7. Κεφάλαιο: ΜΗΧΑΝΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙΔΗ

7. Κεφάλαιο: ΜΗΧΑΝΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙΔΗ Σύνοψη Τρία είναι τα βασικά είδη σχέσεων που εξετάζονται στα διακριτά μαθηματικά: Οι σχέσεις ισοδυναμίας, οι σχέσεις μερικής διάταξης και οι συναρτήσεις. Μια ειδική μορφή συναρτήσεων είναι ο δυαδικός τελεστής που θα χρησιμοποιηθεί σε αυτό το κεφάλαιο, καθώς αποτελεί ένα εξαιρετικό εργαλείο συνδυασμού συναρτήσεων. Οι συνδυασμοί συναρτήσεων καλούνται συνθέσεις. Συγκεκριμένες αλγεβρικές δομές, τα μονοειδή και οι ομάδες, περιγράφονται εν συντομία στην επόμενο μέρος του κεφαλαίου. Η επιλογή του θέματος αυτού έγινε με κριτήριο τη χρησιμότητα των δομών αυτών στη χρήση των υπολογιστών ή ακόμα και σε εφαρμογές της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ποικίλα φυσικά συστήματα, όπως οι κρύσταλλοι και τα άτομα υδρογόνου, μπορούν να μοντελοποιηθούν από συμμετρικές ομάδες. Επομένως, η θεωρία ομάδων και η στενά σχετιζόμενη θεωρία αναπαράστασης έχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, και την επιστήμη υλικών. Η θεωρία ομάδων είναι επίσης θεμελιώδης στη θεωρία κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδιού. Ειδικότερα, όμως, τον χρήστη αυτού του ηλεκτρονικού βιβλίου τον ενδιαφέρει η μελέτη των ομάδων συμμετρίας, καθώς οι συγκεκριμένες ομάδες παρουσιάζουν ιδιαίτερα μεγάλο ενδιαφέρον στην επιστήμη των υπολογιστών. Τέλος, στοιχεία των συναρτήσεων, των ροών δεδομένων και των κατευθυνόμενων γράφων θα συνδυαστούν για να παρουσιαστούν τα μαθηματικά μοντέλα που καλούνται Μηχανές. Προαπαιτούμενη Γνώση Σε αυτό το κεφάλαιο ο αναγνώστης θα διαπιστώσει ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμη η κατανόηση λειτουργίας των κατευθυνόμενων γράφων του Κεφαλαίου 6. 7.1. Σχέσεις, Εγκλεισμοί και Σχέσεις Ισοδυναμίας Οι Σχέσεις είναι λογικές διαδικασίες που αφορούν συνήθως διαφορετικά στοιχεία που ανήκουν σε ένα ή περισσότερα σύνολα. Για να οριστεί λοιπόν μια σχέση, θα πρέπει να θεωρήσουμε δυο σύνολα έστω τα Α και Β. Τα στοιχεία του Α συνδέονται δια της σχέσης με ορισμένα μόνο στοιχεία της σχέσης Β. Έτσι η σχέση ορίζεται ως ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Α Β. Η πρόταση (α,β) Α Β παρίσταται συχνά και ως αrβ, όπου R η δοσμένη σχέση. Γενίκευση του ορισμού της σχέσης, όταν πρόκειται για περισσότερα των δυο συνόλων, είναι η n μελής σχέση. Μια n μελής σχέση R μεταξύ των συνόλων Χ 1,Χ 2,...,Χ n ορίζεται ως υποσύνολο του καρτεσιανού γινόμενου Χ 1,Χ 2,...,Χ n. H σχέση R έχει ως στοιχεία διατεταγμένες n άδες, η i οστή συντεταγμένη των οποίων, 1 i n, είναι στοιχείο του συνόλου Χ i. Έστω δυο μη κενά πεπερασμένα σύνολα Α={α 1,α 2,...,α n } και Β={β 1,β 2,...,β m }. Μια σχέση R είναι δυνατό να παρασταθεί με τον χαρακτηριστικό της πίνακα. Ο χαρακτηριστικός πίνακας είναι ένας πίνακας n m του οποίου τα στοιχεία r i,j είναι ίσα με 1, όταν α i Rβ j και 0 σε άλλη περίπτωση. Παράδειγμα 7.1.1 Δίνεται η σχέση R=«μικρότερο από» και τα σύνολα {1,2,4} και {1,2,3,5}. Τότε ο χαρακτηριστικός πίνακας 0 1 11 της R θα είναι: 0 0 1 1. 0 0 01 1

Παράδειγμα 7.1.2 Δίνεται η σχέση R=«τέλεια διαίρεση β/α» και τα σύνολα Α={1,2,3} και {1,2,4,6}. Τότε ο χαρακτηριστικός 0 1 11 πίνακας της R θα είναι: 0 1 1 1. 0 0 0 1 Μια σχέση επί του συνόλου Α είναι μια σχέση από το Α στο Α. Μια σχέση R καλείται ανακλαστική (reflexive) αν (x,x) R, για κάθε x στο A. Παράδειγμα 7.1.3 Σε κάθε σύνολο A η σχέση «ισότητας» είναι ανακλαστική σχέση. Ανακλαστική επίσης είναι και η σχέση «διαιρετότητας» στα σύνολα ακεραίων αριθμών. Αντίθετα, η σχέσεις ανισοτήτων είναι μη ανακλαστικές σχέσεις. Κάθε σχέση που ορίζεται επί ενός μη κενού πεπερασμένου συνόλου A με n στοιχεία μπορεί να περιγραφεί από έναν τετραγωνικό πίνακα n n. Αν η σχέση είναι ανακλαστική, τότε τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα είναι ίσα με 1. Αν μια σχέση δεν είναι ανακλαστική στο σύνολο που ορίζεται, είναι πάντα δυνατό να την επεκτείνουμε, αν συμπληρώσουμε με τα διατεταγμένα ζεύγη που λείπουν. Αν δηλαδή το διατεταγμένο ζεύγος (α ι,α j ) δεν συμπεριλαμβάνεται στην ανακλαστική σχέση, τότε μπορεί να προσαρτηθεί σε αυτήν. Όταν προσαρτηθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη που λείπουν, τότε η σχέση καθίσταται ανακλαστική. r Η σχέση που προέκυψε καλείται επεκταμένο περίβλημα του A και θα συμβολίζεται με R. Για παράδειγμα, αναφέρεται ότι η σχέση «μικρότερο ή ίσο από» είναι το επεκταμένο περίβλημα της σχέσης «μικρότερο από». r Η σχέση R είναι το ελάχιστο επεκταμένο περίβλημα από κάθε άλλη ανακλαστική σχέση που είναι ανακλαστική και περιέχει τη σχέση ARA. Αλγόριθμος 7.1.1 i 1; c 0; Αν r ii =0 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 6. i i+1. Αν i n+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 7. O έλεγχος μεταφέρεται στο 2. r i 1; c c+1, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. Αν c=0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 9. r «Η A δεν είναι ανακλαστική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της R είναι [r ij ]. ΤΕΛΟΣ «Η A είναι ανακλαστική». ΤΕΛΟΣ. Ορισμός 7.1.1 Μια σχέση R καλείται συμμετρική (symmetric) αν για κάθε x,y στο X, αν (x,y) R, τότε και (y,x) R. Παράδειγμα 7.1.4 Σε κάθε σύνολο, οι σχέσεις «ισότητας» και «ανισότητας» είναι συμμετρικές σχέσεις. Σε κάθε σύνολο αριθμών, που περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία, οι σχέσεις «μικρότερο από» και «διαιρεί» είναι μη συμμετρική. Αν A είναι πεπερασμένο, μη κενό σύνολο, τότε η σχέση R είναι συμμετρική αν και μόνο εάν ο s χαρακτηριστικός της πίνακας είναι συμμετρικός. Το συμμετρικό περίβλημα R του R είναι η συμμετρική επέκταση του R που περιέχεται σε κάθε άλλη συμμετρική επέκταση του R. Το συμμετρικό περίβλημα προκύπτει για κάθε σχέση R στο Α={α 1,α 2,α 3,,α n } αν για κάθε i<j με α i Rα j προσαρτηθεί στη σχέση και το α j Rα i (εφόσον δεν υπάρχει ήδη στη σχέση). 2

Αλγόριθμος 7.1.2 i 1; c 0; j j+1. Αν j n+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 7. Αν r ij =r ji ο έλεγχος μεταφέρεται στο 6. r ji 1; r ji 1; c c+1. j j+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. i i+1. Αν i=n, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 10. Ο έλεγχος μεταφέρεται στο 2. Αν c 0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 12. «Η Α είναι συμμετρική». ΤΕΛΟΣ. «Η Α δεν είναι συμμετρική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της s R είναι [r ij ]». ΤΕΛΟΣ. Παράδειγμα 7.1.5 Έστω R η σχέση «είναι τετριμμένος διαιρέτης του» και Α={2,3,4,6}. Τότε, ο χαρακτηριστικός πίνακας της R 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 είναι η και ο χαρακτηριστικός πίνακας του 0 0 0 0 0 0 0 0 Τέλος, ο αντίστοιχος του r R θα είναι: 0 0 1 1 0 0 0 1. 1 0 0 0 1 1 0 0 r R είναι: 0 1 0 1. 0 0 1 0 0 0 0 1 Αποδεικνύεται ότι για κάθε σχέση, το συμμετρικό του ανακλαστικού περιβλήματος και το ανακλαστικό του 1 0 1 1 0 1 0 1 συμμετρικού περιβλήματος ταυτίζονται. Ο χαρακτηριστικός τους πίνακας θα είναι:. 1 0 1 0 1 1 0 1 Ο χαρακτηριστικός αυτός πίνακας αντιστοιχεί στη σχέση «είναι διαιρέτης ή πολλαπλασιαστής του». Ορισμός 7.1.2 Μια σχέση R καλείται αντισυμμετρική (antisymmetric) αν για κάθε x,y στο Χ, αν (χ,ψ) R και x y, τότε (y,χ) R. Ορισμός 7.1.3 Μια σχέση R καλείται μεταβατική (transitive) αν για κάθε x,y,z στο Α, αν (x,y) R και (y,z) R, τότε (x,z) R. Παράδειγμα 7.1.6 Σε όλα τα σύνολα, η σχέση «είναι ίσο με» είναι μεταβατική. Αντιπαράδειγμα αποτελεί η σχέση «δεν είναι ίσο με». Για το τελευταίο, να σημειωθεί ότι για κατάλληλα επιλεγμένα στοιχεία του A, η μεταβατική σχέση λειτουργεί, αλλά αυτό δεν ισχύει για κάθε επιλογή των τριών στοιχείων. Άλλο παράδειγμα είναι η σχέση διαιρετότητας «διαιρείται με», η οποία είναι μεταβατική σχέση σε κάθε από το σύνολο των ακεραίων στο οποίο θα εφαρμοστεί. Γενικά ισχύει, ότι αν A είναι μη κενό και πεπερασμένο σύνολο, τότε η Ρ είναι μεταβατική αν και μόνο αν για όλα τα i,j,k, η συνθήκη r ij =1 και r jk =1 συνεπάγει ότι r ik =1. Όπως και στις προηγούμενες 3

περιπτώσεις, είναι και στην περίπτωση της μεταβατικής σχέσης δυνατό, να αναπτυχθεί το μεταβατικό περίβλημα της R. Αν δηλαδή για κάποια επιλογή των i,j,k η συνθήκη r ij =1 και r jk =1 συνεπάγει ότι r ik =0, τότε επεκτείνεται η σχέση με τη μετατροπή σε r ik =1. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να συμπληρωθεί η r ιδιότητα της σχέσης για κάθε επιλογή στοιχείων του A. Το μεταβατικό περίβλημα της R συμβολίζεται ως R. Πρόκειται για το μεταβατικό περίβλημα της R περιέχεται σε κάθε μεταβατική επέκταση της R. Για την επέκταση μιας σχέσης R στο μεταβατικό της περίβλημα, θα χρησιμοποιηθεί ένας αλγόριθμος που οφείλεται στον S. Warshall (1962). Ο Αλγόριθμος 7.1.3 περιλαμβάνει σειρά από βρόγχους, στους οποίους ελέγχεται η ιδιότητα. Ο εξωτερικός βρόγχος θέτει k=1 (που δεν ισχύει) και θέτει στη συνέχεια r ij =1 όπου αυτό απαιτείται. Στη συνέχεια θέτει k=2 και συνεχίζει μέχρι να εξαντληθεί η αρίθμηση και το k. Αλγόριθμος 7.1.3 Του Warshall για το μεταβατικό περίβλημα. k 1; c 0; i 1 j 1 Αν r ij =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. Αν r kj =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. Αν r ik =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. r ij 1; c c+1. Αν j=n ο έλεγχος μεταφέρεται στο 10. j j+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 4. Αν i=n, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 12. i i+1, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. Αν k=n ο έλεγχος μεταφέρεται στο 14. k k+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 2. Αν c=0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 16. t «Η Α δεν είναι μεταβατική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της R είναι [r ij ]». ΤΕΛΟΣ. «Η Α είναι μεταβατική». ΤΕΛΟΣ. Παράδειγμα 7.1.7 Θεωρείται το σύνολο Α={α 1,α 2,α 3,α 4 } και R={(α 1,α 2 ),(α 2,α 3 ),(α 3,α 4 )}. Η σχέση αυτή δεν είναι μεταβατικό περίβλημα, καθώς για παράδειγμα αν i=1, j=3 και k=2 οι, (α 1,α 3 ) και (α 3,α 2 ) δεν περιλαμβάνονται στην R. H εφαρμογή του αλγόριθμου εμπλουτίζει τη σχέση με τα διατεταγμένα ζεύγη: k=1: κανένα k=2: (α 1,α 3 ) k=3: (α 1,α 4 ),(α 2,α 4 ) k=4: κανένα t Τελικά, το R ={(α 1,α 2 ),(α 1,α 3 ),(α 1,α 4 ),(α 2,α 4 ),(α 2,α 3 ),(α 3,α 4 )}. Στη συνέχεια, θα αποδειχθεί ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του αλγόριθμου. Παρατηρούμε πρώτα ότι το αποτέλεσμα είναι επέκταση της δοσμένης σχέσης, επειδή στον χαρακτηριστικό πίνακα αντικαταστάθηκαν τα 0 με 1 και δεν έγινε το αντίθετο. Αυτό σημαίνει ότι η σχέση εμπλουτίστηκεκάθε φορά που μία μονάδα t αντικατέστησε ένα μηδενικό. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι ο R είναι μεταβατική σχέση. Έστω l ο t t μικρότερος ακέραιος για τον οποίο, α i R α i και α i R α j. Αυτό σημαίνει ότι για όλους τους μικρότερους του l t t t ακέραιους το στοιχείο r ij =1. Άρα α i R α j και συνεπώς η R είναι μεταβατική. Τέλος, θα δείξουμε ότι η R είναι η ελάχιστη επέκταση της μεταβατικής σχέσης R. Υποθέτουμε ότι Φ είναι μια μεταβατική σχέσηεπέκταση της R και α i R α j. Για 1 m n, έστω R m είναι η σχέση R εμπλουτισμένη με όλα τα διατεταγμένα t t ζεύγη που πρόσθεσε ο αλγόριθμος για 1 k m. Τότε, R είναι R n. Αν α i R 1 α j τότε ή α i Rα j (οπότε α i Φα j ), ή διαφορετικά α i Rα i και α i Rα j (οπότε α i Φα 1 και α i Φα j από όπου συνεπάγεται ότι α i Φα j. Προκύπτει έτσι, ότι R 1 Φ. Αν α i R 2 α j τότε ή α i R 1 α j (οπότε α i Φα j ) ή διαφορετικά α_i R 1 α 2 και α 2 R 1 α j, (οπότε α i Φα 2 και α 2 Φα j ), από όπου συνεπάγεται ότι α i Φα j. Προκύπτει έτσι, ότι R 2 Φ. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο θα t προκύψει τέλος ότι R n Φ. Αυτό σημαίνει ότι η Φ είναι επέκταση της R. 4

Αν R σχέση από σύνολο Χ σε σύνολο Υ, η αντίστροφη (inverse) της R, συμβολίζεται R 1, είναι η εξής σχέση από το Υ στο Χ: R 1 ={(y,x) (x,y) R}. Αν R 1 σχέση από σύνολο Χ σε σύνολο Υ και R 2 σχέση από το σύνολο Υ σε σύνολο Ζ, η σύνθεση (composition) των R 1 και R 2, συμβολίζεται R 1 R 2, είναι σχέση από το Χ στο Ζ που ορίζεται ως εξής: R 1 R 2 ={(x,z) (x,y) R 1 και (y,z) R 2,για κάποιο y στο Υ}. Μια σχέση ισοδυναμίας επί του συνόλου A είναι μια σχέση ανακλαστική και συμμετρική και μεταβατική. Παράδειγμα 7.1.8 Σε κάθε σύνολο, η σχέση «ισούται» είναι σχέση ισοδυναμίας. Σε κάθε σύνολο λογικών προτάσεων, η σχέση «είναι ισοδύναμη με» είναι σχέση ισοδυναμίας. Στο σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών, μια σχέση ισοδυναμίας ορίζεται αν δοθέντος ακεραίου n, δυο ακέραιοι α και β έχουν διαφορά διαιρετή δια του n. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο αριθμοί είναι ισότιμα διαιρετοί (congruent modulo) με έναν συγκεκριμένο αριθμό, εάν δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με τον αριθμό αυτό. Έτσι, οι ακέραιοι 19 και 64 είναι ισότιμα διαιρετοί με τον ακέραιο αριθμό 5. Ή αλλιώς, 19-64=-25=5(-5). Η μαθηματική διατύπωση είναι 19 64mod5 ή γενικά αναφερόμενοι στους αριθμούς α και β, για τους οποίους ισχύει ότι α και β είναι ισότιμα διαιρετοί με τον n, γράφουμε α β mod n. Προκειμένου για δυο αριθμούς Δ και δ, γνωστός αλγόριθμος της διαίρεσης είναι Δ=δ π+υ, όπου 0 υ<δ. Ο Δ καλείται διαιρετέος ενώ ο δ καλείται διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Προφανώς, Δ-υ=δ π, άρα Δ υ mod δ. Από αυτό συνεπάγεται ότι κάθε ακέραιος είναι ισότιμα διαιρετός δ με κάποιο από τους ακεραίους 0,1,,(n-1). Η σχέση ισότιμης διαιρετότητας για δυο ακέραιους αριθμούς οδηγεί σε μοναδικό αποτέλεσμα, δηλαδή σε κάθε ακέραιος αριθμός ισότιμα διαιρετό του n αντιστοιχεί ένας και μόνο ένας αριθμός από το σύνολο {0,1,,n-1}. Πράγματι, αν υποτεθεί ότι x r 1 mod n και συγχρόνως x r 2 mod n, όπου 0 r 1,r 2 <n. Για τους δύο αυτούς ακέραιους r 1 και r 2 θα ισχύει ότι r 1 r 2 mod n, και έτσι η διαφορά r 1 -r 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του n. Αυτό σημαίνει ότι -n<r 1 -r 2 <n, ενώ συγχρόνως πρέπει να είναι και ακέραιο πολλαπλάσιο του n. Εξ αυτού συνεπάγεται ότι r 1 -r 2 =0. Το σύνολο Z n ={0,1,,n-1} θα καλείται σύνολο των ακεραίων mod n. Η ισότιμη διαιρετότητα n διατηρεί τόσο την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Για τα στοιχεία x,x 1,y,y 1 Z. Αν x=x 1 mod n και y=y 1 mod n, τότε, x+y=x 1 +y 1 mod n και xy=(x 1 y 1 )mod n. Για την απόδειξη υποθέτουμε ότι x-x 1 =nq 1 και y-y 1 =nq 2 για κάποια q 1,q 2 Z. Τότε x+y-(x 1 +y 1 )=xx 1 +y-y 1 =nq 1 +nq 1 =nq 1 +q 2 ). Επειδή, q 1 +q 2 Z συνεπάγεται x+y=(x 1 +y 1 )mod n. Επιπλέον, xy-x 1 y 1 =xy-(xnq 1 )(y-nq 2 )=xy-(xy-xnq 2 +ynq 1 +n 2 q 1 q 2 )=n(xq 2 +yq 1 +nq 1 q 2 ). Τότε, xq 2 +yq 1 +nq 1 q 2 είναι και αυτός ένας ακέραιος αριθμός Έτσι αποδείχτηκε ότι xy=(x 1 y 1 )mod n. Επειδή κάθε ακέραιος αριθμός είναι ισότιμα διαιρετός με έναν μόνο αριθμό του συνόλου Z n. Παράδειγμα 7.1.9 Έστω n=5. Τότε Z 5 ={0,1,2,3,4}. Επειδή 3+4=7 και 7 2(mod5). Άρα, αν x=3mod 5 και y=4mod 5, τότε x+y=2mod 5. Για τον πολλαπλασιασμό έχουμε αντίστοιχα, 2 4=8 3mod 5 για τις ειδικές αυτές πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ισότιμα διαιρετών αριθμών, οι πίνακες είναι: + 5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 5

5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 3 3 2 1 + 6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 6 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 όπου + 5, 5, + 6 και 6 συμβολίζουν τις πράξεις, όπως αυτές ορίστηκαν σε σύνολα 5 ή 6 στοιχείων. Ορισμός 7.1.4 Διαμέλιση συνόλου Α είναι δημιουργία ενός αριθμού μη κενών υποσυνόλων που αποτελούνται από το σύνολο των στοιχείων του Α και κάθε στοιχείο του Α ανήκει σε ένα μόνο υποσύνολο της διαμέλισης. Είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια διαμέλιση του συνόλου Α με χρήση μια σχέσης ισοδυναμίας R. Η κλάση ισοδυναμίας του α υπό την R, [α]={x A:xRa}. Παράδειγμα 7.1.10 Έστω, Α={1,2,3,4,5} και η R είναι η σχέση ισότιμης ισοδυναμίας mod3. Τότε, [1]={1,4}, [2]={2,5}, [3]={3}, [4]=[1] και [5]=[2]. Θεώρημα 7.1.1 Έστω A ένα μη κενό σύνολο και R μια σχέση ισοδυναμίας στο Α. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας του Α υπό τη σχέση R είναι μια διαμέλιση του Α. Αν P είναι μια διαμέλιση του Α τότε υπάρχει μοναδική σχέση ισοδυναμίας υπό την οποία προκύπτει η συγκεκριμένη διαμέλιση του Α. Απόδειξη " " Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας R και έστω xry={[α]:α Α} η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας στοιχείων του Α. Σύμφωνα με τον Ορισμό 7.1.4, κάθε μέλος του Ρ είναι ένα υποσύνολο του Α. Αν α Α, τότε α [α], επειδή αrα και εξ αυτού συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχουν κενά σύνολα στο Ρ. Στη συνέχεια θα δειχτεί ότι αν δυο στοιχεία [α] και [β] περιέχουν το στοιχείο γ, τότε ισχύει ότι [α]=[β]. Πράγματι, γ [α] γrα και λόγω της συμμετρικής ιδιότητας γrα. Σύμφωνα με τη μεταβατική ιδιότητα, xrα and αrγ xrγ. Ομοίως επειδή γ [β] γrβ και λόγω της συμμετρικής ιδιότητας γrβ. Σύμφωνα με τη μεταβατική ιδιότητα, xrγ and γrβ xrβ. Έτσι, x [α] και x [β]. Έτσι αποδείχτηκε ότι κάθε στοιχείο του Α βρίσκεται σε ένα και μόνο του P και κατά συνέπεια ότι P αποτελεί διαμέλιση του Α. Στη συνέχεια, υποθέτουμε ότι Ρ είναι μια διαμέλιση του Α. Ορίζουμε μια σχέση R στο Α με τον ακόλουθο τρόπο: xry αν και μόνο αν x και y ανήκουν στο ίδιο μέλος της Ρ. Θα δείξουμε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας. Για τον σκοπό αυτό και επειδή η σχέση είναι ανακλαστική και συμμετρική, αρκεί να δείξουμε ότι είναι και μεταβατική. Υποθέτουμε ότι για τα στοιχεία x, y και z, ισχύει ότι xry και yrz. Αυτό σημαίνει ότι x και y βρίσκονται στο ίδιο μέλος της διαμέλισης, ενώ τα στοιχεία y και z βρίσκονται σε ένα άλλο μέλος της διαμέλισης Ρ του Α. Έστω ότι αυτά τα μέλη είναι τα Β και Γ αντίστοιχα. Το στοιχείο y θα βρίσκεται 6

συγχρόνως στο Β και στο Γ και από αυτό συμπεραίνεται ότι Β=Γ και ότι x και y ανήκουν στο ίδιο μέλος της P επειδή xrz. Αποδείχτηκε λοιπόν ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας στο Α. " " Τέλος, θα δειχτεί ότι Ρ είναι η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της R. Υποθέτουμε ότι α [α] και α είναι μέλος του Δ του Ρ. Τότε, [α]={x Α:x και α ανήκουν στο ίδιο μέλος της Ρ}={x Α:x Δ}=Δ. Άρα, κάθε κλάση ισοδυναμίας ανήκει στο Ρ. Αλλά και αντίστροφα, κάθε μέλος της Ρ είναι κλάση ισοδυναμίας. Όπως δείχτηκε η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της R είναι η Ρ. Μένει να δείξουμε τη μοναδικότητα της σχέσης R. Υποθέτουμε ότι R' είναι μια κλάση ισοδυναμίας στο Α και Ρ η οικογένεια των κλάσεων ισοδυναμίας. Θα δείξουμε ότι R'=R. Θεωρούμε το αr'β από το οποίο προκύπτει ότι η κλάση ισοδυναμίας του α υπό τη σχέση R' είναι το μέλος Β του Ρ. Το Β περιέχει τα α και β. Κατά συνέπεια θα είναι αrβ. Αλλά Β είναι και κλάση ισοδυναμίας υπό την R' διότι α Β. Έτσι, επειδή β Β έχουμε ότι βr'α και αr'β. Έτσι, προκύπτει ότι το ζητούμενο. 7.2. Μερικώς Διατεταγμένα Σύνολα, Πλέγματα και Άλγεβρες Boole Ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι ένα σύνολο Α εφοδιασμένο με μια σχέση R. Η R καλείται μερική διάταξη για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: Αν x, y και z είναι στοιχεία του Α: 1. Ανακλαστική: xrx 2. Αντισυμμετρική: Αν xry και yrx, τότε x=x 3. Μεταβατική: Αν xry και yrz, τότε xrz Η συζήτηση περί ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου Α, με τη σχέση διάταξης. Σε αυτό το κεφάλαιο η σχέση δεν θα αναγνωστεί υποχρεωτικά ως «μικρότερο ή ίσο» αλλά ως «είναι μέρος του». Ορισμός 7.2.1 Δυο στοιχεία x, y του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ) θα λέγονται συγκρίσιμα αν x y ή y x και θα λέγονται μη συγκρίσιμα σε κάθε άλλη περίπτωση. Τα μερικώς διατεταγμένα σύνολα (Α, ) θα λέγονται γραμμικώς διατεταγμένα αν ισχύουν οι επόμενοι νόμοι. 4. Νόμος της Συγκρισιμότητας: Αν κάθε δυο στοιχεία του Α είναι μεταξύ τους συγκρίσιμα. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ), όπου Α οποιοδήποτε σύνολο αριθμών, καθώς και το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Β,"λεξικογραφική διάταξη"), όπου Β σύνολο λέξεων, είναι γραμμικώς διατεταγμένα. Για άλλα μερικώς διατεταγμένο σύνολα δεν ισχύει πάντα η ιδιότητα αυτή. Για παράδειγμα, αν Α={1,2,4,8}, τότε το (Α,/) είναι γραμμικώς διατεταγμένο αλλά για το Β={1,2,3,4} το (Β,/) δεν είναι γραμμικώς διατεταγμένο. Άλλο παράδειγμα είναι το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Γ, ), όπου Γ={Ø,{1},{1,2},{1,2,3}}, η σχέση είναι γραμμική, ενώ για (Δ, ) με Δ={Ø,{1},{1,2},{2,3}} η σχέση δεν είναι γραμμική. Για το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) ορίζεται η x y είναι ισοδύναμη με την y x. Αντίστοιχα η x<y είναι ισοδύναμη με την y>x. Κάθε γραμμικώς διατεταγμένο (Α, ) έχει και την ιδιότητα (5). Νόμος της τριχοτομίας: Για κάθε x και y στο Α μια ακριβώς από τις σχέσεις ισχύει: x<y ή y=x ή y>x. Ορισμός 7.2.2 Ένα στοιχείο θ Α και Β Α, θα καλείται άνω φράγμα του Β, αν β Β,β θ. Ορισμός 7.2.3 Ένα στοιχείο λ Α και Β Α, θα καλείται κάτω φράγμα του Β, αν β Β,β λ. 7

Υποθέστε ότι δίνεται το (Α,/), όπου Α είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών. Αν Β={6,8} τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών (24) και όλα τα πολλαπλάσιά του αποτελούν ανώτερα φράγματα του Β. Επίσης, οι αριθμοί 1 και 2 είναι τα μόνα κατώτερα φράγματα του Β. Αν στο ίδιο παράδειγμα θεωρήσουμε αντί του Α, το σύνολο P των πρώτων αριθμών, τότε δεν υπάρχει ανώτερο φράγμα, ενώ κατώτερο φράγμα θα είναι μόνο ο αριθμός 1. Υποθέστε τώρα ότι στο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) το σύνολο Α έχει ένα ανώτερο φράγμα κ. Αν και το λ είναι ανώτερο φράγμα του Α, τότε κ λ, αλλά και λ κ. Έτσι, προκύπτει ότι κ=λ. Συμπεραίνεται λοιπόν ότι το ανώτερο φράγμα του ίδιου του συνόλου Α είναι μοναδικό, εφόσον βέβαια αυτό υπάρχει. Αντίστοιχα, ισχύει ότι και το κατώτερο φράγμα του ίδιου του συνόλου Α είναι μοναδικό, εφόσον βέβαια αυτό υπάρχει. Ορισμός 7.2.4 Το κατώτερο και ανώτερο φράγμα του Α (εφόσον υπάρχουν) καλούνται μέγιστο κατώτερο στοιχείο και ελάχιστο ανώτερο στοιχείο του Α. Ορισμός 7.2.5 Έστω Β υποσύνολο του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Ένα στοιχείο θ του Α καλείται ανώτερο πέρας του Β, αν είναι το ελάχιστο από όλα τα ανώτερα φράγματα του Β. Αντίστοιχα, κατώτερο πέρας του Β θα καλείται το μέγιστο από τα κατώτερα φράγματα του Β. Με αντίστοιχο τρόπο ορίζεται το ανώτερο πέρας του υποσυνόλου Β του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Το άνω πέρας του Β, συμβολίζεται με supβ (supremum του Β) ενώ το κάτω πέρας με infb (infinum του Β). Παράδειγμα 7.2.1 Στο σύνολο R εφοδιασμένο με τη σχέση θεωρούμε το Β={x:x 2 <3}. Αν x 2 τότε x 2 4 και για αυτό όταν x 2 <3 τότε x<2. To 2 είναι ανώτερο φράγμα για το Β. Επίσης, για όλα τα στοιχεία x του Β x<1,8 άρα το x=2 είναι δεν είναι ελάχιστο ανώτερο φράγμα. Είναι γνωστό άλλωστε ότι το ελάχιστο ανώτερο φράγμα του Β είναι το x= 3,όπου 1,8< 3<2. Παράδειγμα 7.2.2 Το σύνολο όλων των άρτιων ακεραίων Ε εφοδιασμένο με τη σχέση, δεν διαθέτει άνω φράγματα και κατά συνέπεια δεν έχει και ελάχιστο ανώτερο φράγμα. Έχει όμως μέγιστο κατώτερο φράγμα τον αριθμό 2. Έστω ότι x και y είναι στοιχεία του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Το υποσύνολο {x,y} του Α έχει δυο στοιχεία, εφόσον x y ή έχει ένα μόνο στοιχείο αν x=y. Το ελάχιστο ανώτερο φράγμα και το μέγιστο κατώτερο φράγμα ενός συνόλου σαν και αυτό (όταν υπάρχουν) συμβολίζονται ως sup{x,y}=x y και inf{x,y}=x y αντίστοιχα. Θα δειχτεί στη συνέχεια, ότι ο συμβολισμός αυτός αντιστοιχεί σε μια γενίκευση των προηγούμενων. Για το σκοπό αυτό θεωρήστε το σύνολο των προτάσεων με τη σχέση διάταξης του συμπερασμού, όπου ισοδύναμες προτάσεις θεωρούνται ίσες. Έστω ότι το σύνολο Α περιέχει τις τέσσερεις προτάσεις α,β,{α β},{α β}. Επειδή α α ή β και β α ή β παρατηρεί κανείς ότι α α ή β και β α ή β, που σημαίνει ότι το α ή το β είναι ένα άνω φράγμα του {α,β}. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι γ είναι ένα άλλο άνω φράγμα του {α,β}. Τότε, α γ και β γ αλλά τότε α ή β γ δηλαδή α ή β γ. Άρα α ή β είναι το ελάχιστο ανώτερο φράγμα του {α,β}, που σημαίνει ότι α β=α ή β. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι α β=α ή β. Παράδειγμα 7.2.3 Έστω Ω ένα σύνολο και Α το μερικώς διατεταγμένο σύνολο όλων των υποσυνόλων του Ω με σχέση εγκλεισμού την. Αν Β Α και Γ Α (που σημαίνει ότι Β Α και Γ Α). Τότε Β Γ=Β Γ και Β Γ=Β Γ. Παράδειγμα 7.2.4 Έστω Α το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων με σχέση διάταξης την /. Αν ξ Α και τ Α, τότε ξ τ=μ.κ.δ.(ξ,τ) (όπου Μ.Κ.Δ. είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) και ξ τ=ε.κ.π.(ξ,τ) (όπου Ε.Κ.Π. το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των ξ και τ. 8

Έστω x και y στοιχεία του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Αν x y, τότε μαζί με την y y, θα είναι x y y. Επειδή όμως ισχύει ότι y x y, συνεπάγεται ότι x=x y. Αλλά και αντιστρόφως, όταν y=x y τότε x x y=y και συνεπώς x y. Από τη διαδικασία αυτή συμπεραίνεται ότι x y τότε και μόνο τότε όταν x y=y. Ομοίως αποδεικνύεται ότι x y μόνο όταν x y=y. Αποδείχτηκε έτσι ότι οι προτάσεις x y, x=x y και x y=y είναι ισοδύναμες. Ορισμός 7.2.6 Ένα πλέγμα (lattice) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε ζεύγος στοιχείων {x,y} έχει τουλάχιστον ένα ελάχιστο ανώτερο φράγμα x y και ένα μέγιστο κατώτερο φράγμα x y Ο όρος πλέγμα συναντάται στην ελληνική βιβλιογραφία και ως κάνναβος ή και δικτυωτό. Ορισμός 7.2.7 Ένα στοιχείο λ Α και Β Α, θα καλείται κάτω φράγμα του Β, αν β Β,β λ. Παράδειγμα 7.2.5 Στο πλέγμα όλων των υποσυνόλων του {x,y,z}, που διατάσσεται με τη σχέση του περιέχεσθαι, το στοιχείο {x} καλύπτεται από το {x,y}. Παράδειγμα 7.2.6 Στο πλέγμα {2,4,8,16}, που διατάσσεται με τη σχέση /, το στοιχείο 2 δεν καλύπτεται από το 8 διότι 2/4 και 4/8. Το 4 όμως καλύπτεται από το 8. Κάθε πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) μπορεί να παρασταθεί με ένα διάγραμμα κατά Hasse. Στα διαγράμματα Hasse κάθε στοιχείο αναπαρίσταται με ενώ για τα καλύμματα όπως κ λ με μια γραμμή κατακόρυφη ή με κλίση προς τα άνω. Παράδειγμα 7.2.7 Το διάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ), όπου Α={x,y,z,v,w} και y<z<w, x<z και v<w, παρουσιάζεται στο Σχήμα 7.2.1. Σχήμα 7.2.1 Δάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου στο Παράδειγμα 7.2.7. Προφανώς, το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) δεν είναι πλέγμα διότι δεν υπάρχουν τα x y και z v. 9

Παράδειγμα 7.2.8 Να κατασκευαστεί το πλέγμα όλων των υποσυνόλων του Β={1,2,3} διατάσσεται με τη σχέση του περιέχεσθαι. Απάντηση Το Ελάχιστο Στοιχείο του Β Είναι το Ø, ενώ Μέγιστο Είναι το Σύνολο Β. Σχήμα 7.2.2 Διάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου στο Παράδειγμα 7.2.8. Ορισμός 7.2.8 Ένα πλέγμα (Δ, ) είναι επιμεριστικό, αν για κάθε τρία στοιχεία του, κ, λ, μ ισχύει ότι κ (λ μ)=(κ λ) (κ μ) και κ (λ μ)=(κ λ) (κ μ). Παράδειγμα μη επιμεριστικού πλέγματος μπορεί να είναι και το πλέγμα του Σχήματος 7.2.3. 10

Σχήμα 7.2.3 Μη επιμεριστικό πλέγμα : διακρίνεται ότι κ (λ μ)=κ 1=κ ενώ (κ λ) (κ μ)=0 0=0. Παράδειγμα επιμεριστικού πλέγματος είναι και το σύνολο των θετικών ακεραίων εφοδιασμένο με τη σχέση /. Επιλέξτε τρεις οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους, όπως λόγου χάρη τους 4, 5 και 12. Θα ισχύει ότι 6 (8 15)=6 120=6. Επίσης ισχύει ότι (6 8) (6 15)=2 3=6. Υπενθυμίζεται ότιτο παράδειγμα δεν αποτελεί απόδειξη της πρότασης. Η απόδειξη μένει να γίνει από τον αναγνώστη. Και ενώ όπως προηγούμενα παρουσιάστηκε, ο νόμος της επιμεριστικότητας δεν ισχύει σε κάθε πλέγμα, πολλές από τις ιδιότητες της άλγεβρας Boole αποδεικνύεται ότι ισχύουν για κάθε πλέγμα. Ορισμός 7.2.9 Σε ένα πλέγμα (Α, ) με 0 και 1, ορίζεται ως συμπλήρωμα του στοιχείου α, κάθε στοιχείο x για το οποίο ισχύει ότι α x=1 και α x=0. Είναι γνωστό ότι στα κυκλώματα διακοπτών, κάθε στοιχείο α έχει μοναδικό συμπλήρωμα α. Αυτό όμως δεν είναι αληθές για πλέγματα με 0 και 1. Ορισμός 7.2.10 Ένα πλέγμα θα λέγεται συμπληρωμένο αν έχει μεταξύ των στοιχείων του τα στοιχεία 0 και 1 και επιπλέον κάθε στοιχείο του διαθέτει συμπλήρωμα (ή συμπληρώματα). Μια άλγεβρα Boole είναι ένα επιμεριστικό συμπληρωμένο δικτυωτό πλέγμα. Ως άλγεβρα Boole, το πλέγμα διαθέτει όλες τις ιδιότητες που την χαρακτηρίζουν. Μένει λοιπόν να δειχτεί ότι κάθε στοιχείο α στην άλγεβρα Boole (B, ). Έστω, x=x 1=x (α y)=(x α) (x y)=0 (x y)=(y α) (x y)=y (α x)=y 1=y. Συνεπώς, x=y. Παράδειγμα 7.2.9 Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Παραδείγματος 7.2.8 τα οποία διατάσσονται με τη σχέση του εγκλεισμού είναι μια άλγεβρα Boole. 11

7.3. Μονοειδή και Ομάδες Έστω τα μη κενά σύνολα Α και Β. Το καρτεσιανό γινόμενο Α Β των πεπερασμένων συνόλων Α και Β, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x,y), όπου το x είναι στοιχείο του Α και το y είναι στοιχείο του Β. Παράδειγμα 7.3.1 Δίνονται τα σύνολα Α={α,β} και Β={1,2,3}. Το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β είναι το σύνολο: Α Β={ (α,1),(α,2),(α,3),(β,1),(β,2),(β,3)}. Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, για να σχηματίσουμε το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β, παίρνουμε το πρώτο στοιχείο του συνόλου Α και σχηματίζουμε όλα τα δυνατά ζεύγη με όλα τα στοιχεία του Β. Στη συνέχεια παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο του Α και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία κ.ο.κ. Αν Α=Β=S, τότε, σε κάθε μη κενό σύνολο S, είναι δυνατό να οριστεί ένας τρόπος σύνθεσης δύο στοιχείων αυτού, για να προκύψει είτε ένα στοιχείο αυτού είτε ένα στοιχείο που δεν ανήκει στο σύνολο S, είτε τέλος μια σύγκριση ή ένας εγκλεισμός. Αυτός ο τρόπος σύνθεσης αποτελεί μια σχέση μεταξύ των δυο στοιχείων και για αυτό καλείται διμελής σχέση ή πράξη, ανάλογα με τη μορφή της. Έτσι, διμελής σχέση f σε ένα σύνολο S είναι μια συνάρτηση από το καρτεσιανό γινόμενο S S στο S. Αν f:s S S είναι μια διμελής σχέση και (x,y) S S είναι δυνατό να υιοθετήσουμε μια από τις ακόλουθες τρεις συμβολικούς τρόπους γραφής: Συμβολισμός προθέματος (profix notation) f((x,y))=fxy, ή πολωνικός συμβολισμός. Συμβολισμός μεταθέματος (postfix notation) f((x,y))=xyf, ή αντίστροφος πολωνικός συμβολισμός. Συμβολισμός διαθέματος (infix notation) f((x,y))=xfy. Συνήθως, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός διαθέματος, όπου το σύμβολο της σχέσης ή της πράξης τοποθετείται μεταξύ των στοιχείων του συνόλου, που συμμετέχουν σε αυτή. Ο συμβολισμός αυτός αναγνωρίζεται ως εξής: Το στοιχείο x σχετίζεται με y (στην f): (x, y) f. Στις διμελείς σχέσεις ή πράξεις αναγνωρίζουμε τα σύνολα, τα κατηγορήματα και τη συσχέτιση. Κατηγόρημα είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σχετιζόμενων στοιχείων, ενώ συσχέτιση είναι πίνακες Boole που περιγράφουν τον προσανατολισμένο γράφο. Παράδειγμα 7.3.2 Έστω τα σύνολα Α={α,β,γ}, Β={1,2,3,4} και η σχέση f:α Β, που δίνεται με την f={(α,1),(α,4),(β,2),(β,4),(γ,1),(γ,3)}. Η αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα 7.3.1. Σχήμα 7.3.1 Αναπαράσταση της διμελούς σχέσης που συνδέει τα στοιχεία των συνόλων Α και Β. 12

Η διμελής σχέση του Σχήματος 7.3.1 μπορεί να παρασταθεί με πίνακα Boole: Πίνακας 7.3.1 Στον πίνακα σημειώνονται με 1 τα διατεταγμένα ζεύγη. 1 2 3 4 α 1 0 0 1 β 0 1 0 1 γ 0 0 1 0 Όταν η διμελής σχέση f A A συνδέει τα στοιχεία του Α μεταξύ τους, όπως στο Σχήμα 7.3.2, τότε το σύνολο των δυνατών σχέσεων δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο του πλήθους των στοιχείων του Α. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το προσανατολισμένο γράφημα που συνδέει τα στοιχεία του Α={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Σχήμα 7.3.2 Το γράφημα της σχέσης f A A, όπου Α={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Αναφέρονται στη συνέχεια μια σειρά από γνωστές διμελείς σχέσεις: Ισότητα με σύμβολο =. Ανισότητα με σύμβολο. Μικρότερο από με σύμβολο <. Μεγαλύτερο από με σύμβολο >. Μικρότερο ή ίσο με σύμβολο. Μεγαλύτερο ή ίσο με σύμβολο. Ισοδυναμία με σύμβολο ~, (αφορά σύνολα συνόλων, ή λογικών προτάσεων). Εκ ταυτότητος ίσο με σύμβολο. Supremum με σύμβολο σε σύνολα. Infinum με σύμβολο σε σύνολα. Οι πλέον γνωστοί εγκλεισμοί είναι: Υποσύνολο με σύμβολο. Γνήσιο υποσύνολο με σύμβολο. Κάλυμμα με το σύμβολο για σύνολα συνόλων. Τέλος, γνωστές πράξεις είναι: Πρόσθεση με σύμβολο +, στα σύνολα αριθμών. Αφαίρεση με σύμβολο -, στα σύνολα αριθμών. Πολλαπλασιασμός με σύμβολο, στα σύνολα αριθμών. 13

Διαίρεση με σύμβολο /, στα σύνολα αριθμών. Τομή με σύμβολο, σε σύνολα συνόλων. Ένωση με σύμβολο, σε σύνολα συνόλων. Σύζευξη με σύμβολο, σε σύνολα λογικών προτάσεων. Διάζευξη με σύμβολο, σε σύνολα λογικών προτάσεων. Πρόσθεση με σύμβολο +, σε σύνολα k l πινάκων. Αφαίρεση με σύμβολο -, σε σύνολα k l πινάκων. Πολλαπλασιασμός με σύμβολο, σε σύνολα τετραγωνικών πινάκων. Παράδειγμα 7.3.3 Η μελέτη των διμελών σχέσεων ή πράξεων, γενικότερα των διμελών τελεστών, αποδείχτηκε ότι είναι από μόνη της ένας σημαντικός τομέας της μαθηματικής επιστήμης. Διαπιστώθηκε ότι σημαντικά αποτελέσματα σε διαφορετικές περιοχές των μαθηματικών μπορούν να γενικευτούν σε ενιαία θεωρήματα της περιοχής αυτής. Επιπλέον, προκύψαν πολλές νέες ιδέες για τη μαθηματική έκφραση και προτυποποίηση των φυσικών φαινομένων. Η μελέτη των διμελών τελεστών ονομάζεται άλγεβρα. Οι αλγεβρικές δομές δημιουργούνται από ένα σύνολο S, το οποίο είναι εφοδιασμένο με μια ή περισσότερες πράξεις που συνδέουν τα στοιχεία του. Οι πράξεις συνοδεύονται και από μια σειρά ιδιοτήτων. Οι αλγεβρικές δομές διαφέρουν μεταξύ τους και ως προς τα τρία αυτά συστατικά. Διαφέρουν δηλαδή και ως προς τη μορφή του συνόλου, το είδος της (ή των πράξεων) καθώς και ως προς τις ιδιότητες που συνοδεύουν τις πράξεις. Οι πλέον γνωστές αλγεβρικές δομές είναι: Η άλγεβρα των πραγματικών αριθμών. Η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών. Η άλγεβρα των πινάκων. Η άλγεβρα των διανυσμάτων. Η άλγεβρα της λογικής (άλγεβρα Boole). Η άλγεβρα των συνόλων. Οι αλγεβρικές δομές, ανάλογα με το είδος των πράξεων και τις ιδιότητες που συνοδεύουν αυτές, κατηγοριοποιούνται σε έναν περιορισμένο αριθμό ειδικών μορφών, που διαφέρουν και ως προς το όνομά τους. Έτσι, διακρίνουμε τις τρεις μεγάλες κατηγορίες που είναι: Ομάδες. Δακτύλιοι. Σώματα. Κάθε μια κατηγορία περιέχει έναν αριθμό υποκατηγοριών. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτυχθούν ορισμένα θέματα που αφορούν τις ομάδες και την υποκατηγορία αυτών που λέγοντα μονοειδή. Παράδειγμα 7.3.4 Το σύνολο Z των ακεραίων είναι ομάδα με πράξη τη συνήθη πρόσθεση. Πράγματι, τα τρία παραπάνω αξιώματα, ως προς την πράξη αυτή, ισχύουν εφόσον: α+(b+c)=(α+b)+c, για κάθε α,b,c Z. Υπάρχει ο ακέραιος 0, έτσι ώστε να ισχύει 0+α=α=α+0, για κάθε α Z. Για κάθε α Z, υπάρχει ο αντίθετος -α Z, έτσι ώστε να ισχύει α+(-α)=0=(-α)+α. Το σύνολο Z με πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασμό ικανοποιεί τα δύο πρώτα αξιώματα, δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική, και υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο που είναι ο ακέραιος 1. Όμως, κάθε ακέραιος δεν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, ο ακέραιος 0 δεν έχει αντίστροφο. Επομένως το Z δεν είναι ομάδα ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. 14

Υπό ορισμένες συνθήκες στις άλγεβρες ισχύει και σύνθεση των διμελών σχέσεων. Για παράδειγμα στην άλγεβρα των πραγματικών αριθμών, οι διμελείς σχέσεις καλούνται συναρτήσεις. Η σύνθεση των συναρτήσεων f και g συμβολίζεται f g. Με τον τρόπο αυτό, το στοιχείο x του συνόλου αναφοράς (ή ορισμού) της g απεικονίζεται στο σύνολο τιμών της g:a B. Στη συνέχεια η f στέλνει την εικόνα του x από το σύνολο τιμών της g σε μια εικόνα του συνόλου τιμών της f, (f:b C). Όταν C=A, τότε η f g είναι διμελής λειτουργία στο σύνολο όλων των συναρτήσεών του. Παράδειγμα 7.3.5 Έστω οι συναρτήσεις f:r R και g:r R, που ορίζονται με τις σχέσεις f(x)=5x+1 και g(x)=x 2 +3x+1 αντίστοιχα. Οι συνθέσεις μπορεί να είναι είτε η f g(x)=f(x 2 +3x+1)=5(x 2 +3x+1) 2 +1 =5(x 4 +9x 2 +1+6x3+2x 2 +6x) =5(x 4 +6x 3 +11x 2 +6x+1) =5x 4 +30x 3 +55x 2 +30x+1. είτε η g f(x)=g(5x 2 +1)=(5x 2 +1) 2 +3(5x 2 +1)+1 =25x 4 +10x 2 +1+15x 2 +3+1 =25x 4 +25x 2 +5. Από την ανάπτυξη των συνθέσεων προκύπτει ότι f g g f. Παράδειγμα 7.3.6 Έστω οι διμελείς σχέσεις f:α Α και g:α Α που ορίζονται στο A={1,2,3} με τις απεικονίσεις f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 και g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1. Οι συνθέσεις των συναρτήσεων θα είναι: f g(1)=1, f g(2)=3, f g(3)=2, g f(1)=2, g f(2)=1 και g f(3)=3. Οι διμελείς σχέσεις χαρακτηρίζονται και από μια σειρά ιδιοτήτων. Έτσι, αν συμβολίζουμε μια διμελή σχέση με το σύμβολο, η προσεταιριστική ιδιότητα ορίζει ότι για τρία στοιχεία α, β και γ του συνόλου Α, θα είναι: α (β γ)=(α β) γ. Να σημειωθεί ότι οι περισσότερες διμελείς σχέσεις δεν είναι προσεταιριστικές. Παράδειγμα 7.3.7 Αν A={α,β} και η σχέση ορίζει ότι α α=β, α β=α, β α=β και β β=β, να ελεγχτεί αν η διμελής σχέση είναι προσεταιριστική. Η απάντηση είναι αρνητική, αφού υπάρχει τουλάχιστον ένα παράδειγμα όπου δεν ισχύει η ιδιότητα αυτή. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι και το (α α) α α (α α). Παράδειγμα 7.3.8 Θεωρήστε τρεις συναρτήσεις f 1 :Α Α,f 2 :Α Α και f 3 :Α Α. Τότε x A θα είναι: [f 1 (f 2 f 3 )](x)=f 1 ([f 2 f 3 ])(x) =f 1 (f 2 (f 3 ))(x) =[f 1 f 2 ](f 3 (x)) =[(f 1 f 2 ) f 3 ](x). Αυτό σημαίνει ότι τόσο η f 1 (f 2 f 3 ), όσο και η (f 1 f 2 ) f 3 ορίζουν την ίδια συνάρτηση. Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική διμελής σχέση. Ορισμός 7.3.1 Κάθε μη κενό σύνολο S εφοδιασμένο με μια προσεταιριστική πράξη λέγεται ημιομάδα. Μια ημιομάδα M με μοναδιαίο στοιχείο λέγεται μονοειδές. Τέλος, ένα μονοειδές G λέγεται ομάδα, όταν για κάθε στοιχείο υπάρχει αντίστροφο. Έτσι, για παράδειγμα ένα σύνολο G εφοδιασμένο με μια πράξη, την οποία θα συμβολίζουμε με το σημείο του πολλαπλασιασμού, θα είναι ομάδα, όταν ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα. 15

α(bc)=(αb)c, για κάθε α,b,c G. Υπάρχει στοιχείο e G, τέτοιο ώστε να ισχύει eα=α=αe, για κάθε α G. Για κάθε α G, υπάρχει κάποιο στοιχείο α -1 G, τέτοιο ώστε να ισχύει αα -1 =e=α -1 α. Το σύνολο Z με πράξη τον συνήθη πολλαπλασιασμό ικανοποιεί τα δύο πρώτα αξιώματα, δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική, και υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο που είναι ο ακέραιος 1. Όμως, κάθε ακέραιος δεν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, ο ακέραιος 0 δεν έχει αντίστροφο. Επομένως το Z δεν είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Η ομάδα είναι η μικρότερη αλγεβρική δομή, μέσα στην οποία μπορούμε να λύσουμε μια οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού. Αν ακολουθηθούν αναλυτικά τις πράξεις που απαιτούνται, θα διαπιστωθεί ότι χρησιμοποιούνται μόνο τα αξιώματα του ορισμού της ομάδας. v x=w v -1 (vx)=v -1 w (v -1 v)x=v -1 w =ex=v -1 )w =x=v -1 w. Κάθε μη κενό υποσύνολο L μιας ομάδας G λέγεται υποομάδα της G, αν το L είναι ομάδα με την ίδια πράξη της ομάδας G. Για παράδειγμα, το σύνολο Z 2 k των άρτιων ακεραίων αποτελεί υποομάδα της ομάδας Z των ακεραίων. Ο συμβολισμός L<G σημαίνει ότι το L είναι υποομάδα της G. Συνήθως, για να δείξουμε ότι ένα μη κενό υποσύνολο L μιας ομάδας G είναι υποομάδα, χρησιμοποιούμε τη σχέση L<G α b -1 L, για κάθε α,b L. Αν η αρχική ομάδα G είναι προσθετική, τότε η παραπάνω σχέση γίνεται L<G α+(-b) L, για κάθε α,b L. Υποθέστε τώρα ότι α, β, γ και δ είναι στοιχεία της ημιομάδας (L, ). Διακρίνονται πολλοί τρόποι να ομαδοποιηθούν τα στοιχεί στη διαρκή πράξη α β γ δ. α (β (γ δ)). (α β) (γ δ). ((α β) γ) δ. (α (β γ)) δ. α ((β γ) δ). Η παρατήρηση αυτή οδηγεί στον νόμο του γενικού προσεταιρισμού. Θεώρημα 7.3.1 Υποθέστε τώρα ότι x 1,x 2,x 3,,x n είναι στοιχεία της ημιομάδας (L, ). Με οποιονδήποτε τρόπο κι αν επιλεγεί η ανά δυο σύνθεση των στοιχείων, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο. Απόδειξη Για n=3, το αποτέλεσμα είναι ο προσεταιριστικός νόμος. Έστω ότι ισχύει για k, όπου k>3. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει x 1 * x 2 * x 3 * *x n για n<k. Ο πολλαπλασιασμός δεν μπορεί να γίνει παρά σταδιακά, πάντοτε με δύο παράγοντες. Επιλέγουμε τη σειρά που θα εκτελεστούν οι πράξεις έτσι ώστε η τελευταία πράξη να είναι η μ- ιοστή από το αριστερό μέρος της παράστασης [x 1 *(x 2 *x 3 * *x k )]*(x k+1 * *x n ). Χάρη στην προσεταιριστική ιδιότητα η σχέση αυτή ισούται με x 1 *[(x 2 *x 3 * *x k )*(x_ k+1 * *x n )]=x 1 *(x 2 *x 3 * *x n ), όπου εξ υποθέσεως δεν διαφοροποιείται από όποιον άλλο τρόπο εισαχθούν οι παρενθέσεις. Άρα το αποτέλεσμα ισχύει για k. Ουδέτερο στοιχείο e για την πράξη * είναι το στοιχείο που αφήνει αναλλοίωτο κάθε στοιχείο με το οποίο θα συνδεθεί. Για τα ουδέτερα στοιχεία ως προς την συγκεκριμένη πράξη ισχύει ότι x i L, x i *e=e*x i =x i. Όπως είναι γνωστό στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ουδέτερο στοιχείο για μεν την πράξη της πρόσθεσης είναι το 0, για δε την πράξη του πολλαπλασιασμού το 1. 16

Στο σύνολο των συνόλων, ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη της ένωσης είναι το Ø, αφού αυτό το στοιχείο αφήνει αναλλοίωτο κάθε σύνολο με το οποίο θα ενωθεί. Για την πράξη της τομής, διακρίνει κανείς το καθολικό σύνολο ως ουδέτερο στοιχείο, αφού και αυτό αφήνει αναλλοίωτο κάθε στοιχείο με το οποίο συνδέεται δια της πράξης της τομής. Θεώρημα 7.3.2 Ένα μονοειδές έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο e. Απόδειξη Πράγματι, αν υποθέσει κάποιος ότι υπάρχει και δεύτερο μοναδιαίο στοιχείο e' για το οποίο ισχύει επίσης ότι x i *e'=e'*x i =x i, x i L, τότε θα ισχύει και για το e, δηλαδή e*e'=e'*e=e. Ό.έ.δ. Παράδειγμα 7.3.9 Έστω το σύνολο Α και μια συνάρτηση e:a A που ορίζεται με τη σχέση e(x)=x, x A. Προφανώς ισχύει ότι e f(x)=e(f(x))=f(x)=f(e(x))=f e(x). Η σχέση αυτή δείχνει πως e είναι το ουδέτερο στοιχείο και επιπλέον, ότι το σύνολο των συναρτήσεων από το Α στο Α αποτελεί ένα μονοειδές. Ο ισχυρισμός ότι όλες οι ημιομάδες είναι και μονοειδή δεν ευσταθεί, όπως φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγμα. Το σύνολο όλων των πεπερασμένων συνόλων, εφοδιασμένο με την πράξη της τομής, δεν έχει ουδέτερο στοιχείο. Αν υπήρχε (έστω ότι είναι το σύνολο E). Θα ίσχυε τότε ότι Ε Α=Α Ε=Α για κάθε σύνολο Α. Καθώς, όπως υποτέθηκε το E είναι πεπερασμένο, υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο x, που δεν ανήκει στο Ε. Τότε το στοιχείο Ε {x}=a, ικανοποιεί τη σχέση Ε Α=Ε Α και έτσι, Ε δεν πρέπει να είναι το ουδέτερο στοιχείο του συνόλου των πεπερασμένων συνόλων. Παράδειγμα 7.3.10 Μια άλγεβρα Boole είναι μονοειδές με το στοιχείο 0 ως προς την πράξη της διάζευξης, αλλά είναι μονοειδές επίσης με στοιχείο 1 ως προς την πράξη της σύζευξης. Υποθέτουμε τώρα ότι σε ένα Μονοειδές A, x A διακρίνεται ένα στοιχείο α* A τέτοιο ώστε α* α=αα*=e. Όταν υπάρχει αυτό το στοιχείο, θα λέμε ότι τα στοιχεία το μονοειδές περιέχει και τα αντίστροφα στοιχεία των στοιχείων του. Προφανώς το ουδέτερο στοιχείο είναι συγχρόνως και το αντίστροφο στοιχείο του εαυτού του (ee=e). Παρατήρηση Στο σύνολο των θετικών ακεραίων, η μονάδα, που είναι το μοναδιαίο στοιχείο ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, είναι και το μοναδικό αντίστροφο στοιχείο του μονοειδούς. Όπως γνωρίζετε, το αντίστροφο ενός ακεραίου δεν είναι ακέραιος αριθμός. Θεώρημα 7.3.3 Έστω το μονοειδές S εφοδιασμένο με την πράξη * και ουδέτερο στοιχείο το e. Τότε, αν ένα στοιχείο α του S έχει αντίστροφο, τότε αυτό είναι μοναδικό. Απόδειξη Υποθέστε και πάλι ότι υπάρχουν δυο αντίστροφα στοιχεία του α. Έστω ότι αυτά είναι τα α και α. Τότε, α =α *e=α *(α*α )=(α *α)*α =e*α =α. 17

Παράδειγμα 7.3.11 Έστω οι διμελείς σχέσεις f:α Α και g:α Α που ορίζονται στο A={1,2,3} με τις απεικονίσεις f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1 και g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1. Οι συνθέσεις των συναρτήσεων θα είναι: f g(1)=1, f g(2)=3, f g(3)=2, g f(1)=2, g f(2)=1 και g f(3)=3. Η συνάρτηση g είναι η ίδια και αντίστροφη συνάρτηση, επειδή g g είναι η συνάρτηση e του Παραδείγματος 7.3.2. Έστω ότι k αντίστροφη της f, οπότε ισχύει ότι k f=e. Τότε, k(f(1))=1, k(f(2))=2 και k(f(3))=3. Άρα, η αντίστροφη συνάρτηση της f ορίζεται ως k(2)=1, k(3)=2 και k(1)=3. Ορισμός 7.3.2 Ομάδα G (group) είναι ένα μονοειδές του οποίου κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο που ανήκει στο G. Έτσι λοιπόν, μια ομάδα G είναι ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια δυαδική πράξη * και ένα ουδέτερο στοιχείο e για το οποίο: Η πράξη * είναι προσεταιριστική, α G διακρίνεται ένα στοιχείο α* G τέτοιο ώστε α*α=αα*=e. Δες πληροφορίες σχετικά με τις Ομάδες. Θεώρημα 7.3.4 Έστω e το μοναδιαίο στοιχείο του μονοειδούς S εφοδιασμένου με τη διμελή πράξη *, για το οποίο κάθε στοιχείο του α υπάρχει ένα α* S, τέτοιο ώστε α*α*=e. Τότε το S είναι ομάδα. Απόδειξη Προφανώς, θα πρέπει, σύμφωνα με το προηγούμενο, να δειχτεί ότι για κάθε στοιχείο α του S και του αντιστρόφου αυτού α*, ισχύει ότι α*α*=α**α. Έστω λοιπόν α S και β S, τέτοιο ώστε α*β=e. Υποθέτουμε ότι υπάρχει άλλο στοιχείο του γ S για το οποίο ισχύει ότι β*γ=e. Τότε, (β*α)*β=β*(α*β)=β*e=β. Άρα [(β*α)*β]*γ=β*γ=e και e=[(β*α)*β]*γ =(β*α)*(β*γ) =(β*α)*e =β*α. Συμπεραίνεται ότι το β είναι το αντίστροφο του α. Καθώς το α είναι ένα τυχαίο στοιχείο του S, αποδείχτηκε ότι αυτό είναι ομάδα. Η χρησιμότητα του Θεωρήματος 7.3.4 είναι προφανής: προκειμένου να δείχτεί ότι ένας τετραγωνικός πίνακας Β είναι αντίστροφος ενός άλλου πίνακα Α, δεν χρειάζεται να εξεταστεί η ισχύς της σχέσης Α Β, εφόσον έχει αποδειχτεί η ισχύς της Β Α=Ι, όπου Ι το ουδέτερο στοιχείο (μοναδιαίος πίνακας). Παράδειγμα 7.3.12 Αναφέρονται παραδείγματα γνωστών αλγεβρικών δομών που είναι ομάδες. Οι θετικοί ρητοί αριθμοί αποτελούν σύνολο, που εφοδιασμένο με την πράξη του πολλαπλασιασμού, συνιστούν ομάδα. Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για την πράξη του πολλαπλασιασμού, το ουδέτερο στοιχείο είναι το 1 και το αντίστροφο κάθε αριθμού α είναι το α -1. Το σύνολο R 0 των διάφορων του μηδενός πραγματικών αριθμών αποτελούν ομάδα ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. Το σύνολο Q 0 των διάφορων του μηδενός ρητών αριθμών αποτελούν ομάδα ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. 18

Κάθε πεπερασμένο σύνολο Z n ={0,1,,n-1}, είναι ομάδα ως προς την πράξη + n. Να σημειωθεί ότι η δυαδική πράξη + n της υπολειμματικής πρόσθεσης παράγει αθροίσματα που δεν υπερβαίνουν το στοιχείο n-1. (Παράδειγμα 7.1.8). Για κάποια πεπερασμένα σύνολα Z n ={1,,n-1}, ισχύει ότι είναι ομάδες ως προς την πράξη n, του υπολειμματικού πολλαπλασιασμού. Δεν ισχύει όμως για κάθε n. Δεν είναι όμως μια ομάδα για n=4, καθώς το 2 δεν έχει αντίστροφο. (πράγματι, 1 4 2=2,2 4 2=0,3 4 2=2, δηλαδή κανένα γινόμενο με παράγοντα το 2 δεν παράγει το μοναδιαίο στοιχείο 1). Σχετικά με τη θεωρία ομάδων παρατίθεται εκτεταμένη βιβλιογραφία, όπου οι ενδιαφερόμενοι θα βρουν ενδιαφέροντα συμπεράσματα τόσο για θεωρητικά αποτελέσματα όσο και για τις εφαρμογές. Ο προσδιορισμός όλων των ομάδων που διαθέτουν μικρό αριθμό στοιχείων, δηλαδή η εξακρίβωση κάτω από ποιες πράξεις οι δημιουργούμενες δομές έχουν τις απαιτούμενες ιδιότητες ώστε να χαρακτηριστούν ως ομάδες, είναι εξαιρετικά επίπονη εργασία. Αυτό συμβαίνει ακόμα και για σύνολα με ελάχιστο αριθμό ψηφιών, όπως 1, 2,3 ή 4 από αυτά. Ακόμα πιο δύσκολο γίνεται αν το σύνολο έχει 8 ψηφία. Έστω το σύνολο S={e,ρ,σ,τ,η,θ,β,γ} εφοδιασμένο με την πράξη *, που ορίζεται με τον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 7.3.2 Στον πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της πράξης (*). * e ρ σ τ η θ β γ e e ρ σ τ η θ β γ ρ ρ σ τ e β γ θ η σ σ τ e ρ θ η γ β τ τ e ρ σ γ β η θ η η γ θ β e σ τ ρ θ θ β η γ σ e ρ τ β β η γ θ ρ τ e σ γ γ θ β η τ ρ σ e Στον Πίνακα 7.3.2, όπως διακρίνεται από την πρώτη στήλη των αποτελεσμάτων της δυαδικής πράξης, το e είναι το ουδέτερο στοιχείο καθώς αφήνει αμετάβλητα τα στοιχεία που συντίθενται με αυτό. Τα αντίστροφα στοιχεία φαίνονται επίσης στον πίνακα, διότι είναι εκείνα των οποίων η σύνθεση παράγει το ουδέτερο στοιχείο. Παρατηρεί τέλος ο αναγνώστης, ότι σε κάθε στήλη (και κάθε γραμμή) εμφανίζονται όλα τα στοιχεία του S. Ο έλεγχος της προσεταιριστικότητας απαιτεί 2.048 πράξεις. Η απαίτηση αυτή είναι επίπονη διαδικασία που όμως μπορεί να αποφευχθεί με τη βοήθεια του επόμενου θεωρήματος. Θεώρημα 7.3.5 Έστω G μια ομάδα με πράξη *. Τότε από την β*α=β*γ συνεπάγεται α=γ και α*β=γ*β συνεπάγεται α=γ. Απόδειξη Αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της G και α -1 το αντίστροφο στοιχείο του α. Τότε, β*α=β*γ β -1 *(β*α)=β -1 *(β*γ) (β -1 *β)*α=(β -1 *β)*γ e*α=e*γ α=γ. Χάρη στο Θεώρημα 7.3.6 η απόδειξη ότι η αλγεβρική δομή του συνόλου με τα οκτώ στοιχεία και την πράξη που ορίστηκε με τον Πίνακα 7.3.2 δεν απαιτεί τον μεγάλο αριθμό πράξεων που αναφέρθηκε προηγουμένως. Θεώρημα 7.3.6 Στους πίνακες πολλαπλασιασμού των ομάδων δεν επαναλαμβάνονται στοιχεία στις γραμμές ή τις στήλες. 19

Απόδειξη Υποθέστε ότι η πρόταση δεν ισχύει. Τότε, στη γραμμή που αντιστοιχεί στο στοιχείο y θα βρίσκεται τουλάχιστον μια επανάληψη ενός τυχαίου στοιχείου x. Έστω ότι το x βρίσκεται στις στήλες του ζ και του ω. Θα ισχύει λοιπόν ότι :y*ζ=y*ω=x. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι ζ=ω. Αυτό σημαίνει ότι οι δυο στήλες αφορούν το ίδιο στοιχείο, άρα ταυτίζονται. Δυο ομάδες είναι ίδιες αν τα σύνολα στα οποία αναφέρονται έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων και, αν επιπλέον, στον πίνακα που ορίζει η πράξη με την οποία είναι εφοδιασμένα τα σύνολά τους, προκύπτει με αντικατάσταση στοιχείων. Έτσι, αν οι πίνακες που αφορούν τις πράξεις σε δυο σύνολα Z 3 ={0,1,2} και S 3 ={e,a,β} είναι: * e α β e e α β 1 α β e 2 β e α * e α β e e α β 1 α β e 2 β e α Με τη βοήθεια του Θεωρήματος 7.3.6 εύκολα διακρίνουμε τις ομάδες με 1, 2, 3 και 4 στοιχεία: Σε σύνολα με μοναδικό στοιχείο, αυτό είναι το ουδέτερο έτσι ώστε e*e=e. Η ομάδα, στην περίπτωση αυτή, καλείται τετριμμένη ομάδα. Τα σύνολα δυο στοιχείων έχουν τα στοιχεία {e,a} και η πράξη συνδέει τα στοιχεία ως εξής: α*α=α=e*α από όπου συνεπάγεται ότι α=e, άρα η ομάδα έχει μοναδικό στοιχείο. Ο πολλαπλασιασμός ορίζει μια ομάδα δυο ακεραίων Z 2 με την πράξη του + 2, όπου Z 2 ={0,1}. Τα σύνολα 3 στοιχείων είναι ομάδες υπό την πράξη της ελλειμματικής πρόσθεσης. + 3, εφόσον οι πίνακες των πράξεων που τα ορίζουν προκύπτουν με αντικατάσταση των στοιχείων του πίνακα. + 3 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να προσέξουμε ότι δεν είναι αρκετή η μία προς μία αντιστοίχιση των στοιχείων του πίνακα της ελλειμματικής πρόσθεσης με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα της πράξης του δεύτερου συνόλου τριών στοιχείων. Την ακριβή αντιστοιχία των δύο πράξεων εξασφαλίζει η ύπαρξη του ισομορφισμού ομάδων. Ορισμός 7.3.3 Έστω οι ομάδες (G 1,* 1 ) και (G 2,* 2 ). Η ένα προς ένα απεικόνιση των στοιχείων των G 1 και G 2, που ισχύει και για τις διμελείς πράξεις θα καλείται ισομορφισμός ομάδων. Οι ομάδες για τις οποίες ισχύει ο ισομορφισμός θα καλούνται ισόμορφες. Θεώρημα 7.3.7 Έστω ότι F είναι ένας ισομορφισμός της ομάδας (G 1,* 1 ) επί της ομάδας (G 2,* 2 ). Έστω ακόμη ότι e 1 και e 2 τα ουδέτερα στοιχεία των συνόλων G 1 και G 2 αντίστοιχα. Τότε F(e 1 )=e 2 και α G 1, F(α -1 )=[F(a)] -1. 20

Απόδειξη F(e 1 )=F(e 1 * 1 e 1 )=F(e_ 1 )* 2 F(e_ 1 )=e 2. Συνεπώς, e 2 =F(e 1 )=F(α* 1 α -1 )=F(α)* 2 Fα -1 ) και έτσι, F(α -1 )=[F(α)] 1. Το Z 3 υπό τη διμελή πράξη + 3 είναι πλέον εύκολο, καθώς υπάρχει μοναδική ομάδα τριών στοιχείων και κάθε ομάδα τριών στοιχείων, είτε είναι το Z 3 είτε είναι ισόμορφο προς το Z 3. Για το σύνολο Z 4 τεσσάρων στοιχείων υπό την πράξη + 4 είναι εύκολο να δειχτεί ότι είναι ομάδα. Υπάρχει όμως και ένα τουλάχιστον άλλο σύνολο τεσσάρων στοιχείων το οποίο δεν είναι ισόμορφο προς το Z 4. Η αλγεβρική αυτή δομή, καλείται ομάδα τεσσάρων στοιχείω v του Klein. Η περιγραφή του παρουσιάζεται στη συνέχεια. Θεωρούμε το σύνολο τεσσάρων στοιχείων G με ουδέτερο στοιχείο το e. Έστω δ e στοιχείο του G. Η σύνθεση υπό τη διμελή σχέση του δ με τον εαυτό του παράγει είτε το στοιχείο e, είτε ένα άλλο στοιχείο γ. Ο πίνακας της διμελούς πράξης * στο G, θα είναι: * e β γ δ e e β γ δ β β γ γ γ δ δ Προκειμένου να συμπληρωθεί ο πίνακας της διμελούς πράξης, θα πρέπει να μην επαναληφθούν ίδια στοιχεία, με αυτά που ήδη υπάρχουν στις γραμμές ή τις στήλες του πίνακα. Μια επιλογή είναι και η ακόλουθη. * e β γ δ e e β γ δ β β γ δ e γ γ δ δ δ e Συνεχίζουμε, προσπαθώντας πάντα να αποφύγουμε την εμφάνιση ίδιων στοιχείων στε κάθε γραμμή και στήλη. Πίνακας 7.3.3 Πίνακας υπολειμματικού πολλαπλασιασμού modulo 4. * e β γ δ e e β γ δ β β γ δ e γ γ δ e β δ δ e β γ Ο πίνακας αυτός είναι πίνακας υπολειμματικού πολλαπλασιασμού modulo 4, όπου αντιστοιχήθηκαν F(0)=e, F(1)=β, F(2)=γ και F(3)=δ. Υποθέτουμε τώρα ότι δ*δ=e. Επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη διαδικασία καταλήγουμε στον πίνακα του υπολειμματικού πολλαπλασιασμού. * e β γ δ e e β γ δ β β e δ e γ γ δ e β δ δ e β γ Αυτός ο πίνακας δεν ορίζει ομάδα ισομορφική της Z4. Είναι όμως και αυτή μια ομάδα τεσσάρων στοιχείων (θα την καλούμε I 4 ) υπό την πράξη του υπολειμματικού πολλαπλασιασμού mod 4. Οι αντιστοιχίες για τη δημιουργία αυτής της αλγεβρικής δομής, θα είναι G(0)=e, G(1)=β, G(2)=γ και G(3)=δ. Αν τέλος θεωρήσουμε ότι γ*γ=e, τότε ο πίνακας διαμορφώνεται ως ακολούθως: 21

Πίνακας 7.3.4 * e β γ δ e e β γ δ β β e δ γ γ γ δ e β δ δ γ β e Ο πίνακας αυτός είναι διάφορος εκείνου που ορίζει την ομάδα Z4, αλλά η δομή που ορίζεται εξακολουθεί να είναι ομάδα. Η ιδιότητά της αυτή εξασφαλίζεται και από το γεγονός ότι η διμελής σχέση κάθε στοιχείου με τον εαυτό του παράγει το ουδέτερο στοιχείο, όπως φαίνεται από την κύρια διαγώνιο του Πίνακα 7.3.4. Θα δείξουμε με την «εις άτοπο απαγωγή» ότι δεν υπάρχει ισομορφισμός F με την ομάδα Z4. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ισομορφισμός F. Σύμφωνα με το Θεώρημα 7.3.7, θα πρέπει F(e)=0. Θεωρούμε ένα τυχαίο στοιχείο x του συνόλου {e,β,γ,δ}, τέτοιο ώστε F(x)=3. Για το x θα ισχύει: 0=F(e)=F(x*x)=F(x)+F(x)=3+3=2. Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει ότι πρόκειται για δυο διαφορετικές ομάδες τεσσάρων στοιχείων. Από τη μελέτη των ομάδων μέχρι στιγμή έχει προκύψει μια παρατήρηση, την οποία θέτουμε ως πρόταση (χωρίς απόδειξη). Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση. Πρόταση 7.3.1 Για κάθε ζεύγος στοιχείων (x,y) G G, όπου G ομάδα, ισχύει ότι x*y=y*x. Προφανώς, δεν είμαστε σε θέση να θεωρήσουμε ότι η ισχύς αυτής της πρότασης είναι καθολική. Για τον λόγο αυτόν θα δεχτούμε ότι για όσες ομάδες ισχύει η πρόταση θα τις καλούμε Αβελιανές ομάδες, ή και Αντιμεταθετικές ομάδες, προς τιμή του niels H. Abel, που πρώτος τις παρατήρησε. Τις ομάδες που δεν διαθέτουν την αντιμεταθετική (ή και θεμελιώδη) ιδιότητα θα τις διακρίνουμε ως μη Αβελιανές ομάδες. Παράδειγμα μη Αβελιανής ομάδας είναι είναι το σύνολο των αντιστρέψιμων τετραγωνικών n n πινάκων, υπό την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων. Δες παράδειγμα μη Αβελιανού πίνακα οκτώ στοιχείων (Πίνακας 7.3.3). 7.4. Συμμετρίες, Μεταθέσεις, Δακτύλιοι και Πεδία Θεωρήστε έναν γράφο όπως αυτός του Σχήματος 7.4.1. Σχήμα 7.4.1 Γράφος 4 κορυφών. Με πόσους τρόπους μπορεί να αναδιαταχθούν οι κορυφές, χωρίς να αλλάξει η μορφή του γράφου; Στο ερώτημα αυτό, που για το συγκεκριμένο σχήμα, αλλά και για πολλά άλλα η εμπειρία μάς λέει ότι μπορούμε να αλλάξουμε τις θέσεις των κορυφών χωρίς όμως να αλλάξει η οπτική εικόνα του σχήματος, οδηγεί σε 22

ειδικές μορφές διατάξεων που αναφέρονται στις υπάρχουσες συμμετρίες γεωμετρικών σχημάτων. Οι συμμετρίες είναι εξαιρετικά σημαντικές και σε αυτές οφείλονται μια πληθώρα φυσικών ιδιοτήτων στοιχείων στη Χημεία ή συμπεριφορών στη Φυσική. Για παράδειγμα, η ύπαρξη συμμετριών στις κρυσταλλικές δομές της ύλης εξασφαλίζει την αναλλοίωτη συμπεριφορά αυτών των κρυστάλλων κάτω από μεταβολή των συνθηκών διαμόρφωσής τους. Σχήμα 7.4.2 Η περιστροφή κατά 90 ο, 180 ο και 270 ο σύμφωνα με τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. Οι κινήσεις αυτές μπορούν να ερμηνευτούν ως περιστροφές περί άξονα συμμετρίας, που είναι κάθετος στο επίπεδο του γράφου και διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου. Ο γράφος του Σχήματος 7.4.1 είναι επίσης δυνατό να στραφεί περί τους άξονες συμμετρίας του που βρίσκονται επί του επιπέδου του. Σχήμα 7.4.3 Η περιστροφή του γράφου περί άξονες συμμετρίας που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Οι οκτώ συμμετρίες που περιγράφηκαν για τον επίπεδο γράφο των 4 κορυφών καταγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 7.4.1 Ι ΙΙ ΙΙΙ IV V VI VII VIII Αμετάβλητη Περιστροφή 90ο κατά τη φορά των δεικτών ρολογιού Περιστροφή 180ο κατά τη φορά των δεικτών ρολογιού Περιστροφή 270ο κατά τη φορά των δεικτών ρολογιού Περιστροφή περί τη διαγώνιο άνω αριστερά-κάτω δεξιά Περιστροφή περί τη διαγώνιο άνω δεξιά -κάτω αριστερά Περιστροφή περί οριζόντιο άξονα συμμετρίας Περιστροφή περί κατακόρυφο άξονα συμμετρίας. Οι κινήσεις του Πίνακα 7.4.1 αποτελούν ένα σύνολο G. Αν εφοδιαστεί το σύνολο αυτό με τη διμελή σχέση της σύνθεσης των κινήσεων, παρατηρείται ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς τη σύνθεση των στοιχείων του. Για παράδειγμα, αν η κίνηση VII προηγηθεί της ΙΙ προκύπτει ως αποτέλεσμα ότι θα προέκυπτε από την κίνηση V. Για να αποδειχτεί ότι το G είναι ομάδα, θα εξετάσουμε πρώτα την προσεταιριστικότητα της σύνθεσης των κινήσεων. Για τον σκοπό αυτόν επιλέγονται δυο οποιεσδήποτε κινήσεις και εφαρμόζονται με διαφορετική σειρά σε τρεις γράφους τεσσάρων κορυφών (σχήματος τετραγώνου). Το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο, ανεξάρτητα της σειράς που εφαρμόστηκαν οι συνθέσεις και τις αρχικής επιλογής των δυο εκ των 23

τριών γράφων που επιλέχτηκαν. Επιπλέον, το ουδέτερο στοιχείο, ως προς τη σύνθεση των κινήσεων είναι το Ι, καθώς αυτό δεν μεταβάλλει την κατάσταση του γράφου-τετραγώνου. Τέλος, αντίστροφο στοιχείο κάθε γράφου-τετραγώνου είναι εκείνο που επαναφέρει το γράφο-τετράγωνο στην αρχική του κατάσταση. Ο πίνακας πολλαπλασιασμού για την ομάδα G είναι ο Πίνακας 7.3.2, αν στη θέση των στοιχείων e,ρ,σ,τ,η,θ,β και γ τοποθετηθούν τα στοιχεία I, II, III, IV, V, VI, VII και VIII αντίστοιχα. Έτσι, όπως αποδείχτηκε για την ομάδα που είναι εφοδιασμένη με την πράξη του Πίνακα 7.4.1, η ομάδα G είναι επίσης μη αβελιανή ομάδα, επειδή δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τη συγκεκριμένη πράξη. Η ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου δεν είναι μικρότερη μη αβελιανή ομάδα. Για ένα σύνολο A, μια μετάθεση των στοιχείων του είναι μια απεικόνιση ένα προς ένα και επί του A στον εαυτό του. Για δυο μεταθέσεις g και h των στοιχείων του A, η σύνθεση g*h είναι και αυτή μια μετάθεση. Πράγματι, εύκολα διαπιστώνεται ότι g*h είναι μια απεικόνιση ένα προς ένα των στοιχείων του A στο A, καθώς αν (g*h)(x)=g*h(y) τότε, h(g(x))=h(g(y)) και g(x)=g(y) επειδή η h είναι ένα προς ένα. Έτσι τελικά x=y επειδή και η g είναι ένα προς ένα απεικόνιση. Επιπλέον όμως, η g*h είναι και επί, διότι για ένα στοιχείο x A υπάρχει ένα στοιχείο z A, τέτοιο ώστε x=g(z), διότι η g είναι απεικόνιση ένα προς ένα. Επιπλέον, υπάρχει στοιχείο y A, τέτοιο ώστε y=h(x), διότι η h είναι απεικόνιση ένα προς ένα. Από όπου συνεπάγεται ότι (g*h)(z)= h(g(z))=h(x)=y. Ας εξετάσουμε τώρα το σύνολο S(A) όλων των μεταθέσεων των στοιχείων του A. Όπως αποδείχτηκε, η σύνθεση * των απεικονίσεων είναι προσεταιριστική πράξη και έτσι, η αλγεβρική δομή (S(A),*) είναι μια ημιομάδα. Ο αναγνώστης εύκολα παρατηρεί ότι e είναι το ουδέτερο στοιχείο της S(A), για το οποίο e*f=f*e=f. Η ύπαρξη του ουδέτερου στοιχείου το ορίζει και ότι η δομή (S(A),*) είναι ένα μονοειδές. Τέλος, η ύπαρξη αντιστρόφου εξασφαλίζεται από την απόδειξη ότι κάθε f S(A) είναι απεικόνιση ένα προς ένα και επί και έτσι, υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο του f -1 S(A). Έτσι, f*f -1 =f^( -1 )*f=e, ιδιότητα που αποδεικνύει ότι το (S(A),*) είναι μία ομάδα. Ορισμός 7.4.1 Το σύνολο S(A) όλων των μεταθέσεων των στοιχείων του συνόλου A, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης των μεταθέσεων * αποτελεί την ομάδα (S(A),*). Για κάθε πεπερασμένο σύνολο n στοιχείων A n ={α 1,α 2,,α n } υπάρχουν, όπως είναι γνωστό, n! μεταθέσεις (άνευ επανατοποθετήσεως). Κάθε μετάθεση αποτελεί στοιχείο του συνόλου S(A n ) των μεταθέσεων, το οποίο καλείται συμμετρική ομάδα n στοιχείων. Αν n=3, τότε το S(A 3 )={φ 0,φ 1,φ 2,,φ 5 } έχει 3!=6 στοιχεία. Πίνακας 7.4.2 Οι μεταθέσεις που ορίζουν τον S(A n ), όπου φ 3 (2)=1 σημαίνει ότι η μετάθεση φ απεικονίζει ει το στοιχείο 2 στο στοιχείο 1. φ 0 φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 1 1 1 2 3 2 3 2 2 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1 1 Η σύνθεση των φ 3 *φ 5 στέλνει το στοιχείο 2 στη θέση του στοιχείου διότι (φ 3 *φ 5 )(2)=φ 5 (φ 3 (2))=φ 5 (1)=3. Αυτό σημαίνει ότι φ 3 *φ 5 =φ 1. Εξ άλλου, (φ 5 *φ 3 )(2)=φ 3 (φ 5 (2))=φ 3 (2)=1. Αυτό σημαίνει ότι φ 3 *φ 5 =φ 2. Παρατηρείτε ότι φ 5 *φ 3 =φ 3 *φ 5 από όπου συμπεραίνετε ότι η S(A 3 ) είναι μη αβελιανή ομάδα. Ορισμός 7.4.2 Δακτύλιος είναι ένα σύνολο R, εφοδιασμένο με δυο πράξεις + και για το οποίο ισχύουν τα ακόλουθα: {R,+} είναι αντιμεταθετική ομάδα. Η πράξη είναι προσεταιριστική. Για κάθε επιλογή τριών στοιχείων του R ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα της πράξης ως προς την πράξη +. Ισχύει δηλαδή ότι α (β+γ)=(α β)+(α γ). Ισχύει επίσης (β+γ) α=(β α)+(γ α). Το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη + είναι το 0. Ισχύει ότι α R, α+0=α. 24

Μερικοί γνωστοί δακτύλιοι είναι: Ο {Z,+, } - ο δακτύλιος των ακεραίων με τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Ο {Z n,+ n, n } ο δακτύλιος του συνόλου των ακεραίων modulo n, με τις πράξεις της υπολειμματικής πρόσθεσης και του υπολειμματικού πολλαπλασιασμού modulo n. Ο {R n,+, } - δακτύλιος των τετραγωνικών πινάκων, που δρουν στον διανυσματικό χώρο R n, με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού τετραγωνικών πινάκων. Όταν ένας δακτύλιος διαθέτει ένα ουδέτερο στοιχείο για την πράξη του πολλαπλασιασμού, τότε το μοναδιαίο στοιχείο για την πράξη του πολλαπλασιασμού καλείται μονάδα (1), καθώς 1 α=α, α R και ο δακτύλιος καλείται δακτύλιος με μονάδα. Συμπεραίνεται ότι ένας δακτύλιος με μονάδα είναι μονοειδές υπό την πράξη του πολλαπλασιασμού. Η ύπαρξη της μονάδας, συνεπάγει ότι κάθε στοιχείο του δακτυλίου έχει και ένα αντίστροφο, α -1, τέτοιο ώστε α -1 α=αα -1 =1. Θεώρημα 7.4.1 Έστω R ο δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, και έστω Μ το σύνολο των μονάδων στο R. Τότε, (Μ, ) είναι μονάδα. Απόδειξη Η μονάδα είναι ταυτόχρονα και το αντίστροφό της στοιχείο, αφού 1 1=1. Αν θεωρήσουμε δυο μονάδες k και l, τότε (l -1 k -1 )(kl)=k -1 l -1 lk =k^-1 1k=k -1 )k =1. Έτσι, το kl έχει αντίστροφο το l -1 k -1. Έπεται ότι είναι προσεταιριστική διμελής σχέση στο Μ. Θεώρημα 7.4.2 Σε κάθε δακτύλιο R, 0α=0=α 0 για κάθε α. Απόδειξη Αρκεί να προστεθεί το αντίστροφο του στοιχείου α 0 σε αμφότερες πλευρές της ισότητας. Οι μονάδες στον δακτύλιο Z είναι τα στοιχεία 1 και -1. Αποδεικνύεται ακόμη ότι στον δακτύλιο των n n πινάκων με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, μονάδες είναι εκείνοι οι πίνακες των οποίων η ορίζουσα είναι -1 ή 1. Στους δακτύλιους Z n τα μοναδιαία στοιχεία εξαρτώνται από το n. Για παράδειγμα στο Z 3, 1 3 1=1, 2 3 2=1. Στο Z 4 1 4 1=1 και 3 4 3=1, αλλά 2 4 2 1. Ορισμός 7.4.3 Σώμα (F,+, ) είναι ένας δακτύλιος του οποίου κάθε στοιχείο είναι μονάδα και για το οποίο ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα ως προς τον πολλαπλασιασμό και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του F, έχει αντίστροφο. Θεώρημα 7.4.3 Κάθε αλγεβρική δομή (Zn,+, ) είναι σώμα, αν και μόνο αν n είναι πρώτος αριθμός. 25

Απόδειξη Υποθέτουμε ότι ο n δεν είναι πρώτος αριθμός. Άρα, n=k l, όπου 1<k,l<n. Τότε, k 0modn και l 0modn ενώ kl=0modn. Συμπεραίνουμε ότι στο Z n, k 0, l 0 και k n l=0. Αν το Z n είναι σώμα, τότε για το στοιχείο k θα υπάρχει το αντίστροφό του k -1. Έτσι, l=1 n l=(k n k -1 ) n l =k -1 n (k n l) =k -1 n 0 =0. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο, άρα το (Zn,+, ) δεν είναι σώμα. Αν για κάποιον πρώτο αριθμό p το (Z p,+, ) είναι σώμα, θα πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε αριθμό k Z p, υπάρχει και ο αντίστροφός του στο Z p. Πράγματι, αν θεωρήσουμε το σύνολο Α όλων των θετικών ακεραίων kx+py, όπου x και y ακέραιοι αριθμοί θα παρατηρήσουμε ότι k=(k1+p0) A. Αν τ=kβ+pγ, (1) είναι το μικρότερο στοιχείο του A, τότε, 1 τ k<p. Η διαίρεση του p δια του τ δίνει ένα πηλίκο q και ένα υπόλοιπο υ: p=τq+υ, όπου 0 υ<τ. Έτσι, υ=p-τq=p-(kβ+pγ)q=k(-pβ)+p(-γq). Από αυτή τη σχέση συμπεραίνουμε ότι ή 0=υ, ή u A. Επειδή όμως υποτέθηκε ότι το τ είναι το μικρότερο στοιχείο στο Α, και υ<τ οδηγούμαστε στην αποδοχή της σχέσης p=τq. Και ο τ είναι διαιρέτης του p. Αλλά ο p υποτέθηκε ότι είναι πρώτος αριθμός και επιπλέον 1 τ<p. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τ=1. Δηλαδή, καταλήγουμε από την (1) ότι: 1=kβ+pγ (2). Διαιρούμε τώρα αμφότερα τα μέλη της (2) δια p, οπότε προκύπτει:β=pγ/k+1/k όπου 0 1/k<p. Έτσι, 1/k Z p. Τέλος, παρατηρούμε 1=k(pγ/k+1/k)+pγ, k1/k-1=2pγ από όπου συνεπάγεται ότι k1/k=1mod(p) και έτσι, στο Zp, k p 1/k=1, δηλαδή το 1/k είναι αντίστροφο του k στο Z p. Αποδείχτηκε λοιπόν ότι (Z p,+, ). 7.5. Μηχανές Ένας τρόπος για να αρχίσει κανείς την αναζήτησή του στο θεωρητικό υπόβαθρο της έννοιας των μηχανών είναι να θέσει δυο βασικά ερωτήματα που χρήζουν απάντησης. Τι σημαίνει «υπολογισμός» ενός αριθμού; Τι σημαίνει καταχώρηση μιας σειράς χαρακτήρων; Αν αυτές οι ερωτήσεις είναι καλώς ορισμένες, είναι ενδιαφέρον να εξεταστεί πρώτα η ύπαρξη λύσης, δηλαδή απάντησης. Για την ανάλυση και επεξεργασία των δυο ερωτήσεων θα πρέπει πρώτα να γίνει αποδεκτό ένα πρότυπο μηχανής, επί του οποίου θα εργαστεί κανείς για να οριστεί η κάθε ερώτηση. Έτσι, ως μηχανή θα θεωρούμε μια ταινία που αποτελείται από διαδοχικά πλαίσια. Ένα πλαίσιο είναι δυνατό να είναι λευκό, δηλαδή να μη έχει καταχωρημένη εγγραφή στοιχείου, ή μπορεί να περιέχει ακριβώς ένα μόνο στοιχείο που αντλείται από ένα «αλφάβητο», δηλαδή ένα μη κενό σύνολο συμβόλων. Τα στοιχεία του αλφάβητου θα καλούνται «γράμματα», χωρίς να είναι απαραίτητο ότι πρόκειται για το αλφάβητο μιας γλώσσας, όπως η ελληνική. Όταν το πλαίσιο είναι άδειο, θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο #. Διευκρινίζεται ότι το σύμβολο # δεν είναι σύμβολο και δεν ανήκει στο αλφάβητο. Σχήμα 7.5.1 Μια πεπερασμένη αλληλουχία συμβόλων που είναι αποτυπωμένα σε μια σειρά πλαισίων χωρίς να παρεμβάλλεται σημείο στίξης ή λευκό πλαίσιο θα καλούνται σειρές χαρακτήρων ή λέξεις. Αν, για παράδειγμα, θεωρήσουμε ως αλφάβητο Α={α,β,γ} τότε η σειρές χαρακτήρων ααγβ, α ή βαγ είναι παραδείγματα λέξεων. Το μήκος μιας σειρά χαρακτήρων είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των γραμμάτων της σειρά χαρακτήρων. Αν Χ είναι μια σειρά χαρακτήρων, τότε Χ n είναι και αυτή μια σειρά χαρακτήρων της μορφής ΧΧΧ Χ, όπου το Χ εμφανίζεται n φορές. Για παράδειγμα Χ=αγγβ, τότε Χ 3 είναι η σειρά χαρακτήρων αγγβαγγβαγγβ, Τέλος ας σημειωθεί ότι Χ 0 είναι #. 26

Παράδειγμα 7.5.1 Έστω, Α={α, β} οι σειρές χαρακτήρων μήκους το πολύ 2 είναι #, α, β, α 2, αβ, βα, β 2. Γενικά, τα σύνολο των λέξεων που παράγονται από το συγκεκριμένο αλφάβητο και έχουν μήκος το πολύ 2, είναι {α m β n,m,n =0,1,2 και m+n 2}. Το σύνολο όλων των λέξεων που αρχίζουν με β και καταλήγουν σε α είναι {βα} {βχα:χ είναι μη κενή λέξη}. Το σύνολο όλων των λέξεων που αποτελούνται από τις σειρές χαρακτήρων αβα επαναλαμβανόμενες τουλάχιστον μια φορά είναι {αβα n :n=2,3, }={α(bα 2 ) n βα,n=1,2, }. Είναι χρήσιμο να αναφερθεί εδώ ότι αβα δεν είναι τέτοια σειρά χαρακτήρων, διότι αβα δεν επαναλαμβάνονται. Η ταινία αυτή κινείται μπρος και πίσω από έναν «αισθητήρα» που «διαβάζει» ή «γράφει» ένα στοιχείο σε ένα μόνο πλαίσιο κάθε φορά. Αν δοθεί εντολή να «γράψει» η μηχανή σε ένα πλαίσιο και στο πλαίσιο υπάρχει ήδη «γραμμένο» γράμμα, τότε «σβήνει» το υπάρχον γράμμα και «γράφει» το νέο. Η μηχανή κινεί την ταινία ένα πλαίσιο κάθε φορά είτε εμπρός είτε πίσω (υπάρχουν μηχανές που κινούνται μόνο προς τη μια πλευρά). Σχήμα 7.5.2 Για να αποτυπωθεί μια ακολουθία λέξεων Χ1, Χ2, θα πρέπει ανάμεσα σε δυο σειρές χαρακτήρων να μεσολαβεί ένα #. Για να λειτουργήσει μια ταινία στην οποία έχουν γίνει εγγραφές, εισάγεται το πρώτο αριστερά πλαίσιο στον αισθητήρα. Αν η ταινία δεν έχει εγγραφές, εισάγεται οποιοδήποτε πλαίσιο στον αισθητήρα. Η μηχανή μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από έναν πεπερασμένο (μη μηδενικό) αριθμό καταστάσεων. Το σύνολο S των δυνατών καταστάσεων είναι μη κενό και πεπερασμένο σύνολο. Μηχανές αυτού του είδους καλούνται μηχανές πεπερασμένης κατάστασης. Η τρέχουσα κατάσταση της μηχανής παρουσιάζεται σε ένα παράθυρο που συνδέεται με τον αισθητήρα. Σχήμα 7.5.3 Μια ή και περισσότερες καταστάσεις ορίζονται να είναι οι αρχικές καταστάσεις της μηχανής. Για να εργαστεί μια μηχανή, θα πρέπει να εφοδιαστεί με μια συγκεκριμένη ταινία και να τεθεί ο αισθητήρας σε μια αρχική κατάσταση αυτής. Η μηχανή λειτουργεί σε διακριτό χρόνο και έστω ότι ο αισθητήρας «βλέπει» ένα πλαίσιο στη μονάδα του χρόνου. Αν δεν κάνει καμιά ενέργεια σε μια χρονική μονάδα, τότε αυτό σημαίνει ότι η μηχανή τερμάτισε τη λειτουργία της. Είναι δυνατόν μια μηχανή να λειτουργεί αέναα. Η πλέον απλή μηχανή καλείται αιτιοκρατικό αυτόματο (deterministic automaton). Η ονομασία «αυτόματο» δόθηκε διότι η συγκεκριμένη μηχανή δεν έχει δυνατότητα να αλλάζει την κατάσταση των πλαισίων, γράφοντας ή σβήνοντας την καταχωρημένη πληροφορία. Η μηχανή αυτή έχει μοναδική αρχική κατάσταση και λειτουργεί με τον εξής τρόπο: Διαβάζει το πλαίσιο. Αν είναι # δεν κάνει ενέργεια. Διαφορετικά συνεχίζει. Κινεί την ταινία ένα πλαίσιο προς τα αριστερά. Μεταβάλλει την κατάσταση και μεταφέρει τον έλεγχο στο 1. 27

Είναι δυνατόν στο βήμα 3 να μην υπάρξει αλλαγή της τρέχουσας κατάστασης, εφόσον η επόμενη είναι η ίδια με αυτήν. Αν ο αισθητήρας βρεθεί προ #, τότε η μηχανή σταματά. Αυτό θα συμβεί ακόμα και αν η ταινία φέρει ακολουθία λέξεων, καθώς οι σειρές χαρακτήρων διαχωρίζονται με #. Επίσης, η μηχανή καλείται αιτιοκρατική, επειδή αρχίζει πάντα από μοναδική αρχική κατάσταση και επιπλέον για κάθε κατάσταση s i και γράμμα x η κατάσταση, που ακολουθεί, είναι ορισμένη με μοναδικό τρόπο. Η συνάρτηση επόμενης κατάσταση w: f:s A S όπου η εικόνα f(s i,x)= η επόμενη κατάσταση(που δεν είναι υποχρεωτικά η s i+1 καθώς αυτή προσδιορίζεται και από τη σειρά χαρακτήρων x. Παράδειγμα 7.5.2 Ας θεωρήσουμε το αιτιοκρατικό αυτόματο που χρησιμοποιεί το σύνολο λέξεων Α={α,β,γ} και διαχειρίζεται το σύνολο καταστάσεων {s 1,s 2,s 3,s 4 } με αρχική κατάσταση s 1 και το πίνακα επόμενης κατάστασης: Πίνακας 7.5.1 Πίνακας κατάστασης. α β γ S 1 S 1 S 2 S 3 S 2 S 2 S 2 S 3 S 3 S 3 S 4 S 3 S 4 S 4 S 4 S 4 Για μια σειρά χαρακτήρων αβγβ η μηχανή λειτουργεί ως ακολούθως: Σχήμα 7.5.4 Όπου τερματίζει, επειδή ο αισθητήρας ανιχνεύει #. Η τελική κατάσταση μετά την εκτέλεση μιας δοσμένης ακολουθίας λέξεων είναι η κατάσταση στην οποία τερματίζει, όταν η ακολουθία των λέξεων εκτελεστεί. Προφανώς, από όσα ορίστηκαν μέχρι τώρα, ένα αυτόματο τερματίζει ανεξάρτητα από το είδος και τη μορφή της ακολουθίας των λέξεων που θα εκτελεστεί. Γενικότερα, όταν μια μηχανή, που δεν είναι όμως αυτόματο, εξαναγκάζεται να λειτουργεί αέναα, τότε η μηχανή αυτή δεν έχει τελική κατάσταση για τη συγκεκριμένη 28

ακολουθία λέξεων. Για τη μηχανή του Σχήματος 7.5.4 η τελική κατάσταση για τη σειρά χαρακτήρων αβγβ είναι s 4. Αν κάποιος δοκιμάσει να ενεργοποιήσει τη συγκεκριμένη μηχανή για αρκετές διαφορετικές μεταξύ τους σειρές χαρακτήρων, θα διαπιστώσει ότι η τελική κατάσταση της μηχανής είναι κάθε φορά s 3 υπό την προϋπόθεση ότι τα γράμματα στις σειρές χαρακτήρων που θα χρησιμοποιήσει δεν είναι διαταγμένα κατά αλφαβητική σειρά. Ο Πίνακας 7.5.2 παρουσιάζει τις τελικές καταστάσεις της μηχανής της οποίας ο Πίνακας 7.3.1 περιγράφει τη λειτουργία για το αλφάβητο Α={α,β,γ}. Πίνακας 7.5.2 Πίνακας τελικής κατάστασης. Τελική κατάσταση s 1 s 2 s 3 s 4 Για σειρές χαρακτήρων της μορφής α n, n=0, 1, 2, α m β n, m=0, 1, 2,, n=1, 2, 3, α m β n γ k, m=0, 1, 2,, n=0, 1, 2, k=1, 2, 3, Οι σειρές χαρακτήρων δεν έχουν τους χαρακτήρες σε αλφαβητική σειρά. Η συγκεκριμένη μηχανή δέχεται μόνο σειρές χαρακτήρων των οποίων οι χαρακτήρες είναι σε αλφαβητική σειρά. Σε αυτή οι καταστάσεις s 1,s 2,s 3, καλούνται καταστάσεις αποδοχής. Μια μηχανή αποδέχεται μια σειρά χαρακτήρων, αν η τελική κατάσταση είναι μια από τις καταστάσεις αποδοχής. Μια σειρά χαρακτήρων που είναι αποδεκτή από μια μηχανή Μ, θα καλείται λέξη της Μ. Το σύνολο όλων των λέξεων μιας μηχανής Μ, θα καλείται γλώσσα της Μ. και θα συμβολίζεται στο εξής L(M). Στον Πίνακα 7.5.3 οι καταστάσεις αποδοχής θα σημειώνονται με * και η αρχική κατάσταση θα συμβολίζεται με : Πίνακας 7.5.3 Πίνακας κατάστασης. α β γ * S 1 S 1 S 2 S 3 * S 2 S 2 S 2 S 3* * S 3 S 3 S 4 S 3 S 4 S 4 S 4 S 4 Θα αναφερθούν στη συνέχεια δυο ενδιαφέροντα προβλήματα που αφορούν μηχανές. Πρόβλημα 7.5.1 Να περιγραφεί η γλώσσα L(M) μιας μηχανής Μ. Πρόβλημα 7.5.2 Για μια δοσμένη σειρά χαρακτήρων, να περιγραφεί μια μηχανή Μ, η οποία έχει αυτό το σύνολο ως L(M). Προκειμένου να διερευνηθούν το Πρόβλημα 7.5.1 και το Πρόβλημα 7.5.2, θα χρησιμοποιήσουμε κατευθυνόμενους ψευδογράφους ως μέσο αναπαράστασης μηχανών. Κάθε κατάσταση s i είτε αυτή είναι αρχική είτε ενδιάμεση, αναπαριστάται με μια κορυφή του ψευδογράφου. Αν η μηχανή βρίσκεται σε μια χρονική στιγμή της λειτουργίας της στην κατάσταση s i «διαβάζει» το γράμμα x και δύναται να μεταβαίνει στην κατάσταση s j. Σχετικά με τη λειτουργία αυτή της μηχανής, διακρίνονται δυο δυνατές αναπαραστάσεις, που απεικονίζονται στο Σχήμα 7.5.5. 29

Σχήμα 7.5.5 Αναπαράσταση δυνατών καταστάσεων λειτουργίας μηχανής. Στις αιτιοκρατικές μηχανές η μετάβαση στην επόμενη κατάσταση μετά την ανάγνωση του s i είναι υποχρεωτική, πράγμα που δεν συμβαίνει στις μη αιτιοκρατικές μηχανές. Στην περίπτωση πολλαπλών συνδέσεων δύο κορυφών θα υιοθετήσουμε την αναπαράσταση Σχήμα 7.5.6 Πολλαπλή σύνδεση κορυφών. αντί της πολλαπλής σύνδεσης. Σχήμα 7.5.7 Εναλλακτική παράσταση σύνδεσης κορυφών. Κατ αντιστοιχία ο βρόγχος δεν θα παρίσταται με πολλαπλούς βρόγχους, αλλά με έναν βρόγχο που θα φέρει όμως πολλαπλά βάρη (τις λέξεις) που οδηγούν στην ίδια κατάσταση. Ο ψευδογράφος αναπαράστασης μιας μηχανής θα καλείται Διγράφος της Μηχανής. Ο διγράφος της μηχανής του Παραδείγματος 7.5.3 παρίσταται στο επόμενο Σχήμα 7.5.8. 30