ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõò. Èá åîåôüóïõìå ôá ãåíéêü äõáäéêü äýíäñá, ôá éóïæõãéóìýíá êáôü ýøïò äýíäñá áíáæþôçóçò Þ áëëéþò äýíäñá AVL, ôá åîáñèñùìýíá äýíäñá êáé ôá Â-äÝíäñá. ÄõáäéêÜ ÄÝíäñá Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá áíáðôýîïõìå ìåñéêýò ðñïôüóåéò ó åôéêü ìå ðïóïôéêü óôïé åßá, ïé ïðïßåò éó ýïõí ãéá ôõ áßá äýíäñá ãåíéêþò êáé êáô åðýêôáóç êáé ãéá ôá ôõ áßá äõáäéêü äýíäñá êáé ãéá ôõ áßá äõáäéêü äýíäñá áíáæþôçóçò. Áñ éêü áò õðïèýóïõìå üôé áíáöåñüìáóôå óå äõáäéêü äýíäñá áíáæþôçóçò. Óôç âéâëéïãñáößá óõíáíôþíôáé äýï ïñéóìïß ãéá ôá ôõ áßá (radom) äýíäñá. Óýìöùíá ìå Ýíáí ðñþôï ïñéóìü, ôõ áßï ëýãåôáé ôï äõáäéêü äýíäñï áíáæþôçóçò ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôõ áßåò åéóáãùãýò êëåéäéþí. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé óå Ýíá êåíü äõáäéêü äýíäñï áíáæþôçóçò åéóüãïíôáé êëåéäéü ìå áêýñáéåò ôéìýò. Ôá êëåéäéü áõôü ìðïñïýí íá äéáôá èïýí ìå! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. ÅðïìÝíùò, õðüñ ïõí! äéáöïñåôéêïß ôñüðïé åéóáãùãþò ôùí êëåéäéþí óå êåíü äõáäéêü äýíäñï. Ùóôüóï, áí êáé ôá êëåéäéü ìðïñïýí íá åéóá èïýí êáôü! äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò, ôï ðëþèïò ôùí ðáñáãüìåíùí äïìþí äåí åßíáé ìéêñüôåñï áðü! êáé äßíåôáé áðü ôïí êáôáëáíéêü áñéèìü (ÌÜèçìá 2). Óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò èá áó ïëçèïýìå ìå ôçí åýñåóç áõôïý ôïõ ðëþèïõò ôùí äéáöïñåôéêþí äïìþí. Ùóôüóï, óôï óçìåßï áõôü óçìåéþíïõìå üôé óýìöùíá ìå Ýíá äåýôåñï ïñéóìü, ôõ áßï ëýãåôáé Ýíá äõáäéêü äýíäñï áíáæþôçóçò ðïõ åðéëýãåôáé ìåôáîý ôùí åíäå üìåíùí äïìþí ðïõ ìðïñåß íá ðñïêýøïõí êáôü ôçí åéóáãùãþ ôùí êëåéäéþí áõôþí. óôù, ëïéðüí, Ýíá ôõ áßï äýíäñï âáèìïý d êáé ýøïõò h. Ôï äýíäñï áõôü ðåñéý åé ôï ìýãéóôï áñéèìü êüìâùí üôáí üëïé ïé êüìâïé ôïõ, åêôüò ôùí êüìâùí ôïõ ôåëåõôáßïõ åðéðýäïõ, Ý ïõí d õðïäýíäñá. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï äýíäñï ëýãåôáé ðëþñåò (complete) Þ ãåìüôï (full). Ó åäüí ðëþñåò (almost complete) ëýãåôáé ôï äýíäñï ðïõ ðåñéý åé d j êüìâïõò óôï j-ïóôü åðßðåäï, ãéá j h, åíþ ôï Ó Þìá 25: ÐëÞñåò äõáäéêü äýíäñï ýøïõò 3. 39
h-ïóôü åðßðåäï ðåñéý åé áðü ùò êáé d h 2 êüìâïõò ðïõ êáôáëáìâüíïõí ôéò áñéóôåñüôåñåò èýóåéò ôïõ åðéðýäïõ áõôïý. ÄçëáäÞ, áí Ýíáò êüìâïò ôïõ (h )-ïóôïý åðéðýäïõ Ý åé äåîéü ðáéäß, ôüôå Ý åé êáé áñéóôåñü. Óôçí êáëýôåñç ( åéñüôåñç) ðåñßðôùóç ôï ôõ áßï äýíäñï åßíáé Ýíá ðëþñåò äýíäñï (áíôßóôïé á, ìßá ãñáììéêþ ëßóôá). Óôï ðñïçãïýìåíï ó Þìá äßíåôáé Ýíá ðëþñåò äõáäéêü äýíäñï ýøïõò 3. Ï áñéèìüò ôùí êüìâùí åíüò ðëþñïõò äõáäéêïý äýíäñïõ ýøïõò h åßíáé 2 h. Óå Ýíá ðëþñåò äýíäñï âáèìïý d ôï åðßðåäï Ý åé Ýíá êüìâï (ôç ñßæá), ôï åðßðåäï 2 Ý åé d êüìâïõò, ôï åðßðåäï 3 Ý åé d 2 êüìâïõò êïê. Óõíåðþò éó ýåé: N d (h) = + d + d 2 +... + d h = h d i i=0 Ãéá d=2 ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò. íá ðëþñåò äõáäéêü äýíäñï ìå êüìâïõò Ý åé ýøïò ôïõëü éóôïí lg. Áðü ôçí ðñïçãïýìåíç ðñüôáóç ðñïêýðôåé üôé: = 2 h lg = lg(2 h ) < lg 2 h = h Ãéá êüèå ìç êåíü äõáäéêü äýíäñï, áí 0 åßíáé ï áñéèìüò ôùí öýëëùí êáé 2 åßíáé ï áñéèìüò ôùí êüìâùí âáèìïý 2, ôüôå éó ýåé: Ç ðñüôáóç áðïäåß èçêå óôï ÌÜèçìá 4. 0 = 2 + îéá ðñïóï Þò åßíáé ç åðüìåíç äéáðßóôùóç ðïõ áíáðôýóóåôáé åêôåíýóôåñá óôï âéâëßï ôùí Horowitz-Sahi: ï áñéèìüò ôùí äéáöïñåôéêþí äõáäéêþí äýíäñùí ðïõ ìðïñïýí íá ðáñá èïýí ìå êüìâïõò éóïýôáé ìå ôïí áñéèìü ôùí ôñüðùí ðïõ ìðïñïýí íá ðïëëáðëáóéáóèïýí + ðßíáêåò, êáèþò åðßóçò éóïýôáé êáé ìå ôïí áñéèìü ôùí ìåôáèýóåùí ðïõ ìðïñïýí íá ðáñá èïýí áðü áêåñáßïõò ìå ôç âïþèåéá ìßáò óôïßâáò. Ôï ðñüâëçìá åýñåóçò áõôïý ôïõ áñéèìïý åßíáé ãíùóôü ùò ôï ðñüâëçìá ôçò ìýôñçóçò (coutig), åíþ Ýíá Üëëï ãíùóôü ðñüâëçìá åßíáé ç áðáñßèìçóç (eumeratio) ôùí äéáêåêñéìýíùí äýíäñùí, ôï ïðïßï üìùò äåí èá åîåôáóèåß óôá ðëáßóéá ôïõ áíôéêåéìýíïõ áõôïý. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôùóáí ïé ôñåéò áêýñáéïé,2,3 ðïõ ãåíéêü ìðïñïýí íá äéáôá èïýí êáôü Ýîé (=3!) ôñüðïõò. Áò èåùñçèåß ìßá óôïßâá üðïõ ïé áêýñáéïé áõôïß 40
ùèïýíôáé ìå ôç äåäïìýíç óåéñü (äçëáäþ, ðñþôá ôï, ìåôü ôï 2, êáé ôýëïò 3). Ï áíáãíþóôçò ìðïñåß åýêïëá íá äéáðéóôþóåé üôé ïé ìåôáèýóåéò ðïõ ðñïêýðôïõí ìå êüèå åßäïõò äõíáôþ áëëçëïõ ßá ùèþóåùí/áðùèþóåùí (push/pop) åßíáé ïé åîþò ðýíôå:, 2, 3, 3, 2 2,, 3 2, 3, 3, 2, óôù åðßóçò üôé b åßíáé ï áñéèìüò ôùí ôñüðùí ðïõ ìðïñïýí íá ðïëëáðëáóéáóèïýí ðßíáêåò. Åßíáé ðñïöáíýò üôé b 2 =, b 3 = 2, b 4 = 5, åíþ ãåíéêü ãéá > éó ýåé: b = b i b i i Óôçí ðåñßðôùóç ôïõ áñéèìïý ôùí äéáöïñåôéêþí äõáäéêþí äýíäñùí ðïõ ìðïñïýí íá ðáñá èïýí ìå êüìâïõò ç ó Ýóç áõôþ ìåôáôñýðåôáé óå: b = b i b i 0 i åíþ ùò áñ éêþ óõíèþêç ëáìâüíåôáé b 0 =. ôóé Ýðåôáé ç åîþò ðñüôáóç. O áñéèìüò ôùí äéáêåêñéìýíùí äõáäéêþí äýíäñùí ìå êüìâïõò åßíáé: b 4 π Ìå éäéáßôåñá óýíèåôï ôñüðï ( ñçóéìïðïéþíôáò ãåííþôñéåò óõíáñôþóåéò) ðñïêýðôåé üôé ç ëýóç ôçò áíáäñïìéêþò ó Ýóçò: b = b i b i åßíáé: b = 0 i + ( 2 äçëáäþ ï ãíùóôüò êáôáëáíéêüò áñéèìüò ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå C. Ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò ðñïêýðôåé ìå âüóç ôïí ðñïóåããéóôéêü ôýðï ôïõ Stirlig. Ï áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôïí ðñþôï ôüìï ôïõ âéâëßïõ ôïõ Kuth Þ óôï âéâëßï ôïõ Wood ãéá ðåñéóóüôåñåò ëåðôïìýñåéåò. ÌÞêïò ìïíïðáôéïý (path legth) êüìâïõ ëýãåôáé ï áñéèìüò ôùí êëáäéþí ðïõ ìåóïëáâïýí ìåôáîý ôïõ êüìâïõ áõôïý êáé ôçò ñßæáò. Ç ñßæá Ý åé ìþêïò ìïíïðáôéïý 0, ôá ðáéäéü ôçò ñßæáò Ý ïõí ìþêïò êáé ãåíéêü, Ýíáò êüìâïò ôïõ åðéðýäïõ i Ý åé ìþêïò ìïíïðáôéïý i. Åóùôåñéêü ìþêïò ìïíïðáôéïý (iteral path legth), IP L, åíüò äýíäñïõ ëýãåôáé ôï Üèñïéóìá ôùí ìïíïðáôéþí üëùí ôùí êüìâùí, êáé áíáëõôéêü ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç: IP L = 4 i= l i )
üðïõ l i åßíáé ôï ìþêïò ìïíïðáôéïý ôïõ i-ïóôïý êüìâïõ áðü ôç ñßæá. ÊÜèå ðëþñåò äõáäéêü äýíäñï Ý åé ôï åëü éóôï åóùôåñéêü ìþêïò ìïíïðáôéïý ìåôáîý ôùí äýíäñùí ìå ôïí ßäéï áñéèìü êüìâùí. Óôçí ðñüîç ñçóéìïðïéïýíôáé äýíäñá ðïõ åëáôôþíïõí Þ áêüìç êáé åëá éóôïðïéïýí ôç ó Ýóç áõôþ (éóïæõãéóìýíá äýíäñá åëüôôùóçò åóùôåñéêïý ìïíïðáôéïý, iteral path reductio trees, IPR trees). Ôï åóùôåñéêü ìþêïò ìïíïðáôéïý ãéá Ýíá äýíäñï T éêáíïðïéåß ôç ó Ýóç: IP L(T ) = + IP L(T l ) + IP L(T r ) üðïõ T l êáé T r åßíáé áíôßóôïé á ôï áñéóôåñü êáé äåîéü õðïäýíäñï ôçò ñßæáò. Óõíåðþò, óôç ìýóç ðåñßðôùóç éó ýåé: IP L() = + (IP L(k) + IP L( k )) k=0 ìå áñ éêýò óõíèþêåò IP L(0) = IP L() = 0. Ç áíáäñïìéêþ áõôþ åîßóùç åßíáé ó åäüí ßäéá ìå ôçí áíôßóôïé ç ôçò ìýóçò ðåñßðôùóçò ðïõ åîåôüóáìå ãéá ôç ãñþãïñç ôáîéíüìçóç (ìå ôç äéáöïñü ôçò áöáßñåóçò ôçò ìïíüäáò). ÄçëáäÞ, ìå ìßá áðïëýôùò ôáõôüóçìç ôå íéêþ ìðïñïýìå íá öèüóïõìå óôçí áíáäñïìéêþ åîßóùóç: IP L() + áðü üðïõ ðñïêýðôåé ôåëéêü üôé: = IP L( ) + 2 2 ( + ) IP L av = 2( + )(H + ) 2 = Θ( lg ) Ó Þìá 26: Ôñéáäéêü äýíäñï ìå åéäéêïýò êüìâïõò. Åéäéêïß êüìâïé (special odes) ëýãïíôáé ïé êüìâïé ðïõ ðñïóáñôþíôáé óå Ýíá äýíäñï, Ýôóé þóôå üëïé ïé êüìâïé íá Ý ïõí ôïí ßäéï âáèìü, ôï âáèìü d ôïõ äýíäñïõ. Ôï ðñïçãïýìåíï ó Þìá ðáñïõóéüæåé Ýíá ôñéáäéêü äýíäñï ìå êüìâïõò (êõêëéêïýò), ðïõ Ý ïõí åðåêôáèåß ìå ôïõò åéäéêïýò êüìâïõò (ôåôñáãùíéêïýò). Åîùôåñéêü ìþêïò ìïíïðáôéïý (iteral path legth), EP L, åíüò äýíäñïõ ëýãåôáé ôï Üèñïéóìá ôùí ìïíïðáôéþí üëùí ôùí åéäéêþí êüìâùí, êáé áíáëõôéêü ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç: m EP L = 42 i= m i
üðïõ m i åßíáé ôï ìþêïò ìïíïðáôéïý ôïõ i-ïóôïý åéäéêïý êüìâïõ áðü ôç ñßæá, åíþ m åßíáé ôï óýíïëï ôùí åéäéêþí êüìâùí. Ôï äýíäñï ôïõ áíùôýñù ó Þìáôïò Ý åé IP L = 4 êáé EP L = 52. Óå Ýíá äõáäéêü äýíäñï ìå êüìâïõò ïé ðïóüôçôåò IP L êáé EP L óõíäýïíôáé ìå ôç ó Ýóç: EP L = IP L + 2 Aí áðü êüðïéï äõáäéêü äýíäñï äéáãñáöåß Ýíáò êüìâïò ùñßò ðáéäéü, ôüôå ç ðïóüôçôá EP L ìåéþíåôáé êáôü 2(k + ), üðïõ k áêýñáéïò, êáé áõîüíåôáé êáôü k åðåéäþ ðñïóôßèåôáé Ýíáò íýïò åéäéêüò êüìâïò. ôóé, ç ðïóüôçôá EP L ìåéþíåôáé êáôü k+2, åíþ ç ðïóüôçôá IP L ìåéþíåôáé êáôü k. ñá ôåëéêü éó ýåé: ((EP L IP L) = 2. Áèñïßæïíôáò ãéá üëïõò ôïõò êüìâïõò ðñïêýðôåé: (EP L IP L) = 2 ¼ìùò éó ýåé: (EP L IP L) = EP L IP L êáé óõíåðþò ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò. Óôç óõíý åéá èá õðïèýóïõìå êáé ðüëé ôõ áßá äõáäéêü äýíäñá êáé èá åîåôüóïõìå ôçí êáôáíïìþ ôùí âáèìþí ôùí êüìâùí ôïõ äýíäñïõ. Ìå áðëü ëüãéá, óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå ìßá ôõ áßá ìåôáâëçôþ D i (ãéá i 3) ðïõ ëáìâüíåé ôéìýò 0, êáé 2, êáé èá ðñïóðáèþóïõìå íá âñïýìå ôï ôéò áíôßóôïé åò ìýóåò ôéìýò E[D i ]. Êáô áñ Þí áò èåùñþóïõìå ôç ìåôáâëçôþ D, äçëáäþ ôï ðëþèïò ôùí êüìâùí åíüò ôõ áßïõ äõáäéêïý äýíäñïõ T ìå êüìâïõò, ïé ïðïßïé Ý ïõí áêñéâþò Ýíá ðáéäß. Ç ñßæá èá Ý åé k êüìâïõò óôï áñéóôåñü ôçò õðïäýíäñï êáé k óôï äåîéü ôçò õðïäýíäñï. Óõíåðþò ôï ðëþèïò ôùí åíäå üìåíùí äïìþí õðïäýíäñùí ðïõ èá ðñïêýøïõí óôá áñéóôåñü åßíáé C k, åíþ ôï ðëþèïò ôùí åíäå üìåíùí äïìþí õðïäýíäñùí ðïõ èá ðñïêýøïõí óôá äåîéü åßíáé C k. Áí k = 0, ôüôå äçìéïõñãïýíôáé C 0 C = C ðåñéðôþóåéò. ÓõììåôñéêÜ, áí k = 0 ôüôå ðñïêýðôïõí Üëëåò C ðåñéðôþóåéò. ÅðïìÝíùò ç ðéèáíüôçôá ãéá ôç ñßæá íá Ý åé ìüíï Ýíá õðïäýíäñï åßíáé 2C /C. ÁíÜëïãç Ýêöñáóç éó ýåé ãéá ïðïéáäþðïôå ñßæá ôïõ äýíäñïõ T. Êáèþò lim C /C = /2, ðñïêýðôåé üôé E[D ] = /2. Ãéá íá âñïýìå ôéò áíôßóôïé åò åêöñüóåéò E[D 0 ], E[D 2 ] èá áðïäåßîïõìå ôçí åðüìåíç ðñüôáóç. óôù üôé éó ýåé D = j ãéá êüðïéï äýíäñï T. Ôüôå èá éó ýåé D 0 = ( + j)/2 êáé D 2 = ( j)/2. Ôï T Ý åé + êåíü õðïäýíäñá (õðïäýíäñá ôùí öýëëùí). Åö üóïí D = j, 43
Ýðåôáé üôé õðüñ ïõí + j êåíü õðïäýíäñá ðïõ áíôéóôïé ïýí óå êüìâïõò ðïõ äåí Ý ïõí âáèìü. ÅðåéäÞ ïé êüìâïé âáèìïý 2 äåí Ý ïõí êåíü õðïäýíäñá, Ýðåôáé üôé ôá + j êåíü õðïäýíäñá áíôéóôïé ïýí óå êüìâïõò ìå âáèìü 0 êáé Üñá D 2 = ( + j)/2. Êáèþò D 0 + D + D 2 =, Ýðåôáé üôé D 2 = ( j)/2. ïõìå Þäç áðïäåßîåé üôé lim E[D ] = /2. Áí D = j ôüôå áðü ôçí ðñïçãïýìåíç ðñüôáóç Ý ïõìå D 0 = ( + j)/2 = ( + D )/2. ÅðïìÝíùò lim E[D 0 ] = lim ( + /2)/2 = /4. Ïìïßùò ðñïêýðôåé üôé E[D 2 ] = /4. ñá êáôáëþãïõìå üôé áðåäåß èç ôï åîþò: lim E[D 0 ] = /4 lim E[D ] = /2 lim E[D 2 ] = /4 Áêïëïõèïýí ìåñéêü ðïóïôéêü óôïé åßá ãéá ôá äõáäéêü äýíäñá áíáæþôçóçò. Ìå E êáé A óõìâïëßæåôáé ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá åðéôõ Þ êáé áíåðéôõ Þ áíáæþôçóç, áíôßóôïé á. Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá åðéôõ Þ áíáæþôçóç óå Ýíá ðëþñåò äõáäéêü äýíäñï ýøïõò h åßíáé: E h Åö üóïí ôï äýíäñï åßíáé ðëþñåò Ýðåôáé üôé éó ýåé: = 2 h. Ãéá ôïí êüìâï ôçò ñßæáò áðáéôåßôáé óýãêñéóç, ãéá ôéò ñßæåò ôùí äýï õðïäýíäñùí áðáéôïýíôáé 2 óõãêñßóåéò, êïê, ãéá ôá öýëëá áðáéôïýíôáé h óõãêñßóåéò. E = ( 20 + 2 2 + 3 2 2 +... + h 2 h ) 2E = ( 2 + 2 2 2 + 3 2 3 +... + h 2 h ) Áöáéñþíôáò êáôü óêýëç êáé ìå áðëþ Üëãåâñá ðñïêýðôåé: E = ( h 2 h (2 0 + 2 +... + 2 h ) ) = ( h 2 h (2 h ) ) = ( 2 h (h ) + ) =... h To áðïôýëåóìá áõôü åßíáé åýêïëá êáôáíïçôü ìå âüóç ôï ãåãïíüò üôé ïé ìéóïß êüìâïé âñßóêïíôáé óôï ôåëåõôáßï åðßðåäï. Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá åðéôõ Þ áíáæþôçóç óå Ýíá ó åäüí ðëþñåò äõáäéêü äýíäñï ýøïõò h åßíáé: E h 2 h / 44
Åö üóïí ôï äýíäñï åßíáé ó åäüí ðëþñåò Ýðåôáé üôé éó ýåé: 2 h < = 2 h + M < 2 h, üðïõ 0 < M < 2 h åßíáé ïé êüìâïé ôïõ ôåëåõôáßïõ åðéðýäïõ. Ìå óêåðôéêü ðáñüìïéï ìå ôï ðñïçãïýìåíï ðñïêýðôåé üôé: ( E = h ) i2 i + hm = ( 2 h (h 2) + + h h2 h + h ) = i= ( h 2 h + h + ) h (2h h ) áðü üðïõ ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò. Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá ôçí åðéôõ Þ êáé ôçí áíåðéôõ Þ áíáæþôçóç óå Ýíá ôõ áßï äõáäéêü äýíäñï óõíäýïíôáé ìå ôçí ôáõôüôçôá: E = A + Åßíáé ãíùóôü üôé EP L = IP L + 2. Åýêïëá åðßóçò áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ó Ýóåéò: E = (IP L + )/ A = EP L/( + ) Áðü ôéò ôñåéò áõôýò ó Ýóåéò ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò. Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá ôçí áíåðéôõ Þ áíáæþôçóç óå ôõ áßï äõáäéêü äýíäñï åßíáé: A = 2 H + 2 óôù üôé ç åðéôõ Þò êáé ç áíåðéôõ Þò áíáæþôçóç óå äýíäñï ìå êëåéäéü óõìâïëßæåôáé ìå E êáé A áíôßóôïé á. ÄéáéóèçôéêÜ åßíáé öáíåñü üôé: E = + (A 0 + A + A 2 +... + A ) ÓõíäõÜæïíôáò áõôþí ôç ó Ýóç ìå ôçí ðñïçãïýìåíç ðñüôáóç ðñïêýðôåé: ( + ) A = 2 + A 0 + A +... + A Áíôéêáèéóôþíôáò ôï ìå ðñïêýðôåé: A = 2 ( ) + A 0 + A +... + A 2 45
ïðüôå áöáéñþíôáò ôéò äýï ó Ýóåéò êáé ìå êáôüëëçëç Üëãåâñá éó ýåé: A = A + 2 + Ç áñ éêþ óõíèþêç ôçò áíáäñïìéêþò áõôþò ó Ýóçò åßíáé A 0 = 0, Üñá ôåëéêü: A = + 2 3 + 2 4 +... + 2 + Áðü ôç ó Ýóç áõôþ ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôçò ðñüôáóçò. Óõíåðþò áðü ôéò äýï ðñïçãïýìåíåò ðñïôüóåéò ôåëéêü ðñïêýðôåé ç åðüìåíç. Ç ìýóç ôéìþ ôïõ áñéèìïý ôùí óõãêñßóåùí ãéá ôçí åðéôõ Þ êáé ôçí áíåðéôõ Þ áíáæþôçóç óå ôõ áßï äõáäéêü äýíäñï åßíáé: A, 386 lg 0, 846 E, 386 lg, 846 Áðü ôéò ó Ýóåéò áõôýò ðñïêýðôåé ôï åîþò åíäéáöýñïí áðïôýëåóìá: ç áíáæþôçóç óå ôõ üí äõáäéêü äýíäñï êáôü ìýóï üñï åßíáé 39% áêñéâüôåñç áðü ôçí áíáæþôçóç óå Ýíá ðëþñåò äýíäñï ìå ôïí ßäéï áñéèìü êüìâùí. ÄçëáäÞ, ç åéñüôåñç ðåñßðôùóç ôïõ åêöõëéóìïý ôïõ äýíäñïõ óå ãñáììéêþ ëßóôá åßíáé áñêåôü óðüíéá êáé äåí óõìâüëëåé êáôü ðïëý óôï ôåëéêü áðïôýëåóìá. ÄÝíäñá AVL Ç ïíïìáóßá ôùí äýíäñùí áõôþí ðñïýêõøå áðü ôá ïíüìáôá ôùí äýï Ñþóùí åñåõíçôþí ðïõ ôá ðñüôåéíáí: ôïõ Adelso-Velskii êáé ôïõ Ladis ôï 962. Ç äïìþ áõôþ óõíáíôüôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé ìå ôçí ïíïìáóßá éóïæõãéóìýíá äýíäñá êáôü ýøïò (height balaced trees). Ïñéóìüò. íá äõáäéêü äýíäñï áíáæþôçóçò ëýãåôáé äýíäñï AVL áí ãéá êüèå êüìâï ôïõ äýíäñïõ éêáíïðïéïýíôáé ïé åîþò äýï óõíèþêåò: ç äéáöïñü ôùí õøþí ôùí äýï õðïäýíäñùí ôïõ êüìâïõ åßíáé ìéêñüôåñç áðü Ýíá, êáé ôá äýï õðïäýíäñá ôïõ êüìâïõ åßíáé åðßóçò äýíäñá AVL. Ðáñáôçñïýìå üôé ï ïñéóìüò åßíáé áíáäñïìéêüò êáé ðáñý åé åõêáéñßåò ãéá áíüëõóç. Ç áíáæþôçóç óôá äýíäñá AVL ãßíåôáé áêñéâþò üðùò êáé óôá áðëü äõáäéêü äýíäñá áíáæþôçóçò. Ç äéáöïñü ôùí äýï äüìùí Ýãêåéôáé óôïõò óýíèåôïõò áëëü êáé êïìøïýò áëãïñßèìïõò åéóáãùãþò/äéáãñáöþò êëåéäéþí óôá äýíäñá AVL, ïé ïðïßïé 46
åêôåëïýí ðåñéóôñïöýò (rotatios), þóôå íá ìçí ðáñáâéüæåôáé ï áíùôýñù ïñéóìüò. óôù üôé ôá äýï õðïäýíäñá ôçò ñßæáò Ý ïõí áñ éêü ýøïò h L êáé h R. Åðßóçò, Ýóôù üôé óôï áñéóôåñü õðïäýíäñï åéóüãåôáé Ýíá íýï óôïé åßï, ïðüôå ôï ýøïò ôïõ áõîüíåôáé êáôü Ýíá. Äéáêñßíïíôáé ôñåéò áñ éêýò óõíèþêåò: h L = h R : ôá ýøç êáèßóôáíôáé Üíéóá, áëëü éó ýåé ôï ðñþôï êñéôþñéï ôïõ ïñéóìïý, h L < h R : ôá ýøç åîéóþíïíôáé, Üñá ç êáôüóôáóç âåëôéþèçêå, êáé ôýëïò, h L > h R : ðáñáâéüæåôáé ôï ðñþôï êñéôþñéï êáé ç éóïññïðßá ðñýðåé íá áðïêáôáóôáèåß. B A c ÐåñéóôñïöÞ LL A B a a b (a) b c C A B d a b c ÐåñéóôñïöÞ LR B A C b c a d (b) Ó Þìá 27: ÁðïêáôÜóôáóç éóïññïðßáò óå äýíäñï AVL. OõóéáóôéêÜ, ïé ðåñéðôþóåéò ðïõ ðñýðåé íá åöáñìïóèïýí ïé äéáäéêáóßåò éóïæõãéóìïý åßíáé äýï êáé ðáñïõóéüæïíôáé óôï ðñïçãïýìåíï ó Þìá. Êáé ôá äýï áñéóôåñü äýíäñá ôïõ ó Þìáôïò åßíáé áñéóôåñüâáñá óôïõò êüìâïõò  êáé C, áíôßóôïé á. óôù üôé åéóüãåôáé Ýíá êëåéäß êáé äçìéïõñãåßôáé Ýíá öýëëï ðïõ æùãñáößæåôáé ìå äéáãñüììéóç. ÅéäéêÜ óôçí êüôù ðåñßðôùóç ðáñïõóéüæïíôáé äýï äéáãñáììéóìýíïé êüìâïé, ãéá íá äçëþóïõìå üôé ç äéáäéêáóßá åßíáé ðáíïìïéüôõðç óå ïðïéáäþðïôå èýóç êáé áí åêôåëåóèåß ç åéóáãùãþ. ÐÝñáí üìùò áðü ôç ëåðôïìýñåéá áõôþ, ôá äýï áñéóôåñü ðåñéóôáôéêü Ý ïõí ôçí åîþò åéäïðïéü äéáöïñü ùò ðñïò ôçí åéóáãùãþ. Ôï íýï êëåéäß êáôåõèýíåôáé óôï áñéóôåñü êáé óôï äåîéü õðïäýíäñï ôïõ áñéóôåñïý õðïäýíäñïõ, áíôßóôïé á. Ç ìç éóïññïðßá óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ëýãåôáé åîùôåñéêþ 47
(outside imbalace) êáé åóùôåñéêþ (iside imbalace), êáé áðïêáèßóôáôáé ìå ìßá Þ äýï ðåñéóôñïöýò, áíôßóôïé á. Ãéá ôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ôïõ ó Þìáôïò áðáéôåßôáé ìßá áðëþ ùñïëïãéáêþ ðåñéóôñïöþ, ðïõ ïíïìüæåôáé ðåñéóôñïöþ LL, åíþ ãéá ôç äåýôåñç ðåñßðôùóç áðáéôåßôáé ìßá äéðëþ ðåñéóôñïöþ, ðïõ ïíïìüæåôáé ðåñéóôñïöþ LR. Åêôüò áðü ôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ áðåéêïíßæïíôáé óôï ó Þìá, õðüñ ïõí êáé Üëëåò äýï óõììåôñéêýò ðïõ áíôéìåôùðßæïíôáé áíüëïãá, äçëáäþ ìå ðåñéóôñïöþ RR Þ ìå ðåñéóôñïöþ RL. Óçìåéþíåôáé üôé ïé ïíïìáóßåò LL, RR, LR êáé RL äçëþíïõí ôçí êáôåýèõíóç ôïõ ìïíïðáôéïý ðïõ áêïëïõèåß ôï åéóáãüìåíï óôïé åßï óå ó Ýóç ìå ôïí êñßóéìï (critical) êüìâï, äçëáäþ ôïí ðëçóéýóôåñï êüìâï ðñïò ôá öýëëá üðïõ äéáðéóôþíåôáé üôé ï ïñéóìüò ðáñáâéüæåôáé. Ç äéáäéêáóßá áðïêáôüóôáóçò ôïõ êñéôçñßïõ éóïæõãéóìïý óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ãßíåôáé åýêïëá áíôéëçðôþ. ÐñáêôéêÜ, ç ðåñéóôñïöþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí åíçìýñùóç ôùí äåéêôþí äýï êüìâùí ùñßò êáìßá Üëëç åðýìâáóç óôç äïìþ. ôóé, áí èåùñçèåß ç åíäïäéáôåôáãìýíç äéüó éóç, ôüôå ïé êüìâïé êáé ôá õðïäýíäñá äéáó ßæïíôáé ìå ôçí ßäéá óåéñü: a < Á < b <  < c, åßôå ðñéí åßôå ìåôü ôçí ðåñéóôñïöþ. Èåùñïýìå üôé áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí åßíáé ãíùóôïß ïé áëãüñéèìïé åéóáãùãþò/äéáãñáöþò êëåéäéþí óå/áðü Ýíá äýíäñï AVL êáé äåí èá áó ïëçèïýìå ðåñáéôýñù ìå áõôïýò áëëü èá ðñïóäéïñßóïõìå ôá üñéá ôïõ ýøïõò áõôþò ôçò äïìþò. Ôï ýøïò h åíüò äýíäñïõ AVL ìå êüìâïõò âñßóêåôáé ìåôáîý ôùí ïñßùí: lg( + ) h, 440 lg( + 2) 0, 328 Ôï áñéóôåñü óêýëïò ôçò ó Ýóçò áöïñü óå äýíäñá AVL ðïõ ôáõôßæïíôáé ìå (ó åäüí) ðëþñç äõáäéêü äýíäñá. Áí êüèå åóùôåñéêüò êüìâïò Ý åé äýï ðáéäéü êáé üëá ôá öýëëá âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï, ôüôå éó ýåé üôáí = 2 h ãéá ôõ üí ýøïò h, áðü üðïõ ðñïêýðôåé ç éóüôçôá ôïõ áñéóôåñïý óêýëïõò. Áí óôï åðßðåäï ôùí öýëëùí õðüñ ïõí ëéãüôåñï áðü 2 h 2 öýëëá, ôüôå éó ýåé ç áíéóüôçôá ôïõ áñéóôåñïý óêýëïõò. Ôï äåîéü óêýëïò ôçò ó Ýóçò áöïñü óå äýíäñá AVL ðïõ åßíáé êáôü ôï äõíáôüí ðåñéóóüôåñï áíéóïæõãéóìýíá, äçëáäþ óå êüèå êüìâï õðüñ åé äéáöïñü ± ìåôáîý ôùí ôéìþí ôùí õøþí ôïõ áñéóôåñïý êáé ôïõ äåîéïý õðïäýíäñïõ. Áí ìå h óõìâïëßæåôáé ï áñéèìüò ôùí êüìâùí ôïõ äýíäñïõ ìå ýøïò h, ôüôå ìå âüóç ôï óêåðôéêü áõôü éó ýåé ç áíáäñïìéêþ ó Ýóç: h = h + h 2 + åíþ ìå ôá êáôüëëçëá óêßôóá åýêïëá öáßíåôáé üôé éó ýïõí ïé áñ éêýò óõíèþêåò 0 = 0 êáé = êáé åðïìýíùò 2 = 2, 3 = 4 êïê. Ç áíáäñïìéêþ áõôþ ó Ýóç åßíáé ðáñüìïéá ìå ôçí áêïëïõèßá ôùí áñéèìþí Fiboacci êáé ãé áõôü ôá äýíäñá AVL ïíïìüæïíôáé êáé äýíäñá Fiboacci. Ç ëýóç ôçò áíáäñïìéêþò áõôþò ó Ýóçò åßíáé: ( h = 5 + ) h+2 ( 5 2 5 ) h+2 5 2 48
Ôï äåîéü óêýëïò ôçò ó Ýóçò åßíáé ï (+2)-ïóôüò áñéèìüò Fiboacci äåýôåñçò ôüîçò êáé åðïìýíùò éó ýåé: h = F h+2 Õðåíèõìßæåôáé åî Üëëïõ ç ôáõôüôçôá DeMoivre ãéá ôïõò áñéèìïýò Fiboacci: F h = φh ˆφ h 5 üðïõ φ = + 5 2 (ç ëåãüìåíç ñõóþ ôïìþ) êáé ˆφ = 5 2. ÅðåéäÞ éó ýåé ˆφ < Ýðåôáé üôé ï äåýôåñïò üñïò ôïõ äåîéïý óêýëïõò ôçò ðñïçãïýìåíçò ó Ýóçò ãéá ôï h åßíáé ìéêñüôåñïò ôçò ìïíüäáò. ñá, åðåéäþ h åßíáé ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò êüìâùí ðïõ ìðïñåß íá Ý åé Ýíá äýíäñï AVL ýøïõò h, áõôü óçìáßíåé üôé êüèå Üëëï äýíäñï AVL ýøïõò h èá Ý åé êüìâïõò: h 5 φ h+2 2 Ëïãáñéèìþíôáò ùò ðñïò φ êáé ëýíïíôáò ùò ðñïò h ðñïêýðôåé: 5 ( + 2) φ h+2 h + 2 lg φ ( + 2) + lg φ 5 Ôï äåîéü óêýëïò ôçò ðñüôáóçò ðñïêýðôåé ìåôáôñýðïíôáò ôç âüóç ôïõ ëïãáñßèìïõ áðü φ óå 2. ôóé, ëïéðüí, óõìðåñáßíåôáé üôé ôï ýøïò åíüò äýíäñïõ AVL åßíáé ôï ðïëý êáôü 45% ìåãáëýôåñï áðü ôï ýøïò ôïõ áíôßóôïé ïõ ó åäüí ðëþñïõò äýíäñïõ ìå ôïí ßäéï áñéèìü êüìâùí. Â-äÝíäñá Ôï Â-äÝíäñï åßíáé ìßá äïìþ ðïõ åîåôüóáìå ëåðôïìåñþò óôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Õðåíèõìßæïõìå üôé ç áöïñìþ ôçò ïíïìáóßáò ôùí Â-äÝíäñùí Üíåôáé óôçí éóôïñßá. ËÝãåôáé üôé ôï  ðñïýñ åôáé áðü ôï üíïìá ôïõ åñåõíçôþ ðïõ ôï ðáñïõóßáóå, ôïõ Bayer ôï 972, Þ áðü ôá Boeig Scietific Research Labs üðïõ åñãáæüôáí ï Âayer, Þ áêüìç üôé ðñïýñ åôáé áðü ôï balaced (äçëáäþ, éóïæõãéóìýíï). Ôï âýâáéï åßíáé üôé äåí ðñïýñ åôáé áðü ôï biary (äõáäéêü). Ïñéóìüò. Â-äÝíäñï âáèìïý d (B-tree of degree d) åßíáé ôï äýíäñï ìå ôá åîþò áñáêôçñéóôéêü: ç ñßæá Ý åé ôï åëü éóôï Ýíá êëåéäß êáé ôï ìýãéóôï 2d êëåéäéü, êüèå åóùôåñéêüò êüìâïò (åêôüò ôçò ñßæáò) Ý åé ôï åëü éóôï d êëåéäéü êáé ôï ìýãéóôï 2d êëåéäéü, Ýíáò êüìâïò ìå k êëåéäéü Ý åé k+ ðáéäéü (üðïõ k 2d), êáé üëá ôá öýëëá âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï. 49
3 0 52 75 25 4 5 2 9 56 7 90 00 42 46 50 93 202 220 225 Ó Þìá 28: Â-äÝíäñï âáèìïý 2 ìå 3 åðßðåäá. Óôï ðñïçãïýìåíï ó Þìá ðáñïõóéüæåôáé Ýíá Â-äÝíäñï âáèìïý 2 ìå 3 åðßðåäá. Ïé êüìâïé ðåñéý ïõí 2, 3 Þ 4 êëåéäéü. Ç ñßæá áðïôåëåß åîáßñåóç êáé ðåñéý åé êëåéäß. Åðßóçò üëá ôá öýëëá âñßóêïíôáé óôï åðßðåäï 3. ¼ðùò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôïõ äýíäñïõ AVL, äåí èá ìáò áðáó ïëþóïõí ïé ëåðôïìýñåéåò ôùí áëãïñßèìùí åéóáãùãþò/áíáæþôçóçò/äéáãñáöþò. Óôç óõíý åéá èá áó ïëçèïýìå ìå ôçí áíüëõóç ôçò äïìþò áõôþò óå ó Ýóç ìå ôéò áðáéôþóåéò þñïõ êáé èá äïèïýí ìåñéêýò åíäéáöýñïõóåò ðñïôüóåéò ðïõ áöïñïýí óôï ýøïò ôïõ äýíäñïõ êáé ôïí ðáñüãïíôá ñçóéìïðïßçóçò þñïõ (storage utilizatio factor), U, äçëáäþ ôï ëüãï ôùí êáôåéëçììýíùí èýóåùí ôçò äïìþò ðñïò ôï óýíïëï ôùí èýóåùí êëåéäéþí. Óå Â-äÝíäñï âáèìïý d ìå êëåéäéü ç ôéìþ ôïõ ýøïõò åßíáé ìåôáîý ôùí ïñßùí: lg2d+ ( + ) + h() + lg d+ 2 Ôï áñéóôåñü óêýëïò ôçò ó Ýóçò áíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç, üðïõ üëïé ïé êüìâïé åßíáé ðëþñåéò, äçëáäþ ðåñéý ïõí 2d êëåéäéü. ÐñÝðåé íá õðïëïãßóïõìå ôï ðëþèïò ôùí êüìâùí. Ìå ôï óêåðôéêü üôé êüèå êüìâïò Ý åé ôï ìýãéóôï áñéèìü ðáéäéþí, äçëáäþ áêñéâþò 2d + ðáéäéü, ï áñéèìüò áõôüò éóïýôáé ìå: + (2d + ) + (2d + ) 2 +... + (2d + ) h üðïõ êüèå üñïò åêöñüæåé ôï ðëþèïò ôùí êüìâùí óôï ðñþôï, äåýôåñï êïê åðßðåäï. Óõíåðþò ôåëéêü éó ýåé ç ó Ýóç: = 2d ( + (2d + ) + (2d + ) 2 +... + (2d + ) h ) = 2d (2d + )h (2d + ) = (2d + )h + = (2d + ) h h = lg( + ) lg(2d + ) = lg 2d+( + ) Ç éóüôçôá áõôþ éó ýåé ãéá Ýíá Â-äÝíäñï áðïëýôùò óõìðáãýò, äçëáäþ ìå ôï ìýãéóôï áñéèìü êüìâùí êáé êëåéäéþí ãéá äåäïìýíï ýøïò. Óõíåðþò éó ýåé ôï áñéóôåñü 50
óêýëïò ôçò ðñüôáóçò. Ôï äåîéü óêýëïò ôçò ó Ýóçò áíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç üðïõ êüèå êüìâïò Ý åé ôïí åëü éóôï áñéèìü ðáéäéþí, äçëáäþ ç ñßæá Ý åé 2 ðáéäéü, åíþ ïé Üëëïé êüìâïé Ý ïõí d + ðáéäéü. Óõíåðþò ï áñéèìüò ôùí êëåéäéþí éóïýôáé ìå: = + 2d + 2d(d + ) + 2d(d + ) 2 +... + 2d(d + ) h üðïõ êüèå üñïò ôïõ äåîéïý óêýëïõò åêöñüæåé ôï óýíïëï ôùí êëåéäéþí óôï ðñþôï, ôï äåýôåñï åðßðåäï êïê. Ìå áðëþ Üëãåâñá ðñïêýðôåé: = + 2d ( + (d + ) + (d + ) 2 +... + (d + ) h ) = + 2d (d + )h (d + ) = 2(d + )h (3) áðü üðïõ ìå ôéò êáôüëëçëåò áðëïðïéþóåéò êáé Üëãåâñá ðñïêýðôåé ç áëþèåéá ôïõ äåîéïý óêýëïõò. Óå Â-äÝíäñï âáèìïý d ç ìýóç ôéìþ ôïõ ðáñüãïíôá ñçóéìïðïßçóçò ôïõ þñïõ åßíáé: U ave = l 2 69% Áêïëïõèåß ìßá áðëïðïéçôéêþ áëëü ðñïóåããéóôéêþ ìýèïäïò ðïõ äüèçêå áðü ôïí Leug (984). Áí èåùñçèåß óôáèåñü ï áñéèìüò ôùí êëåéäéþí êáé ìåôáâëçôþ ï áñéèìüò ôùí êüìâùí od, ôüôå áðü ôïí ïñéóìü ôïõ Â-äÝíäñïõ éó ýåé: U = 2d od Ãéá ìßá óôáèåñþ ôéìþ ôïõ éó ýåé: E[U] = [ ] 2d E od åíþ ãéá ôçí åëü éóôç êáé ôç ìýãéóôç ôéìþ ôïõ od ðñïêýðôåé áíôßóôïé á: od max = 2d U mi od mi = 2d ÕðïèÝôïíôáò êáôü ðñïóýããéóç ìßá óõíå Þ ïìïéüìïñöç êáôáíïìþ óôï äéüóôçìá [od mi, od max ] ðñïêýðôåé: [ ] odmax E = od od max od mi od mi od dod = 2d U mi ( U mi ) l U mi Áíôéêáèéóôþíôáò ôçí áíùôýñù Ýêöñáóç ãéá ôï E[/od] óôï E[U] êáé èýôïíôáò U mi =50% ðñïêýðôåé üôé: E[U] = U mi l = l 2 69% U mi U mi 5
Ôï 986 ïé Gupta êáé Sriivasa âåëôßùóáí ôçí áðüäåéîç ôïõ Leug, ìç áðïäå üìåíïé ôçí ðñïóýããéóþ ôïõ. Ãéá ôç äéêþ ôïõò áíüëõóç ç ôéìþ ôïõ E[/od] ðñïêýðôåé ùò åîþò: [ ] E od = = od max od mi + od max od mi + od max i i=od mi ( H odmax H odmi + od mi Áíôéêáèéóôþíôáò ôïõò áñìïíéêïýò áñéèìïýò êáé áãíïþíôáò ôïõ üñïõò áíþôåñçò ôüîçò ôïõ Ï(/ 2 ), ðñïêýðôåé: [ ] ( E = l od max + + od od max od mi + od mi 2od max 2od mi ) od mi ÕðïèÝôïíôáò üôé od max od mi >> êáé áíôéêáèéóôþíôáò ôéò ôéìýò ôùí od max, od mi ðñïêýðôåé: [ ] ( U mi E = l + d ) od U mi U mi (U mi + ) ÄçëáäÞ, ðáñáôçñïýìå üôé óå ó Ýóç ìå ôçí Ýêöñáóç ôïõ Leug Ý åé åìöáíéóèåß Ýíáò äåýôåñïò üñïò åíôüò ôçò ðáñýíèåóçò. Áí êáé ç áíüëõóç áõôþ åßíáé åðáêñéâýóôåñç, åí ôïýôïéò áóõìðôùôéêü (ãéá ) äåí áëëüæåé ôçí ìýóç ôéìþ ôïõ ðáñüãïíôá ñçóéìïðïßçóçò ôïõ þñïõ 69%. Ôåëéêþò ïýôå ç äåýôåñç ðñïóýããéóç ìïíôåëïðïéåß óùóôü ôç óõìðåñéöïñü ôïõ Â-äÝíäñïõ. Ãéá ðáñüäåéãìá, áí õðïèýóïõìå üôé d = 2, ôüôå êüèå êüìâïò åêôüò ôçò ñßæáò ðåñéý åé 2, 3 Þ 4 êëåéäéü. ÐåéñáìáôéêÜ ìðïñåß íá áðïäåé èåß üôé ç ðéèáíüôçôá Ýíáò êüìâïò íá ðåñéý åé 2 Þ 3 Þ 4 êëåéäéü äåí åßíáé ßóç ìå /3. Ç åýñåóç ôçò áíôßóôïé ç êáôáíïìþò ðéèáíüôçôáò äåí åßíáé åýêïëç õðüèåóç. ) 52