Πεδιλοδοκοί και Κοιτοστρώσεις

/7/0 ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ» 7ο Εξ. ΠΟΛ-ΜΗΧ. ΕΜΠ - Ακαδ. Ετος 0 - ΙΑΛΕΞΗ 7 Πεδιλοδοκοί και Κοιτοστρώσεις 8.0.0 Πεδιλοδοκοί και Κοιτοστρώσεις Η θεµελίωση µπορεί να γίνει µε πεδιλοδοκούς ή κοιτόστρωση στις περιπτώσεις όπου είναι επιθυµητή :. Η µείωση των διαφορικών καθιζήσεων µεταξύ γειτονικών πεδίλων, είτε λόγω πολύ διαφορετικών φορτίων είτε λόγω διαφορετικών (ή αβέβαιων) εδαφικών συνθηκών. Η µείωση της ακραίας πίεσης έδρασης των πεδίλων στο έδαφος (π.χ. σε περιπτώσεις φορτίων µεγάλης εκκεντρότητας ή µεγάλων ροπών, όπως στην περίπτωση µεγάλων σεισµικών φορτίων). Η µείωση της οριζόντιας δύναµης που κάποιο πέδιλο µεταφέρει στο έδαφος (π.χ. για την αποτροπή ολισθήσεως του πεδίλου). Γενικότερα, όπου είναι επιθυµητή η βελτίωση της συνεργασίας µεταξύ των πεδίλων ή όταν : το ποσοστό κάλυψης των πεδίλων είναι σηµαντικό ποσοστό της επιφάνειας βάσης της κατασκευής (π.χ. > 50%), η αναµενόµενη συνολική καθίζηση των πεδίλων είναι αρκετά µεγάλη (οπότε και η διαφορική καθίζηση µπορεί να είναι υψηλή) η κατασκευή είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη σε διαφορικές καθιζήσεις ή µεταφέρει σηµαντικές ροπές στη θεµελίωση Βεβαίως, η βαθιά θεµελίωση µε πασσάλους αποτελεί µια άλλη εναλλακτική λύση

/7/0 Πεδιλοδοκοί Σηµαντικά µειωµένες τάσεις έδρασης και σηµαντικά µειωµένες διαφορικές καθιζήσεις µεταξύ των στύλων σε σύγκριση µε τα µεµονωµένα πέδιλα Κοιτοστρώσεις Σηµαντικά µειωµένες τάσεις έδρασης και σηµαντικά µειωµένες διαφορικές καθιζήσεις µεταξύ των στύλων, σε σύγκριση µε τα µεµονωµένα πέδιλα και τις πεδιλοδοκούς

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς Σχηµατικό διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων και καµπτικών ροπών κατά µήκος της πεδιλοδοκού Παραδοχές για την κατανοµή της εδαφικής πίεσης (q) κατά το µήκος της πεδιλοδοκού : Άκαµπτες πεδιλοδοκοί : Γραµµική κατανοµή Σχετικώς εύκαµπτες : Κατανοµή που ακολουθεί τη µορφή της παραµόρφωσης της πεδιλοδοκού Τέµνουσες δυνάµεις Καµπτικές ροπές. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Παραδοχή γραµµικής κατανοµής των εδαφικών πιέσεων στη βάση Ισχύει σε άκαµπτες πεδιλοδοκούς Συνιστάµενη κατακόρυφη δύναµη : V V + i i i i i 0. Ισορροπία κατακόρυφων δυνάµεων και ροπών : L ( x)dx ( σ + σ ) L V L L σ L + q i i 0 Συνιστάµενη ροπή ως προς την αρχή (x0) : M M + V x + q ( x) x dx ( σ L σ ) L L M L Πλάτος βάσης Β M σ L V L L M σ V L L

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή γραµµικής κατανοµής των εδαφικών πιέσεων στη βάση Πλάτος βάσης Β σ L M V L L σ V L M L. Υπολογισµός διαγράµµατος καµπτικών ροπών κατά µήκος της δοκού Μπορεί να γίνει µε επίλυση της δοκού υπό τα (γνωστά) επιβεβληµένα φορτία και τις ανωτέρω εδαφικές αντιδράσεις (σ L, σ ) Παρατήρηση : Η παραδοχή γραµµικής κατανοµής των εδαφικών πιέσεων αντιστοιχεί στην παραδοχή τελείως άκαµπτης πεδιλοδοκού. Συνεπώς, η ακρίβεια της παραδοχής αυξάνει για πλέον άκαµπτες πεδιλοδοκούς. Ακαµψία πεδιλοδοκού : Μεγάλη ροπή αδρανείας (Ι), µικρό µήκος (L), µαλακό έδαφος Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή γραµµικής κατονοµής των τάσεων στο έδαφος Πεδιλοδοκός : πλάτος : Β.0m µήκος : L m Εδαφος : δεν ενδιαφέρει στην επίλυση αυτή Φορτία : V V 00 kn, V 60 kn Γραµµική κατονοµή των τάσεων στο έδαφος

/7/0 Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή γραµµικής κατονοµής των τάσεων στο έδαφος Συνιστάµενη κατακόρυφη δύναµη : Συνιστάµενη ροπή ως προς x0 : V M V i i i V i x i 0 kn 9600 knm Φορτία : V V 00 kn, V 60 kn σ max M V L L kn/m x0 σ min M V L L 67 kn/m Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή γραµµικής κατονοµής των τάσεων στο έδαφος ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων ιάγραµµα καµπτικών ροπών shear frce (kn). -00-00 -00-00 0 6 8 0 0 length (m) 00 00 00 00 kn 00 kn 60 kn ending mment (knm). -50-00 -50 0 6 8 0 0 length (m) 50 00 50 00 50 00 00 kn 00 kn 60 kn 00 50 5

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler Σε σχετικώς εύκαµπτες πεδιλοδοκούς,η παραδοχή γραµµικής κατανοµής των τάσεων στη βάση της δοκού δεν είναι επαρκώς ακριβής. Στις περιπτώσεις αυτές µπορεί να χρησιµοποιηθεί κατανοµή τάσεων συµβατή µε το µοντέλο Winkler Μοντέλο Winkler : p k y p εδαφική αντίδραση (kpa) y βύθιση της δοκού (m) k σταθερά ελατηρίου Winkler (kn/m ) ή είκτης Εδάφους ιάγραµµα βυθίσεων (y) και εδαφικών πιέσεων (p) κάτω από την πεδιλοδοκό Το διάγραµµα των εδαφικών αντιδράσεων (p) είναι ανάλογο των βυθίσεων (y), επειδή : p k y. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler Μοντέλο Winkler : p k y ΠΡΟΣΟΧΗ : Ο δείκτης εδάφους k ΕΝ είναι ιδιότητα του εδάφους. Εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του εδάφους (µέτρο ελαστικότητας Ε, λόγος Pissn ν) και της πεδιλοδοκού (µήκος και δυσκαµψία) ή του πεδίλου (πλάτος και µήκος) ιάγραµµα βυθίσεων (y) και εδαφικών πιέσεων (p) κάτω από την πεδιλοδοκό 6

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους kή k s (δείκτης Winkler) p P ks δ Aδ. Μέτρηση του (k s )από δοκιµή φόρτισης πλάκας : k s δείκτης εδάφους για τη συγκεκριµένη πλάκα της δοκιµής Καµπύλη δοκιµής ι-γραµµικό µοντέλο p k s δ Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler). Εκτίµηση του k µέσω εµπειρικών σχέσεων :. Μή-συνεκτικά (αµµώδη) εδάφη : Προτεινόµενες τιµές του δείκτηεδάφους k (σε ΜΝ/ m ) κατά Terzaghi (για τετραγωνική ή κυκλική πλάκα εύρους Β ο 0.05m) : Σχετική πυκνότητα άµµου : Χαλαρή Μέσης πυκνότητας Πυκνή Τιµές της σχετικής πυκνότητας (D r ) < 50 % 50-75% > 75% Εύρος τιµών k (MN/m ) ξηρής ή υγρής άµµου 6. 9. 9. - 96 96-0 Προτεινόµενες τιµές k ξηρής ή υγρής άµµου MN/m MN/m 60 MN/m Προτεινόµενες τιµές k άµµου κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα 8 MN/m 6 MN/m 96 MN/m Σηµείωση : 0 MN/m kg/cm 7

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k ή k s (δείκτης Winkler). Συνεκτικά εδάφη (άργιλοι) : Αξιοποίηση των σχέσεων «ελαστικής µορφής» για άκαµπτα πέδιλα στην επιφάνεια του εδάφους (D0 Ι D ) Οπότε : ν ρ q E k i I S q ρ ν E ( ) I s i S Σχέσεις Steinrenner : Για κυκλικό πέδιλο : Ι s 0.79 Για τετραγωνικό πέδιλο : Ι s Για λωρίδα (L/ ) : Ι s k s δείκτης εδάφους για το συγκεκριµένο πέδιλο εύρους (Β). Στραγγισµένες Συνθήκες : Για v 0.0 και I s 0.79 : k s.9 E / E s / όπου : E s µέτρο µονοδιάστατης παραµόρφωσης Συνεπώς, ισχύει η προσεγγιστική σχέση : k s E s /. Αστράγγιστες Συνθήκες : Για v u 0.50, I s 0.79 και Ε Ε u : k s.69 E u / E όπου : E u µέτρο αστράγγιστης φόρτισης. E ( ) E u +ν Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k ή k s (δείκτης Winkler). Συνεκτικά εδάφη (άργιλοι) : Αξιοποίηση των σχέσεων «ελαστικής µορφής» για άκαµπτα πέδιλα στην επιφάνεια του εδάφους (D0 Ι D ) k s δείκτης εδάφους για το συγκεκριµένο πέδιλο εύρους (Β) Οι ελαστικές σχέσεις έχουν καλύτερη εφαρµογή στις περιπτώσεις αστράγγιστης φόρτισης συνεκτικών (αργιλικών) εδαφών (ν 0.5, Ε Ε u ), οπότε για κυκλική πλάκα διαµέτρου Β ο 0.05m ( πόδι), ο δείκτης εδάφους k s είναι : k s.69 E u / Είδος Αργίλου c u (kpa) E u / c u E u (MPa) k s (MN/m ) Πολύ µαλακή <.5 50 <.5 <.5 Μαλακή.5 5 00 7.5 0 7.5 Συνεκτική 5 50 50 6.5 0 6.5 Στιφρή 50-00 00 0 0 50-00 Πολύ στιφρή 00 00 50 5 0 75 50 Σκληρή > 00 00 > 0 > 00 8

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k ή k s (δείκτης Winkler). Εκτίµηση του k για πέδιλα διαφόρων διαστάσεων, µε βάση τη µετρηθείσα τιµή k ο :. Συνεκτικά (αργιλικά) εδάφη : Από τις σχέσεις «ελαστικής µορφής» προκύπτει ότι εάν στη δοκιµή φόρτισης πλάκας (µε πλάκα διαστάσεως ) µετρηθεί δείκτης εδάφους k s k q / ρ ο ( όπου q πίεση πλάκας, ρ ο καθίζηση πλάκας) τότε, ο δείκτης εδάφους για τετραγωνικό πέδιλο εύρους «Β» είναι : k k Παρατήρηση : Ο δείκτης εδάφους δεν είναι σταθερή παράµετρος του εδάφους αλλά εξαρτάται από τις διαστάσεις του πεδίλου (µε την παραδοχή γραµµικής ελαστικότητας). Συγκεκριµένα, ο δείκτης k µειώνεται σηµαντικά µε την αύξηση του Β. Για ορθογωνικά πέδιλα (Lµήκος > Β): k k + L k / k 0.8 0.6 0. 0. 0 Για λωρίδα (L ) : ελαστική λύση k δείκτης εδάφους για πλάκα εύρους Β ο 0.05m Τετραγωνικά πέδιλα 0 5 6 7 8 9 0 πλάτος Β (m) k k Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler). Μή-συνεκτικά (αµµώδη) εδάφη : Με αξιοποίηση των σχέσεων υπολογισµού της καθίζησης άκαµπτων πεδίλων : είκτης εδάφους : k s q / ρ i. Μέθοδος υπολογισµού της καθίζησης πεδίλου εύρους Β κατά Alpan : οπότε : k α 0.9 L ρi 0.05 α 0.05 + 9.8 ( L ) 0.9. Μέθοδος υπολογισµού της καθίζησης τετραγωνικού πεδίλου εύρους Β κατά Terzaghi & Peck : ρ i + 0.05m q 0. N + 0.05 q οπότε : N + 0.05m k 0. 9

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler). Μή-συνεκτικά (αµµώδη) εδάφη (συνέχεια) : Αναγωγή σε πέδιλα διαφόρων διαστάσεων : Εκτίµηση του k για τετραγωνικά πέδιλα εύρους Β (κατά Terzaghi & Peck ) : Εάν κατά την δοκιµή φόρτισης πλάκας (διαστάσεως 0.05m) µετρηθεί δείκτης εδάφους k q / ρ ο (q πίεση πλάκας, ρ ο καθίζηση πλάκας) τότε, ο δείκτης εδάφους για τετραγωνικό πέδιλο εύρους Β > είναι : + 0.05m k k k+ + 0.05m Εκτίµηση του k για ορθογωνικά πέδιλα εύρους Β και µήκους L > : όπου : Β, Β ο σε µέτρα + 0.05m k k + k + + + 0.05m L L Εκτίµηση του k για πεδιλοδοκούς εύρους Β (L ): + 0.05m k k k + + 0.05m 6 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler) Σύγκριση των µεθόδων υπολογισµού του δείκτη εδάφους (k) για τετραγωνικά πέδιλα : Τετραγωνικά πέδιλα 0.8 ελαστική λύση Terzaghi k / k 0.6 0. k δείκτης εδάφους για πλάκα εύρους Β ο 0.05m Για αµµώδη εδάφη 0. Για αργιλικά εδάφη Αµµώδη εδάφη : 0 0 5 6 7 8 9 0 πλάτος Β (m) k k+ Αργιλικά εδάφη : k k 0

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler). Με συνεκτίµηση της σχετικής δυσκαµψίας πεδιλοδοκού - εδάφους : Μέθοδος Vesic (96) για θεµελιολωρίδες : 0.65 Es k ν E I E s, ν µέτρο ελαστικότητας και λόγος Pissn του εδάφους Ε, Β, I µέτρο ελαστικότητας, πλάτος και ροπή αδρανείας της πεδιλοδοκού Παράδειγµα εφαρµογής : Es Πεδιλοδοκός : Β.0m, H0.60m, E 5 GPa Εδαφος : Συνεκτική άργιλος µε Ε u 5 MPa (ν u 0.5) Ι Β Η / 0.06 m 0.65 5. 5 MN / m 8.5 MN/m k 0.5 5000 0.06. Παρατήρηση :Από τις σχέσεις ελαστικής µορφής για λωρίδα (L/ I s ) προκύπτει : q E 5 k 8. MN/m ρ i ν I 0.5. ( ) ( ) S Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler) Επιρροή του βάθους θεµελίωσης (D) του πεδίλου στην τιµή του δείκτη εδάφους : Για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις (άµµοι και άργιλοι), ο δείκτης εδάφους (k D ) πεδίλου εδραζόµενου σε βάθος (D), είναι : k D D + k όπου : k είναι ο δείκτης εδάφους του ίδιου πεδίλου εδραζόµενου στην επιφάνεια

/7/0 Εκτίµηση του δείκτη εδάφους k (δείκτης Winkler) Προτεινόµενες τιµές του δείκτη εδάφους (k) για «συνήθεις» πεδιλοδοκούς σε διάφορους τύπους εδαφών (κατά wles) : Αµµοι : Χαλαρές (D r < 50%) Μέσης πυκνότητας (D r 50-75%) Πυκνές (D r > 75%) Είδος εδάφους k (MN/m ).8 6 9.6 80 6 8 Αργιλώδεις άµµοι µέσης πυκνότητας 80 Ιλυώδεις άµµοι µέσης πυκνότητας 8 Αργιλοι : Μαλακές (q u 5-50 kpa) Συνεκτικές (q u 50-00 kpa) Στιφρές (q u 00-00 kpa) Πολύ στιφρές (q u 00-00 kpa) Πολύ σκληρές (q u > 800 kpa) 5 8 8 8 > 8 ΠΡΟΣΟΧΗ : Ο δείκτης εδάφους (k) εξαρτάται και από τα χαρακτηριστικά της πεδιλοδοκού (L,, I, Ε ). Συνεπώς, οι ανωτέρω τιµές είναι ενδεικτικές. Σηµείωση : 0 MN/m kg/cm. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler Μοντέλο Winkler : p k y p εδαφική αντίδραση (kpa) y βύθιση της δοκού (m) k σταθερά ελατηρίου Winkler (kn/m ) ιαφορική εξίσωση της δοκού : d y E I q dx p d y E I + k y q dx q κατανεµηµένη φόρτιση επί της δοκού (kn/m) Β πλάτος της δοκού (m) Ε, Ι µέτρο ελαστικότητας (kn/m ) και ροπή αδρανείας (m ) της δοκού Η επίλυση της ανωτέρω διαφορικής εξίσωσης για τυχόντα επιβεβληµένα φορτία (V, M, q), χαρακτηριστικά της δοκού (Ε,Ι,Β,L) και χαρακτηριστικά του εδάφους (δείκτης k) µπορεί να γίνει µε αναλυτικές ή αριθµητικές µεθόδους (π.χ. µε πεπερασµένα στοιχεία)

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler ιαφορική εξίσωση της δοκού : d y E I + k y q dx E µέτρο ελαστικότητας της πεδιλοδοκού Ι ροπή αδρανείας της διατοµής της πεδιλοδοκού. Για ορθογωνική διατοµή πλάτους Β και ύψους Η : y βύθιση της δοκού (m) k σταθερά ελατηρίου Winkler για την δοκό (kn/m ) Β πλάτος της δοκού (m) q κατανεµηµένη φόρτιση επί της δοκού (kn/m) p πίεση εδαφικής αντίδρασης (kpa) : p k y Κατά την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (σε απλές περιπτώσεις φόρτισης) προκύπτει η αδιάστατη παράµετρος : H I λ k E I Για απλές φορτίσεις, η δοκός µπορεί να θεωρηθεί (Hetenyi, 96) : Πολύ άκαµπτη : λ < (π/) µπορεί να εφαρµοσθεί «γραµµική κατανοµή τάσεων» Ενδιάµεσης ακαµψίας : (π/) < λ < π ανάλυση µε «µοντέλο Winkler» Πολύ εύκαµπτη : λ > π µπορεί να θεωρηθεί και ως «απείρου µήκους» L. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler Εναλλακτικά, η σχετική ακαµψία της πεδιλοδοκού ως προς το έδαφος µπορεί να εκτιµηθεί κατά Meyerhf µέσω της αδιάστατης παραµέτρου : ξ E I E L s E µέτρο ελαστικότητας της πεδιλοδοκού Ι ροπή αδρανείας της διατοµής της πεδιλοδοκού Ε s µέτρο ελαστικότητας του εδάφους Β πλάτος της πεδιλοδοκού (m) L µήκος της πεδιλοδοκού (m) Η πεδιλοδοκός µπορεί να θεωρηθεί ως άκαµπτη εάν : ξ > 0.5 Στην περίπτωση αυτή (ξ > 0.5), µπορεί να χρησιµοποιηθεί η παραδοχή γραµµικής κατανοµής των τάσεων στη βάση της πεδιλοδοκού. Εάν ξ < 0.5, απαιτείται ανάλυση µε µοντέλο Winkler

/7/0 Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή εδαφικών πιέσεων µέσω ελατηρίων τύπου Winkler - αριθµητική επίλυση (πεπερασµένα στοιχεία) Πεδιλοδοκός : Β.0m, H0.60m, L m Σκυρόδεµα : E 5 GPa Αρα : Ι Β Η / 0.06 m Εδαφος : Συνεκτική άργιλος,ε u 5 MPa (ν u 0.5) Φορτία : V V 00 kn, V 60 kn Εδαφικές πιέσεις µέσω ελατηρίων τύπου Winkler Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή εδαφικών πιέσεων µέσω ελατηρίων τύπου Winkler (αριθµητική επίλυση) είκτης εδάφους κατά Vesic : k 0.65 5. 5 MN / m 8.5 MN/m 0.5 5000 0.06 0.65 E k E I ν. E Αδιάστατη παράµετρος σχετικής δυσκαµψίας δοκού εδάφους : λ k E I L.6 π Αρα η δοκός είναι σχετικώς «εύκαµπτη» ιάγραµµα βυθίσεων (y) της πεδιλοδοκού Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης της πεδιλοδοκού που φορτίζεται µε τα (γνωστά) επιβεβληµένα φορτία και εδράζεται σε συνεχώς κατανεµηµένα ελατήρια Winkler έγινε µε αριθµητική µέθοδο (πεπερασµένα στοιχεία)

/7/0 Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή εδαφικών πιέσεων µέσω ελατηρίων τύπου Winkler - αριθµητική επίλυση (πεπερασµένα στοιχεία) Σύγκριση µε τα αποτελέσµατα της επίλυσης µε θεώρηση γραµµικής κατανοµής των εδαφικών αντιδράσεων δείχνει πολύ µικρές διαφορές (αν και η πεδιλοδοκός είναι σχετικά εύκαµπτη) ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων ιάγραµµα καµπτικών ροπών -00 00 kn 00 kn 60 kn -50 00 kn 00 kn 60 kn -00-00 shear frce (kn). -00-00 0 6 8 0 0 length (m) 00 00 00 00 ending mment (knm). -50 0 6 8 0 0 length (m) 50 00 50 00 50 00 50 Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση πεδιλοδοκού µε παραδοχή εδαφικών πιέσεων µέσω ελατηρίων τύπου Winkler - αριθµητική επίλυση (πεπερασµένα στοιχεία) Σύγκριση µε τα αποτελέσµατα της επίλυσης µε θεώρηση γραµµικής κατανοµής των εδαφικών αντιδράσεων δείχνει πολύ µικρές διαφορές (αν και η πεδιλοδοκός είναι σχετικά εύκαµπτη) ιάγραµµα εδαφικών βυθίσεων length (m) 0 6 8 0 0 ιάγραµµα εδαφικών αντιδράσεων length (m) 0 6 8 0 0 vertical settlement (m 0.00 0.00 0.006 0.008 0.0 0.0 00 kn 00 kn 60 kn reactin sil pressure (kpa) 0 0 60 80 00 00 kn 00 kn 60 kn 67 kpa 0.0 0.06 0 0 kpa 5

/7/0 Παράδειγµα εφαρµογής : Επίλυση της πεδιλοδοκού µε παραδοχή εδαφικών αντιδράσεων µέσω ελατηρίων Winkler Πολύ εύκαµπτη πεδιλοδοκός Πεδιλοδοκός ύψους Η0.5m (αντί Η0.60m) (λοιπές παράµετροι ως άνω) ιάγραµµα εδαφικών βυθίσεων λ k E I L 6.066 π (πολύ εύκαµπτη) ιάγραµµα καµπτικών ροπών length (m) 0 6 8 0 0-50 -00 00 kn 00 kn 60 kn vertical settlement (m). 0.00 0.00 0.006 0.008 0.0 0.0 0.0 0.06 0.08 00 kn 00 kn 60 kn ending mment (knm). -50 0 6 8 0 0 length (m) 50 00 50 00 50 00 Συµπέρασµα : Πολύ µικρή αλλαγή στις καµπτικές ροπές. Ανάλυση θεµελιώσεων µε πεδιλοδοκούς. Με παραδοχή ανάπτυξης εδαφικών πιέσεων κατά το µοντέλο Winkler Αναλυτικές σχέσεις για πολύ εύκαµπτες πεδιλοδοκούς (απειροµήκεις : L ) Μέθοδος Hetenyi (96) k Αδιάστατη παράµετρος σχετικής δυσκαµψίας δοκού εδάφους : λ L > π E I. Φόρτιση µε συγκεντρωµένο φορτίο Ρ (kn) στο σηµείο x0 : k x x Βύθιση : L E I Λ λ λ P Λ y ζ ζ e ( cs Λ + sin Λ) Lk πλάτος δοκού (m) Καµπτική ροπή : PL M ζ λ Τέµνουσα δύναµη : P Q ζ ζ, ζ, ζ συντελεστές επιρροής (βλέπε επόµενη σελίδα) Λ ζ e ( csλ sin Λ) ζ Λ e csλ 6

/7/0 Αναλυτικές σχέσεις για πολύ εύκαµπτες πεδιλοδοκούς (απειροµήκεις). Φόρτιση µε συγκεντρωµένη ροπή Μ ο στο σηµείο x0 : (Hetenyi, 96) Βύθιση : M y ( λ L) k ζ ζ e Λ sin Λ / k λ L E I k x L EI Λ λ x Καµπτική ροπή : M M ζ ζ Λ e csλ Τέµνουσα δύναµη : M Q ( λ / L) ζ ( ) Λ ζ e cs Λ + sin Λ ζ, ζ, ζ συντελεστές επιρροής (βλέπε επόµενη σελίδα) Αναλυτικές σχέσεις για πολύ εύκαµπτες πεδιλοδοκούς (απειροµήκεις). Φόρτιση µε συγκεντρωµένη ροπή Μ ο στο σηµείο x0 : (Hetenyi, 96) / k λ L E I. Φόρτιση µε φορτία και συγκεντρωµένες ροπές σε διάφορες θέσεις : Μπορεί να εφαρµοσθεί η αρχή της επαλληλίας, θέτοντας ως x0 το µέσον της πεδιλοδοκού 7

/7/0 Λ ζ ζ ζ ζ Λ ζ ζ ζ ζ 0.0.00000.00000.00000 0.00000.6-0.0659-0.0-0.050-0.009 0. 0.99065 0.80998 0.900 0.090.7-0.007-0.00787-0.0097-0.00 0. 0.96507 0.6975 0.80 0.666.8-0.08-0.000-0.0769-0.069 0. 0.9666 0.8880 0.7077 0.89.9-0.086-0.00077-0.069-0.09 0. 0.878 0.567 0.67 0.60.0-0.058 0.0089-0.097-0.086 0.5 0.807 0.9 0.58 0.9079. -0.009 0.000-0.0095-0.056 0.6 0.768 0.07 0.595 0.0988. -0.00 0.0057-0.0075-0.007 0.7 0.6997 0.05990 0.798 0.99. -0.0787 0.00699-0.005-0.0 0.8 0.658-0.0098 0.05 0.. -0.056 0.0079-0.0077-0.068 0.9 0.570-0.06575 0.57 0.88.5-0.00 0.0085-0.00-0.0086.0 0.508-0.079 0.9877 0.0956.6-0.0 0.00886-0.00-0.00999. 0.765-0.567 0.5099 0.9666.7-0.009 0.00898-0.000-0.00909. 0.8986-0.758 0.09 0.807.8-0.0078 0.0089 0.0007-0.0080. 0.550-0.8970 0.0790 0.660.9-0.0059 0.00870 0.009-0.007. 0.89-0.00 0.09 0.0 5.0-0.0055 0.0087 0.009-0.0066.5 0.85-0.0679 0.0578 0.57 5. -0.00 0.00795 0.000-0.0056.6 0.959-0.077-0.00590 0.08 5. -0.009 0.0076 0.0058-0.0087.7 0.576-0.070-0.05 0.86 5. -0.009 0.0069 0.0077-0.005.8 0. -0.985-0.0756 0.6098 5. -0.0006 0.0066 0.0087-0.009.9 0.098-0.8989-0.085 0.5 5.5 0.0000 0.00578 0.0090-0.0088.0 0.0667-0.798-0.056 0.06 5.6 0.0005 0.0050 0.0087-0.00. 0.088-0.675-0.068 0.057 5.7 0.00095 0.006 0.0079-0.008. 0.08-0.579-0.065 0.08958 5.8 0.007 0.0009 0.0068-0.00. 0.00796-0.56-0.06680 0.0776 5.9 0.005 0.0056 0.005-0.000. -0.0056-0.87-0.06689 0.068 6.0 0.0069 0.0007 0.008-0.00069.5-0.066-0.89-0.06576 0.09 6. 0.0080 0.006 0.00-0.000.6-0.056-0.09-0.066 0.089 6. 0.0085 0.009 0.000-0.0007.7-0.00-0.0898-0.06076 0.087 6. 0.0087 0.008 0.008 0.0000.8-0.069-0.07767-0.0570 0.007 6. 0.008 0.006 0.0065 0.0009.9-0.006-0.06659-0.05 0.06 6.5 0.0079 0.00 0.007 0.000.0-0.06-0.056-0.099 0.0070 6.6 0.007 0.00087 0.009 0.000. -0.0-0.0688-0.050 0.0087 6.7 0.006 0.0006 0.00 0.00050. -0.007-0.08-0.0069-0.008 6.8 0.005 0.000 0.00097 0.00055. -0.0-0.0060-0.06-0.0058 6.9 0.00 0.000 0.0008 0.00058. -0.0079-0.07-0.07-0.0085 7.0 0.009 0.00009 0.00069 0.00060.5-0.0887-0.0769-0.088-0.0059 Αναλυτικές σχέσεις για πολύ εύκαµπτες πεδιλοδοκούς (απειροµήκεις) (Hetenyi, 96) Τιµές των συντελεστών επιρροής : ζ, ζ, ζ, ζ σε διάφορες θέσεις x της δοκού k x L EI Λ λ x. Κριτήρια ακαµψίας πεδιλοδοκών : λ Σύνοψη µεθόδων ανάλυσης πεδιλοδοκών Κριτήριο Τύπος Εύρος τιµών Hetenyi Meyerhf ξ k E I E I E L s L λ < (π/) (π/) < λ < π λ > π ξ > 0.5 ξ < 0.5 Είδος πεδιλοδοκού / Μέθοδος ανάλυσης Άκαµπτη (γραµµική κατανοµή) Εύκαµπτη (Winkler) Πολύ εύκαµπτη (Winkler ή L ) Άκαµπτη (γραµµική κατανοµή) Εύκαµπτη (Winkler). Εκτίµηση του δείκτη εδάφους (k) σε εύκαµπτες πεδιλοδοκούς : Με απευθείας µέτρηση (δοκιµή φόρτισης πλάκας) ή εκτίµηση (από πίνακες) του k και στη συνέχεια εκτίµηση του (k) µε αναγωγή στις διαστάσεις της πεδιλοδοκού ή µε χρήση της µεθόδου Vesic. Μέθοδος ανάλυσης : Ακαµπτες : µε παραδοχή γραµµικής κατανοµής των εδαφικών πιέσεων στη βάση Εύκαµπτες : µε χρήση µοντέλου Winkler Πολύ εύκαµπτες : ως απειροµήκεις 8

/7/0 Εφαρµογή του δείκτη εδάφους (k) σε άκαµπτα πέδιλα Υπολογισµός της στροφής (θ) πεδίλου ( x L) µε αξονική δύναµη (V) και ροπή (Μ) : εύρος πεδίλου κατά την διεύθυνση της εκκεντρότητας Μικρή εκκεντρότητα e < /6 M Εκκεντρότητα : e Μέση τάση : V. Μικρή εκκεντρότητα : 0 e / 6 σ V L e e σ max σ + 6 σ min σ 6 0 Winkler : y max σ max / k, y min σ min / k Αρα : θ tanθ ( ymax ymin ) υσκαµψία του «στροφικού ελατηρίου» στη βάση του πεδίλου : K θ M θ L k θ (knm / rad) M Lk υσκαµψία του «αξονικού ελατηρίου» στη βάση του πεδίλου : V V K V K L (kn / m) y σ k V k Εφαρµογή του δείκτη εδάφους (k) σε άκαµπτα πέδιλα Υπολογισµός της στροφής (θ) πεδίλου ( x L) µε αξονική δύναµη (V) και ροπή (Μ) : εύρος πεδίλου κατά την διεύθυνση της εκκεντρότητας Μεγάλη εκκεντρότητα e > Β/6 M Εκκεντρότητα : e Μέση τάση : σ V. Μεγάλη εκκεντρότητα : Β / 6 e / σ e max σ Winkler : y max σ max / k Αρα : θ tanθ y max V L υσκαµψία του «στροφικού ελατηρίου» στη βάση του πεδίλου : K θ M θ ( ) L ek θ V ( ) Lk (knm / rad) υσκαµψία του «αξονικού ελατηρίου» στη βάση του πεδίλου : V V K V K L y σ k V k (kn / m) 9

/7/0 Εφαρµογή του δείκτη εδάφους (k) σε άκαµπτα πέδιλα Μείωση της εκκεντρότητας πεδίλου µεσοτοιχίας λόγω δυσκαµψίας του στύλου Στύλος µεσοτοιχίας (µέτρο ελαστικότητας Ε, ροπή αδρανείας Ι) µε κεντρική φόρτιση V εδράζεται στο έδαφος µε πέδιλο. Η κεφαλή του στύλου θεωρείται αρθρωτή (ελεύθερα στρεπτή). Στύλος : E I Εάν το έδαφος είναι απαραµόρφωτο (k ), δηλαδή το πέδιλο είναι απολύτως άστρεπτο, η αξονική δύναµη (V) του στύλου θα µεταφερθεί στο έδαφος ως οµοιόµορφη πίεση µε συνισταµένη V κατά τον άξονα του πεδίλου (e0). Τούτο έχει ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη ζεύγους δυνάµεων S για την ανάληψη της ροπής M V e, οπότε : S V e / H Στην συνήθη περίπτωση που το πέδιλο µπορεί να στραφεί (όσο του επιτρέπει ο δείκτης εδάφους k), η αντίδραση του εδάφους έχει συνισταµένη V µεεκκεντρότητα e (0 < e < e ). Στην περίπτωση αυτή, το ζεύγος δυνάµεων S για την ανάληψη της αποµένουσας ροπής M V (e e) είναι : S V(e -e) / H Εφαρµογή του δείκτη εδάφους (k) σε άκαµπτα πέδιλα Μείωση της εκκεντρότητας πεδίλου µεσοτοιχίας λόγω δυσκαµψίας του στύλου Στύλος : E I Υπολογισµός της εκκεντρότητας (e) : Στροφή του πεδίλου (θ)λόγω δείκτη εδάφους (k)κατά την επιβολή της ροπής Μ V e : Στροφή της βάσης του στύλου (πέδιλο) λόγω εφαρµογής της ροπής Μ V (e e) στον στύλο ύψους Η, ροπής αδρανείας Ι µε άρθρωση στην κεφαλή : θ M H V E I ( e e) E H I Εξίσωση των ανωτέρω σχέσεων (ως προς θ) και επίλυση ως προς e δίνει: e M θ K θ e 6 E I + k H L M V e Lk Lk Για άστρεπτο πέδιλο : k e e 0

/7/0 Μείωση της εκκεντρότητας πεδίλου µεσοτοιχίας λόγω δυσκαµψίας του στύλου Εφαρµογή : Πέδιλο : m L m Αξονικό φορτίο : V 000 kn Έδαφος : k 0 MN/m E 5 GPa (σκυρόδεµα) ιαστάσεις στύλου : 0.m d 0.6m Ύψος στύλου : Η.5m Ι d / 0. x 0.6 / 0.007 m Στύλος : E I e / d/ 0. 0.7m e e 6 E I + k H L e 0.m < /6 S V(e -e) / H 5. kn Μέγιστη ροπή στύλου : Μ S H 0 kn Στροφή πεδίλου (και της βάσης του στύλου) : M θ K θ V e Lk 0.00975 rad 0.56. Ανάλυση θεµελιώσεων µε κοιτοστρώσεις Πλάκα κοιτόστρωσης µπορεί να θεωρηθεί ωςεύκαµπτη εάν οι διαστάσεις της (, L) υπερβαίνουν την χαρακτηριστική διάσταση (Β c ) (Westergaard, 96 αναφορά στο άρθρο Terzaghi, 955) : c 5 E t k ( ν ) c E, ν µέτρο ελαστικότητας και λόγος Pissn του σκυροδέµατος (E 0 GPa, ν 0.0) t πάχος πλάκας κοιτόστρωσης k δείκτης εδάφους που αντιστοιχεί σε τετραγωνικό θεµέλιο εύρους c. Ο δείκτης εδάφους υπολογίζεται µε τις µεθόδους που αναφέρθηκαν προηγουµένως (και δοκιµές για τον προσδιορισµό του εύρους c ). Σηµείωση : Το εύρος c αντιστοιχεί στην τιµή λ π για πεδιλοδοκούς κατά Hetenyi (96)

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε κοιτοστρώσεις Πλάκα κοιτόστρωσης µπορεί να θεωρηθεί ωςεύκαµπτη εάν οι διαστάσεις της (, L) υπερβαίνουν την χαρακτηριστική διάσταση (Β c ) (Westergaard, 99) : c 5 E t k ( ν ) c Για αργιλικό έδαφος : k k Για αµµώδες έδαφος : k + k 5 E t Συνδυασµός µε την : δίνει : c k ( ν ) Β ο 0.0m c k E t 8.55 ( ν ) Συνδυασµός µε την : 5 E δίνει : ( ) t c k ν Β ο 0.0m ( ν ) E t c + 5 k. Ανάλυση θεµελιώσεων µε κοιτοστρώσεις Εύκαµπτεςπλάκες κοιτοστρώσεωνµπορούν να αναλυθούν µε χρήση ελατηρίων Winkler και τιµή του δείκτη k που αντιστοιχεί σε τετραγωνικό θεµέλιο εύρους c Εάν οι διαστάσεις της πλάκας είναι µικρότερεςτου c /τότε η πλάκα είναι άκαµπτη και γίνεται παραδοχή γραµµικής κατανοµής των εδαφικών πιέσεων στη βάση της. Ο προσδιορισµός των εδαφικών πιέσεων γίνεται µε τις εξισώσεις ισορροπίας (όπως στις πεδιλοδοκούς). Στη συνέχεια, η ανάλυση της πλάκας κοιτόστρωσηςγίνεται µε τα γνωστά φορτία και εδαφικές αντιδράσεις. Εάν Β < c / και L > c /, η πλάκα µπορεί να αναλυθεί ως πεδιλοδοκόςεύρους Β Εάν το εύρος (Β) είναι : c / < Β < c, η πλάκα µπορεί να αναλυθεί µε χρήση ελατηρίων Winkler και δείκτη k που αντιστοιχεί στις πραγµατικές της διαστάσεις ή µε γραµµική παρεµβολή από την σχέση : c k k ( c ) + k k ( c ) c όπου k( c ) είναι η τιµή για πλάκα µεγέθους c και k( c /) είναι η τιµή για πλάκα µεγέθους c /

/7/0. Ανάλυση θεµελιώσεων µε κοιτοστρώσεις Παράδειγµα εφαρµογής : Πλάκα κοιτόστρωσης από σκυρόδεµα (E 5 GPa, ν 0.0) πάχους t 0.80m επί αργιλικού εδάφους µε δείκτη k 75 MN/m (για πλάκα εύρους Β ο 0.05m) c k k 5 E t k c k ( ν ) Για αργιλικό έδαφος : Συνδυασµός µε την : δίνει : E t 8.55 ( ν ).75 m Συνεπώς, εάν η πλάκα έχει διαστάσεις (Β, L) έως.75 / 5.9 m, θεωρείται ως άκαµπτη. Εάν η πλάκα έχει διαστάσεις (, L) >.75m θεωρείται ως εύκαµπτη µε δείκτη εδάφους : k k c 75 / (0.05 /.75) 0.7 MN/m 0.07 kg/cm ανεξαρτήτως των πραγµατικών διαστάσεων της πλάκας. Τέλος, εάν η πλάκα έχει διαστάσεις µεταξύ 5.9mκαι.7m, ο δείκτης εδάφους υπολογίζεται για τις πραγµατικές της διαστάσεις.. Ανάλυση θεµελιώσεων µε κοιτοστρώσεις Παράδειγµα εφαρµογής : Πλάκα κοιτόστρωσης από σκυρόδεµα (E 5 GPa, ν 0.0) πάχους t 0.80m επί αµµώδους εδάφους µε δείκτη k 50 MN/m (για πλάκα εύρους Β ο 0.05m) Για αµµώδες έδαφος : Συνδυασµός µε την : δίνει : k + k 5 E ( ) t c k ν c 5. m Συνεπώς, εάν η πλάκα έχει διαστάσεις έως 5. / 7.7 m θεωρείται ως άκαµπτη. Εάν έχει διαστάσεις > 5.m θεωρείται ως εύκαµπτη µε δείκτη εδάφους : k + k c E t c + 5 k ( ν ) (50/) * [+(0.05/5.)] ΜΝ/m. kg/cm ανεξαρτήτως των πραγµατικών διαστάσεων της πλάκας. Τέλος, εάν η πλάκα έχει διαστάσεις µεταξύ 7.7m και 5.m, ο δείκτης εδάφους υπολογίζεται για τις πραγµατικές της διαστάσεις.