ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τα ύψη του, τις διαμέσους του και τις διχοτόμους των γωνιών του. Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται η απόσταση μιας κορυφής του από την απέναντι πλευρά του. Διάμεσος ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μία κορυφή με την απέναντι πλευρά και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσα μέρη. ύψος Δ Ε Μ διχοτόμος διάμεσος 70

2. Τι γνωρίζετε για τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; ια τα κύρια στοιχεία του τριγώνου γνωρίζουμε ότι: α. Κάθε πλευρά του είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων δηλ. α<β+γ, β < α + γ, γ < α + β β. Το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 ο δηλ. A + B $ + $ = 180 ο. γ β α Το σημείο τομής των τριών ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται ορθόκεντρο. Το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου ονομάζεται βαρύκεντρο. Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου ονομάζεται έγκεντρο. 3. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων; Κριτήρια ισότητας τριγώνων είναι: 1 ο Κριτήριο: Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες στις πλευρές αυτές αντίστοιχα ίσες 71

Δηλαδή για τα τρίγωνα του σχήματος. ν β = β γ = γ = τότε $ = $ γ β γ β α α 2 ο Κριτήριο: Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες γωνίες στην πλευρά αυτή αντίστοιχα ίσες Δηλαδή για τα τρίγωνα του σχήματος. α= α ν $ $ = $ = $ τότε $ = $ γ β γ β ω α φ ω α φ 3 ο Κριτήριο: Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία 72

Δηλαδή για τα τρίγωνα του σχήματος. ν α= α β = β γ = γ τότε $ = $ γ β γ β α α ια τη σύγκριση δύο τριγώνων πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσουμε τρία κύρια στοιχεία από τα οποία ένα τουλάχιστον είναι πλευρά. ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν ίσες όλες τις πλευρές τους και όλες τις γωνίες τους. 4. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων; Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν: α. Μία πλευρά και μία οξεία γωνία του ενός είναι ίσες με μία αντίστοιχη πλευρά και οξεία γωνία του άλλου. β. Δύο πλευρές του ενός είναι ίσες με δύο αντίστοιχες πλευρές του άλλου. ενικά δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν εκτός από τις ορθές γωνίες τους δύο ακόμα κύρια στοιχεία τους ίσα εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι πλευρά. 73

ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνα ( = ) και Δ το ύψος του. Να δείξετε ότι το Δ είναι μέσο της και η Δ διχοτόμος της γωνίας. 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ. Να δείξετε ότι η διαγώνιος Δ χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα. 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Κ, Λ, Μ τα μέσα των,, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. 4. Δίνεται γωνία x Ο y. Πάνω στις Οx, Oy παίρνουμε τα σημεία, και,δ αντίστοιχα ώστε Ο = Ο και Ο = ΟΔ. Να δείξετε ότι Δ =. 5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ μέσον της. Να δείξετε ότι το Μ ισαπέχει από τις πλευρές και. 6. Δίνεται τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των πλευρών του, παίρνουμε τμήματα Δ =, Ε =. Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των σημείων Δ, Ε από τη είναι ίσες. 7. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ, Ν τα μέσα των και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα μέσα Μ,Ν ισαπέχουν: α) από τη βάση β) από τις ίσες πλευρές και 74

1.2 ΛΟΟΣ ΕΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΝΤΩΝ 1. Τι γνωρίζετε για τα τμήματα που ορίζονται μεταξύ παραλλήλων ευθειών; Όταν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει Δηλαδή στο παρακάτω σχήμα : Aν ε 1 //ε 2 //ε3 = τότε = ε ε ε 1 ε 2 ε 3 πόδειξη ε 1 2 1 1 Μ Ν ε ε 1 ε 2 ε 3 Οι τρεις παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2 και ε 3 ορίζουν ίσα τμήματα = πάνω στην ευθεία ε. Θα συγκρίνουμε τα τμήματα και που ορίζουν οι παράλληλες αυτές πάνω στην ε. Φέρνουμε γι αυτό τα τμήματα Μ ε και 75

Ν ε. Σχηματίζονται τότε τα παραλληλόγραμμα ΜΆ και Ν, από τα οποία έχουμε =Μ και = Ν. ρκεί λοιπόν να συγκρίνουμε τα Μ και Ν, οπότε αρκεί να συγκρίνουμε τα τρίγωνα Μ και Ν. Τα τρίγωνα αυτά έχουν =, 1 = 1 (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων Μ και Ν που τέμνονται από την ε) και 2 = 1 (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ε 2 και ε 3 που τέμνονται από την ε). Δηλαδή τα τρίγωνα έχουν από μία πλευρά με τις προσκείμενες σι αυτήν γωνίες τους ίσες. Άρα είναι ίσα κι επομένως Μ = Ν, οπότε είναι =. 2. Τι γνωρίζετε για την ευθεία που περνάει από το μέσο πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του; Να αποδείξετε τη σχέση. Η ευθεία που περνάει από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου και είναι παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς Δηλαδή στο παρακάτω σχήμα: ν Μ μεσο τότε Ν μέσω της ΜΝ Μ Ν ε 76

πόδειξη πό το μέσο Μ της πλευράς του τριγώνου φέρνουμε ΜΝ. ν φανταστούμε από το την ε, τότε οι παράλληλες ε, ΜΝ και θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην. Δηλαδή το Ν θα είναι μέσο της. 3. Πως γίνεται η διαίρεση τμήματος σε ν ίσα μέρη, π.χ. σε 5 ίσα μέρη; ια να διαιρεθεί το σε 5 ίσα μέρη φέρνουμε μία ημιευθεία Ax και πάνω σ αυτήν 5 ίσα τμήματα. Κ = ΚΛ = ΛΜ = ΜΝ = ΝΡ (τυχαία) Ενώνουμε το Ρ με το και από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν φέρνουμε παράλληλες προς την Ρ. Τα τμήματα που ορίζονται στο είναι ίσα δηλ. = Δ = ΔΕ = ΕΖ = Ζ Δ Ε Ζ Κ Λ Μ Ν Ρ x 4. Πως ορίζεται ο λόγος 2 ευθυγράμμων τμημάτων; Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος Δ προς το ευθύγραμμο τμημα είναι ο αριθμός λ= Ο λόγος δυο ευθύγραμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, όταν έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. 77

5. Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ. Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ όταν ισχύει α γ = β δ Η ισότητα α = γ β δ λέγεται αναλογία. 6. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών; 1. ν α γ = β δ τότε α δ=β γ 2. ν α γ = β δ τότε α β = γ δ και δ γ = β α 3. ν α γ = β δ τότε α γ α+γ = = β δ β+δ 78

ΕΦΡΜΟΕΣ 1. πό το μέσο Δ της πλευράς ενός τρίγωνου φέρνουμε ΔΕ // και ΕΖ //. Να αποδείξετε οτι: α) Το Ζ είναι μεσο της β) Ε = 2 πόδειξη Δ Ε Ζ α) Στο τρίγωνο έχουμε Δ μεσο ΔΕ άρα Ε μέσο της και επειδή Ε μεσο έχουμε Ζ μέσο. ΕΖ β) Το ΔΕΖ έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο και επομένως οι απέναντι πλευρές του θα είναι και ίσες. Δηλαδη ΔΕ=Ζ λλά Ζ= άρα και 2 Ε= 2 79

2. Με τι ισούται η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα; Να αποδείξετε τη σχέση. H διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας Δηλαδή στο παρακάτω σχήμα: ν $ ο ( = 90 ) Μ:διαμεσος τότε Μ = 2 Ν Μ πόδειξη Έστω Ν το μέσο της τότε Μ μεσο Ν μεσο επομένως ΜΝ // άρα ΜΝ (αφού ). Δηλαδή το ΜΝ είναι μεσοκάθετος της. Άρα το Μ ισαπέχει από τα άκρα, οπότε Μ = Μ, δηλ. Μ = 2. 80

ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα τμήμα = 10 cm να το χωρίσετε σε τρία ίσα μέρη. 2. Δίνεται τρίγωνο και Δ, Ε, Ζ μέσα των πλευρών,, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το ΔΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. 3. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου. 4. Nα αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών του ρόμβου είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλόγραμμου. 5. Δίνεται τρίγωνο και σημείο Δ της, ώστε Δ = 1. ν Ε μέσο της 4 διαμέσου Μ να δείξετε ότι ΔΕ // και ΔE = 1 4 A. 6. Δίνετε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ το μέσον της. πό το Μ φέρνουμε παράλληλες προς τις, που τέμνουν τις, στα Δ, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΜΕ είναι ρόμβος. 7. Δίνεται τετράπλευρο Δ. πό το μέσο Μ της φέρνουμε παράλληλη στην η οποία τέμνει τη στο Ν, από το Ν φέρνουμε παράλληλη στη Δ η οποία τέμνει τη Δ στο Λ και από το Λ φέρνουμε παράλληλη στην Δ που τέμνει την στο Ο. Να δείξετε ότι το Ο είναι μέσο της. 81

1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤ. ΟΜΟΙ ΠΟΛΥΩΝ 1. Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια; Δύο πολύγωνα λέγονται όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες Ισχύει και το αντίστροφο,δηλαδή: ν δύο πολύγωνα είναι όμοια τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Ισχύει και το αντίστροφο,δηλαδή: 2. Τι ονομάζεται λόγος ομοιότητας δύο όμοιων πολυγώνων; Λόγος ομοιότητας δύό όμοιων πολυγώνων ονομάζεται ο λόγος δύο ομόλογων πλευρών του. Δύο ίσα σχήματα είναι όμοια όμως δύο όμοια σχήματα δεν είναι απαραίτητα ίσα. Δύο ίσα σχήματα έχουν λόγο ομοιότητας ίσο με τη μονάδα. Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. ν τα παρακάτω πολύγωνα είναι όμοια τότε: Ε Ε Δ Δ 82

= Ά, =, =,Δ = Δ,Ε = Ε και Δ ΔΕ Ε = = = = Δ Δ Ε Ε ια δύο όμοια πολύγωνα BΔΕ και Δ Έ συμβολικά γράφουμε BΔΕ Δ Έ. ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε αν τα παρακάτω παραλληλόγραμμα είναι όμοια. α) 12 cm 8 cm 6 cm 4 cm Δ Δ β) 15 cm 9 cm Δ 7 cm 75 o 75 o Δ 5 cm 2. Δίνεται το παραλληλόγραμμο Δ. Ο το σημείο τομής των διαγωνίων και Ε, Ζ, Η, Θ τα μέσα των Ο, Ο, Ο, ΟΔ. Να δείξετε ότι τα παραλληλόγραμμα Δ και ΕΖΗΘ είναι όμοια. 3. Δίνονται τα παραλληλόγραμμα Δ και ΚΛΜΝ για τα οποία ισχύει ΚΛ = Δ ΚΝ και + Λ = 180 ο. Να αποδείξετε ότι τα Δ και ΚΛΜΝ είναι όμοια. 4. Δύο τετράπλευρα Δ και ΚΛΜΝ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 4 7. ν η περίμετρος του Δ είναι 60 cm να υπολογίσετε την περίμετρο του ΚΛΜΝ. 83

. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ 1. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται όμοια; Δύο τρίγωνα λέγονται όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες. 2. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; (κριτήρια ομοιότητας) Δ Ε Ζ Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν δύο γωνίες του ενός τριγώνου είναι ίσες μία προς μία με δύο γωνίες του άλλου τριγώνου. Σε δύο ορθογώνια τρίγωνα όταν μία οξεία γωνία του ενός είναι ίση με μια οξεία γωνία του άλλου τότε αυτά είναι όμοια. ν ΔΕΖ με = Δ, = Ε, = Ζ τότε για να γράψουμε τις ανάλογες πλευρές εργαζόμαστε ως εξής: φού = Δ, = Ε, = Ζ γράφουμε,, Δ,Ε,Ζ και σχηματίζουμε τρείς ίσους λόγους οι οποίοι έχουν αριθμητές τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των γραμμάτων,, και παρονομαστές τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των 84

γραμμάτων Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε οι πλευρές που βρίσκονται σε κάθε κλάσμα να είναι απέναντι από ίσες γωνίες δηλ. = = ΔΕ ΕΖ Ζ ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών του,,. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και ΔΕΖ είναι όμοια και να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών τους. Ποιος είναι ο λόγος ομοιότητάς τους; 2. Στο παρακάτω σχήμα να δείξετε ότι τα τρίγωνα και ΔΕ είναι όμοια και να γράψετε την αναλογία των πλευρών τους. Ε Δ 3. Δίνεται τρίγωνο και Δ, Ε τα ύψη του. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Δ και Ε είναι όμοια και να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών τους. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο Δ και Μ, Ν τα δύο ύψη του από την κορυφή. Να δείξετε ότι Δ = Ν Μ. 5. ν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων τραπεζίου Δ ( // Δ) να δείξετε ότι: α) Ο ΟΔ = Ο Ο β) Ο Δ = Ο 85

1.6 ΛΟΟΣ ΕΜΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΤΩΝ 1. Τι ονομάζεται λόγος ομοιότητας δύο ομοίων σχημάτων; Λόγος ομοιότητας ονομάζεται ο λόγος δύο ομόλογων πλευρών των δύο ομοίων σχημάτων. 2. Τι γνωρίζετε για το λόγο των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων; Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. ν Ε 1, Ε 2 τα εμβαδά των δύο ομοίων σχημάτων τότε: Ε 1 Ε = 2 λ 2 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δύο όμοια τρίγωνα και ΚΛΜ έχουν λόγο ομοιότητας 1. Τοι εμβαδό του 2 ΚΛΜ είναι 36 cm 2. Να βρείτε το εμβαδό του. 2. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α. ν η πλευρά του αυξηθεί κατά 30% του μήκους της να βρείτε πόσο θα αυξηθεί το εμβαδό του. 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90) με = 1 cm, = 3 cm. Ένα τρίγωνο ΔΕΖ όμοιο με το έχει εμβαδό δεκαπλάσιο από το εμβαδόν του. Να βρείτε την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές του ΔΕΖ. 86

4. Δίνεται τραπέζιο Δ ( // Δ) και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ν = 6 cm και Δ = 12 cm να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων Ο και ΟΔ. 87