ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα του Θαλή. Β. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι είναι ε 1 // ε // ε 3. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή.. Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια; Να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα: ( 1) ( + ) ( 1) (4 3) + ( 1) = ( ) 3 10 + Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: ε 1 ε ε 3 Z δ 1 δ 10 3 6 4 3 + + = 0 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ. Στην πλευρά Β παίρνουμε τμήμα Β, στην πλευρά Α παίρνουμε τμήμα Ε και στην πλευρά ΑΒ Z παίρνουμε τμήμα ΑΖ, ώστε Β = Ε = ΑΖ. Να δείξετε ότι: Α. Τρίγωνο ΒΖ = Τρίγωνο Ε Β. Ζ = Ε.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 91 Α. Πότε λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα; (ορισμός) Β. ράψτε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Είναι τα ΑΒ και ΕΖ ίσα; (δικαιολογήστε την απάντηση σας) Ε Ζ Θέμα ο Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α + β) =. β. (α β) 3 =. γ. (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ). Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 16 και 5 + 4 Β. Να βρεθεί το Ε. Κ. Π. των παραστάσεων: ( 16), ( 5 + 4), (4 ). Να λυθεί η εξίσωση: 1 16 + 1 = 0 5 + 4 + 1 4 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: (y + ) 3(y 3) = y + 11 + y = y + 3 3 Να αποδείξετε ότι: εφ 54 συν 54 + συν 16 =1
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 9 Α. Τι ονομάζεται μονώνυμο, από ποια μέρη αποτελείται, τι λέγεται βαθμός του μονωνύμου και πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; (Να δώσετε παραδείγματα). Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. (α β) = β. (α + β) 3 = γ. α β = δ. α 3 + β 3 =. Να αποδείξετε τη δ. Θέμα ο Α. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0 ω 180. (Να κάνετε σχήμα) Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. ημ90 = β. συν180 = γ. εφ0 = δ. ημ60 = ε. συν45 = στ. εφ30 = ζ. ημ150 = η. συν135 = θ. εφ10 = Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 5cm, Α = 1cm, = 6cm. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Ε και ΑΒ είναι όμοια. Β. Να υπολογίσετε τα, y και να y 1cm 5cm βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους.. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών 6cm των δύο τριγώνων. Άσκηση η 3 + y + 4y = + y + 6 Να λύσετε το σύστημα: + y + 5 = 3 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα που βρήκατε. Να λύσετε την εξίσωση: + +1 +1= 3
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 93 Α. Τι γνωρίζετε για τη συνάρτηση y = α με α 0; (σχήμα) Β. Έστω η συνάρτηση y = α + β + γ, α 0. Τι παριστάνει; Θέμα ο Ποιες οι συντεταγμένες της κορυφής της; Πότε έχει ελάχιστο, πότε μέγιστο και ποιο είναι αυτό; Α. Να διατυπωθεί το Θεώρημα του Θαλή και σε σχήμα να γραφούν οι σχέσεις που το εκφράζουν. Β. Σε δύο τρίγωνα ΑΒ και Α Β έχουμε: α. α = α, β = β, Β = Β β. α = α, =, Β = Β γ. α = α, β = β, = δ. Α = Α, Β = Β, = Σε ποιες περιπτώσεις τα τρίγωνα είναι ίσα και γιατί; Α = ( 3 + 1) 1 = 3 + Α. Να παραγοντοποιηθούν οι Α, Β. Β. ια ποιες τιμές του έχει νόημα η παράσταση Α Β και κατόπιν να απλοποιηθεί.. Να λυθεί η εξίσωση Α Β = 1 Άσκηση η Έστω το σύστημα: + 3y = 3α + β y = α + β Να προσδιοριστούν τα α, β αν το (Σ) έχει λύση (, y) = (,3). Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ προεκτείνω τη βάση Β και από τις δύο μεριές και παίρνω τμήματα Β = Ε. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και Α αντίστοιχα, να δειχθεί ότι Ν = ΜΕ. Αν η Ν και η ΜΕ τέμνονται στο Κ και φέρω την ΚΖ κάθετη στην Ε, να δειχθεί ότι: το Ζ είναι μέσον της Ε.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α + β) = 94 β. (α + β) (α β) =.. γ. (α β) 3 =.. δ. (α β) (α + αβ + β ) =.. Β. Να αποδείξετε την πρώτη και την τέταρτη ταυτότητα. Θέμα ο ίνεται η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0. Να γράψετε τον τύπο της διακρίνουσας = α. Πότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις; ράψτε τον τύπο των λύσεων. β. Πότε η εξίσωση έχει μια διπλή λύση; ράψτε τον τύπο της. γ. Πότε η εξίσωση είναι αδύνατη; Να λύσετε την εξίσωση: 4 1 1 = + Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: +1 y = 1 3 + y = 6 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Από το μέσο Μ της βάσης Β, φέρνουμε τα τμήματα Μ ΑΒ και ΜΕ Α. Να αποδείξετε ότι: Α. Μ = ΜΕ Β. Το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3 α β + 3αβ + β 3. Β. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α. α αβ + β =. β. α 3 β 3 = 95 γ. (α β) (α + β) =. δ. (α + β) (α αβ + β ) = Θέμα ο Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 9( + ) 18( + 3) = 8 + 14 + 4( 1). Άσκηση η Αν για μία γωνία ω δίνεται 90 ω 180 και ημω =, να υπολογιστούν το συνω και η 3 εφω. + 6 = y Να λυθεί το σύστημα: y y + = 4 3
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 96 Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Β. Τι λέγεται παραγοντοποίηση;. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α. Ισχύει (α + β) = α + β. β. Η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει δύο άνισες ρίζες αν = 0. γ. Το πολυώνυμο P() = 010 είναι μηδενικού βαθμού. δ. Η εξίσωση 5 = 0 είναι αδύνατη. ε. Κλασματική λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει ένα τουλάχιστον κλάσμα. Θέμα ο Α. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες, τότε είναι ίσα. β. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση, τότε είναι ίσα. γ. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Α. Να λύσετε την εξίσωση: 3 + 5 = 0.. Αν η πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης να υπολογιστεί η Ρ(Α ). Αν ακόμη δίνονται Ρ(Β) = 1 και Ρ(Α Β) = 1 να υπολογίσετε την Ρ(Α Β). 6 Άσκηση η Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = 1 να υπολογίσετε: 13 13συνω συν10 Α. το συνω, Β. την εφω,. την τιμή της παράστασης Α = 5εφω Α. Να λύσετε το σύστημα: 5y = 5 + y = 54. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = 4 + + 14 + y y όπου (, y) η λύση του συστήματος του ερωτήματος Α.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 97 Α. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστή ή Λάθος δίπλα στον αριθμό της κάθε ερώτησης. α. ύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα. β. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. γ. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν δύο γωνίες και δύο πλευρές τους είναι ίσες μία προς μία. Β. α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. β. Αν είναι ε 1 // ε // ε 3 και τέμνουν τις ευθείες δ 1, δ στα σημεία Α, Β,, και Α, Β,, αντίστοιχα γράψτε την επόμενη ισότητα ορθά συμπληρωμένη: ΑΒ... =...... =...... Θέμα ο Α. Να αντιστοιχίσετε τις ταυτότητες της στήλης Α με τα αντίστοιχα αναπτύγματα της στήλης Β. Η αντιστοίχηση να γραφτεί στην κόλλα σας, γράφοντας δίπλα στο γράμμα της στήλης Α τον αριθμό που αντιστοιχεί στη στήλη Β, ως εξής: Α, Β,, ΣΤΗΛΗ Α Α. (α + β) 3 Β. (α + β)(α β). (α β). α 3 β 3 Β. Να αποδείξετε ότι (α + β) = α + αβ + β ΣΤΗΛΗ Β 1. (α + β)(α αβ + β ). α αβ + β 3. α 3 + β 3 4. α β 5. α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 6. (α β)(α + αβ + β ) 3 Έστω γωνία ω με 0 ω 180, για την οποία ισχύει συνω =. 5 Α. Η γωνία ω είναι οξεία ή αμβλεία; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Β. Να αποδείξετε ότι: α. ημω = 4 4 β. εφω = 5 3 εφω συν10. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ημω εφ135. Άσκηση η ίνονται οι παραστάσεις: Α = ( + ) + 4( + 5) και Β = 1 : 1 6 6 Α. Να αποδείξετε ότι: Α = 16. Να αποδείξετε ότι: Β = 6. Να λύσετε την εξίσωση: Α + Β = 0. ( + 3)( 1) y = + 1 ίνεται το ακόλουθο σύστημα: (y ) = y + 0 y = 4. Να αποδείξετε ότι μετά από πράξεις γράφεται στη μορφή: + 4y = 4 Β. Να λύσετε το σύστημα στη νέα μορφή.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 98 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α β) =. και (α + β)(α αβ + β ) = Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Α. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Β. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Να λύσετε την εξίσωση: 1 1 3 + = +1 3 + 6 Άσκηση η y 4 5 = Να λύσετε το σύστημα: 3 6 y = 3 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒ και Ε είναι ορθογώνια με Α = 90 και Ε = 90. Επίσης δίνονται ΑΒ = 9cm, Ε = 3cm, Ε = 5cm, ΑΕ = και = 3. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Ε είναι όμοια. Β. Να υπολογίσετε το.. Να υπολογίσετε την πλευρά Β του τριγώνου ΑΒ. 9cm 3cm 5cm -3cm
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 99 Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση η (5 + 3y) 5 ( y) = Να λυθεί το σύστημα: 4 3y = 5 8y + 1 Στο διπλανό σχήμα ισχύουν ΑΒ = ΑΕ, ΑΕ = ΑΒ και ΑΒ = 6cm, Α = 10cm, Β = 1cm, Α = 4cm. α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕ είναι όμοια. β. Να γραφούν οι ίσοι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών. γ. Να υπολογιστούν τα ΑΕ και Ε.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 100 Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0 ω 180. Β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν: α. ημ ω + συν ω = 1 β. εφω = ημω συνω Θέμα ο Α. Ποια είναι η γενική μορφή μιας εξίσωσης ου βαθμού με έναν άγνωστο; Β. Ποια παράσταση ονομάζουμε διακρίνουσα;. Να αντιστοιχίσετε τα ερωτήματα της στήλης (Α) με τις απαντήσεις της στήλης (Β) στον παρακάτω πίνακα γνωρίζοντας ότι αναφέρονται σε εξίσωση ου βαθμού: Στήλη Α ιακρίνουσα Α. > 0 Β. < 0. = 0 Στήλη Β Λύσεις εξίσωσης α. ιπλή λύση β. Αόριστη γ. Αδύνατη δ. ύο λύσεις άνισες Μία απάντηση της στήλης (Β) περισσεύει. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και ένα σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει ΟΒ = Ο. Να αποδειχθούν ότι: Α. ΟΒ = ΟΒ Β. ΑΒΟ = ΑΟ. Τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΟ είναι ίσα μεταξύ τους. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: 3 4 5 + 6 + 3 + = 0 ( + 1) + (y ) = ( 3) + (y + 1) Να λυθεί το σύστημα: + y = 1
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 101 Να αποδείξετε τις αξιοσημείωτες ταυτότητες: (α β) = α αβ + β (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 (Να γίνει σχήμα) 1 Να γίνουν οι πράξεις: α β Άσκηση η 1 + α + αβ 1 α αβ Να λυθεί το σύστημα: 3 y = 6 5 + y 3 = 4 6 Στο διπλανό σχήμα (σκαρίφημα) να 3 βρεθεί το αν είναι γνωστό ότι ισχύει Ε // Β. +1
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 10 Α. Τι λέγεται μονώνυμο και από τι αποτελείται; ώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου στο οποίο και να αναφέρετε από τι αποτελείται. Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; ώστε ένα παράδειγμα.. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς λ, μ ώστε η αλγεβρική παράσταση Θέμα ο λ y μ +3 y να είναι μονώνυμο. Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β)(α β) = (α β) 3 = α 3 + β 3 = ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και η διχοτόμος του Α. Έστω Μ τυχαίο σημείο της Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΒ είναι ισοσκελές. Άσκηση η Α. Αν 1< α < και 1< β < 5, να συμπληρώσετε τα κενά...< 3α <,.. < β <,..< 3α β < (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: + 5 < 1 1 + και +1 > + 3 Να εξετάσετε αν έχουν κοινή λύση οι εξισώσεις: 3 5 + = 0 και 3 3 7 1 3 = 4.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 103 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα που αναφέρεται σε ίσα τμήματα μεταξύ παράλληλων ευθειών. Β. Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων. Θέμα ο Α. Να αποδείξετε τη σχέση ημ ω + συν ω = 1 (να γίνει σχήμα). Β. Ο τύπος εφω = ημω ισχύει για τις γωνίες των 0, 90 και 180 ; Να δικαιολογήσετε την συνω απάντησή σας.. Να γράψετε τους τύπους που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών. Α. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: Α = 4 + 8 4 3 4 + 8 3 6 και Β = 8 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Α Β =1. Άσκηση η Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) φέρ- νουμε το ύψος ΑΚ προς την υποτείνουσα. Από το Κ Κ φέρνουμε την ΚΛ κάθετη στην ΑΒ. Να αποδείξετε: Α. ότι τα τρίγωνα ΑΚ, ΑΚΛ είναι όμοια και Β. ότι ΑΚ = Α ΚΛ. Λ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + β + 3 διέρχεται από τα σημεία 1 7 Α(, 5) και Β,. Να βρείτε τα α, β και στη συνέχεια για α = 1 και β = να 4 βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της παραπάνω συνάρτησης με τους άξονες και y y (υπολογιστικά).
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 104 Α. Να δώσετε τον ορισμό της ταυτότητας. Β. Να συμπληρώσετε και στη συνέχεια να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 =... Να χαρακτηρίσετε σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω σχέσεις: α. (α β) = (β α) β. ( α β) = (α + β) γ. α β = (α + β)(β α) Θέμα ο Α. Με τη βοήθεια κατάλληλου σχήματος να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας αμβλείας γωνίας ω. Β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ180 =.. συν(180 ω) = εφ90 =... Να χαρακτηρίσετε σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις σχέσεις: α. ημ ω = 1 + συν ω β. αν ω = 110 τότε συνω >0 Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = ( + 3 + ) + 4 + 4 4 8 και Β = 8 Β. Να λύσετε την εξίσωση: Β Α = 0 Άσκηση η ίνεται το πολυώνυμο 3 + α + β 6. Να βρείτε τα α, β αν η αριθμητική τιμή του για = 1είναι 0 και για = 3 είναι 4. +1 Στο διπλανό σχήμα είναι Ε // Β. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΒ είναι όμοια. 6 Β. Να υπολογίσετε το μήκος.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 105 Α. ια κάθε πραγματικό αριθμό α και β να δείξετε ότι: (α β) = α αβ + β Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: (α + β) =. (α β) 3 = (α β)(α + αβ + β ) = Θέμα ο Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) y τέτοιο ώστε να είναι OM = ωκαι ΟΜ = ρ. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθ- M(, y) ρ ω μούς της γωνίας ω συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου Μ και να γρά- y ψετε τη σχέση του ρ με τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει η ισότητα: ημ ω + συν ω = 1 Να λύσετε την εξίσωση: 3 + Άσκηση η 11 10 4 = Να λύσετε το σύστημα: (y +1) 1 = 4 3 4 + y + 8 = ( y) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης Β. Αν είναι Β = Ε, να αποδείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές Β. τα τρίγωνα ΑΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. M
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 106 Α. Να αποδείξετε ότι: (α + β) = α + αβ + β Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της 1 ης στήλης με τα στοιχεία της ης : 1 η Στήλη η Στήλη 1. (α + β). (α β) 3. (α + β) 3 4. α β 5. (α β) 3 Α. α αβ + β Β. (α β)(α + β). α 3 3 α β + 3αβ β 3. α + αβ + β Ε. α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. Β. Να γίνει σχήμα και να γραφτούν οι αντίστοιχες σχέσεις. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης Β. Αν είναι Β = Ε να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. Άσκηση η M Να λύσετε την εξίσωση: + 3 3 = ( +1) 9 y = 6 Να λύσετε το σύστημα: 3 y = 14 4
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 107 Α. Τι είναι μονώνυμο, ποια τα μέρη του και πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; Να δώσετε παράδειγμα. Β. Να βρεθεί και να αποδειχθεί το ανάπτυγμα στις παρακάτω δύο ταυτότητες: Θέμα ο (α + β) και (α + β) 3 Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνου καθώς και τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ( 1) + 3y = 3 Να λυθεί το σύστημα: 3 5(y 1) = 6 Άσκηση η Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α. + β. 3 6 γ. Β. Να λύσετε την εξίσωση: 4 + 5 + = 3 6 Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τo τμήμα Ε παράλληλο στη Β. Αν είναι ΑΕ =, Α = 30, Β = 18 και Ε = 4 να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα Α και Ε. 18 30 4
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 108 Α. Να διατυπώσετε το νόμο των Ημιτόνων, Συνημιτόνων σε ένα τρίγωνο. Β. Σε τρίγωνο ΕΖ να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ με το νόμο των Συνημιτόνων και μετά να επιλύσετε τον παραπάνω τύπο ως προς το συνημίτονο της γωνίας. Θέμα ο ίνεται η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 Α. Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν τη ιακρίνουσα και τις λύσεις της εξίσωσης. Β. ια τις διάφορες τιμές της ιακρίνουσας να διακρίνετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης. Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΑΒ = 3, Α = 3+, Α = 60, = 30 και Β = 45. - 3 60 + 3 45 Α. Να αποδείξετε ότι Β = 3 Β. Να υπολογίσετε τη Β. Άσκηση η ίνονται οι παραστάσεις: Α = 4 = + 4 + 4 = Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραπάνω παραστάσεις. 30 Β. Να λυθεί η εξίσωση: 1 Α + 1 Β + 1 = 0 Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τη διχοτόμο Α της γωνίας Α και από την κορυφή Β φέρνουμε τη ΒΚ κάθετο στη διχοτόμο Α η οποία τέμνει την Α στο Ε. Α. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι K ισοσκελές. Β. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α β) = (α + β) 3 = 109 (α + β) (α β) = Β. Να αποδείξετε την τελευταία ταυτότητα. Θέμα ο Α. Πότε δύο τρίγωνα λέμε ότι είναι ίσα; Β. ιατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να σχεδιάσετε το αντίστοιχο σχήμα. Να λυθεί το σύστημα: +1 3 + y 1 = 5 3( 1) (y 6) = 15. Άσκηση η Α. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: 3 + 3, 1,.. Αφού αντικαταστήσετε τα πολυώνυμα που παραγοντοποιήσατε, να λύσετε την εξίσωση: 3 + 3 1 =.. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) είναι: το μέσο της ΑΒ, το Ε μέσο της Α και το Μ μέσο της Β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΜ και ΕΜ είναι ίσα.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 110 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες: Α. Το άθροισμα μονωνύμων είναι μονώνυμο. Β. Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο.. Το πηλίκο μονωνύμων είναι μονώνυμο.. Το μηδενικό μονώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Ε. Το σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. ΣΤ. Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο μ αυτά. Θέμα ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) τέτοιο ώστε να είναι ΟΜ = ρ και ΧΟΜ = ω. Να αποδείξετε ότι: Α. ημ ω + συν ω = 1 και Β. εφω = ημω συνω. 10 Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η + = 1 + +. O y ρ ω M(, y) + y y = Να λυθεί το σύστημα: 3 3 3( ) (y 1) = 1 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Από το μέσο Μ της βάσης Β φέρνουμε τις κάθετες Μ ΑΒ και ΜΕ Α. Α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΒΜ και ΕΜ και να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. M Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 111 Α. Να γράψετε τη γενική μορφή εξίσωσης ου βαθμού και τον τύπο που δίνονται οι λύσεις της. Β. Να εξετάσετε χωρίς να λυθούν, ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν λύσεις Θέμα ο (και πόσες) και ποιες είναι αδύνατες: 4 4 +1 = 0, + 5 = 0, 3 + 10 = 0. Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή (σχήμα) Β. Στο διπλανό σχήμα ε 1 // ε // ε 3. Να συμπληρώσετε τις αναλογίες: ΑΒ Β =., Α ΑΒ =.., Β Α =. Να λύσετε την εξίσωση: Άσκηση η +1 ( + ) + 1 +1 = 1 + 3 + δ 1 Z δ ε 1 ε ε 3 Να λυθεί το σύστημα: 5 y +1 = 3 3 ( + 4) 3(y 6) = 4 Αν συνω = 4 και 90 ω 180. 5 Α. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Β = 10συνω 8εφω + 5ημ(180 ω).
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 11 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή (σχήμα αναλογία). Β. Αν Ε // Β ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι Σωστές και ποιες Λάθος; α. β. γ. δ. Α Β = ΑΕ Ε Α ΑΒ = Α ΑΕ Β Ε = Α ΑΕ Β Ε = ΑΒ Α Θέμα ο Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α β)(α + β) = (α β) 3 = α 3 + β 3 = Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β Να λυθεί η εξίσωση: 1 + = 8 Άσκηση η ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Προεκτείνω τις πλευρές ΑΒ και Α προς το μέρος των Β και αντίστοιχα κατά ίσα τμήματα Β = Ε. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης Β, να δείξετε ότι Μ = ΜΕ. Να λυθεί το σύστημα: 1 y 1 + = 3 6 ( 1) + 4y = 3y
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 113 Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Συμπληρώστε τις ισότητες: α. α 3 β 3 =.. β. α 3 + β 3 =.. γ. α β =. Αποδείξτε ότι: (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο ιατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή κάνοντας και το αντίστοιχο σχήμα. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών να λυθεί η εξίσωση: 1 1 + 1 = 4 Άσκηση η Βρείτε τις πραγματικές τιμές των και y λύνοντας το σύστημα: 1 y + = 3 3 y = 11 Αν για την οξεία γωνία ω γνωρίζουμε ότι ημω = 3, υπολογίστε την τιμή της παράστασης: 5 10 ημω 5 συνω 1 εφω
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 114 Α. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α β) = α αβ + β Β. Χαρακτηρίστε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τα παρακάτω: α. (κ λ) = κ κ( λ ) + ( λ ) β. ( κ)( + κ + 4κ ) = 3 8κ 3 γ. y 9 = (y 3)[y + ( 3 )] Θέμα ο cm Α. ιατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή (κανόνας σχέση σχήμα). ε Β. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος, αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α με αυτά της στήλης Β: Είναι ΑΒ // ε // ΑΜ =, Μ = 4. M 4cm ΣΤΗΛΗ Α α. ΒΜ Μ β. Μ Β γ. Β ΒΜ δ. ΒΜ Β ΣΤΗΛΗ Β 1. 1. 3 3. 3 4. 3 5. 1 3 Α. Λύστε την εξίσωση: ( ) = 3 Β. Παραγοντοποιήστε το τριώνυμο: 3. Αν 1 η μικρότερη λύση της (α) και η μεγαλύτερη, να αποδείξετε τη σχέση: 9( 1 ημω) + ( συνω) = 9 Άσκηση η Α. Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων: (α + 3) (β 1) = 10 3(α 1) + (β + 3) = 11 Β. ια τις τιμές των α, β που βρήκατε στο (α) ερώτημα να λύσετε την εξίσωση: β +1 + α 1 β = 0 Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Α. να αναφέρετε το κριτήριο βάσει του οποίου τα τρίγωνα ΑΒ και Ε είναι ίσα 4 α Β. να βρείτε το μήκος α της πλευράς Ε. αν α = 4 να απλοποιήσετε την παράσταση Κ αφού πρώτα παραγοντοποιήσετε τον ( 5) + α + αριθμητή της : Κ =. 9 α β γ δ 3 3
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 115 Α. Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται αντίθετα;. Τι λέγεται συντελεστής ενός μονωνύμου; Θέμα ο Α. Αν ω και 180 ω είναι παραπληρωματικές γωνίες, να χαρακτηρίσεις κάθε μία από τις παρακάτω ισότητες, με (Σ) αν είναι σωστές και με (Λ) αν είναι λανθασμένες: α. ημ(180 ω) = ημω β. συν(180 ω) = ημω γ. εφ(180 ω) = εφω Να λύσεις την εξίσωση: 7 + = 6 Άσκηση η Να παραγοντοποιήσεις το πολυώνυμο: 10 + 5 ω = Στο τραπέζιο ΑΒ είναι: ΕΖ // ΑΒ //, ΑΕ = 6m, Ε = 10m, Β = 4m, ΒΖ = και Ζ = y. Να υπολογίσεις τα μήκη των τμημάτων και y. 6cm 10cm Z y
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 116 Α. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α. (α + β) =.. β. α 3 β 3 =.. γ. (α β)(α + β) = Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Α. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; Β. Ποια είναι τα κύρια και ποια τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τυχαίου τριγώνου; Να λυθεί η εξίσωση: 1 + = 10 Άσκηση η ίδεται το σύστημα: α βy = 4 (α + 3) + (β + )y = 45 + Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε το σύστημα να έχει λύση το ζεύγος: (, y) = (5, ) ίδεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με (ΑΒ = Α). Προεκτείνουμε τη βάση Β κατά τμήματα Β = Ε, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΑΒ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΕ Β. το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. (α β) =. β. (α β) 3 =. 117 γ. (α + β) (α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη ισότητα. Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή (σχήμα) Β. ια δύο σημεία, Ε των πλευρών ΑΒ, Α αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒ ισχύουν οι προτάσεις: α. Αν Ε // Β τότε β. Αν Α Β = ΑΕ Ε τότε Να συμπληρώσετε τις προτάσεις (σχήμα). Να λύσετε την εξίσωση: ( 1) ( + ) = ( + )( ) + (5 ) Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: ( 3y) (3 5y) = 1 3( ) (y +1) = 4 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90 ) και Α το ύψος του. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Α είναι όμοια. Αν Α = 4 cm και Β = 5 cm, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 118 Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Β. Να αποδείξετε ότι: ημω + συνω =1. Θέμα ο Α. Συμπληρώστε την ισότητα (α β) = Β. Συμπληρώστε την ισότητα (α β)(α + αβ + β ) =. Να αποδείξετε ότι (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η 1 y 1 + = 3 3 y 1 1 +1 = 3 3 Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: Α = 7 + 7 και Β = 3. Να απλοποιηθεί το κλάσμα Α Β. Να λυθεί η εξίσωση: Α Β = 7. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ, προεκτείνουμε τη βάση Β κατά Β = Ε. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές. Να συγκρίνετε τις αποστάσεις των Β και από τις Α και ΑΕ αντίστοιχα.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 119 Α. Τι λέγεται ταυτότητα; ΘΕΜΑΤΑ Β. Να γράψετε 5 ταυτότητες συνδέοντας με = τις παραστάσεις της Ομάδας Α με τις σωστές παραστάσεις από την Ομάδα Β. ΟΜΑΑ Α (α + β)(α αβ + β ) (α + β) (α β)(α + αβ + β ) (α + β) 3 (α + β)(α β) ΟΜΑΑ Β α + β α 3 + β 3 α β α 3 β 3 α + αβ + β α 3 + 3 α β + 3αβ + β 3. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: (α β) = α αβ + β (α β) 3 = α 3 3 α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Α. Ποια πρόταση λέγεται θεώρημα του Θαλή; (σχήμα και προτάσεις) Β. Να αναφέρετε την εφαρμογή του θεωρήματος Θαλή στο τρίγωνο (σχήμα και πρόταση). ίνονται οι παρακάτω εξισώσεις. Να δείξετε ότι μόνο μία από αυτές δεν είναι αδύνατη και να βρείτε τις λύσεις της: 3 + 5 = 0, 3 5 + 4 = 0, 3 5 + = 0 Άσκηση η ίνεται τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α = 8m, β = 9m και γ = 10m. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, Β και του τριγώνου. 3y + 14 = 4 Να λύσετε το σύστημα: +1 y + 8 = 3 5
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 10 Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3. Να γράψετε σε παραγοντοποιημένη μορφή τις παραστάσεις (μόνο το αποτέλεσμα): Α. α αβ + β = Β. α β =. α 3 + β 3 = Θέμα ο Α. Με τη βοήθεια του σχήματος να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω (ημω, συνω, εφω). M(, y) ρ Β. Να αποδείξετε ότι, για μια γωνία ω με 0 ω 180, ισχύει: O y ω ημ ω + συν ω = 1 Να λύσετε την εξίσωση: +1 1 3 = 3 Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: 3( y) + ( y) = 6 + y y 1 = 5 10 Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκε- λές με ΑΒ = Α και το σημείο Μ είναι μέσο της Β. Επίσης ισχύει ότι Β = Ε. Να αποδείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές. Β. τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕ είναι όμοια. M
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα;. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α β = (α β) 3 =. Αποδείξτε την ταυτότητα: Θέμα ο (α β) = α αβ + β 11 Α. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τυχαίας γωνίας ω με 0 ω 180 Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα ημ ω + συν ω = 1. (Να γίνει το κατάλληλο σχήμα). Α. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 5 + 6 Α = και Β = 6 Β. Να λυθεί η εξίσωση: Α + Β = 4 όπου Α και Β οι απλοποιημένες παραστάσεις του α ερωτήματος. Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 3 + y + 5 = 1 4 6 4y ( y) = +, ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Στις προεκτάσεις της βάσης Β παίρνουμε αντίστοιχα σημεία και Ε τέτοια ώστε Β = Ε. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕ είναι ίσα. Β. Το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 1 Α. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με βάση τις συντεταγμένες του σημείου Μ(, y) y α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς M(, y) της γωνίας ω = ομ. β. Να αποδείξετε την ισότητα: εφω = ημω συνω. ρ ω y γ. Υπάρχει γωνία, ώστε ημω = 0 και συνω = 0; (Να υπάρξει δικαιολόγηση). Θέμα ο Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: α β =. α β β α Β. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: α 3 β 3 = α β α αβ β. Είναι σωστή η ισότητα: α β = β α ; Να λυθεί η εξίσωση: 6 8 = 0 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 4 y y 1 = 3 3 3 9y 1 =1 4 Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ κάθε πλευρά είναι 8cm και τα ΑΖ, Β, Ε είναι 3cm. Να αποδείξετε ότι το τρί- Z γωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο. Ε
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: 13 α. (α β) = β. (α + β) 3 = γ. (α + β)(β α) = Β. Να συμπληρωθεί και να αποδειχθεί η ταυτότητα: α 3 β 3 = Θέμα ο Α. Να διατυπωθούν τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων (κανόνας και σχήμα για κάθε περίπτωση) Β. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια (κανόνας). Τα όμοια τρίγωνα είναι και ίσα; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Α. Να παραγοντοποιηθούν και να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: Α = 4 + 4 4 Β = 4 + 4 4 = 3 Β. Να λυθεί η εξίσωση: Α + Β = όπου Α, Β και οι απλοποιημένες παραστάσεις του πρώτου ερωτήματος. Άσκηση η 3 y =11 Να λυθεί το σύστημα: 1 y + = 3 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ(ΑΒ = Α). Από τα μέσα και Ε των ΑΒ, Α αντίστοιχα φέρνουμε Μ και ΕΝ κάθετα στη Β. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΒΜ και ΕΝ είναι ίσα. Β. Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΒ είναι όμοια. M N
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 14 Α. Να συμπληρώσετε τις σχέσεις που ακολουθούν ώστε να προκύψουν γνωστές ταυτότητες: α. (α + β) = β. (α + β) 3 = γ. α β =. δ. α 3 β 3 =. Β. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) =... Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ): α. (α β) 3 = α 3 β 3 β. + (α + β) + αβ = ( α)( β) Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Β. Να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα και να γράψετε τη σχέση που το εκφράζει.. Στο διπλανό σχήμα είναι Ε // Β. Να γράψετε τη σχέση που ισχύει λόγω αυτής της παραλληλίας. ίνονται οι εξισώσεις: 9 5 = 0 και 4 + 4 +1 = 0.. Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις. Β. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: 9 5 = 0 και 4 + 4 + 1 = 0 9 5. Να απλοποιήσετε το κλάσμα. 4 + 4 +1 Άσκηση η Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = ημ150 + συν160 ημ30 + συν0 + εφ130 + εφ50. ίνεται το σύστημα: 5 y +1 + = 3 3 + 4 y 6 = 4 3 α + βy = γ Να το φέρετε στη μορφή, α + β y = γ και στη συνέχεια να το λύσετε.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 15 Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες: α. (α β) (α + β) = β. (α β) (α + αβ + β ) = γ. (α β) 3 = δ. (α + β) = Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3 α β + 3 αβ + β 3 Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. Β. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή (δώστε το σχήμα και τη σχέση που ισχύει). Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: 3 + 3 + 4 = 5 + 1 Άσκηση η ( 1) 3(y + ) = 4 Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: 5 4(y ) = 3( + 5) Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α = ημ135 συν10 εφ150 = Β = ημ45 συν135 εφ60 εφ150
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 16 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β) =. (α + β) 3 =. (α + β)(α β) =. Β. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) =. Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές και (Λ) αν είναι λανθασμένες: α. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. β. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. γ. Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. Να κάνετε τις πράξεις στην παράσταση: ( + 3) + ( ) ( 1)( + 1) Άσκηση η + y = 1 Να λύσετε το σύστημα: + 4 y 6 = 1 3 Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει συνω = 3, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνο- 5 μετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 17 Α. ώστε τον ορισμό του μονώνυμου. Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: α. (α β) 3 =. β. α 3 β 3 =... Να αποδείξετε ότι (α β) = α αβ + β Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. Β. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή.. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω είναι: ημ ω + συν ω = 1. ίνονται τα πολυώνυμα: Α() = ( ) +1 +( ) [( 4) + 4] και Β() = ( + 5) ( + 5).. Να αποδείξετε ότι Α() = + 1.. Να παραγοντοποιήσετε τα Α() και Β() και να απλοποιήσετε την παράσταση () = Α() Β(), δείχνοντας ότι ισούται με 1. ( + 5)( +1). Να λύσετε την εξίσωση () = 1 δείχνοντας ότι οι ρίζες της είναι το και το 3. Άσκηση η Α. Να λυθεί το σύστημα: y 1 = 3 y y = 4 δείχνοντας ότι η λύση του είναι (, y) = (, 4 ). Β. ια τις τιμές των και y του πρώτου ερωτήματος να αποδείξετε ότι: ( α β) + y( β + α) = [α(α 6β) + β ]. Να αποδείξετε ότι η λύση του συστήματος του πρώτου ερωτήματος είναι κορυφή της τετραγωνικής συνάρτησης y = + 4. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με βάση Β. Αν Μ μέσο της Β και Ρ και Ν μέσα των ΑΒ και Α αντίστοιχα, τότε: Α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΜΡ και ΜΝ είναι ίσα. Β. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΝ και ΑΒ είναι όμοια με λόγο λ = 1.. Αν ω = ΝΜ και συνω = λ + 3 συνω + ημ(180 ) εφω να αποδείξετε ότι: 10 εφω συν(180 Β) = 13 31.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 18 Α. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β) = α β =. (α β) = (α + β) 3 =.. Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3. Πότε ισχύει ο τύπος: (α + β) = α + β Θέμα ο Να γράψετε: Α. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους ( κριτήρια ισότητας τριγώνων) Β. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους (κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων). Σε τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ < Α) προεκτείνουμε την ΑΒ προς το μέρος του Β και παίρνουμε σημείο έτσι ώστε Α = Α. Στην πλευρά Α παίρνουμε σημείο Ε, έτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι Ε = Β. Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: 4 3( ) = + 5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β: Α = (ημ5 + συν5 ) + (συν155 + ημ155 ) Β = ημ 4 α συν 4 α + συν α
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 19 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. Β. Αν Ε // Β, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), α. γ. αν είναι λανθασμένες: Β Ε = ΑΒ Α ΑΒ Α = Α Ε Θέμα ο β. δ. Α Β = Ε ΑΕ Α ΑΒ = ΑΕ Α Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες των παρακάτω αξιοσημείωτων ταυτοτήτων και στη συνέχεια να τις αποδείξετε: α. (α β) = β. α β = γ. (α + β) = Β. Επιλέξτε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: Σ - Λ α. Ισχύει πάντα ότι: (α β) = ( α + β) 1 β. Ισχύει ότι: + = 1 + + γ. Ισχύει ότι: (5ω + 4) = 5ω + 16 δ. Ισχύει ότι: (3 y) = 3 3 y + y Να λύσετε τα συστήματα: Α. Άσκηση η 3 7y =1 4 + y = 53 Α. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις:. 5( + y) (3 +11y) =14 7 9y 3( 4y) = 38 α. 9 16 β. 4 + 4 +1 γ. y + y δ. + 3 + ε. 1 α + βγ + α β γ 1 Β. Να λύσετε την εξίσωση: + 3 + +1 + 4 = 1 +1 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ(ΑΒ = Α) και Μ το μέσον της βάσης Β. Από το Μ φέρνουμε τα τμήματα Μ και ΜΕ κάθετα προς τις πλευρές ΑΒ και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΒΜ και ΕΜ είναι ίσα, Β. Το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές.
(α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 130 Α. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου και τι ονομάζεται ύψος ενός τριγώνου; Β. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα τρίγωνα; (Να μη δικαιολογήσετε την απάντησή σας). 80 80 Α 70 70 70 60 80 Z 80 60 70 Z Ε Ζ Ε Ζ Θέμα ο Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Να γράψετε 5 αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε (εκτός από την ταυτότητα του ερωτήματος γ).. Αποδείξτε την ταυτότητα: Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η y 1 + y 1 = 6 6 3 + = + 3 (y 1) ( ) ( ) y 1 Να λυθεί η εξίσωση: 3 +1 3 + 4 5 = 13 +1 8 +15 y +1 H y Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι ΕΖ // Β και ΖΗ //. Να υπολογίσετε τα τμήματα 10cm 8cm Z 6cm και y.
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 131 Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) τέτοιο ώστε ΧΟΜ = ωκαι ΟΜ = ρ. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Β. Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω =1.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ ή Λ: Ο y y ω z M(, y) α. Εάν ημ ω = 3 5 τότε συν ω = 5 β. συν180 = 1 γ. ημ150 = ημ30 δ. Εάν συνω = 0 τότε εφω = 0 Θέμα ο Α. Τι λέγεται παραγοντοποίηση; Β. Αποδείξτε ότι: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 προτάσεις με την ένδειξη Σ ή Λ: α. α 3 β 3 = (α + β)(α αβ + β ) β. (α + β)(α β) = β α γ. Ισχύει +1 = +1 για κάθε 0 δ. Το Ε. Κ. Π. των 6 y, 3y, 1 είναι 1 y. Α. Να λυθεί η εξίσωση: ( +1) + 3( 1) = 7( + 3) 3 1 Β. Να λυθεί η εξίσωση: + 1 =. Να λυθεί η εξίσωση: κ 7 + λ + = 0 όπου κ η λύση που βρήκατε στο (α) και λ η λύση που βρήκατε στο (β). Άσκηση η ίνεται γωνία Oy και στις πλευρές της Ο, O Οy τα σημεία Α, και Β, αντίστοιχα ώστε: ΟΑ = ΟΒ, Ο = Ο. είξτε ότι: Α. ΟΒ = ΟΑ ίνονται οι παραστάσεις: Β. ΚΑ = ΚΒ. ΑΒ // K y Α = ημ30 + συν45 + 3 ημ60 Β = 5 (ημ70 ημ110 συν70 συν110 ) Α. είξτε ότι Α = 3, Β = 5 Β. Εάν ημω = Α, όπου Α, Β οι τιμές του (α) ερωτήματος και ω αμβλεία, βρείτε το συνω και Β την εφω. 5 ημ(180 ω) 5 συν(180 ω). Υπολογίστε την παράσταση: Κ =. 4 εφ(180 ω) 3
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 13 Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Να αποδείξετε ότι: (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τις σχέσεις: α. ( y) = + y + y β. ( + α) (4 + α + α ) = 8 + α 3 γ. (α β) 3 = (β α) 3 δ. ( y) ( + y) = y Θέμα ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y), τέτοιο ώστε να είναι γωνία ΟΜ = ω και ΟΜ = ρ. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Β. Με την προϋπόθεση ότι συνω 0 να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω.. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ημ(180 ω) = συν(180 ω) = εφ(180 ω) =.. ( + ) + (y 1) (y 1) (y + 1) = y (y + 1) + Να λυθεί το σύστημα: y 1 = 3 3 Άσκηση η Α. Αφού πρώτα βρείτε τις τιμές για τις οποίες ορίζονται, να απλοποιήσετε τα κλάσματα: Κ = 3 3 16 8 + 8 και Λ =. 18 ( ) Β. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: ίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Στις προεκτάσεις της βάσης Β παίρνουμε σημεία, Ε έτσι ώστε Β = Ε. Αν είναι Κ ΑΒ, ΕΛ Α και ΑΖ Β. Να αποδεί- M(, y) Λ + 3 = 3 + Κ 9 ρ y ω y ξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕ είναι ίσα. Β. Τα τρίγωνα ΒΚ και ΕΛ είναι ίσα.. Τα τρίγωνα ΒΚ και ΑΒΖ είναι όμοια και να γράψετε τους αντίστοιχους λόγους ομοιότητας. K Z Λ