Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση (ΕΕ ). Τα σημεία Ε και Ε τα ονομάζουμε εστίες της υπερβολής και η απόστασή τους (εστιακή) ισούται με. Εξίσωση Υπερβολής Όταν η υπερβολή έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα xx και μεσοκάθετη του τμήματος ΕΕ τον άξονα yy, έχουμε την μορφή της εξίσωσής της: Το κέντρο της υπερβολής είναι το (0,0) και οι κορυφές της έχουν συντεταγμένες Οι εστίες της έχουν συντεταγμένες: Επίσης ισχύει: Όταν η υπερβολή έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα yy και μεσοκάθετη του τμήματος ΕΕ τον άξονα xx, έχουμε την μορφή της εξίσωσής της: Το κέντρο της υπερβολής είναι το (0,0) και οι κορυφές της έχουν συντεταγμένες Οι εστίες της έχουν συντεταγμένες: Επίσης ισχύει: Επιπλέον, η απόλυτη τιμή των αποστάσεων του τυχαίου σημείου της υπερβολής από τις δύο εστίες ισούται με το μήκος της απόστασης των κορυφών της υπερβολής. Δηλαδή, 28
Εφαπτομένη Υπερβολής Όταν η υπερβολή έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα xx έχουμε την ακόλουθη μορφή της εξίσωσής της εφαπτομένης σε ένα σημείο της : Όταν η υπερβολή έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα yy έχουμε την ακόλουθη μορφή της εξίσωσής της εφαπτομένης σε ένα σημείο της : Ιδιότητες Υπερβολής Οι πιο βασικές ιδιότητες της υπερβολής είναι οι ακόλουθες: 1. Κάθε υπερβολή με εξίσωση έχει άξονες συμμετρίας τους xx, yy και κέντρο συμμετρίας το (0,0). 2. Αν το σημείο είναι σημείο της υπερβολής τότε και τα παρακάτω σημεία είναι και αυτά σημεία της υπερβολής, 3. Η υπερβολή αποτελείται από δύο ξεχωριστούς κλάδους. Αυτοί οι κλάδοι βρίσκονται έξω από τη «ζώνη» που ορίζουν οι ευθείες, όταν οι εστίες είναι πάνω στον xx και οι ευθείες όταν οι εστίες βρίσκονται πάνω στον yy. 4. Αν προκύψει ότι, η υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής και γράφεται: 29
Ασύμπτωτες Υπερβολής Η υπερβολή με εξίσωση έχει ασύμπτωτες τις ευθείες. Οι ασύμπτωτες τις υπερβολής είναι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία: Το συγκεκριμένο ορθογώνιο ονομάζεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής. Όταν η υπερβολή έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες έχουν εξισώσεις τις:. Εκκεντρότητα Υπερβολής Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι ένα στοιχείο της το οποίο δείχνει το κατά το πόσο το ορθογώνιο βάσης μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Ουσιαστικά, είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης με το μήκος των κορυφών της. Αν το ε τείνει στο 1 τότε το ορθογώνιο βάσης τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα και η υπερβολή γίνεται «κλειστή». Αν η υπερβολή είναι ισοσκελής η εκκεντρότητα της ισούται με. Περιπτώσεις ασκήσεων 1. Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση μίας υπερβολής αρκεί να βρούμε τις τιμές των α, β. Για παράδειγμα, να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής, που έχει εστίες τα σημεία και διέρχεται από το σημείο. Οπότε, Από την εξίσωση της υπερβολής έχουμε: 30
Αλλά επειδή ισχύει ότι έχουμε ότι Άρα, Συνεπώς, η εξίσωση της υπερβολής. 2. Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μίας υπερβολής σε σημείο της, προσδιορίζουμε από τα δεδομένα τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. Να βρεθούν οι εφαπτομένες της υπερβολής 25 που είναι κάθετες στην ευθεία Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της υπερβολής: Έπειτα παίρνουμε το τύπο της εφαπτομένης και τον λύνουμε ως προς y. Επειδή η εφαπτομένη με την ευθεία είναι μεταξύ τους κάθετες έχουμε, Επιστρέφουμε στην εξίσωση της υπερβολής και έχουμε: Άρα, Οπότε οι εφαπτομένες είναι: 31
3. Όπως στην έλλειψη έτσι και στην υπερβολή έχουμε μία ανάλογη ιδιότητα της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής. Αποδεικνύεται ότι αν φέρουμε μία εφαπτομένη της υπερβολής σε ένα σημείο επαφής Μ, τότε αυτή η ευθεία έχει την ιδιότητα να διχοτομεί την γωνία που σχηματίζεται από το σημείο επαφής Μ και τις εστίες της υπερβολής Ε και Ε (σχολικό σελ.121). Για παράδειγμα,, έστω η υπερβολή: Και ένα σημείο της Μ(1,,1) Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: Η οποία είναι η διχοτόμος της γωνίας. 32