό κάποιου αντικειμενικού μέτρου αποστροφής στον επενδυτικό κίνδυνο θα πρέπει να πληρούνται τα ακόλουθα κριτήρια: Πρώτον, το μέτρο αυτό θα πρέπει να παραμένει αμετάβλητο σε γραμμικούς μετασχηματισμούς και δεύτερον, να λαμβάνει υπόψη του την κοιλότητα της συνάρτησης χρησιμότητας U(Y). Δύο τέτοια μέτρα έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία από τους Pratt (1964) και Arrow (1971). Αυτά αναφέρονται ως Arrow-Pratt συντελεστές αποστροφής κινδύνου (risk aversion coefficients) και διακρίνονται στον απόλυτο (absolute-α) και στο σχετικό (relative-r). 4 Οι συντελεστές αυτοί ορίζονται αντίστοιχα ως U ( Y ) R A ( Y ) = και U ( Y ) YU ( Y ) R R ( Y ) =. U ( Y ) Η ύπαρξη του αρνητικού προσήμου (-) μπροστά από τους συντελεστές αυτούς κατοχυρώνει ότι αυτοί θα παίρνουν πάντα θετικές τιμές, καθώς η δεύτερη παράγωγος είναι πάντα αρνητική για κοίλες συναρτήσεις χρησιμότητας (δηλ. U ( Y) < 0). Σημειώστε ότι το αντίστροφο των παραπάνω συντελεστών χρησιμοποιείται στη βιβλιογραφία ως 4 Αυτοί επίσης αναφέρονται και ως συντελεστές αποφυγής κινδύνου. 100

μέτρο ανοχής στον επενδυτικό κίνδυνο (risk tolerance) του επενδυτή. Για το σχετικό 1 U ( Y) συντελεστή κινδύνου, το μέτρο αυτό ορίζεται ως εξής: ( ) = R ( ). R Y YU Y Οι συντελεστές αποστροφής κινδύνου των Arrow-Pratt είναι συνεπείς με τις προβλέψεις της θεωρίας για την αποστροφή στον επενδυτικό κίνδυνο. Αυτοί συνεπάγονται ότι, όσο αυξάνεται η απόλυτη τιμή της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης χρησιμότητας (που σημαίνει, όσο μεγαλύτερη είναι η αποστροφή στον κίνδυνο), τόσο μεγαλύτερες θα είναι και οι τιμές τους. 5 Ο απόλυτος συντελεστής κινδύνου, R A (Y), μετρά τον κίνδυνο ) αποστροφής σε απόλυτα μεγέθη εισοδήματος Υ, ενώ ο σχετικός συντελεστής, R R (Y, ως ποσοστό του εισοδήματος. Ως παράδειγμα, ο συντελεστής R A (Y) δείχνει ότι, αν κάποιος με εισόδημα 1000 επενδύει το ποσό των 500 σε κάποιο σχέδιο, τι ποσό θα επενδύσει όταν το εισοδημά του αυξηθεί σε 000. Ενώ, ο συντελεστής R R (Y) δείχνει το ποσοστό του εισοδήματος που επενδύεται (π.χ. 0%), σε μια αύξηση του εισοδήματος Υ. Βασιζόμενοι στην πρώτη παράγωγο των συντελεστών αποφυγής κινδύνου ως προς το εισόδημα Υ, μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τη συμπεριφορά αποστροφής στον επενδυτικό κίνδυνο σε αύξουσα (increasing), σταθερή (constant) και φθίνουσα (decreasing). Για τον απόλυτο συντελεστή κινδύνου R ( ) A Y χαρακτηρίζονται από τις ακόλουθες συνθήκες:, οι τρεις αυτές κατηγορίες συμπεριφοράς R A ( Y ) R A ( Y ) R A ( Y ) > 0, = 0 και < 0, Y Y Y αντίστοιχα. Ανάλογες συνθήκες ισχύουν και για το σχετικό συντελεστή κινδύνου, R R (Y). R A ( Y ) Η συνθήκη < 0 σημαίνει ότι όταν αυξάνεται το εισόδημα του επενδυτή, ο βαθμός Y αποστροφής του στον κίνδυνο μειώνεται. Μια τέτοια συνθήκη αντιπροσωπεύει έναν επενδυτή με ορθολογική συμπεριφορά καθώς είναι λογικό να θεωρηθεί ότι, όταν αυξάνεται το επίπεδο του εισοδήματος, ο κίνδυνος απώλειας ενός μέρους αυτού δε θα πρέπει να αποστρέφει τον επενδυτή από την ανάληψη μιας επένδυσης στο βαθμό που 5 Σημειώστε ότι στην περίπτωση που ο επενδυτής είναι ουδέτερος στον κίνδυνο (risk neutral), τότε η συνάρτηση χρησιμότητας είναι γραμμική με αποτέλεσμα και οι δύο συντελεστές αποστροφής κινδύνου να 101

αυτό συμβαίνει για μικρότερα επίπεδα εισοδήματος. Αναφορικά με το σχετικό συντελεστή αποστροφής κινδύνου, R R (Y), η ορθολογική συμπεριφορά ενός επενδυτή R R ( Y ) R R ( Y ) αιτιολογείται στις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: = 0 και < 0. Η πρώτη Y Y αντιστοιχεί στην περίπτωση εκείνη όπου ο σχετικός βαθμός αποστροφής κινδύνου δεν αλλάζει με τις μεταβολές του εισοδήματος, ενώ η δεύτερη αντιστοιχεί στην περίπτωση που αυτός μειώνεται όταν αυξάνεται το εισόδημα του επενδυτή. Έχοντας παρουσιάσει τους συντελεστές αποστροφής κινδύνου, στη συνέχεια παρουσιάζουμε διάφορες συναρτήσεις χρησιμότητας που συχνά χρησιμοποιούμε στη χρηματοοικονομική ανάλυση. Για αυτές, υπολογίζουμε τους συντελεστές αποστροφής κινδύνου και βρίσκουμε την πρώτη τους παράγωγο ως πρός το εισόδημα Υ. Εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας (Power utility function): H συνάρτηση αυτή ορίζεται ως προς το εισόδημα Υ ως εξής: 1 γ Y, γ 1 UY ( ) = 1 γ ln Y, γ = 1 Αυτή παρουσιάζεται γραφικά στο Διάγραμμα 3.4(Α) για την περίπτωση όπου γ=0.5 και γ=1. Ο απόλυτος και σχετικός συντελεστής αποφυγής κινδύνου της συνάρτησης αυτής δίνονται ως ακολούθως: RA( Y) γ = και RR ( Y) = RA ( Y) Y = γ, Y αντίστοιχα. Σημειώστε ότι ο συντελεστής γ της συνάρτησης αυτής αποτελεί το σχετικό συντελεστή αποφυγής κινδύνου. Η παράγωγος του συντελεστή R A (Y) ως προς το RA( Y) γ εισόδημα Y είναι αρνητική και δίνεται ως εξής: = < 0, που σημαίνει ότι η Y Y εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας έχει φθίνοντα απόλυτο συντελεστή αποστροφής κινδύνου (decreasing absolute risk aversion -DARA). Από την άλλη μεριά, η παράγωγος παίρνουν την τιμή μηδέν, ενώ σε περίπτωση που είναι επιρρεπής στον κίνδυνο (risk lover) τότε παίρνουν 10

του συντελεστή R R (Y) ως προς το εισόδημα Y είναι μηδέν, που σημαίνει ότι αυτή έχει σταθερό σχετικό συντελεστή αποστροφής κινδύνου (constant relative risk aversion - CRRA). ΔIAΓΡΑΜΜΑΤΑ 3.4(Α)-3.4(Β)-3.4(Γ): Παραδείγματα συναρτήσεων χρησιμότητας Εκθετική συνάρτηση Αρνητικά εκθετική συνάρτηση Τετραγωνική συνάρτηση χρησιμότητας χρησιμότητας χρησιμότητας a Y = b Αρνητικά εκθετική (exponential) συνάρτηση χρησιμότητας: Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως εξής: ay UY ( ) = e, a> 0 και η γραφική της παράσταση δίνεται στο Διάγραμμα 3.4(Β), για α=0.1 και α=0.5. Η συνάρτηση αυτή έχει τους ακόλουθους συντελεστές αποστροφής κινδύνου: R ( Y) = a και R ( Y) = ay. A R Οι πρώτοι παράγωγοι των συντελεστών αυτών ως προς το εισόδημα Υ δίνονται ως RA( Y) RR( Y) ακολούθως: = 0 και = a. Αυτοί αντίστοιχα σημαίνουν ότι η αρνητικά Y Y εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας είναι σταθερού απολύτου συντελεστή αποστροφής κινδύνου (constant absolute risk aversion -CARA) και αυξανόμενου σχετικού συντελεστή αποστροφής κινδύνου (increasing relative risk aversion -IRRA). αρνητικές τιμές. 103

H τετραγωνική (quadratic) συνάρτηση χρησιμότητας: Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως εξής: U Y ay by a b Y a b ( ) =, οπου > 0, > 0 και 0< <. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δίνεται στο Διάγραμμα 3.4Γ, για α=10 και b=0.. Όπως φαίνεται καλύτερα από αυτό, αυτή ορίζει μια συνάρτηση χρησιμότητας, με a τις γνωστές ιδιότητες μόνο για το ακόλουθο διάστημα τιμών του Υ: 0 < Y <. Αν το Υ b a βρεθεί εκτός του διαστήματος αυτού και πιο συγκεκριμένα, αν πάρει τιμές Y > τότε η b τετραγωνική συνάρτηση U ( Y ) = ay by γίνεται φθίνουσα συνάρτηση του εισοδήματος και έτσι, δεν αποτελεί συνάρτηση χρησιμότητας. Οι δύο συντελεστές αποφυγής κινδύνου της τετραγωνικής συνάρτησης χρησιμότητας R ( Y ) και R ( Y ), καθώς και οι πρώτες τους παράγωγοι ως προς το εισόδημα δίνονται ως ακολούθως: A R b by RA( Y) =, RR( Y) = a by a by RA( Y) 4 b RR( Y) b( a Y) = > 0, = > 0. Y ( a by) Y ( a by) RA( Y) RR( Y) Το θετικό πρόσημο των παραγώγων και δείχνει ότι η τετραγωνική Y Y συνάρτηση χρησιμότητας είναι αυξανόμενου απολύτου και σχετικού συντελεστή αποστροφής κινδύνου. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας που παρουσιάστηκαν παραπάνω ανήκουν στη γενική κατηγορία των υπερβολικών συναρτήσεων χρησιμότητας απολύτου συντελεστή αποστροφής κινδύνου (Ηyperbolic Absolute Risk Aversion -HARA). Η κατηγορία αυτή έχει την ακόλουθη γενική μορφή: γ 1 γ a a UY ( ) Υ b Y = +, οπου b> 0 και b+ 0. γ 1 γ > 1 γ 104

Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων b και γ της συνάρτησης αυτής, προκύπτουν όλες οι συναρτήσεις χρησιμότητας που αναφέραμε προηγουμένως. Πιο συγκεκριμένα, για γ= παίρνουμε την τετραγωνική συνάρτηση, για γ = και b=1 την αρνητικά εκθετική συνάρτηση, για b=0 και γ<1 την εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας και τέλος, για b=γ=0 τη λογαριθμική. 3.4 To σίγουρο ισοδύναμο εισόδημα και ο προσδιορισμός του ασφάλιστρου κινδύνου Η δυνατότητα που παρέχει η συνάρτηση αναμενόμενης χρησιμότητας να λαμβάνονται υπόψη οι προτιμήσεις αποστροφής στον επενδυτικό κίνδυνο στην επιλογή επενδυτικών σχεδίων, επιτρέπει τον υπολογισμό του χρηματικού ποσού κινδύνου κάθε σχεδίου, που θα συμβολίζεται στο εξής ως Π. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το ποσό αυτό απαιτείται από τον επενδυτή ως ανταμοιβή (ή ασφάλιστρο) για τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος που ενέχουν επενδύσεις σε σχέδια με αβέβαιες αποδόσεις. Για τον υπολογισμό του θα στηριχθούμε στο Διάγραμμα 3.5. Αυτό παρουσιάζει την περίπτωση μιας επένδυσης εισοδήματος (αξίας) Υ σε κάποιο σχέδιο με τις ακόλουθες καθαρές ταμειακές ροές: Y + Z1, με πιθανοτητα π1 Y + Z = Y + Z, με πιθανοτητα π όπου Z ~ αποτελεί μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που απεικονίζει τις μεταβολές του εισοδήματος του επενδυτή στις δύο καταστάσεις φύσης της οικονομίας σε σχέση με το αρχικό του επίπεδο Υ. Στην κατάσταση "1", η μεταβλητή Z ~ παίρνει την τιμή Z 1, ενώ στην "" παίρνει την τιμή Z. Τα επίπεδα χρησιμότητας που αντιστοιχούν στις δύο παραπάνω εισοδηματικές ροές του σχεδίου δίνονται αντίστοιχα ως εξής: U(Υ+ Z 1 ) και U(Υ+ Z ). H αναμενόμενη χρησιμότητα του επενδυτικού σχεδίου του Διαγράμματος 3.5 υπολογίζεται ως η σταθμισμένη μέση τιμή των δύο επιπέδων χρησιμότητας: U(Υ+ Z 1 ) και U(Υ+ Z ), δηλαδή 105

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.5: Το ασφάλιστρο κινδύνου και το σίγουρο ισοδύναμο εισόδημα ~ E U ( Y + Z )] = π U ( Y + Z ) + π U ( Y + ), [ 1 1 Z Το δε αναμενόμενο εισόδημα της επένδυσης στο σχέδιο αυτό δίνεται ως η σταθμισμένη μέση τιμή των δύο επιπέδων εισοδήματος Υ+ Z 1 και Υ+ Z, δηλαδή EY ( + Z ) = π ( Y+ Z) + π ( Y+ Z) = Y+ EZ ( ), 1 1 όπου EZ ( ) = π Z+ π Z 1 1 αποτελεί τη μέση τιμή της μεταβλητής Z ~. Από το Διάγραμμα 3.5 μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι υπάρχει ένα επίπεδο εισοδήματος, που ορίζεται ως Y + CE, το οποίο παρέχει το ίδιο επίπεδο χρησιμότητατας στον επενδυτή με εκείνο της ~ αναμενόμενης χρησιμότητας του επενδυτικού σχεδίου E [ U ( Y + Z )]. Δηλαδή, για το εισόδημα αυτό ισχύει η ακόλουθη ισότητα: EU [ ( Y+ Z )] = U( Y+ CE). (3) Στη σχέση (3), η ποσότητα CE αποτελεί μια σίγουρη εισοδηματική (ταμειακή) ροή η οποία όταν προστίθεται στο αρχικό επίπεδο εισοδήματος Υ εξισώνει το επίπεδο της 106

αναμενόμενης χρησιμότητας ~ E [ U ( Y + Z )] με εκείνο της χρησιμότητας στο επίπεδο εισοδήματος Υ+CE. Το εισόδημα αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως σίγουρο ισοδύναμο εισόδημα (certainty equivalent income), ενώ η ροή CE ως σίγουρη ισοδύναμη ροή. 6 Στην αγορά κεφαλαίου, η ροή CE μπορεί να αποτελεί τη μελλοντική αξία μιας επένδυσης σε κάποιο ομόλογο ή τραπεζικό λογαριασμό που έχουν σταθερό και εγγυημένο μελλοντικό εισόδημα. Η σχέση (3) δείχνει ότι ο επενδυτής είναι αδιάφορος μεταξύ του να αναλάβει το επενδυτικό σχέδιο με αναμενόμενο εισόδημα EY ( + Z ) ή κάποιο άλλο με σίγουρο ισοδύναμο εισόδημα. To πρώτο σχέδιο ενέχει κίνδυνο απώλειας εισοδήματος κάτω του αναμενομένου επιπέδου EY ( + Z ) ή ακόμα και του αρχικού εισοδήματος Υ αν η μεταβλητή Y + CE Z ~ πάρει μεγάλες αρνητικές τιμές. Αντίθετα, το δεύτερο σχέδιο δεν ενέχει τέτοιο κίνδυνο. Η διαφορά ανάμεσα στα αναμενόμενα εισοδήματα των δύο αυτών σχεδίων EY ( + Z ) και Y + CE ορίζει το χρηματικό ποσό κινδύνου (risk premium) Π ως εξής: Π = EY ( + Ζ ) ( Υ + CE) = E( Ζ ) CE. (4) Το ποσό αυτό απαιτείται από τον επενδυτή για να αναλάβει το επενδυτικό σχέδιο που ενέχει κίνδυνο απώλειας εισοδήματος. 7 Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 3.5, το χρηματικό ποσό κινδύνου προσδιορίζεται από δύο παράγοντες. Πρώτον, τις προτιμήσεις του επενδυτή ως προς τον κίνδυνο απώλειας εισοδήματος του και δεύτερον, την απόκλιση (ή διασπορά) των εισοδηματικών ροών του επενδυτικού σχεδίου στις δύο καταστάσεις φύσης της οικονομίας Y + Z από τη μέση τους τιμή EY ( + Ζ ). Ένα μέτρο της απόκλισης αυτής αποτελεί η Π Y + Z 1 και διακύμανση της μεταβλητής Y +Ζ, που ορίζεται ως σ +Ζ. Η οικονομική θεωρία Y 6 Επειδή το μέγεθος της σίγουρης ισοδύναμης ροής CE εξαρτάται από το αρχικό εισόδημα Υ και τις εισοδηματικές ροές της που συμβολίζονται με την τυχαία μεταβλητή Z, πολλές φορές στη βιβλιογραφία αυτή συμβολίζεται ως συνάρτηση των μεταβλητών Υ και Z, δηλαδή ως CE( Y, Z ) (βλέπε Ingersoll (1986)). 7 Όπως και για τη σίγουρη ισοδύναμη ροή (βλέπε υποσημείωση 4), στη βιβλιογραφία το ποσό κινδύνου Π ορίζεται ως συνάρτηση του εισοδήματος Υ και της ροής Z, δηλαδή Π( Y, Z ), καθώς εξαρτάται από τα μεγέθη των δύο αυτών μεταβλητών. 107

προβλέπει ότι, όσο πιο κοίλη είναι η καμπύλη χρησιμότητας (δηλαδή, υπάρχει μεγαλύτερη αποστροφή στο κίνδυνο) και μεγαλύτερη είναι η διακύμανση των εισοδηματικών ροών σ Y +Ζ, τόσο μεγαλύτερο θα είναι και το χρηματικό ποσό κινδύνου που θα απαιτείται από τον επενδυτή για να αναλάβει το σχέδιο. Η επίδραση των παραπάνω παραγόντων στο χρηματικό ποσό κινδύνου Π μπορεί να παρουσιαστεί αναλυτικά μέσω της ακόλουθης προσεγγιστικής σχέσης: Π 1 U [ E( Y + Z )] Π U [ E( Y + Z )] σ Y +Ζ 1 = + (5) R [ E( Y Z)] σ, A Y +Ζ U [ E( Y Z )] όπου RA[ E( Y Z + + )] = είναι ο απόλυτος συντελεστής αποστροφής U [ E( Y + Z )] κινδύνου. Αυτός υπολογίζεται στο μέσο επίπεδο εισοδήματος του επενδυτικού σχεδίου EY ( + Ζ ). Η σχέση (5) αποδεικνύεται στο παράρτημα του κεφαλαίου. 8 Όπως αναμενόταν από τη θεωρία, αυτή δείχνει αναλυτικά ότι το ποσό κινδύνου Π αποτελεί θετική συνάρτηση του απολύτου συντελεστή αποστροφής στο κίνδυνο R [ EY ( + Z )] και της διακύμανσης των ροών του σχεδίου σ Y +Ζ A. Αν είναι γνωστή η συνάρτηση χρησιμότητας U(.) και η κατανομή πιθανοτήτων των ταμειακών ροών του σχεδίου, τότε η σχέση (5) μας επιτρέπει να υπολογίσουμε προσεγγιστικά το ποσό κινδύνου Π και στη συνέχεια να βρούμε τη σίγουρη ισοδύναμη ροή CE. Στη συνέχεια παραθέτουμε ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού του ποσού Π και της ροής CE και δείχνουμε πόσο καλά μπορεί η σχέση (5) να προσεγγίσει την αληθινή τιμή τους. 1 γ Y ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.3: Θεωρήστε την εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας UY ( ) =, 1 γ όπου γ=. Αν το αρχικό επίπεδο εισοδήματος που επενδύεται σε κάποιο σχέδιο είναι Υ=100 και η κατανομή των ταμειακών ροών αυτού είναι η ακόλουθη: 8 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις E( Y + Z ) = Y + E( Z ) και σy +Ζ Var( Y + Z ) = Var( Z ) = σ, η σχέση (5) μπορεί επίσης να γραφεί ως εξής: 108