Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηα ασκήσεω //006 Μελέτη οοδιάστατου στοιχειακού στερεού ε δύο τροχιακά αά άτοο ε χρήση υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ Θεωρούε δύο τροχιακά αά άτοο, π.χ. έστω τα s και p x. ηλαδή φ, φ s (r-r ) και φ, φ p (r-r ) Για τα ατοικά τροχιακά θα θεωρήσουε ότι: - είαι ορθοκαοικοποιηέα, + * φi, () r φj, () r dr = δijδ δηλαδή ότι το τροχιακό κάθε ατόου είαι καοικοποιηέο, εώ διαφορετικά τροχιακά ή τροχιακά διαφορετικώ ατόω δε έχου καθόλου αλληλοεπικάλυψη. - αλληλεπιδρού όο έχρι πρώτους γείτοες, ε τα εξής στοιχεία ήτρας α είαι η ηδεικά,, dx = ε,, dx = ε,, + dx = V = V γιατί V <0,, dx = V + (συήθως V 0 ) >,, dx = V +,, dx = V + Σχηατικά πορούε α συβολίσουε τα τροχιακά φ, φ ως εξής (δεδοέου ότι η φ είαι σφαιρικά συετρική και πατού θετική, εώ η φ έχει κατευθυτικότητα κατά το άξοα x, εφόσο πρόκειται για τη p x και έα σηείο ηδεισού, εκατέρωθε του οποίου αλλάζει πρόσηο): φ φ Επίσης πορούε α θυόαστε ποιά είαι τα η ηδεικά στοιχεία ήτρας της Χαιλτοιαής, από το παρακάτω σχήα: V V V V σελ.
Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Χρήση τω υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ: Ορίζουε τα χ, (, +, ) = και = ( ) τα οποία σχηατικά συβολίζοται ως εξής: χ,,, χ και χ Σκοπός ας είαι α χρησιοποιήσουε τα χ, χ, ατί τω φ, φ, ως βάση στη οποία θα γράψουε τη κυατοσυάρτηση Ψ. Χρειάζεται εποέως α βρούε τα στοιχεία της ήτρας της Χαιλτοιαής σ αυτή τη βάση. Κάθε τέτοιο στοιχείο ήτρας θα περιγράφει αλληλεπίδραση εταξύ δύο τροχιακώ συγκεκριέω ατόω. Για γειτοικά άτοα, θα έχουε, σχηατικά: χ, χ,+ περιγράφεται από το χ, χ, dx + χ, χ,+ περιγράφεται από το χ, χ, dx + χ, χ,+ περιγράφεται από το χ, χ, dx + χ, χ,+ περιγράφεται από το χ, χ, dx + Σε ία πρώτη προσέγγιση θα αγοήσουε (θα θεωρήσουε ηδεικά) όλα τα στοιχεία, εκτός του χ, χ, dx, το οποίο ααφέρεται σε τροχιακά τα οποία + «πλησιάζου» πιο πολύ εταξύ τους... Εποέως = + = ( V V V V ) V χ, χ, dx= (, +, ) (,, ) dx= + + +,, + dx,, + dx,, + dx,, + dx = Αποδεικύεται ότι η προσέγγιση αυτή είαι ισοδύαη ε τα: V = V V = V σελ.
Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Για το ίδιο άτοο έχουε: χi, χi, dx =, ±,, ±, dx = =,, dx±,, dx±,, dx+,, dx = = ( 0 0 ) ε ± ± + ε ε χ, χ, dx =, +,,, dx = =,, dx,, dx+,, dx,, dx = = ( ε 0+ 0 ε) V ( ) ( ) ( ) ( ) Όροι που ααφέροται σε αλληλεπίδραση ατόω που απέχου παραπάω από πρώτοι γείτοες είαι ηδεικοί. Επίσης τα ολοκληρώατα επικάλυψης είαι χ χ i, j, dx = δi, j δ, (i,j=,) Έτσι... ο βήα: Γράφω τη κυατοσυάρτηση του στερεού ως γραικό συδυασό τω τροχιακώ της βάσης Ψ= c, χ, + c, χ, (σχέση ) ο βήα: Εξίσωση Schrödinger Ψ = Ε Ψ c χ + c χ = c χ + c χ,,,,,,,, 3 ο βήα (α): Πολλαπλασιάζω από αριστερά ε χ, και ολοκληρώω για - < r < c χ χ dx + c χ χ dx = c χ χ dx + c χ χ dx,,,,,,,,,,,, Από το άθροισα θα επιζήσου οι όροι για =,, καταλήγοτας σε: c c V + c V = c (σχέση α), ε,, +, 3 ο βήα (β): Πολλαπλασιάζω από αριστερά ε χ, και ολοκληρώω για - < r < c χ χ dx + c χ χ dx = c χ χ dx + c χ χ dx,,,,,,,,,,,, Από το άθροισα θα επιζήσου οι όροι για =,, καταλήγοτας σε: c, V c, V + c, ε = c, (σχέση β) 4 ο βήα: Χρήση θεωρήατος Bloch, γιατί υπάρχει περιοδικότητα ετατόπισης κατά α ± ikα cj, ± = cj, e, (j=,) Έτσι οι (α), (β) γράφοται ως σύστηα ε ( ) ( ) ε ( ) c + V e V c = 0,, V e V c + ( ) c = 0,, σελ. 3
Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ το οποίο για α έχει λύση, εκτός της τετριέης (c, = 0 = c, ), πρέπει ε V e V = 0 V e V ε ( ) ( ( h ) )( ( h ) ε V e V V e V ) = ( ε ) ( ) ( ) 0 = V + V VV e VV e h ( ) ( ) ( ) ε = m V + V VV cos( ka) h ( ) ( ) ( ) = ε ± V + V VV cos( ka) ε ε ( ε + ε ) και V ( ε ε ) ± Εφόσο cos(ka), το εύρος τω δύο κλάδω θα είαι ε V + V ε V V ε + V V ε + V + V + Για παράδειγα, για ε =, ε = (οπότε ε=.5 και V =0.5) παίρουε τα παρακάτω διαγράατα, για διάφορες τιές του V (h)... ιάγραα ε+v hl +V L ε+»v hl V» πêa πêa k ε»v hl V» ε V hl +V L για V (h) =0.5: 0.85 Ε.5 και.85 Ε +.5 το χάσα είαι αρκετά εγάλο (οωτής) σελ. 4
Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ ιάγραα ε+v hl +V L ε+»v hl V» πêa πêa k ε»v hl V» ε V hl +V L για V (h) =0.5: 0.75 Ε.5 και.75 Ε +.5 το χάσα είαι ικρότερο ιάγραα 3 ε+v hl +V L ε+»v hl V» πêa ε»v hl πêa k V» ε V hl +V L για V (h) =0.45: 0.55 Ε.45 και.55 Ε +.45 το χάσα είαι ακόα ικρότερο Για V (h) =V = 0.50, δε υπάρχει καθόλου χάσα (αγωγός)! Για V (h) > V, το χάσα αυξάεται συεχώς! σελ. 5